इकाई वेक्टर

Not to be confused with Vector of ones.

गणित में, एक आदर्श वेक्टर स्थान में एक इकाई वेक्टर एक वेक्टर_ (गणित_and_physics) (अधिकांशतः एक वेक्टर (ज्यामिति)) है।में ${\hat {\mathbf {v} }}$ (उच्चारण वी-एचएटी)।

शब्द दिशा वेक्टर , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, का उपयोग एक इकाई वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा रहा है।2 डी स्थानिक दिशाएँ एकक व्रत पर अंक के बराबर हैं और 3 डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के बराबर हैं।

File:2D Direction Vectors.svg

दो 2 डी दिशा वैक्टर के उदाहरण

फ़ाइल: 3 डी दिशा वैक्टर.टिफ | अंगूठा

एक गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में यूनिट वेक्टर है, अर्थात्, अर्थात ,

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है। सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी -कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

यूनिट वैक्टर को अधिकांशतः वेक्टर स्पेस के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक वेक्टर को यूनिट वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: Standard basis

Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य वेक्टर संकेतन (जैसे, i या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं ${\vec {\imath }}$) मानक इकाई वेक्टर संकेतन के अतिरिक्त (जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोटिस $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$, $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$, $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, के साथ या उसके बिना#गणित, का भी उपयोग किया जाता है,विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम उत्पन्न कर सकता है (उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।

जब अंतरिक्ष में एक यूनिट वेक्टर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार वेक्टर के साथ यूनिट वेक्टर द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (वेक्टर (ज्यामिति) के खंड) के अभिविन्यास (गणित) (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: Jacobian matrix

The three orthogonal unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करना जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु समरूपता अक्ष के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
• $\mathbf {\hat {z}}$, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करना;

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ द्वारा:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

वैक्टर ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य हैं $\varphi ,$ और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव $\varphi$ हैं:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .$

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई वैक्टर हैं: $\mathbf {\hat {r}}$, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई विमान वामावर्त में कोण बढ़ रहा है;और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, वह दिशा जिसमें सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण $\theta$ सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि गोलाकार निर्देशांक में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, की भूमिकाओं के रूप में ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ अधिकांशतः उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:

$\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

गोलाकार इकाई वैक्टर दोनों पर निर्भर करते हैं $\varphi$ और $\theta$, और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

सामान्य इकाई वैक्टर

Main article: Orthogonal coordinates

Common themes of unit vectORS पूरे भौतिकी और ज्यामिति में होता है:

Unit vector	Nomenclature	Diagram
Tangent vector to a curve/flux line	$\mathbf {\hat {t}}$	"200px" A normal vector $\mathbf {\hat {n}}$ to the plane containing and defined by the radial position vector $r\mathbf {\hat {r}}$ and angular tangential direction of rotation $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Binormal vector to tangent and normal	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$
Parallel to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	"200px" One unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ is in any radial direction relative to the principal line.
Perpendicular to some axis/line in some radial direction	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Possible angular deviation relative to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	Unit vector at acute deviation angle φ (including 0 or π/2 rad) relative to a principal direction.

वक्रता निर्देशांक

सामान्यतः , एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है $\mathbf {\hat {e}} _{n}$(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टर को निरूपित किया जा सकता है $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$।यह लगभग हमेशा सुविधाजनक होता है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और दाहिने हाथ का नियम होना चाहिए। दाएं हाथ:

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}$

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}$

कहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है (जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और $\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक है (जो कि IJK के रूप में आदेशित क्रम के लिए 1 है, और kji के रूप में आदेशित क्रमपरिवर्तन के लिए −1)।

राइट वर्सोर

में एक इकाई वेक्टर $\mathbb {R} ^{3}$ डब्ल्यू। आर। हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों को विकसित किया था $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$।वास्तव में, वह वेक्टर शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में $q=s+v$ एक स्केलर भाग s और एक वेक्टर भाग v है। यदि V एक यूनिट वेक्टर है $\mathbb {R} ^{3}$, फिर v का वर्ग चतुर्भुज में -1 है।इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ 3-स्पेयर में एक पाठ्यक्रम में होना है।जब ang एक समकोण है, तो वर्सोर एक सही संस्करण है: इसका स्केलर भाग शून्य है और इसका वेक्टर भाग V एक इकाई वेक्टर है $\mathbb {R} ^{3}$।

यह भी देखें

• [[Cartesianनिर्देशांक विधि
• निर्देशांक विधि
• Curvilinear निर्देशांक
• चार-वेग
• जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
• सामान्य वेक्टर
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
• मानक आधार
• इकाई अंतराल
• यूनिट एकक वर्ग, एकक क्यूब , यूनिट सर्कल, यूनिट स्फीयर और एकक हाइपरबोला
• वेक्टर संकेतन
• लोगों का वेक्टर
• एकक मैट्रिक्स

संदर्भ

• G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.