क्लोजर ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 11:14, 21 February 2023

गणित में, एक सेट (गणित) S पर एक क्लोजर ऑपरेटर एक फंक्शन (गणित) है $\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)$ S के घात समुच्चय से स्वयं तक जो सभी समुच्चयों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है $X,Y\subseteq S$

$X\subseteq \operatorname {cl} (X)$	(cl विस्तृत है),
$X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)$	(cl में वृद्धि हो रही है),
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)$	(cl वर्गसम है).

क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(X) के सेट के बाद से सेट एक्स का क्लोजर cl(X) X युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" ^[1] उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ भ्रम को रोकता है।

इतिहास

ई.एच. मूर ने अपने 1910 के सामान्य विश्लेषण के एक रूप के परिचय में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में फ्रिग्स रिज के काम में उत्पन्न हुई थी।^[2] हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं सदी के अंत में अर्न्स्ट श्रोडर, रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर के उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ था।^[3]

उदाहरण

टोपोलॉजी से सामान्य सेट क्लोजर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का रेखीय फैलाव, एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़ाइन हल या एक फलन $f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ का निम्न अर्द्धसतत हल ${\overline {f}}$ , जहां $E$ उदा. एक आदर्श स्थान, परिभाषित रूप से $\operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}$ जहां $\operatorname {epi} (f)$ फ़ंक्शन $f$ का एपिग्राफ है।

सापेक्ष आंतरिक $\operatorname {ri}$ क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि $C_{1}$ , $\mathbb {R} ^{3}$ में एक घन है और $C_{2}$ इसका एक फलक है, तो $C_{2}\subset C_{1}$ लेकिन $\operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})$ ⁡ और $\operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset$ इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।^[4]

टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए

c l left parenthesis upper X 1 union midline horizontal ellipsis union upper X Subscript n Baseline right parenthesis equals c l left parenthesis upper X 1 right parenthesis union midline horizontal ellipsis union c l left parenthesis upper X Subscript n Baseline right parenthesis

