ट्रीविड्थ: Difference between revisions

Revision as of 13:19, 14 March 2023

एक आलेख सिद्धांत में, अप्रत्यक्ष आलेख का ट्रीविड्थ एक पूर्णांक संख्या है, जो अनौपचारिक रूप से निर्दिष्ट करती है कि आलेख एक ट्री से कितनी दूर है। सबसे छोटी ट्रीविड्थ 1 है; और ट्रीविड्थ 1 वाले आलेख वास्तव में ट्री और फॉरेस्ट्स हैं। अधिकतम 2 ट्रीविड्थ वाले आलेख श्रृंखला-समानांतर आलेख हैं। यथार्थत: $k$ ट्रीविड्थ वाले उच्चतम आलेख को k-ट्री कहा जाता है, और अधिकतम $k$ पर ट्रीविड्थ वाले आलेख को आंशिक $k$ -ट्री कहा जाता है। कई अन्य अच्छी तरह से अध्ययन किए गए आलेख श्रेणीयों में भी ट्रीविड्थ की सीमा होती है।

ट्रीविड्थ को औपचारिक रूप से कई समतुल्य माध्यमों से परिभाषित किया जा सकता है: आलेख के ट्री अपघटन में निर्धारित किए गए सबसे बड़े शीर्ष आकार, आलेख के पृष्ठ रज्जु समापन में सबसे बड़े गुट्ट के आकार, हेवन के अधिकतम क्रम के संदर्भ में आलेख पर परसूट-उत्सरण के खेल के लिए एक रणनीति का वर्णन, या एक कंटक गुल्म के अधिकतम आदेश के संदर्भ में, जुड़े उप-आलेख का एक संग्रह जो सभी एक दूसरे को स्पर्श करते हैं .

ट्रीविड्थ का उपयोग सामान्यतः आलेख कलन विधि के पैरामिट्रीकृत जटिलता विश्लेषण में एक पैरामीटर के रूप में किया जाता है। कई कलन विधि जो सामान्य आलेख के लिए एनपी कठिन हैं, आसान हो जाते हैं जब ट्रीविड्थ एक स्थिरांक से घिरा होता है।

ट्रीविड्थ की अवधारणा मूल रूप से किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? (अम्बर्टो बर्टेल & फ्रांसेस्को ब्रियोस्की 1972) आयाम के नाम से। इसे बाद में द्वारा पुनः से खोजा गया था रुडोल्फ हेलिन (1976), उन गुणों के आधार पर जो इसे एक अलग आलेख पैरामीटर, हैडविगर संख्या के साथ साझा करता है। बाद में इसे पुनः से द्वारा खोजा गया था (नील रॉबर्टसन & पॉल सीमोर 1984) और उसके पश्चात कई अन्य लेखकों द्वारा अध्ययन किया गया है।^[1]

परिभाषा

File:Tree decomposition.svg

आठ शीर्षों वाला एक आलेख, और छह नोड्स वाले एक ट्री पर इसका एक ट्री अपघटन। प्रत्येक आलेख एज दो शीर्षों को जोड़ता है जो किसी ट्री नोड पर एक साथ सूचीबद्ध होते हैं, और प्रत्येक आलेख शीर्ष को ट्री के सन्निहित सबट्री के नोड्स पर सूचीबद्ध किया जाता है। प्रत्येक ट्री नोड अधिकतम तीन शीर्षों को सूचीबद्ध करता है, इसलिए इस अपघटन की चौड़ाई दो है।

एक आलेख का एक ट्री अपघटन $G = (V, E)$ एक ट्री है $T$ नोड्स के साथ $X 1, \dots, X n$ , जहां प्रत्येक $X i$ का उपसमुच्चय है $V$ , निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है^[2] (नोड शब्द का प्रयोग एक शीर्ष को संदर्भित करने के लिए किया जाता है $T$ के शीर्ष के साथ भ्रम से बचने के लिए $G$ ):

सभी समुच्चयों का मिलन $X i$ बराबर है $V$ . यही है, प्रत्येक आलेख शीर्ष कम से कम एक ट्री नोड में समाहित है।
अगर $X i$ और $X j$ दोनों में एक शीर्ष है $v$ , पुनः सभी नोड्स $X k$ का $T$ के बीच (अद्वितीय) पथ में $X i$ और $X j$ रोकना $v$ भी। समतुल्य रूप से, ट्री नोड्स में शीर्ष होता है $v$ का कनेक्टेड सबट्री बनाता है $T$ .
हर किनारे के लिए $(v, w)$ आलेख में, एक सबसमुच्चय है $X i$ जिसमें दोनों सम्मिलित हैं $v$ और $w$ . यही है, कोने आलेख में आसन्न होते हैं, जब संबंधित उप-वृक्षों में एक आम नोड होता है।

एक ट्री के अपघटन की चौड़ाई उसके सबसे बड़े समुच्चय का आकार है $X i$ शून्य से एक कम। ट्रीविड्थ $tw(G)$ आलेख का $G$ के सभी संभव ट्री अपघटन के बीच न्यूनतम चौड़ाई है $G$ . इस परिभाषा में, ट्रीविड्थ को एक के बराबर बनाने के लिए सबसे बड़े समुच्चय के आकार को एक से घटा दिया जाता है।

समान रूप से, कीट्रीविड्थ $G$ युक्त कॉर्डल आलेख में सबसे बड़े क्लिक (आलेख सिद्धांत) के आकार से एक कम है $G$ सबसे छोटी अधिकतम क्लिक के साथ। इस क्लिक साइज के साथ कॉर्डल आलेख को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है $G$ हर दो शीर्षों के बीच एक किनारा जो दोनों कम से कम एक समुच्चय से संबंधित हैं $X i$ .

ट्रीविड्थ को हेवन (आलेख थ्योरी) के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है, एक आलेख पर परिभाषित एक निश्चित खोज-चोरी के खेल के लिए एक चोरी की रणनीति का वर्णन करने वाले कार्य। एक आलेख $G$ में ट्रीविड्थ है $k$ अगर और केवल अगर यह आदेश का स्श्रेणी है $k + 1$ लेकिन कोई उच्च क्रम नहीं, जहां आदेश का स्श्रेणी है $k + 1$ एक कार्य है $β$ जो प्रत्येक समुच्चय को मानचित्र करता है $X$ अधिक से अधिक $k$ कोने में $G$ के जुड़े घटकों में से एक में $G \ X$ और वह एकरसता गुण का पालन करता है $β (Y) \subseteq β (X)$ जब कभी भी $X \subseteq Y$ .

