समूह वलय: Difference between revisions

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जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।
जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।


=== एक समूह बीजगणित का केंद्र ===
=== एक समूह वलय बीजगणित का केंद्र ===
समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।  
समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।  
:<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math>
:<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math>
केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर है अर्थात उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।  
केंद्र के वर्ग में कार्यों के समुच्चय बराबर हैं अर्थात् उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।  
:<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g :  \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math>
:<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g :  \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math>
यदि के बराबर सी जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड के जी का एक असामान्य आधार है।
यदि सिग्मा समूह वलय के बराबर है तो सी , जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड , जी का एक असामान्य आधार है।
:<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math>
:<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math>






समूह एक अनंत समूह पर बनता है जो उस जगहों में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> तथा आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है जहाँ सबसे अच्छा अध्ययन किया गया है। इन जगहों में, [[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।
समूह वलय एक अनंत समूह पर बनता है जो उस स्थित में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> जहाँ आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है तथा जिसका सबसे अच्छा अध्ययन किया जाता हो इन जगहों में[[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।


कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।
कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।
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जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।  
जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।  


* अनोखा उत्पाद समूह।
* अनन्य उत्पाद समूह।
* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])।
* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])।
* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं।  
* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की तरह एक, दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह से जुड़े होते हैं।


स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।  
स्थानीय समूह से कॉम्पैक्ट समूह वलय के लेख में समूह वलय बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।  


== श्रेणी सिद्धांत ==
== श्रेणी सिद्धांत ==

Revision as of 07:53, 1 March 2023

बीजगणित में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर होता है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि में वलय पर स्थित होता है और इसके आधार पर दिए गए समूह के तत्वों का सेट भी स्थित होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर तत्व है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। औपचारिकता का वह रूप जो समूह में वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को एकत्र कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि यहां वलय क्रमविनिमेय हो तो इसे वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना कुछ तत्वों पर आधारित होती है जो बीजगणित (हॉफ बीजगणित) की एक संरचना होती है जिसे समूह हॉफ बीजगणित कहते हैं।

समूह के छल्ले का प्रयोग समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में किया जाता है।

परिभाषा

जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं और वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।

जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप मेंते हैं।

[1] यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

उदाहरण

1. माना जी समूह वलय एक क्रमांक तथा चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व सी तथा जी तत्व को आर के रूप में लिखते हैं।

जहां कठिन संख्यायें जेड1 और जेड2 हैं। तो यह चर में बहुपद समूह वलय के समान है ऐसा इसलिए है कि जो जी समूह वलय सी के लिए समरूपी है।

तत्व एस के रूप में उनका योग

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-

तत्व जी का गुणांक समूह वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 हैं जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। जिसका योज्य पहचान तत्व शून्य होता है।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह वलय में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें गिनना नहीं चाहिए।

2.उदाहरण एक वलय आर लॉरेंट बहुपद का है ये आर पर अनंत चक्रीय समूह जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।

3. क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -