निर्वचन (तर्क): Difference between revisions
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=== तार्किक संयोजक === | === तार्किक संयोजक === | ||
किसी भाषा के कुछ तार्किक प्रतीक (क्वांटिफायर के | किसी भाषा के कुछ तार्किक प्रतीक (क्वांटिफायर के अतिरिक्त) तार्किक संयोजक हैं। सत्य-कार्यात्मक संयोजक जो सत्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं - ऐसे कार्य जो सत्य मानों को तर्कों के रूप में लेते हैं और सत्य मानों को आउटपुट के रूप में लौटाते हैं (दूसरे शब्दों में, ये सत्य मूल्यों पर संचालन हैं वाक्यों का)। | ||
सत्य-कार्यात्मक संयोजक मिश्रित वाक्यों को सरल वाक्यों से निर्मित करने में सक्षम बनाते हैं। इस प्रकार, यौगिक वाक्य के सत्य मान को सरल वाक्यों के सत्य मानों के निश्चित सत्य फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। संयोजकों को सामान्यतः तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संयोजकों का अर्थ सदैव समान होता है, सूत्र में अन्य प्रतीकों को दी गई व्याख्याओं से स्वतंत्र होता है। | सत्य-कार्यात्मक संयोजक मिश्रित वाक्यों को सरल वाक्यों से निर्मित करने में सक्षम बनाते हैं। इस प्रकार, यौगिक वाक्य के सत्य मान को सरल वाक्यों के सत्य मानों के निश्चित सत्य फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। संयोजकों को सामान्यतः तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संयोजकों का अर्थ सदैव समान होता है, सूत्र में अन्य प्रतीकों को दी गई व्याख्याओं से स्वतंत्र होता है। | ||
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*(Φ ↔ Ψ) सत्य है [[iff]] (Φ → Ψ) सत्य है और (Ψ → Φ) सत्य है। | *(Φ ↔ Ψ) सत्य है [[iff]] (Φ → Ψ) सत्य है और (Ψ → Φ) सत्य है। | ||
तो सभी वाक्य अक्षरों Φ और Ψ की दी गई व्याख्या के अनुसार (अर्थात्, प्रत्येक वाक्य अक्षर के लिए सत्य-मान निर्दिष्ट करने के बाद), हम उन सभी सूत्रों के सत्य-मूल्यों को निर्धारित कर सकते हैं जो तार्किक के कार्य के रूप में घटक के रूप में हैं। संयोजक। निम्न तालिका दिखाती है कि इस तरह की चीज़ कैसी दिखती है। | तो सभी वाक्य अक्षरों Φ और Ψ की दी गई व्याख्या के अनुसार (अर्थात्, प्रत्येक वाक्य अक्षर के लिए सत्य-मान निर्दिष्ट करने के बाद), हम उन सभी सूत्रों के सत्य-मूल्यों को निर्धारित कर सकते हैं जो तार्किक के कार्य के रूप में घटक के रूप में हैं। संयोजक। निम्न तालिका दिखाती है कि इस तरह की चीज़ कैसी दिखती है। पूर्वदो कॉलम चार संभावित व्याख्याओं द्वारा निर्धारित वाक्य अक्षरों के सत्य-मान दिखाते हैं। अन्य कॉलम इन वाक्य अक्षरों से निर्मित सूत्रों के सत्य-मूल्यों को दिखाते हैं, सत्य-मूल्यों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित किया जाता है। | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin: 1em auto;" | {| class="wikitable" style="text-align:center; margin: 1em auto;" | ||
