समूह वलय: Difference between revisions
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[[बीजगणित]] में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है और वलय किसी [[समूह (गणित)]] से प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि की रिंग दी गई है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह की रिंग को समूह के प्रत्येक तत्व को किसी दी गई रिंग के भार को जोड़कर दिए गए समूह का एक सामान्यीकरण है। | |||
[[बीजगणित]] में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है और वलय किसी [[समूह (गणित)]] से प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि की | |||
यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को समूह बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है। एक समूह बीजगणित में [[हॉफ बीजगणित]] की एक और संरचना होती है इसे एक [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहा जाता है। | यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को समूह बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है। एक समूह बीजगणित में [[हॉफ बीजगणित]] की एक और संरचना होती है इसे एक [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहा जाता है। | ||
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करेंगे जो कार्य करने का सेट है एफ जी आर का (गणित) सामान्यीकरण (जी) बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। <math>x \mapsto \alpha \cdot f(x)</math> और दो कार्यरत एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>. योगात्मक समूह आर व जी को एक | जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करेंगे जो कार्य करने का सेट है एफ जी आर का (गणित) सामान्यीकरण (जी) बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। <math>x \mapsto \alpha \cdot f(x)</math> और दो कार्यरत एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>. योगात्मक समूह आर व जी को एक रिंग में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं। | ||
:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math> | :<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math> | ||
जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है। | जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है। | ||
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:<math>r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,</math> | :<math>r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,</math> | ||
जहां जटिल संख्यायें जेड<sub>0</sub> साथ<sub>1</sub> और जेड<sub>2</sub> सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो सी ,''जी'' | जहां जटिल संख्यायें जेड<sub>0</sub> साथ<sub>1</sub> और जेड<sub>2</sub> सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो सी ,''जी'' रिंग सी के लिए समरूपी है। [<math>a</math>]/<math>(a^3-1)</math> | ||
तत्व एस के रूप में उनका योग<math>s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2</math> | तत्व एस के रूप में उनका योग<math>s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2</math> | ||
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:<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math> | :<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math> | ||
तत्व 1जी के गुणांक | तत्व 1जी के गुणांक रिंग (इसमें सी) सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य हैं। | ||
जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है, तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए। | जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है, तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए। | ||
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&= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot k | &= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot k | ||
\end{align}.</math> | \end{align}.</math> | ||
माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय में अतिरिक्त संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह की | माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय में अतिरिक्त संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह की रिंग आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर क्यू स्थान वास्तविक सदिश स्थान आयाम 8 के रूप में रखा जाता है जबकि चतुष्कोणों के तिरछा क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम 4 है। | ||
4. गैर-अबेलियन समूह वलय का एक और उदाहरण जेड एस 3 जहाँ जेड3 अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास <math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> ट्रांसपोज़िशन-एक क्रम है जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित | 4. गैर-अबेलियन समूह वलय का एक और उदाहरण जेड एस 3 जहाँ जेड3 अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास <math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> ट्रांसपोज़िशन-एक क्रम है जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित रिंग एक अभिन्न डोमेन होने पर भी समूह रिंग को एक अभिन्न डोमेन नहीं होना चाहिए। | ||
== कुछ बुनियादी गुण == | == कुछ बुनियादी गुण == | ||
वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए 1 का उपयोग करना और समूह इकाई को 1 जी द्वारा निरूपित करना | वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए 1 का उपयोग करना और समूह इकाई को 1 जी द्वारा निरूपित करना रिंग आर जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और इसके उल्टे तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है । जो 1 के संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए 1जी जो सदिश एफ द्वारा परिभाषित है। | ||