File:3x3 grid graph haven.svg

3×3 ग्रिड आलेख में क्रम चार का एक ब्रैमबल (आलेख सिद्धांत), जिसके अस्तित्व से पता चलता है कि आलेख में कम से कम 3 ट्रीविड्थ है

ब्रम्बल (आलेख सिद्धांत) का उपयोग करके एक समान लक्षण वर्णन भी किया जा सकता है, जुड़े उप-आलेख के श्रेणी जो सभी एक दूसरे को छूते हैं (अर्थात् या तो वे एक शीर्ष साझा करते हैं या किनारे से जुड़े होते हैं)।^[3] एक कंटक-गुल्म का क्रम उप-आलेख के श्रेणी के लिए सबसे छोटा हिटिंग समुच्चय है, और आलेख की ट्रीविड्थ एक कंटक-गुल्म के अधिकतम क्रम से एक कम है।

उदाहरण

हर पूरा आलेख $K n$ में ट्रीविड्थ है $n - 1$ . कॉर्डल आलेख के संदर्भ में ट्रीविड्थ की परिभाषा का उपयोग करके इसे सबसे आसानी से देखा जा सकता है: पूरा आलेख पहले से ही कॉर्डल है, और अधिक किनारों को जोड़ने से इसके सबसे बड़े समूह के आकार को कम नहीं किया जा सकता है।

कम से कम दो शीर्षों वाले कनेक्टेड आलेख में ट्रीविड्थ 1 है यदि और केवल यदि वह एक ट्री है। एक ट्री की ट्रीविड्थ एक ही तर्क के अनुसार पूर्ण रेखांकन के लिए होती है (अर्थात्, यह कॉर्डल है, और अधिकतम क्लिक आकार दो है)। इसके विपरीत, यदि किसी आलेख में एक चक्र है, तो आलेख के प्रत्येक कॉर्डल पूर्णता में कम से कम एक त्रिभुज सम्मिलित होता है जिसमें चक्र के लगातार तीन कोने होते हैं, जिससे यह पता चलता है कि इसकी ट्रीविड्थ कम से कम दो है।

परिबद्ध ट्रीविड्थ

परिबद्ध ट्रीविड्थ वाले आलेख श्रेणी

किसी निश्चित स्थिरांक के लिए $k$ , ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का आलेख $k$ को आंशिक के-ट्री कहा जाता है | आंशिक $k$ -ट्री। बाउंड ट्रीविड्थ वाले आलेख के अन्य श्रेणीों में कैक्टस आलेख, स्यूडोफॉरेस्ट, श्रृंखला-समानांतर रेखांकन, बाहरी रेखांकन, हालीन आलेख और अपोलोनियन नेटवर्क सम्मिलित हैं।^[4] संरचित प्रोग्रामिंग के संकलक में उत्पन्न होने वाले नियंत्रण-प्रवाह आलेख में ट्रीविड्थ भी होता है, जो कुछ कार्यों जैसे कि रजिस्टर आवंटन को उन पर कुशलता से करने की अनुमति देता है।^[5]

समतलीय रेखांकन में परिबद्ध ट्रीविड्थ नहीं होता है, क्योंकि $n \times n$ ग्रिड आलेख ट्रीविड्थ के साथ एक प्लेनर आलेख है $n$ . इसलिए, अगर $F$ एक उपसारणिक-बंद आलेख श्रेणी है जिसमें बाउंड ट्रीविड्थ है, इसमें सभी समतली आलेख सम्मिलित नहीं हो सकते। इसके विपरीत, यदि श्रेणी में आलेख के लिए कुछ समतली आलेख उपसारणिक के रूप में नहीं हो सकते हैं $F$ , तो एक स्थिरांक है $k$ जैसे कि सभी रेखांकन $F$ में अधिकतम ट्रीविड्थ है $k$ . अर्थात्, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ एक दूसरे के समतुल्य हैं:^[6]

$F$ बाउंडेड-ट्रीविड्थ आलेख का उपसारणिक-बंद श्रेणी है;
चरित्र चित्रण करने वाले बहुत से वर्जित उपसारणिकों में से एक $F$ तलीय है;
$F$ एक छोटा-बंद आलेख श्रेणी है जिसमें सभी समतली आलेख सम्मिलित नहीं हैं।

निषिद्ध उपसारणिक

File:Partial 3-tree forbidden minors.svg

ट्रीविड्थ 3 के लिए चार प्रतिबंधित उपसारणिक:

K 5

(शीर्ष-बाएँ), अष्टफलक का आलेख (नीचे-बाएँ), वैगनर आलेख (शीर्ष-दाएँ), और पंचकोणीय प्रिज़्म का आलेख (नीचे-दाएँ)

प्रत्येक परिमित मूल्य के लिए $k$ , ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का आलेख $k$ निषिद्ध आलेख लक्षण वर्णन के एक परिमित समुच्चय द्वारा विशेषता हो सकती है। (अर्थात, ट्रीविड्थ का कोई भी आलेख $> k$ में उपसारणिक के रूप में समुच्चय में से एक आलेख सम्मिलित है।) वर्जित उपसारणिकों के इन समुच्चयों में से प्रत्येक में कम से कम एक समतली आलेख सम्मिलित है।

के लिए $k = 1$ , अद्वितीय वर्जित उपसारणिक एक 3-शीर्ष चक्र आलेख है।^[7]
के लिए $k = 2$ , अद्वितीय वर्जित उपसारणिक 4-शीर्ष पूर्ण आलेख है $K 4$ .^[7]*के लिए $k = 3$ , चार वर्जित उपसारणिक हैं: $K 5$ , अष्टफलक का आलेख, पंचकोणीय प्रिज्म प्रिज्म आलेख और वैगनर आलेख। इनमें से दो बहुफलकीय आलेख समतलीय हैं।^[8]

बड़े मूल्यों के लिए $k$ , वर्जित उपसारणिकों की संख्या कम से कम उतनी ही तीव्रता से बढ़ती है जितनी कि के श्रेणीमूल की चरघातांकी $k$ .^[9] हालांकि, वर्जित उपसारणिकों के आकार और संख्या पर ज्ञात ऊपरी सीमाएं इस निचली सीमा से बहुत अधिक हैं।^[10]

कलन विधि

ट्रीविड्थ की गणना

यह निर्धारित करने के लिए एनपी-पूर्ण है कि क्या दिया गया आलेख है $G$ में किसी दिए गए वेरिएबल पर ट्रीविड्थ है $k$ .^[11]

हालाँकि, कब $k$ कोई निश्चित स्थिरांक है, ट्रीविड्थ वाला आलेख $k$ पहचाना जा सकता है, और एक चौड़ाई $k$ उनके लिए निर्मित वृक्ष अपघटन, रैखिक समय में।^[12] इस एल्गोरिथम की समय निर्भरता $k$ चरघातांकी है।

बड़ी संख्या में फ़ील्ड्स में ट्रीविड्थ की भूमिकाओं के कारण, आलेख के ट्रीविड्थ की गणना करने वाले विभिन्न व्यावहारिक और सैद्धांतिक कलन विधि विकसित किए गए थे। हाथ में आवेदन के आधार पर, इनपुट या ट्रीविड्थ के आकार से चलने वाले समय में बेहतर सन्निकटन अनुपात, या बेहतर निर्भरता पसंद कर सकते हैं।

नीचे दी गई तालिका कुछ ट्रीविड्थ कलन विधि का अवलोकन प्रदान करती है। यहाँ $k$ ट्रीविड्थ है और $n$ एक इनपुट आलेख के शीर्षों की संख्या है $G$ . प्रत्येक कलन विधि समय में आउटपुट करता है $f (k) \cdot g (n)$ अनुमानित कॉलम में दी गई चौड़ाई का अपघटन। उदाहरण के लिए, का कलन विधि बोडलैंडर (1996) समय के भीतर $2 O (k 3) \cdot n$ या तो इनपुट आलेख के ट्री अपघटन का निर्माण करता है $G$ अधिकतम चौड़ाई $k$ या रिपोर्ट करता है कि की ट्रीविड्थ $G$ से अधिक होता है $k$ . इसी तरह, का कलन विधि बोडलैंडर एट अल et al. (2016) समय के भीतर $2 O (k) \cdot n$ या तो इनपुट आलेख के ट्री अपघटन का निर्माण करता है $G$ अधिकतम चौड़ाई $5 k + 4$ या रिपोर्ट करता है कि की ट्रीविड्थ $G$ से अधिक होता है $k$ . Korhonen (2021) ने इसमें सुधार किया $2 k + 1$ एक ही रनिंग टाइम में।