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 :''x'' ≤ cl(''y'') अगर और केवल अगर cl(''x'') ≤ cl(''y'')
-'''''P में सभी x, y के लिए।'''''
+P में सभी x, y के लिए।
-पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके, कोई वैकल्पिक रूप से आईडी के रूप में व्यापकता संपत्ति लिख सकता है<sub>''P''</sub> ≤ सीएल, जहां आईडी पहचान कार्य है। एक स्व-नक्शा k जो बढ़ रहा है और उदासीन है, लेकिन व्यापकता संपत्ति के [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] को संतुष्ट करता है, अर्थात k ≤ आईडी<sub>''P''</sub> कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है,<ref>Giertz, p. 26</ref> आंतरिक ऑपरेटर<ref>Erné, p. 2, uses closure (resp. interior) operation</ref> या दोहरी बंद।<ref>Blyth, p. 10</ref> उदाहरण के तौर पर, यदि A समुच्चय B का उपसमुच्चय है, तो B के घात पर स्व-नक्शा μ द्वारा दिया गया है<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∪ एक्स एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λ<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∩ एक्स एक कर्नेल ऑपरेटर है। [[वास्तविक संख्या]]ओं से वास्तविक संख्याओं तक [[छत समारोह]], जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा [[पूर्णांक]] प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है।
+पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करते हुए, कोई वैकल्पिक रूप से व्यापकता गुण को  id<sub>''P''</sub> ≤ cl के रूप में लिख सकता है, जहां id तत्समक फलन है। एक स्वयं मानचित्र k जो बढ़ रहा है और वर्गसम है, लेकिन व्यापकता गुण के दोहरे को संतुष्ट करता है, यानी k ≤ idP को कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है, <ref>Giertz, p. 26</ref> इंटीरियर ऑपरेटर,<ref>Erné, p. 2, uses closure (resp. interior) operation</ref> या दोहरी क्लोजर है।<ref>Blyth, p. 10</ref> उदाहरण के लिए, यदि A सेट B का उपसमुच्चय है, तो μA(X) = A ∪ X द्वारा दिए गए B के पावरसेट पर सेल्फ-मैप एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λA(X) = A ∩ X एक कर्नेल है ऑपरेटर।
-फ़ंक्शन सीएल का एक [[fixpoint]], यानी पी का एक तत्व सी जो सीएल (सी) = सी को संतुष्ट करता है, को 'बंद तत्व' कहा जाता है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर उसके बंद तत्वों द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि c एक बंद अवयव है, तो x ≤ c और cl(x) ≤ c तुल्य स्थितियाँ हैं।
+वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक सीलिंग फ़ंक्शन, जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा पूर्णांक प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है।
-प्रत्येक [[गाल्वा कनेक्शन]] (या अवशिष्ट मानचित्रण) एक क्लोजर ऑपरेटर को जन्म देता है (जैसा कि उस लेख में बताया गया है)। वास्तव में, प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर एक उपयुक्त गैलोज़ कनेक्शन से इस तरह उत्पन्न होता है।<ref>Blyth, p. 10</ref> क्लोजर ऑपरेटर द्वारा गैलोज़ कनेक्शन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है। क्लोजर ऑपरेटर सीएल को जन्म देने वाला एक गैलोज कनेक्शन निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: यदि ए सीएल के संबंध में बंद तत्वों का सेट है, तो सीएल: पी → ए, पी और ए के बीच गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है, साथ में ऊपरी आसन्न पी में ए की एम्बेडिंग है। इसके अलावा, पी में कुछ सबसेट के एम्बेडिंग के प्रत्येक निचले आसन्न एक क्लोजर ऑपरेटर है। क्लोजर ऑपरेटर एंबेडिंग के निचले जोड़ हैं। हालांकि, ध्यान दें कि प्रत्येक एम्बेडिंग में निचला आसन्न नहीं होता है।
+फलन cl का नियत बिन्दु, अर्थात P का एक तत्व c जो cl(c) = c को संतुष्ट करता है, एक बंद तत्व कहलाता है। आंशिक रूप से आदेशित सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर उसके बंद तत्वों द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि c एक बंद तत्व है, तो x ≤ c और cl(x) ≤ c समतुल्य स्थितियाँ हैं।
-किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P को एक [[श्रेणी सिद्धांत]] के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें x से y तक एक एकल आकारिकी है और यदि केवल x ≤ y है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P पर क्लोजर ऑपरेटर्स श्रेणी P पर [[मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)]] के अलावा और कुछ नहीं हैं। समान रूप से, एक क्लोजर ऑपरेटर को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की श्रेणी पर एक एंडोफंक्टर के रूप में देखा जा सकता है जिसमें अतिरिक्त idempotent और व्यापक है गुण।
+प्रत्येक गैलोज़ कनेक्शन (या अवशिष्ट मानचित्रण) एक क्लोजर ऑपरेटर को जन्म देता है (जैसा कि उस लेख में बताया गया है)। वास्तव में, प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर एक उपयुक्त गैल्वा कनेक्शन से इस तरह उत्पन्न होता है।<ref>Blyth, p. 10</ref> क्लोजर ऑपरेटर द्वारा गैलोज़ कनेक्शन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है। क्लोजर ऑपरेटर सीएल को जन्म देने वाला एक गैलोज कनेक्शन निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: यदि ए सीएल के संबंध में बंद तत्वों का सेट है, तो cl: ''P'' → ''A'', ''P'' और ''A'' के बीच गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है, साथ में ऊपरी आसन्न ''P'' में ''A'' की एम्बेडिंग है। इसके अलावा, ''P'' में कुछ सबसेट के एम्बेडिंग के प्रत्येक निचले आसन्न एक क्लोजर ऑपरेटर है। "क्लोजर ऑपरेटर एम्बेडिंग के निचले हिस्से हैं।" हालांकि, ध्यान दें कि प्रत्येक एम्बेडिंग में निचला आसन्न नहीं होता है।