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एन विशिष्ट प्रस्ताव चर वाली भाषा के लिए 2 हैं<sup>n</sup> विशिष्ट संभावित व्याख्याएं। किसी विशेष चर के लिए, उदाहरण के लिए, 2 हैं<sup>1</sup>=2 संभावित व्याख्या: 1) a को 'T' असाइन किया गया है, या 2) a को 'F' असाइन किया गया है। जोड़ी ए, बी के लिए 2 हैं<sup>2</sup>=4 संभावित व्याख्याएं: 1) दोनों को T असाइन किया गया है, 2) दोनों को F असाइन किया गया है, 3) ''a'' को T असाइन किया गया है और ''b'' को F असाइन किया गया है, या 4) ''a '' को F असाइन किया गया है और ''b'' को T असाइन किया गया है। | एन विशिष्ट प्रस्ताव चर वाली भाषा के लिए 2 हैं<sup>n</sup> विशिष्ट संभावित व्याख्याएं। किसी विशेष चर के लिए, उदाहरण के लिए, 2 हैं<sup>1</sup>=2 संभावित व्याख्या: 1) a को 'T' असाइन किया गया है, या 2) a को 'F' असाइन किया गया है। जोड़ी ए, बी के लिए 2 हैं<sup>2</sup>=4 संभावित व्याख्याएं: 1) दोनों को T असाइन किया गया है, 2) दोनों को F असाइन किया गया है, 3) ''a'' को T असाइन किया गया है और ''b'' को F असाइन किया गया है, या 4) ''a '' को F असाइन किया गया है और ''b'' को T असाइन किया गया है। | ||
प्रस्तावपरक प्रतीकों के समुच्चय के लिए किसी भी सत्य | प्रस्तावपरक प्रतीकों के समुच्चय के लिए किसी भी सत्य अभिहस्तांकन को देखते हुए, उन चरों से निर्मित सभी प्रस्तावनात्मक सूत्रों के लिए व्याख्या का अनूठा विस्तार है। ऊपर चर्चा किए गए तार्किक संयोजकों की सत्य-तालिका परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, इस विस्तारित व्याख्या को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है। | ||
== प्रथम क्रम तर्क == | == प्रथम क्रम तर्क == | ||
प्रस्तावपरक तर्क के विपरीत, जहाँ प्रस्तावात्मक चर के अलग समुच्चय की पसंद के | प्रस्तावपरक तर्क के विपरीत, जहाँ प्रस्तावात्मक चर के अलग समुच्चय की पसंद के अतिरिक्त हर भाषा समान है, वहाँ कई भिन्न-भिन्न प्रथम-क्रम की भाषाएँ हैं। प्रत्येक प्रथम-क्रम की भाषा को [[हस्ताक्षर (गणितीय तर्क)]] द्वारा परिभाषित किया गया है। हस्ताक्षर में अन्य -तार्किक प्रतीकों का समुच्चय होता है और इन प्रतीकों में से प्रत्येक की निरंतर प्रतीक, फलन प्रतीक या [[विधेय प्रतीक]] के रूप में पहचान होती है। फलन और विधेय प्रतीकों के मामले में, [[प्राकृतिक संख्या]] भी निर्दिष्ट की जाती है। औपचारिक भाषा के लिए वर्णमाला में तार्किक स्थिरांक, समानता संबंध प्रतीक =, हस्ताक्षर से सभी प्रतीक, और चर के रूप में ज्ञात प्रतीकों का अतिरिक्त अनंत समुच्चय होता है। | ||
उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) की भाषा में, स्थिर प्रतीक 0 और 1 हैं, दो बाइनरी फलन प्रतीक + और ·, और कोई बाइनरी संबंध प्रतीक नहीं हैं। (यहाँ समानता संबंध को तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया गया है।) | उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) की भाषा में, स्थिर प्रतीक 0 और 1 हैं, दो बाइनरी फलन प्रतीक + और ·, और कोई बाइनरी संबंध प्रतीक नहीं हैं। (यहाँ समानता संबंध को तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया गया है।) | ||
फिर से, हम | फिर से, हम पूर्वक्रम की भाषा L को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें भिन्न-भिन्न प्रतीक a, b, और c सम्मिलित हैं; विधेय प्रतीक एफ, जी, एच, आई और जे; चर x, y, z; कोई कार्य पत्र नहीं; कोई भावात्मक प्रतीक नहीं। | ||
=== | === पूर्व क्रम के तर्क के लिए औपचारिक भाषाएं === | ||
हस्ताक्षर σ को देखते हुए, संबंधित औपचारिक भाषा को σ-सूत्रों के समुच्चय के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक σ-सूत्र तार्किक संयोजकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से निर्मित होता है; परमाणु सूत्र विधेय प्रतीकों का उपयोग करते हुए शब्दों से निर्मित होते हैं। σ-सूत्रों के समुच्चय की औपचारिक परिभाषा दूसरी दिशा में आगे बढ़ती है: सबसे पहले, चर के साथ स्थिर और फलन प्रतीकों से शब्दों को इकट्ठा किया जाता है। फिर, शब्दों को हस्ताक्षर से विधेय प्रतीक (संबंध प्रतीक) या समानता के लिए विशेष विधेय प्रतीक = का उपयोग करके परमाणु सूत्र में जोड़ा जा सकता है (अनुभाग देखें #समानता की व्याख्या करना|नीचे समानता की व्याख्या करना)। अंत में, तार्किक संयोजकों और परिमाणकों का उपयोग करके भाषा के सूत्रों को परमाणु सूत्रों से इकट्ठा किया जाता है। | |||
=== | === पूर्व क्रम की भाषा की व्याख्या === | ||
{{See also| | {{See also| | ||
व्याख्या फलन}} | व्याख्या फलन}} | ||
पूर्व क्रम की भाषा के सभी वाक्यों को अर्थ देने के लिए, निम्नलिखित जानकारी की आवश्यकता होती है। | |||
* प्रवचन का डोमेन<ref>Sometimes called the "universe of discourse"</ref> D, सामान्यतः अन्य -खाली होना आवश्यक है (नीचे देखें)। | * प्रवचन का डोमेन<ref>Sometimes called the "universe of discourse"</ref> D, सामान्यतः अन्य -खाली होना आवश्यक है (नीचे देखें)। | ||
* प्रत्येक स्थिर प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में डी का तत्व। | * प्रत्येक स्थिर प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में डी का तत्व। | ||
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यह इस मुद्दे को छोड़ देता है कि प्रपत्र के सूत्रों की व्याख्या कैसे की जाए {{nowrap|∀ ''x'' φ(''x'')}} और {{nowrap|∃ ''x'' φ(''x'')}}. प्रवचन का डोमेन इन क्वांटिफायर के लिए क्वांटिफायर (तर्क)#रेंज ऑफ क्वांटिफिकेशन बनाता है। विचार यह है कि वाक्य {{nowrap|∀ ''x'' φ(''x'')}} व्याख्या के अनुसार सही है जब φ(x) का प्रत्येक प्रतिस्थापन उदाहरण, जहां x को डोमेन के कुछ तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, संतुष्ट हो जाता है। सूत्र {{nowrap|∃ ''x'' φ(''x'')}} संतुष्ट है अगर डोमेन का कम से कम तत्व डी ऐसा है कि φ (डी) संतुष्ट है। | यह इस मुद्दे को छोड़ देता है कि प्रपत्र के सूत्रों की व्याख्या कैसे की जाए {{nowrap|∀ ''x'' φ(''x'')}} और {{nowrap|∃ ''x'' φ(''x'')}}. प्रवचन का डोमेन इन क्वांटिफायर के लिए क्वांटिफायर (तर्क)#रेंज ऑफ क्वांटिफिकेशन बनाता है। विचार यह है कि वाक्य {{nowrap|∀ ''x'' φ(''x'')}} व्याख्या के अनुसार सही है जब φ(x) का प्रत्येक प्रतिस्थापन उदाहरण, जहां x को डोमेन के कुछ तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, संतुष्ट हो जाता है। सूत्र {{nowrap|∃ ''x'' φ(''x'')}} संतुष्ट है अगर डोमेन का कम से कम तत्व डी ऐसा है कि φ (डी) संतुष्ट है। | ||