सन्निकटन	$f (k)$	$g (n)$	संदर्भ
यथार्थ	$O (1)$	$O (n k +2)$	अर्नबोर्ग, कॉर्नियल & प्रोस्कुरोव्स्की (1987)
$4 k + 3$	$O (3 3 k)$	$O (n 2)$	रॉबर्टसन & सेमुर (1995)
$8 k + 7$	$2 O (k log k)$	$n log 2 n$	लेगरग्रेन (1996)
$5 k + 4$ (or $7 k + 6$ )	$2 O (k log k)$	$n log n$	रीड (1996)
यथार्थ	$2 O (k 3)$	$O (n)$	बोडलैंडर (1996)
$O\left(k\cdot {\sqrt {\log k}}\right)$	$O (1)$	$n O (1)$	फीज, हजियाघयी & ली (2008)
$4.5 k + 4$	$2 3 k$	$n 2$	आमिर (2010)
$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}11/3k + 4$	$2 3.6982 k$	$n 3 log 4 n$	आमिर (2010)
यथार्थ	$O (1)$	$O (1.7347 n)$	फोमिन, टोडिंका & विलंगेर (2015)
$3 k + 2$	$2 O (k)$	$O (n log n)$	बोडलैंडर et al. (2016)
$5 k + 4$	$2 O (k)$	$O (n)$	बोडलैंडर et al. (2016)
$k 2$	$O (k 7)$	$O (n log n)$	फोमिन et al. (2018)
$5 k + 4$	$2 8.765 k$	$O (n log n)$	बेलबासी & फ्यूरर (2021a)
$2 k + 1$	$2 O (k)$	$O (n)$	कोरहोनेन (2021)
$5 k + 4$	$2 6.755 k$	$O (n log n)$	बेलबासी & फ्यूरर (2021b)
यथार्थ	$2 O (k 2)$	$n 4$	कोरहोनेन & लोकशतानोव (2022)
$\varepsilon$	$\varepsilon$	$n 4$	कोरहोनेन & लोकशतानोव (2022)

Unsolved problem in गणित:

क्या बहुपद समय में प्लानर ग्राफ की ट्रेविड्थ की गणना की जा सकती है?

(more unsolved problems in गणित)

यह ज्ञात नहीं है कि प्लैनर आलेख की ट्रीविड्थ का निर्धारण एनपी-पूर्ण है, या क्या उनकी ट्रीविड्थ की गणना बहुपद समय में की जा सकती है।^[13]

व्यवहार में, का एक एल्गोरिथ्म Shoikhet & Geiger (1997) इष्टतम ट्रीविड्थ के साथ इन आलेखों की कॉर्डल पूर्णता का पता लगाते हुए 100 शीर्षों तक के आलेख की ट्रीविड्थ और 11 तक ट्रीविड्थ का निर्धारण कर सकते हैं।

बड़े आलेख के लिए, कोई भी खोज-आधारित तकनीकों जैसे शाखा और बाउंड (BnB) का उपयोग कर सकता है और ट्रीविड्थ की गणना करने के लिए सर्वोत्तम-प्रथम खोज कर सकता है। ये कलन विधि कभी भी कलन विधि हैं, जब जल्दी बंद कर दिया जाता है, तो वे ट्रीविड्थ पर एक ऊपरी सीमा का उत्पादन करेंगे।

ट्रीविड्थ की गणना के लिए पहला BnB एल्गोरिथम, जिसे QuickBB एल्गोरिथम कहा जाता है^[14] गोगेट और डेक्टर द्वारा प्रस्तावित किया गया था।^[15] चूँकि किसी भी BnB एल्गोरिथम की गुणवत्ता उपयोग की जाने वाली निचली सीमा, Gogate और Dechter की गुणवत्ता पर अत्यधिक निर्भर है^[15]लघु-न्यूनतम-चौड़ाई नामक ट्रीविड्थ पर निचली सीमा की गणना करने के लिए एक उपन्यास एल्गोरिद्म भी प्रस्तावित किया।^[15]एक उच्च स्तर पर, लघु-न्यूनतम-चौड़ाई कलन विधि तथ्यों को जोड़ती है कि एक आलेख की ट्रीविड्थ कभी भी इसकी न्यूनतम डिग्री (आलेख थ्योरी) या इसके आलेख उपसारणिक से ट्रीविड्थ पर कम सीमा उत्पन्न करने के लिए बड़ी नहीं होती है। उपसारणिक-मिन-चौड़ाई एल्गोरिद्म बार-बार एक न्यूनतम डिग्री शीर्ष और उसके पड़ोसियों में से एक के बीच एक किनारे को अनुबंधित करके एक आलेख उपसारणिक का निर्माण करता है, जब तक कि केवल एक शीर्ष नहीं रहता। इन निर्मित उपसारणिकों पर न्यूनतम डिग्री की अधिकतम सीमा आलेख के ट्रीविड्थ पर निचली सीमा होने की गारंटी है।

डॉव और कोर्फ़^[16] सर्वोत्तम-प्रथम खोज का उपयोग करके QuickBB एल्गोरिद्म में सुधार किया। कुछ आलेख पर, यह सर्वोत्तम-प्रथम खोज एल्गोरिथम QuickBB की तुलना में तीव्रता का एक क्रम है।

छोटी ट्रीविड्थ के आलेख पर अन्य समस्याओं का समाधान

1970 के दशक की प्रारंभिक में, यह देखा गया कि आलेख पर परिभाषित संयोजी अनुकूलन समस्याओं की एक बड़ी श्रेणी को गैर सीरियल गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है, जब तक कि आलेख में एक परिबद्ध आयाम हो,^[17] द्वारा ट्रीविड्थ के समतुल्य दिखाया गया पैरामीटर Bodlaender (1998). बाद में, कई लेखकों ने स्वतंत्र रूप से 1980 के दशक के अंत में अवलोकन किया^[18] कि कई एल्गोरिथम समस्याएं जो एनपी-पूर्णता हैं | मनमानी आलेख के लिए एनपी-पूर्ण को इन आलेखों के ट्री-अपघटन का उपयोग करके बाध्य ट्रीविड्थ के आलेख के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, ट्रीविड्थ के आलेख को रंगने वाले आलेख की समस्या $k$ आलेख के वृक्ष अपघटन पर एक गतिशील प्रोग्रामिंग कलन विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रत्येक समुच्चय के लिए $X i$ ट्री के अपघटन का, और प्रत्येक विभाजन के शीर्षों के एक समुच्चय का $X i$ रंग श्रेणीों में, एल्गोरिथ्म निर्धारित करता है कि क्या वह रंग वैध है और ट्री के अपघटन में सभी वंशज नोड्स तक बढ़ाया जा सकता है, उन नोड्स पर गणना की गई और संग्रहीत समान प्रकार की जानकारी को मिलाकर। परिणामी एल्गोरिथ्म एक का एक इष्टतम रंग पाता है $n$ -समय में शीर्ष आलेख $O (k k + O (1) n)$ , एक समयबद्धता जो इस समस्या को पैरामिट्रीकृत जटिलता फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल बनाती है।

