समूह वलय: Difference between revisions
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[[बीजगणित]] में | [[बीजगणित]] में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है और वलय किसी [[समूह (गणित)]] से प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि की अंगूठी दी गई है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह की अंगूठी को समूह के प्रत्येक तत्व को किसी दी गई अंगूठी के भार को जोड़कर दिए गए समूह का एक सामान्यीकरण है। | ||
यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को समूह बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है। एक समूह बीजगणित में [[हॉफ बीजगणित]] की एक और संरचना होती है | यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को समूह बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है। एक समूह बीजगणित में [[हॉफ बीजगणित]] की एक और संरचना होती है इसे एक [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहा जाता है। | ||
समूह के छल्ले का उपकरण [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है। | समूह के छल्ले का उपकरण [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी ( | जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करेंगे जो कार्य करने का सेट है एफ जी आर का (गणित) सामान्यीकरण (जी) बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। <math>x \mapsto \alpha \cdot f(x)</math> और दो कार्यरत एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>. योगात्मक समूह आर व जी को एक अंगूठी में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं। | ||
:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math> | :<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math> | ||
जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित | जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है। | ||
संकेतन और शब्दावली के कुछ बदलाव कार्य के रूप में इस प्रकार हैं जैसे {{nowrap|''f'' : ''G'' → ''R''}} कभी-कभी जी के तत्वों में आर के गुणांक | संकेतन और शब्दावली के कुछ बदलाव कार्य के रूप में इस प्रकार हैं जैसे {{nowrap|''f'' : ''G'' → ''R''}} कभी-कभी जी के तत्वों में आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है। | ||
:<math>\sum_{g\in G}f(g) g,</math> | :<math>\sum_{g\in G}f(g) g,</math> | ||
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जहां यह भ्रम उत्पन्न नहीं <ref name="Polcino">Polcino & Sehgal (2002), p. 131.</ref> होता कि यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय | जहां यह भ्रम उत्पन्न नहीं <ref name="Polcino">Polcino & Sehgal (2002), p. 131.</ref> होता कि यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान है। | ||
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:<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math> | :<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math> | ||
तत्व 1जी के गुणांक अंगूठी (इसमें सी) सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य | तत्व 1जी के गुणांक अंगूठी (इसमें सी) सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य हैं। | ||
जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है, तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए। | जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है, तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए। | ||
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परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं। | परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं। | ||
यदि आर और जी दोनों हैं (अर्थात् आर क्रमविनिमेय है और जी एक पंक्ति समूह है) | यदि आर और जी दोनों हैं (अर्थात् आर क्रमविनिमेय है और जी एक पंक्ति समूह है) तो आर (जी) क्रमविनिमेय है। | ||
यदि एच जी का एक [[उपसमूह]] है तो आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह है। इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है। | यदि एच जी का एक [[उपसमूह]] है तो आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह है। इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है। | ||
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समूह बीजगणित अपने आप में एक बीजगणित है आर और आर [जी] मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] है। | समूह बीजगणित अपने आप में एक बीजगणित है आर और आर [जी] मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] है। | ||
एक प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा यह प्रतिनिधित्व जी है | एक प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा यह प्रतिनिधित्व जी है (1) दी गई क्रिया के साथ <math>\rho(g)\cdot e_h = e_{gh}</math>, या | ||
:<math>\rho(g)\cdot r = \sum_{h\in G} k_h \rho(g)\cdot e_h = \sum_{h\in G} k_h e_{gh}. </math> | :<math>\rho(g)\cdot r = \sum_{h\in G} k_h \rho(g)\cdot e_h = \sum_{h\in G} k_h e_{gh}. </math> | ||
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सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। क्षेत्र के को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक आर के रूप में लिया जाता है ताकि कोई समूह बीजगणित सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके। | सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। क्षेत्र के को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक आर के रूप में लिया जाता है ताकि कोई समूह बीजगणित सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके। | ||
समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम, मास्चके प्रमेय, हमें 'सी' [जी] को 'सी' में प्रविष्टियों के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। वास्तव में, यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यावेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप हैं <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और इसलिए बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> | समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम, मास्चके प्रमेय, हमें 'सी' [जी] को 'सी' में प्रविष्टियों के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। वास्तव में, यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यावेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप हैं <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और इसलिए बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है | ||
:<math>\tilde\rho : \mathbb{C}[G] \to \bigoplus_{k=1}^m \mathrm{End}(V_k) | :<math>\tilde\rho : \mathbb{C}[G] \to \bigoplus_{k=1}^m \mathrm{End}(V_k) | ||
\cong \bigoplus_{k=1}^m M_{d_k}(\mathbb{C}), </math> | \cong \bigoplus_{k=1}^m M_{d_k}(\mathbb{C}), </math> | ||
जहां वी का आयाम के है सी (जी) का एल्जेब्रा ईएनडी वी के विचार ( | जहां वी का आयाम के है सी (जी) का एल्जेब्रा ईएनडी वी के विचार (वलय परिभाषित ) है | वलय द्वारा परिभाषित | ||
:<math>\epsilon_k = \frac{d_k}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_k(g^{-1})\,g, </math> | :<math>\epsilon_k = \frac{d_k}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_k(g^{-1})\,g, </math> | ||
जहाँ <math>\chi_k(g)=\mathrm{tr}\,\rho_k(g) </math> वी का [[चरित्र सिद्धांत]] है के ये ट्रोगोनल इडेम्पोटेंट्स की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं, जिससे <math>\epsilon_k^2 =\epsilon_k </math>, <math>\epsilon_j \epsilon_k = 0 </math> <math>1 = \epsilon_1+\cdots+\epsilon_m </math>. समरूपता <math>\tilde\rho</math> परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण से निकटता से संबंधित है। | जहाँ <math>\chi_k(g)=\mathrm{tr}\,\rho_k(g) </math> वी का [[चरित्र सिद्धांत]] है के ये ट्रोगोनल इडेम्पोटेंट्स की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं, जिससे <math>\epsilon_k^2 =\epsilon_k </math>, <math>\epsilon_j \epsilon_k = 0 </math> <math>1 = \epsilon_1+\cdots+\epsilon_m </math>. समरूपता <math>\tilde\rho</math> परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण से निकटता से संबंधित है। | ||
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दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को कम्यूट करती है: | दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को कम्यूट करती है: | ||
:[[Image:Group ring UMP.svg|200px]]इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली कोई अन्य | :[[Image:Group ring UMP.svg|200px]]इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली कोई अन्य वलय समूह की अंगूठी के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची है। | ||
=== आशा बीजगणित === | === आशा बीजगणित === | ||
Revision as of 10:49, 17 February 2023
बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है और वलय किसी समूह (गणित) से प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि की अंगूठी दी गई है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह की अंगूठी को समूह के प्रत्येक तत्व को किसी दी गई अंगूठी के भार को जोड़कर दिए गए समूह का एक सामान्यीकरण है।
यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को समूह बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है। एक समूह बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक और संरचना होती है इसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।
समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।
परिभाषा
जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करेंगे जो कार्य करने का सेट है एफ जी आर का (गणित) सामान्यीकरण (जी) बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। और दो कार्यरत एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है . योगात्मक समूह आर व जी को एक अंगूठी में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।
संकेतन और शब्दावली के कुछ बदलाव कार्य के रूप में इस प्रकार हैं जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों में आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।
या
जहां यह भ्रम उत्पन्न नहीं [1] होता कि यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान है।
उदाहरण
1. माना जी बराबर सी क्यूब क्रमांक 3 का चक्रीय समूह, विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को एक तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है
जहां जटिल संख्यायें जेड0 साथ1 और जेड2 सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि जो सी ,जी अंगूठी सी के लिए समरूपी है। []/
तत्व एस के रूप में उनका योग