कड़ाई से बोलते हुए, प्रतिस्थापन उदाहरण जैसे ऊपर वर्णित सूत्र φ(d) φ की मूल औपचारिक भाषा में सूत्र नहीं है, क्योंकि d डोमेन का तत्व है। इस तकनीकी समस्या से निपटने के दो तरीके हैं। सबसे | कड़ाई से बोलते हुए, प्रतिस्थापन उदाहरण जैसे ऊपर वर्णित सूत्र φ(d) φ की मूल औपचारिक भाषा में सूत्र नहीं है, क्योंकि d डोमेन का तत्व है। इस तकनीकी समस्या से निपटने के दो तरीके हैं। सबसे पूर्वबड़ी भाषा को पास करना है जिसमें डोमेन के प्रत्येक तत्व को निरंतर प्रतीक द्वारा नामित किया जाता है। दूसरा व्याख्या में फलन जोड़ना है जो प्रत्येक चर को डोमेन के तत्व को निर्दिष्ट करता है। तब टी-स्कीमा मूल व्याख्या के भिन्नरूपों की मात्रा निर्धारित कर सकती है जिसमें प्रतिस्थापन उदाहरणों पर मात्रा निर्धारित करने केअतिरिक्त यह चर अभिहस्तांकनफलन बदल दिया गया है। | ||
कुछ लेखक प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तावात्मक चर को भी स्वीकार करते हैं, जिसकी व्याख्या भी की जानी चाहिए। प्रस्तावपरक चर परमाणु सूत्र के रूप में अपने दम पर खड़ा हो सकता है। प्रस्तावक चर की व्याख्या सत्य और असत्य के दो सत्य मूल्यों में से है।<ref>{{Citation | कुछ लेखक प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तावात्मक चर को भी स्वीकार करते हैं, जिसकी व्याख्या भी की जानी चाहिए। प्रस्तावपरक चर परमाणु सूत्र के रूप में अपने दम पर खड़ा हो सकता है। प्रस्तावक चर की व्याख्या सत्य और असत्य के दो सत्य मूल्यों में से है।<ref>{{Citation | ||
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| url = https://archive.org/details/elementarylogic00mate/page/56 | | url = https://archive.org/details/elementarylogic00mate/page/56 | ||
}}</ref> | }}</ref> | ||
क्योंकि यहाँ वर्णित प्रथम-क्रम की व्याख्याएँ समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित हैं, वे प्रत्येक विधेय प्रतीक को गुण के साथ संबद्ध नहीं करते हैं<ref>The extension of a property (also called an attribute) is a set of individuals, so a property is a unary relation. E.g. The properties "yellow" and "prime" are unary relations.</ref> (या संबंध), लेकिन उस संपत्ति (या संबंध) के विस्तार के साथ। दूसरे शब्दों में, ये प्रथम-क्रम की व्याख्याएँ विस्तृत परिभाषाएँ हैं<ref>see also [[Extension (predicate logic)]]</ref> गहन परिभाषा नहीं। | क्योंकि यहाँ वर्णित प्रथम-क्रम की व्याख्याएँ समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित हैं, वे प्रत्येक विधेय प्रतीक को गुण के साथ संबद्ध नहीं करते हैं<ref>The extension of a property (also called an attribute) is a set of individuals, so a property is a unary relation. E.g. The properties "yellow" and "prime" are unary relations.</ref> (या संबंध), लेकिन उस संपत्ति (या संबंध) के विस्तार के साथ। दूसरे शब्दों में, ये प्रथम-क्रम की व्याख्याएँ विस्तृत परिभाषाएँ हैं<ref>see also [[Extension (predicate logic)]]</ref> गहन परिभाषा नहीं। | ||
=== | === पूर्व क्रम की व्याख्या का उदाहरण === | ||
व्याख्या का उदाहरण <math>\mathcal{I}</math> ऊपर वर्णित भाषा एल इस प्रकार है। | व्याख्या का उदाहरण <math>\mathcal{I}</math> ऊपर वर्णित भाषा एल इस प्रकार है। | ||