कौरसेल प्रमेय

समस्याओं के एक बड़े श्रेणी के लिए, कक्षा से किसी समस्या को हल करने के लिए एक रैखिक समय एल्गोरिथ्म है यदि एक ट्री-अपघटन निरंतर बाध्य ट्रीविड्थ के साथ प्रदान किया जाता है। विशेष रूप से, कौरसेल की प्रमेय^[19] बताता है कि यदि मोनाडिक द्वितीय-क्रम तर्क का उपयोग करते हुए आलेख के तर्क में एक आलेख समस्या व्यक्त की जा सकती है, तो इसे रेखीय समय में बाउंड ट्रीविड्थ के साथ आलेख पर हल किया जा सकता है। मोनाडिक दूसरे क्रम का तर्क लॉजिक आलेख गुणों का वर्णन करने वाली एक भाषा है जो निम्नलिखित निर्माणों का उपयोग करती है:

तर्क संचालन, जैसे $\wedge ,\vee ,\neg ,\Rightarrow$
सदस्यता परीक्षण, जैसे $e \in E$ , $v \in V$
शीर्षों, किनारों, शीर्षों के समुच्चयों और/या किनारों के समुच्चयों पर परिमाणीकरण, जैसे $\forall v \in V$ , $\exists e \in E$ , $\exists I \subseteq V$ , $\forall F \subseteq E$
निकटता परीक्षण ( $u$ का समापन बिंदु है $e$ ), और कुछ एक्सटेंशन जो ऑप्टिमाइज़ेशन जैसी चीज़ों की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए आलेख कलरिंग आलेख के लिए 3-कलरिंग समस्या पर विचार करें। एक आलेख के लिए $G = (V, E)$ , यह समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक शीर्ष निर्दिष्ट करना संभव है $v \in V$ 3 रंगों में से एक ऐसा है कि कोई भी दो आसन्न शीर्षों को समान रंग नहीं दिया गया है। इस समस्या को मोनाडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

\exists W_{1}\subseteq V:\exists W_{2}\subseteq V:\exists W_{3}\subseteq V:\forall v\in V:(v\in W_{1}\vee v\in W_{2}\vee v\in W_{3})\wedge

\forall v\in V:\forall w\in V:(v,w)\in E\Rightarrow (\neg (v\in W_{1}\wedge w\in W_{1})\wedge \neg (v\in W_{2}\wedge w\in W_{2})\wedge \neg (v\in W_{3}\wedge w\in W_{3}))

,

कहाँ $W 1$ , $W 2$ , $W 3$ 3 रंगों में से प्रत्येक वाले कोने के सबसमुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इसलिए, कौरसेल के परिणामों से, 3-रंग की समस्या को एक आलेख के लिए रैखिक समय में हल किया जा सकता है, जो कि निरंतर ट्रीविड्थ के ट्री-अपघटन को देखते हैं।

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 {{Short description|Number denoting a graph's closeness to a tree}}
-एक आलेख सिद्धांत में, [[अप्रत्यक्ष ग्राफ|अप्रत्यक्ष]] आलेख का ट्रीविड्थ एक [[पूर्णांक]] संख्या है, जो अनौपचारिक रूप से निर्दिष्ट करती है कि आलेख एक ट्री से कितनी दूर है। सबसे छोटी ट्रीविड्थ 1 है; और ट्रीविड्थ 1 वाले आलेख वास्तव में ट्री और फॉरेस्ट्स हैं। अधिकतम 2 ट्रीविड्थ वाले आलेख श्रृंखला-समानांतर आलेख हैं। यथार्थत: {{mvar|k}}  ट्रीविड्थ वाले उच्चतम आलेख को k-ट्री कहा जाता है, और अधिकतम {{mvar|k}} पर ट्रीविड्थ वाले आलेख को आंशिक {{math|k}}-ट्री कहा जाता है। कई अन्य अच्छी तरह से अध्ययन किए गए आलेख श्रेणीयों में भी ट्रीविड्थ की सीमा होती है।
+एक आलेख सिद्धांत में, [[अप्रत्यक्ष ग्राफ|अप्रत्यक्ष]] आलेख का ट्रीविड्थ एक [[पूर्णांक]] संख्या है, जो अनौपचारिक रूप से निर्दिष्ट करती है कि आलेख एक ट्री से कितनी दूर है। सबसे छोटी ट्रीविड्थ 1 है; और ट्रीविड्थ 1 वाले आलेख वास्तव में ट्री और फॉरेस्ट्स हैं। अधिकतम 2 ट्रीविड्थ वाले आलेख श्रृंखला-समानांतर आलेख हैं। यथार्थत: {{mvar|k}} ट्रीविड्थ वाले उच्चतम आलेख को k-ट्री कहा जाता है, और अधिकतम {{mvar|k}} पर ट्रीविड्थ वाले आलेख को आंशिक {{math|k}}-ट्री कहा जाता है। कई अन्य अच्छी तरह से अध्ययन किए गए आलेख श्रेणीयों में भी ट्रीविड्थ की सीमा होती है।
-ट्रीविड्थ को औपचारिक रूप से कई समतुल्य माध्यमों से परिभाषित किया जा सकता है: आलेख के [[वृक्ष अपघटन|ट्री अपघटन]] में निर्धारित किए गए सबसे बड़े शीर्ष आकार, आलेख के पृष्ठ रज्जु समापन में सबसे बड़े गुट्ट  के आकार, हेवन के अधिकतम क्रम के संदर्भ में आलेख पर परसूट-उत्सरण के खेल के लिए एक रणनीति का वर्णन, या एक कंटक गुल्म के अधिकतम आदेश के संदर्भ में, जुड़े उप-आलेख का एक संग्रह जो सभी एक दूसरे को स्पर्श करते हैं .
+ट्रीविड्थ को औपचारिक रूप से कई समतुल्य माध्यमों से परिभाषित किया जा सकता है: आलेख के [[वृक्ष अपघटन|ट्री अपघटन]] में निर्धारित किए गए सबसे बड़े शीर्ष आकार, आलेख के पृष्ठ रज्जु समापन में सबसे बड़े गुट्ट के आकार, हेवन के अधिकतम क्रम के संदर्भ में आलेख पर परसूट-उत्सरण के खेल के लिए एक रणनीति का वर्णन, या एक कंटक गुल्म के अधिकतम आदेश के संदर्भ में, जुड़े उप-आलेख का एक संग्रह जो सभी एक दूसरे को स्पर्श करते हैं .
-ट्रीविड्थ का उपयोग सामान्यतः आलेख [[कलन विधि]] के पैरामिट्रीकृत जटिलता विश्लेषण में एक पैरामीटर के रूप में किया जाता है। कई कलन विधि जो सामान्य आलेख के लिए [[ एनपी कठिन ]] हैं, आसान हो जाते हैं जब ट्रीविड्थ एक स्थिरांक से घिरा होता है।
+ट्रीविड्थ का उपयोग सामान्यतः आलेख [[कलन विधि]] के पैरामिट्रीकृत जटिलता विश्लेषण में एक पैरामीटर के रूप में किया जाता है। कई कलन विधि जो सामान्य आलेख के लिए [[ एनपी कठिन |एनपी कठिन]] हैं, आसान हो जाते हैं जब ट्रीविड्थ एक स्थिरांक से घिरा होता है।
 ट्रीविड्थ की अवधारणा मूल रूप से किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? {{harvs|last1 = बर्टेल|first1=अम्बर्टो|last2=ब्रियोस्की|first2=फ्रांसेस्को|year = 1972|और}} आयाम के नाम से। इसे बाद में द्वारा पुनः से खोजा गया था {{harvs|last=हेलिन|first=रुडोल्फ|authorlink=रुडोल्फ हेलिन|year=1976|txt}}, उन गुणों के आधार पर जो इसे एक अलग आलेख पैरामीटर, [[हैडविगर संख्या]] के साथ साझा करता है। बाद में इसे पुनः से द्वारा खोजा गया था {{harvs|first1=नील|last1=रॉबर्टसन|author1-link=नील रॉबर्टसन (गणितज्ञ)|first2=पॉल|last2=सीमोर|author2-link=पॉल सीमोर (गणितज्ञ)|year=1984|और}} और उसके पश्चात कई अन्य लेखकों द्वारा अध्ययन किया गया है।<ref>{{harvtxt|Diestel|2005}} pp.354–355</ref>
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 किसी निश्चित स्थिरांक के लिए {{mvar|k}}, ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का आलेख {{mvar|k}} को आंशिक के-ट्री कहा जाता है | आंशिक {{mvar|k}}-ट्री। बाउंड ट्रीविड्थ वाले आलेख के अन्य श्रेणीों में [[कैक्टस ग्राफ|कैक्टस]] आलेख, [[seudoforest|स्यूडोफॉरेस्ट]], श्रृंखला-समानांतर रेखांकन, बाहरी रेखांकन, [[हालीन ग्राफ|हालीन आलेख]] और [[अपोलोनियन नेटवर्क]] सम्मिलित हैं।<ref name="b98">{{harvtxt|Bodlaender|1998}}.</ref> [[संरचित प्रोग्रामिंग]] के [[संकलक]] में उत्पन्न होने वाले [[नियंत्रण-प्रवाह ग्राफ|नियंत्रण-प्रवाह]] आलेख में ट्रीविड्थ भी होता है, जो कुछ कार्यों जैसे कि रजिस्टर आवंटन को उन पर कुशलता से करने की अनुमति देता है।<ref>{{harvtxt|Thorup|1998}}.</ref>
-समतलीय रेखांकन में परिबद्ध ट्रीविड्थ नहीं होता है, क्योंकि {{math|''n'' × ''n''}} [[ग्रिड ग्राफ|ग्रिड आलेख]] ट्रीविड्थ के साथ एक प्लेनर आलेख है {{mvar|n}}. इसलिए, अगर {{mvar|F}} एक उपसारणिक-बंद आलेख श्रेणी है जिसमें बाउंड ट्रीविड्थ है, इसमें सभी  समतली आलेख सम्मिलित नहीं हो सकते। इसके विपरीत, यदि श्रेणी में आलेख के लिए कुछ  समतली आलेख उपसारणिक के रूप में नहीं हो सकते हैं {{mvar|F}}, तो एक स्थिरांक है {{mvar|k}} जैसे कि सभी रेखांकन {{mvar|F}} में अधिकतम ट्रीविड्थ है {{mvar|k}}. अर्थात्, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ एक दूसरे के समतुल्य हैं:<ref>{{harvtxt|Robertson|Seymour|1986}}.</ref>
+समतलीय रेखांकन में परिबद्ध ट्रीविड्थ नहीं होता है, क्योंकि {{math|''n'' × ''n''}} [[ग्रिड ग्राफ|ग्रिड आलेख]] ट्रीविड्थ के साथ एक प्लेनर आलेख है {{mvar|n}}. इसलिए, अगर {{mvar|F}} एक उपसारणिक-बंद आलेख श्रेणी है जिसमें बाउंड ट्रीविड्थ है, इसमें सभी समतली आलेख सम्मिलित नहीं हो सकते। इसके विपरीत, यदि श्रेणी में आलेख के लिए कुछ समतली आलेख उपसारणिक के रूप में नहीं हो सकते हैं {{mvar|F}}, तो एक स्थिरांक है {{mvar|k}} जैसे कि सभी रेखांकन {{mvar|F}} में अधिकतम ट्रीविड्थ है {{mvar|k}}. अर्थात्, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ एक दूसरे के समतुल्य हैं:<ref>{{harvtxt|Robertson|Seymour|1986}}.</ref>
 #{{mvar|F}} बाउंडेड-ट्रीविड्थ आलेख का उपसारणिक-बंद श्रेणी है;
 # चरित्र चित्रण करने वाले बहुत से वर्जित उपसारणिकों में से एक {{mvar|F}} तलीय है;
-#{{mvar|F}} एक छोटा-बंद आलेख श्रेणी है जिसमें सभी  समतली आलेख सम्मिलित नहीं हैं।
+#{{mvar|F}} एक छोटा-बंद आलेख श्रेणी है जिसमें सभी समतली आलेख सम्मिलित नहीं हैं।
 ===निषिद्ध उपसारणिक===
-[[File:Partial 3-tree forbidden minors.svg|thumb|300px|ट्रीविड्थ 3 के लिए चार प्रतिबंधित उपसारणिक: {{math|''K''{{sub|5}}}} (शीर्ष-बाएँ), अष्टफलक का आलेख (नीचे-बाएँ), वैगनर आलेख (शीर्ष-दाएँ), और पंचकोणीय प्रिज़्म का आलेख (नीचे-दाएँ)]]के प्रत्येक परिमित मूल्य के लिए {{mvar|k}}, ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का आलेख {{mvar|k}} निषिद्ध आलेख लक्षण वर्णन के एक परिमित समुच्चय द्वारा विशेषता हो सकती है। (अर्थात, ट्रीविड्थ का कोई भी आलेख {{math|> ''k''}} में उपसारणिक के रूप में समुच्चय में से एक आलेख सम्मिलित है।) वर्जित उपसारणिकों के इन समुच्चयों में से प्रत्येक में कम से कम एक  समतली आलेख सम्मिलित है।
+[[File:Partial 3-tree forbidden minors.svg|thumb|300px|ट्रीविड्थ 3 के लिए चार प्रतिबंधित उपसारणिक: {{math|''K''{{sub|5}}}} (शीर्ष-बाएँ), अष्टफलक का आलेख (नीचे-बाएँ), वैगनर आलेख (शीर्ष-दाएँ), और पंचकोणीय प्रिज़्म का आलेख (नीचे-दाएँ)]]प्रत्येक परिमित मूल्य के लिए {{mvar|k}}, ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का आलेख {{mvar|k}} निषिद्ध आलेख लक्षण वर्णन के एक परिमित समुच्चय द्वारा विशेषता हो सकती है। (अर्थात, ट्रीविड्थ का कोई भी आलेख {{math|> ''k''}} में उपसारणिक के रूप में समुच्चय में से एक आलेख सम्मिलित है।) वर्जित उपसारणिकों के इन समुच्चयों में से प्रत्येक में कम से कम एक समतली आलेख सम्मिलित है।
 *के लिए {{math|1=''k'' = 1}}, अद्वितीय वर्जित उपसारणिक एक 3-शीर्ष [[चक्र ग्राफ|चक्र आलेख]] है।<ref name="b88">{{harvtxt|Bodlaender|1988}}.</ref>
 *के लिए {{math|1=''k'' = 2}}, अद्वितीय वर्जित उपसारणिक 4-शीर्ष पूर्ण आलेख है {{math|''K''{{sub|4}}}}.<ref name="b88" />*के लिए {{math|1=''k'' = 3}}, चार वर्जित उपसारणिक हैं: {{math|''K''{{sub|5}}}}, [[अष्टफलक]] का आलेख, [[पंचकोणीय प्रिज्म]] [[प्रिज्म ग्राफ|प्रिज्म आलेख]] और [[वैगनर ग्राफ|वैगनर आलेख]]। इनमें से दो [[बहुफलकीय ग्राफ|बहुफलकीय आलेख]] समतलीय हैं।<ref>{{harvtxt|Arnborg|Proskurowski|Corneil|1990}}; {{harvtxt|Satyanarayana|Tung|1990}}.</ref>
-के बड़े मूल्यों के लिए {{mvar|k}}, वर्जित उपसारणिकों की संख्या कम से कम उतनी ही तीव्रतासे बढ़ती है जितनी कि के श्रेणीमूल की चरघातांकी{{mvar|k}}.{{sfnp|Ramachandramurthi|1997}} हालांकि, वर्जित उपसारणिकों के आकार और संख्या पर ज्ञात ऊपरी सीमाएं इस निचली सीमा से बहुत अधिक हैं।{{sfnp|Lagergren|1993}}
+बड़े मूल्यों के लिए {{mvar|k}}, वर्जित उपसारणिकों की संख्या कम से कम उतनी ही तीव्रता से बढ़ती है जितनी कि के श्रेणीमूल की चरघातांकी {{mvar|k}}.{{sfnp|Ramachandramurthi|1997}} हालांकि, वर्जित उपसारणिकों के आकार और संख्या पर ज्ञात ऊपरी सीमाएं इस निचली सीमा से बहुत अधिक हैं।{{sfnp|Lagergren|1993}}
 == कलन विधि ==
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 बड़ी संख्या में फ़ील्ड्स में ट्रीविड्थ की भूमिकाओं के कारण, आलेख के ट्रीविड्थ की गणना करने वाले विभिन्न व्यावहारिक और सैद्धांतिक कलन विधि विकसित किए गए थे। हाथ में आवेदन के आधार पर, इनपुट या ट्रीविड्थ के आकार से चलने वाले समय में बेहतर सन्निकटन अनुपात, या बेहतर निर्भरता पसंद कर सकते हैं।
-नीचे दी गई तालिका कुछ ट्रीविड्थ कलन विधि का अवलोकन प्रदान करती है। यहाँ {{mvar|k}} ट्रीविड्थ है और {{mvar|n}} एक इनपुट आलेख के शीर्षों की संख्या है  {{mvar|G}}.
+नीचे दी गई तालिका कुछ ट्रीविड्थ कलन विधि का अवलोकन प्रदान करती है। यहाँ {{mvar|k}} ट्रीविड्थ है और {{mvar|n}} एक इनपुट आलेख के शीर्षों की संख्या है {{mvar|G}}.
-प्रत्येक कलन विधि समय में आउटपुट करता है {{math|''f''(''k'') ⋅ ''g''(''n'')}} अनुमानित कॉलम में दी गई चौड़ाई का अपघटन। उदाहरण के लिए, का कलन विधि {{harvtxt|बोडलैंडर|1996}} समय के भीतर {{math|''2''{{sup|''O''(''k''{{sup|3}})}}⋅''n''}} या तो इनपुट आलेख के ट्री अपघटन का निर्माण करता है {{mvar|G}} अधिकतम चौड़ाई {{mvar|k}} या रिपोर्ट करता है कि की ट्रीविड्थ {{mvar|G}} से अधिक होता है {{mvar|k}}. इसी तरह, का कलन विधि {{harvtxt|बोडलैंडर एट अल|ड्रैंज|ड्रेगी|फोमिन|2016}}  समय के भीतर {{math|2{{sup|''O''(''k'')}}⋅''n''}} या तो इनपुट आलेख के ट्री अपघटन का निर्माण करता है  {{mvar|G}} अधिकतम चौड़ाई {{math|5''k'' + 4}} या रिपोर्ट करता है कि की ट्रीविड्थ {{mvar|G}} से अधिक होता है {{mvar|k}}. {{harvtxt|Korhonen|2021}} ने इसमें सुधार किया {{math|2''k'' + 1}} एक ही रनिंग टाइम में।
+प्रत्येक कलन विधि समय में आउटपुट करता है {{math|''f''(''k'') ⋅ ''g''(''n'')}} अनुमानित कॉलम में दी गई चौड़ाई का अपघटन। उदाहरण के लिए, का कलन विधि {{harvtxt|बोडलैंडर|1996}} समय के भीतर {{math|''2''{{sup|''O''(''k''{{sup|3}})}}⋅''n''}} या तो इनपुट आलेख के ट्री अपघटन का निर्माण करता है {{mvar|G}} अधिकतम चौड़ाई {{mvar|k}} या रिपोर्ट करता है कि की ट्रीविड्थ {{mvar|G}} से अधिक होता है {{mvar|k}}. इसी तरह, का कलन विधि {{harvtxt|बोडलैंडर एट अल|ड्रैंज|ड्रेगी|फोमिन|2016}} समय के भीतर {{math|2{{sup|''O''(''k'')}}⋅''n''}} या तो इनपुट आलेख के ट्री अपघटन का निर्माण करता है {{mvar|G}} अधिकतम चौड़ाई {{math|5''k'' + 4}} या रिपोर्ट करता है कि की ट्रीविड्थ {{mvar|G}} से अधिक होता है {{mvar|k}}. {{harvtxt|Korhonen|2021}} ने इसमें सुधार किया {{math|2''k'' + 1}} एक ही रनिंग टाइम में।
