समूह वलय: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
Line 82: Line 82:
जैसा कि हम जानते हैं कि  <math> h \in H </math>  इसलिए <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math>  तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।   
जैसा कि हम जानते हैं कि  <math> h \in H </math>  इसलिए <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math>  तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।   
:<math> aK[G]b=K[G]ab=0 </math>.
:<math> aK[G]b=K[G]ab=0 </math>.
यदि<math> a,b </math> शून्य नहीं है तो जी प्रधान नहीं है। यह मूल कथन को दर्शाता है।
यदि <math> a,b </math> शून्य नहीं है तो जी प्रधान नहीं है। यह मूल कथन को दर्शाता है।


एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित में 'जी' क्षेत्र में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि के रूप में जो क्षेत्र 'के' के ऊपर जी पर मुक्त सदिश राशि है।  
एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित में 'जी' क्षेत्र में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि के रूप में जो क्षेत्र 'के' के ऊपर जी पर मुक्त सदिश राशि है।  
Line 110: Line 110:


:<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math>
:<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math>
समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक मॉड्यूल (गणित) है | बाएं के,जी मॉड्यूल एबेलियन समूह वी पर स्थित है
समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक मॉड्यूल (गणित) है, बाएं के, जी मॉड्यूल एबेलियन समूह वी पर स्थित है


तदनुसार
तदनुसार
Line 121: Line 121:


=== नियमित प्रतिनिधित्व ===
=== नियमित प्रतिनिधित्व ===
{{Main|Regular representation}}
{{Main|नियमित प्रतिनिधित्व}}
समूह बीजगणित आर और आर,जी मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] करता है।
समूह बीजगणित आर और आर,जी मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] करता है।


Line 130: Line 130:


=== अर्ध-सरल अपघटन ===
=== अर्ध-सरल अपघटन ===
सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।
सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को सामान्यतः जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।


समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम मास्चके प्रमेय, हमें 'सी', जी को 'सी' में अनुरेखण के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यवेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप है। <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है
समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम मास्चके प्रमेय, हमें 'सी', जी को 'सी' में अनुरेखण के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यवेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप है। <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है

Revision as of 15:32, 21 February 2023

बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय होता है और इसके आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। औपचारिक रूप से एक समूह जो वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है वलय की संरचना बीजगणित पर आधारित होती है बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।

समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में बहुत रूप से उपयोगी है।

परिभाषा

जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जा सकता है। आर समूह तथा जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी तथाआर का (गणित) सामान्यीकरण होता है जहाँ (जी) बहुत से तत्वों को लिए शून्य लिखा जाता है जहां आर स्केेैलर तथा एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित किया जाता है एक्स एल्फा, एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है . योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

यहाँ एफ और जी परिमित हैं और वलय को आसानी से सत्यापित करता सकता है।

जो इस प्रकार है जैसे एफ:जी -आर कभी कभी जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिख सकते हैं।

या

[1] यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

उदाहरण

1. माना जी एक क्रमांक तीन का चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व एक सी, जी तत्व को आर के रूप में लिखा जा सकता है ।

जहां कठिन संख्यायें जेड0 साथ1 और जेड2 सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि जो जी वलय सी के लिए समरूपी है। []/

तत्व एस के रूप में उनका योग

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-