:<math>f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases} | :<math>f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases} | ||
1 & g = 1_G \\ | 1 & g = 1_G \\ | ||
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:<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math> | :<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math> | ||
समूह बीजगणित से वी के [[एंडोमोर्फिज्म]] के बीजगणित तक बीजगणित होमोमोर्फिज्म है, जो डी × डी मैट्रिक्स की | समूह बीजगणित से वी के [[एंडोमोर्फिज्म]] के बीजगणित तक बीजगणित होमोमोर्फिज्म है, जो डी × डी मैट्रिक्स की रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> समतुल्य है, यह एक मॉड्यूल (गणित) है | बाएं के [जी] मॉड्यूल एबेलियन समूह वी पर स्थित है | ||
तदनुसार | तदनुसार | ||
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अधिक सामान्य क्षेत्र 'के' के लिए जब भी के की [[विशेषता (बीजगणित)]] समूह जी के क्रम को विभाजित नहीं करती है तब के (जी) अर्धसरल होता है। जब जी एक परिमित एबेलियन समूह होता है, तो समूह वलय के (जी) क्रमविनिमेय होता है, और इसकी संरचना को [[एकता की जड़]] के रूप में व्यक्त करना आसान होता है। | अधिक सामान्य क्षेत्र 'के' के लिए जब भी के की [[विशेषता (बीजगणित)]] समूह जी के क्रम को विभाजित नहीं करती है तब के (जी) अर्धसरल होता है। जब जी एक परिमित एबेलियन समूह होता है, तो समूह वलय के (जी) क्रमविनिमेय होता है, और इसकी संरचना को [[एकता की जड़]] के रूप में व्यक्त करना आसान होता है। | ||
जब के विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है, तो समूह की | जब के विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है, तो समूह की रिंग अर्ध-सरल नहीं होती है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है, और यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है। | ||
=== एक समूह बीजगणित का केंद्र === | === एक समूह बीजगणित का केंद्र === | ||
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दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को कम्यूट करती है: | दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को कम्यूट करती है: | ||
:[[Image:Group ring UMP.svg|200px]]इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली कोई अन्य वलय समूह की | :[[Image:Group ring UMP.svg|200px]]इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली कोई अन्य वलय समूह की रिंग के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची है। | ||
=== आशा बीजगणित === | === आशा बीजगणित === | ||
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=== सामान्यीकरण === | === सामान्यीकरण === | ||
समूह बीजगणित [[मोनॉइड रिंग|मोनोलोड | समूह बीजगणित [[मोनॉइड रिंग|मोनोलोड रिंग]] के लिए सामान्यीकरण करता है जो [[श्रेणी बीजगणित]] [[घटना बीजगणित]] घटना बीजगणित का उदाहरण है। | ||
== छानने का कार्य == | == छानने का कार्य == | ||
यदि किसी समूह का कार्य है तो उदाहरण के लिए यदि जेनरेटर का विकल्प है और कोई मेैट्रिक शब्द लेता है जैसा [[कॉक्सेटर समूह]] में होता है तो समूह की रिंग एक जोड़ [[फ़िल्टर्ड बीजगणित|बीजगणित]] बन जाती है। | |||
यदि किसी समूह का कार्य है तो उदाहरण के लिए यदि जेनरेटर का विकल्प है और कोई मेैट्रिक शब्द लेता है जैसा [[कॉक्सेटर समूह]] में होता है तो समूह की | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* स्थानीय रूप से सम्पर्क समूह का समूह बीजगणित | * स्थानीय रूप से सम्पर्क समूह का समूह बीजगणित | ||
* मोनोलोड | * मोनोलोड रिंग | ||
* कपलान्सकी के अनुमान | * कपलान्सकी के अनुमान | ||
Revision as of 12:41, 17 February 2023
बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है और वलय किसी समूह (गणित) से प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि की रिंग दी गई है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह की रिंग को समूह के प्रत्येक तत्व को किसी दी गई रिंग के भार को जोड़कर दिए गए समूह का एक सामान्यीकरण है।
यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को समूह बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है। एक समूह बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक और संरचना होती है इसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।
समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।
परिभाषा
जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करेंगे जो कार्य करने का सेट है एफ जी आर का (गणित) सामान्यीकरण (जी) बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। और दो कार्यरत एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है . योगात्मक समूह आर व जी को एक रिंग में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।
संकेतन और शब्दावली के कुछ बदलाव कार्य के रूप में इस प्रकार हैं जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों में आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।
या
जहां यह भ्रम उत्पन्न नहीं [1] होता कि यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान है।
उदाहरण
1. माना जी बराबर सी क्यूब क्रमांक 3 का चक्रीय समूह, विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को एक तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है
जहां जटिल संख्यायें जेड0 साथ1 और जेड2 सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि जो सी ,जी रिंग सी के लिए समरूपी है। []/
तत्व एस के रूप में उनका योग