   {| class="wikitable"
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 के दशक की प्रारंभिक में, यह देखा गया कि आलेख पर परिभाषित संयोजी अनुकूलन समस्याओं की एक बड़ी श्रेणी को गैर सीरियल [[गतिशील प्रोग्रामिंग]] द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है, जब तक कि आलेख में एक परिबद्ध आयाम हो,{{sfnp|Bertelè|Brioschi|1972}} द्वारा ट्रीविड्थ के समतुल्य दिखाया गया पैरामीटर {{harvtxt|Bodlaender|1998}}. बाद में, कई लेखकों ने स्वतंत्र रूप से 1980 के दशक के अंत में अवलोकन किया<ref>{{harvtxt|Arnborg|Proskurowski|1989}}; {{harvtxt|Bern|Lawler|Wong|1987}}; {{harvtxt|Bodlaender|1988}}.</ref> कि कई एल्गोरिथम समस्याएं जो एनपी-पूर्णता हैं | मनमानी आलेख के लिए एनपी-पूर्ण को इन आलेखों के ट्री-अपघटन का उपयोग करके बाध्य ट्रीविड्थ के आलेख के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।
-एक उदाहरण के रूप में, ट्रीविड्थ के आलेख को रंगने वाले आलेख की समस्या {{mvar|k}} आलेख के वृक्ष अपघटन पर एक गतिशील प्रोग्रामिंग कलन विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रत्येक समुच्चय के लिए {{mvar|X{{sub|i}}}} ट्री के अपघटन का, और प्रत्येक विभाजन के शीर्षों के एक समुच्चय का  {{mvar|X{{sub|i}}}} रंग श्रेणीों में, एल्गोरिथ्म निर्धारित करता है कि क्या वह रंग वैध है और ट्री के अपघटन में सभी वंशज नोड्स तक बढ़ाया जा सकता है, उन नोड्स पर गणना की गई और संग्रहीत समान प्रकार की जानकारी को मिलाकर। परिणामी एल्गोरिथ्म एक का एक इष्टतम रंग पाता है {{mvar|n}}-समय में शीर्ष आलेख {{math|''O''(''k''<sup>''k''+''O''(1)</sup>''n'')}}, एक समयबद्धता जो इस समस्या को पैरामिट्रीकृत जटिलता|फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल बनाती है।
+एक उदाहरण के रूप में, ट्रीविड्थ के आलेख को रंगने वाले आलेख की समस्या {{mvar|k}} आलेख के वृक्ष अपघटन पर एक गतिशील प्रोग्रामिंग कलन विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रत्येक समुच्चय के लिए {{mvar|X{{sub|i}}}} ट्री के अपघटन का, और प्रत्येक विभाजन के शीर्षों के एक समुच्चय का {{mvar|X{{sub|i}}}} रंग श्रेणीों में, एल्गोरिथ्म निर्धारित करता है कि क्या वह रंग वैध है और ट्री के अपघटन में सभी वंशज नोड्स तक बढ़ाया जा सकता है, उन नोड्स पर गणना की गई और संग्रहीत समान प्रकार की जानकारी को मिलाकर। परिणामी एल्गोरिथ्म एक का एक इष्टतम रंग पाता है {{mvar|n}}-समय में शीर्ष आलेख {{math|''O''(''k''<sup>''k''+''O''(1)</sup>''n'')}}, एक समयबद्धता जो इस समस्या को पैरामिट्रीकृत जटिलता फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल बनाती है।
 === कौरसेल प्रमेय ===
-{{main|Courcelle's theorem}}
+{{main|कौरसेल की प्रमेय}}
 समस्याओं के एक बड़े श्रेणी के लिए, कक्षा से किसी समस्या को हल करने के लिए एक रैखिक समय एल्गोरिथ्म है यदि एक ट्री-अपघटन निरंतर बाध्य ट्रीविड्थ के साथ प्रदान किया जाता है। विशेष रूप से, कौरसेल की प्रमेय<ref>{{harvtxt|Courcelle|1990}}; {{harvtxt|Courcelle|1992}}</ref> बताता है कि यदि मोनाडिक द्वितीय-क्रम तर्क का उपयोग करते हुए आलेख के तर्क में एक आलेख समस्या व्यक्त की जा सकती है, तो इसे रेखीय समय में बाउंड ट्रीविड्थ के साथ आलेख पर हल किया जा सकता है। [[मोनाडिक दूसरे क्रम का तर्क]] लॉजिक आलेख गुणों का वर्णन करने वाली एक भाषा है जो निम्नलिखित निर्माणों का उपयोग करती है:
 * तर्क संचालन, जैसे <math> \wedge ,\vee ,\neg ,\Rightarrow </math>
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 * निकटता परीक्षण ({{mvar|u}} का समापन बिंदु है {{mvar|e}}), और कुछ एक्सटेंशन जो ऑप्टिमाइज़ेशन जैसी चीज़ों की अनुमति देते हैं।
-उदाहरण के लिए आलेख कलरिंग | आलेख के लिए 3-कलरिंग समस्या पर विचार करें। एक आलेख के लिए {{math|1=''G'' = (''V'', ''E'')}}, यह समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक शीर्ष निर्दिष्ट करना संभव है {{math|''v'' ∈ ''V''}}3 रंगों में से एक ऐसा है कि कोई भी दो आसन्न शीर्षों को समान रंग नहीं दिया गया है।
+उदाहरण के लिए आलेख कलरिंग आलेख के लिए 3-कलरिंग समस्या पर विचार करें। एक आलेख के लिए {{math|1=''G'' = (''V'', ''E'')}}, यह समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक शीर्ष निर्दिष्ट करना संभव है {{math|''v'' ∈ ''V''}}3 रंगों में से एक ऐसा है कि कोई भी दो आसन्न शीर्षों को समान रंग नहीं दिया गया है।
 इस समस्या को मोनाडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 :<math> \exists W_1 \subseteq V : \exists W_2 \subseteq V : \exists W_3 \subseteq V : \forall v \in V : (v \in W_1 \vee v \in W_2 \vee v \in W_3) \wedge </math>
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 ===[[ पथचौड़ाई ]]===
-एक आलेख की पाथविड्थ ट्री डीकंपोज़िशन के माध्यम से ट्रीविड्थ की एक बहुत ही समान परिभाषा है, लेकिन यह ट्री डीकंपोज़िशन तक ही सीमित है जिसमें अपघटन का अंतर्निहित ट्री एक [[पथ ग्राफ|पथ आलेख]] है। वैकल्पिक रूप से, पाथविड्थ को कॉर्डल आलेख से ट्रीविड्थ की परिभाषा के अनुरूप [[अंतराल ग्राफ|अंतराल]] आलेख से परिभाषित किया जा सकता है। नतीजतन, एक आलेख की पाथविड्थ हमेशा कम से कम उतनी ही बड़ी होती है, जितनी इसकी ट्रीविड्थ होती है, लेकिन यह केवल एक लघुगणक कारक द्वारा बड़ी हो सकती है।<ref name="b98"/>एक अन्य पैरामीटर, [[ग्राफ बैंडविड्थ|आलेख बैंडविड्थ]], की [[उचित अंतराल ग्राफ|उचित अंतराल]] आलेख से समान परिभाषा है, और कम से कम पाथविड्थ जितना बड़ा है। अन्य संबंधित मापदंडों में [[ पेड़ की गहराई | ट्री की गहराई]] सम्मिलित है, एक संख्या जो एक छोटे-बंद आलेख श्रेणी के लिए बाध्य है यदि और केवल अगर श्रेणी एक पथ को छोड़ देता है, और डीजेनेरेसी (आलेख सिद्धांत), एक आलेख की विरलता का एक उपाय जो पर है इसकी ट्रीविड्थ के सबसे बराबर।