-यदि P एक [[पूर्ण जाली]] है, तो P का एक उपसमुच्चय A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद तत्वों का समूह है यदि और केवल यदि A, P पर एक 'मूर परिवार' है, अर्थात P का सबसे बड़ा तत्व A में है, और A के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का [[infimum]] (मिलना) फिर से A में है। ऐसा कोई भी सेट A अपने आप में P से विरासत में मिले आदेश के साथ एक पूर्ण जाली है (लेकिन [[अंतिम]] (जॉइन) ऑपरेशन P से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का [[सत्ता स्थापित]] [[बूलियन बीजगणित]] होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर 'क्लोजर सिस्टम' कहा जाता है।
+किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें x से y तक का एकल रूपवाद है और यदि केवल x ≤ y है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P पर क्लोजर ऑपरेटर्स श्रेणी P पर मोनाड्स के अलावा और कुछ नहीं हैं। समान रूप से, एक क्लोजर ऑपरेटर को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की श्रेणी पर एक एंडोफंक्टर के रूप में देखा जा सकता है जिसमें अतिरिक्त वर्गसम और व्यापक गुण हैं।
-P पर क्लोजर ऑपरेटर स्वयं को एक पूर्ण जाली बनाते हैं; क्लोजर ऑपरेटरों पर आदेश सीएल द्वारा परिभाषित किया गया है<sub>1</sub> ≤ सीएल<sub>2</sub> अगर सीएल<sub>1</sub>(एक्स) ≤ सीएल<sub>2</sub>(एक्स) पी में सभी एक्स के लिए।
+यदि P एक पूर्ण जाली है, तो P का एक सबसेट A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद तत्वों का सेट है यदि और केवल अगर A, P पर एक मूर परिवार है, यानी P का सबसे बड़ा तत्व A में है, और न्यूनतम ए के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का (मिलना) फिर से ए में है। ऐसा कोई भी सेट ए अपने आप में पी से विरासत में मिले आदेश के साथ एक पूर्ण जाली है (लेकिन सुप्रीम (जॉइन) ऑपरेशन पी से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का पॉवरसेट बूलियन बीजगणित होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर क्लोजर सिस्टम कहा जाता है।
-== यह भी देखें ==
+यदि P एक पूर्ण जालक है, तो P का एक सबसेट A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद तत्वों का सेट है यदि और केवल अगर A, P पर एक मूर परिवार है, यानी P का सबसे बड़ा तत्व A में है, और न्यूनतम A के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का (मिलना) फिर से A में है। ऐसा कोई भी सेट A अपने आप में P से विरासत में मिले आदेश के साथ एक पूर्ण जालक है (लेकिन सुप्रीम (जॉइन) ऑपरेशन P से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का पॉवरसेट बूलियन बीजगणित होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर क्लोजर सिस्टम कहा जाता है।
-* {{annotated link|Čech closure operator}}
+P पर बंद करने वाले संचालक स्वयं को एक पूर्ण जालक बनाते हैं; क्लोजर ऑपरेटरों पर आदेश cl1 ≤ cl2 iff cl1(x) ≤ cl2(x) द्वारा परिभाषित किया गया है, जो P में सभी x के लिए है।
-* {{annotated link|Closure (topology)}}
-* {{annotated link|Galois connection}}
-* {{annotated link|Interior algebra}}
-* {{annotated link|Interior (topology)}}
-* {{annotated link|Kuratowski closure axioms}}
-* {{annotated link|Preclosure operator}}
+== यह भी देखें ==
+* {{annotated link|चेक क्लोजर ऑपरेटर}}
+* क्लोजर (टोपोलॉजी)
+* {{annotated link|गैलोइस कनेक्शन}}
+* {{annotated link|आंतरिक बीजगणित}}
+* {{annotated link|इंटीरियर (टोपोलॉजी)}}
+* {{annotated link|कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स}}
+* {{annotated link|प्रीक्लोजर ऑपरेटर}}
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist|3}}
 == संदर्भ ==
 * [[Garrett Birkhoff]]. 1967 (1940). ''Lattice Theory, 3rd ed''. American Mathematical Society.
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 * {{wikicite|reference=T.S. Blyth, ''Lattices and Ordered Algebraic Structures'', Springer, 2005, {{ISBN|1-85233-905-5}}.|ref={{harvid|Blyth}}}}
 * M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, ''A primer on Galois connections'', in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp.&nbsp;103–125. Available online in various file formats: [https://web.archive.org/web/20060108063506/http://www.iti.cs.tu-bs.de/TI-INFO/koslowj/RESEARCH/gal_bw.ps.gz PS.GZ] [http://www.math.ksu.edu/~strecker/primer.ps PS]
 ==बाहरी संबंध==
 *[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: "[https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/ Algebraic Propositional Logic]"—by Ramon Jansana.

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