+एक आलेख की पाथविड्थ ट्री डीकंपोज़िशन के माध्यम से ट्रीविड्थ की एक बहुत ही समान परिभाषा है, लेकिन यह ट्री डीकंपोज़िशन तक ही सीमित है जिसमें अपघटन का अंतर्निहित ट्री एक [[पथ ग्राफ|पथ आलेख]] है। वैकल्पिक रूप से, पाथविड्थ को कॉर्डल आलेख से ट्रीविड्थ की परिभाषा के अनुरूप [[अंतराल ग्राफ|अंतराल]] आलेख से परिभाषित किया जा सकता है। नतीजतन, एक आलेख की पाथविड्थ हमेशा कम से कम उतनी ही बड़ी होती है, जितनी इसकी ट्रीविड्थ होती है, लेकिन यह केवल एक लघुगणक कारक द्वारा बड़ी हो सकती है।<ref name="b98"/>एक अन्य पैरामीटर, [[ग्राफ बैंडविड्थ|आलेख बैंडविड्थ]], की [[उचित अंतराल ग्राफ|उचित अंतराल]] आलेख से समान परिभाषा है, और कम से कम पाथविड्थ जितना बड़ा है। अन्य संबंधित मापदंडों में [[ पेड़ की गहराई |ट्री की गहराई]] सम्मिलित है, एक संख्या जो एक छोटे-बंद आलेख श्रेणी के लिए बाध्य है यदि और केवल अगर श्रेणी एक पथ को छोड़ देता है, और डीजेनेरेसी (आलेख सिद्धांत), एक आलेख की विरलता का एक उपाय जो पर है इसकी ट्रीविड्थ के सबसे बराबर।
 ===ग्रिड लघु आकार===
-क्योंकि एक की ट्रीविड्थ {{math|''n'' × ''n''}} ग्रिड आलेख है {{mvar|n}}, आलेख की ट्रीविड्थ {{mvar|G}} हमेशा छोटे आकार के सबसे बड़े श्रेणी ग्रिड आलेख के आकार से बड़ा या उसके बराबर होता है {{mvar|G}}. दूसरी दिशा में, [[नील रॉबर्टसन (गणितज्ञ)]] और पॉल सीमोर (गणितज्ञ) द्वारा ग्रिड उपसारणिक प्रमेय से पता चलता है कि एक असीम कार्य मौजूद है {{mvar|f}} जैसे कि सबसे बड़े श्रेणी ग्रिड उपसारणिक का आकार कम से कम हो  {{math|''f''(''r'')}} कहाँ {{mvar|r}} ट्रीविड्थ है।<ref>Robertson, Seymour. ''Graph minors. V. Excluding a planar graph''. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0095895686900304] {{Open access}}</ref> सबसे अच्छी सीमा पर जाना जाता है {{mvar|f}} वो है {{mvar|f}} कम से कम होना चाहिए {{math|Ω(''r''<sup>''d''</sup>)}} कुछ निश्चित स्थिरांक के लिए {{math|''d'' > 0}}, और अधिक से अधिक<ref>{{harvtxt|Chekuri|Chuzhoy|2016}}</ref>
+क्योंकि एक की ट्रीविड्थ {{math|''n'' × ''n''}} ग्रिड आलेख है {{mvar|n}}, आलेख की ट्रीविड्थ {{mvar|G}} हमेशा छोटे आकार के सबसे बड़े श्रेणी ग्रिड आलेख के आकार से बड़ा या उसके बराबर होता है {{mvar|G}}. दूसरी दिशा में, [[नील रॉबर्टसन (गणितज्ञ)]] और पॉल सीमोर (गणितज्ञ) द्वारा ग्रिड उपसारणिक प्रमेय से पता चलता है कि एक असीम कार्य मौजूद है {{mvar|f}} जैसे कि सबसे बड़े श्रेणी ग्रिड उपसारणिक का आकार कम से कम हो {{math|''f''(''r'')}} कहाँ {{mvar|r}} ट्रीविड्थ है।<ref>Robertson, Seymour. ''Graph minors. V. Excluding a planar graph''. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0095895686900304] {{Open access}}</ref> सबसे अच्छी सीमा पर जाना जाता है {{mvar|f}} वो है {{mvar|f}} कम से कम होना चाहिए {{math|Ω(''r''<sup>''d''</sup>)}} कुछ निश्चित स्थिरांक के लिए {{math|''d'' > 0}}, और अधिक से अधिक<ref>{{harvtxt|Chekuri|Chuzhoy|2016}}</ref>
 :<math>O \left( \sqrt{ r / \log r} \right).</math>
 के लिए {{math|Ω}} निचले बाउंड में प्रतीकांकन, [[बिग ओ नोटेशन|बिग ओ प्रतीकांकन]] देखें। प्रतिबंधित आलेख श्रेणीों के लिए सख्त सीमाएँ जानी जाती हैं, जिससे द्विविमता के सिद्धांत के माध्यम से उन श्रेणीों पर कई आलेख अनुकूलन समस्याओं के लिए कुशल कलन विधि की ओर अग्रसर होता है।{{sfnp|Demaine|Hajiaghayi|2008}}
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 === हैडविगर संख्या और एस-फ़ंक्शंस ===
-{{harvtxt|Halin|1976}} आलेख पैरामीटर के एक श्रेणी को परिभाषित करता है जिसे वह कॉल करता है {{mvar|S}}-फंक्शंस, जिसमें ट्रीविड्थ सम्मिलित है। उपसारणिक-मोनोटोन (एक फ़ंक्शन {{mvar|f}} को उपसारणिक-मोनोटोन के रूप में संदर्भित किया जाता है यदि, जब भी {{mvar|H}} का उपसारणिक है {{mvar|G}}, किसी के पास {{math|''f''(''H'') ≤ ''f''(''G'')}}), जब एक नया शीर्ष जोड़ा जाता है जो कि [[ सार्वभौमिक शिखर ]] है, और एक क्लिक (आलेख थ्योरी) [[ वर्टेक्स विभाजक | शीर्ष विभाजक]] के दोनों ओर दो उप-आलेख से बड़ा मान लेने के लिए। इस तरह के सभी कार्यों का समुच्चय तत्ववार न्यूनीकरण और अधिकतमकरण के संचालन के तहत एक [[पूर्ण जाली]] बनाता है। इस जाली में शीर्ष तत्व ट्रीविड्थ है, और नीचे का तत्व हैडविगर संख्या है, जो दिए गए आलेख में सबसे बड़े पूर्ण आलेख आलेख का आकार है।
+{{harvtxt|Halin|1976}} आलेख पैरामीटर के एक श्रेणी को परिभाषित करता है जिसे वह कॉल करता है {{mvar|S}}-फंक्शंस, जिसमें ट्रीविड्थ सम्मिलित है। उपसारणिक-मोनोटोन (एक फ़ंक्शन {{mvar|f}} को उपसारणिक-मोनोटोन के रूप में संदर्भित किया जाता है यदि, जब भी {{mvar|H}} का उपसारणिक है {{mvar|G}}, किसी के पास {{math|''f''(''H'') ≤ ''f''(''G'')}}), जब एक नया शीर्ष जोड़ा जाता है जो कि [[ सार्वभौमिक शिखर |सार्वभौमिक शिखर]] है, और एक क्लिक (आलेख थ्योरी) [[ वर्टेक्स विभाजक |शीर्ष विभाजक]] के दोनों ओर दो उप-आलेख से बड़ा मान लेने के लिए। इस तरह के सभी कार्यों का समुच्चय तत्ववार न्यूनीकरण और अधिकतमकरण के संचालन के तहत एक [[पूर्ण जाली]] बनाता है। इस जाली में शीर्ष तत्व ट्रीविड्थ है, और नीचे का तत्व हैडविगर संख्या है, जो दिए गए आलेख में सबसे बड़े पूर्ण आलेख आलेख का आकार है।
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