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=== अन्य -खाली डोमेन आवश्यकता === | === अन्य -खाली डोमेन आवश्यकता === | ||
जैसा कि ऊपर कहा गया है, | जैसा कि ऊपर कहा गया है, पूर्वक्रम की व्याख्या सामान्यतः प्रवचन के डोमेन के रूप में अन्य -खाली समुच्चय को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक होती है। इस आवश्यकता का कारण यह गारंटी देना है कि समकक्ष जैसे<math display="block">(\phi \lor \exists x \psi) \leftrightarrow \exists x (\phi \lor \psi),</math> | ||
जहाँ x φ का मुक्त चर नहीं है, तार्किक रूप से मान्य हैं। यह तुल्यता अन्य -खाली डोमेन के साथ हर व्याख्या में होती है, लेकिन जब खाली डोमेन की अनुमति होती है तो यह | जहाँ x φ का मुक्त चर नहीं है, तार्किक रूप से मान्य हैं। यह तुल्यता अन्य -खाली डोमेन के साथ हर व्याख्या में होती है, लेकिन जब खाली डोमेन की अनुमति होती है तो यह सदैव नहीं होती है। उदाहरण के लिए, समानता | ||
<math display="block">[\forall y (y = y) \lor \exists x ( x = x)] \equiv \exists x [ \forall y ( y = y) \lor x = x]</math> | <math display="block">[\forall y (y = y) \lor \exists x ( x = x)] \equiv \exists x [ \forall y ( y = y) \lor x = x]</math> | ||
खाली डोमेन वाली किसी भी संरचना में विफल रहता है। इस प्रकार खाली संरचनाओं की अनुमति होने पर प्रथम-क्रम तर्क का प्रमाण सिद्धांत अधिक जटिल हो जाता है। चूँकि , उन्हें अनुमति देने में लाभ नगण्य है, क्योंकि लोगों द्वारा अध्ययन किए जाने वाले सिद्धांतों की इच्छित व्याख्या और रोचकव्याख्या दोनों में अन्य -खाली डोमेन हैं।<ref>{{Citation | last1=Hailperin | first1=Theodore | title=Quantification theory and empty individual-domains |mr=0057820 | year=1953 | journal=[[The Journal of Symbolic Logic]] | volume=18 | pages=197–200 | doi=10.2307/2267402 | issue=3 | publisher=[[Association for Symbolic Logic]] | jstor=2267402| s2cid=40988137 }}</ref><ref>{{Citation | last1=Quine | first1=W. V. |author1link = Willard Quine| title=Quantification and the empty domain |mr=0064715 | year=1954 | journal=The Journal of Symbolic Logic | volume=19 | pages=177–179 | doi=10.2307/2268615 | issue=3 | publisher=Association for Symbolic Logic | jstor=2268615| s2cid=27053902 }}</ref> | खाली डोमेन वाली किसी भी संरचना में विफल रहता है। इस प्रकार खाली संरचनाओं की अनुमति होने पर प्रथम-क्रम तर्क का प्रमाण सिद्धांत अधिक जटिल हो जाता है। चूँकि, उन्हें अनुमति देने में लाभ नगण्य है, क्योंकि लोगों द्वारा अध्ययन किए जाने वाले सिद्धांतों की इच्छित व्याख्या और रोचकव्याख्या दोनों में अन्य-खाली डोमेन हैं।<ref>{{Citation | last1=Hailperin | first1=Theodore | title=Quantification theory and empty individual-domains |mr=0057820 | year=1953 | journal=[[The Journal of Symbolic Logic]] | volume=18 | pages=197–200 | doi=10.2307/2267402 | issue=3 | publisher=[[Association for Symbolic Logic]] | jstor=2267402| s2cid=40988137 }}</ref><ref>{{Citation | last1=Quine | first1=W. V. |author1link = Willard Quine| title=Quantification and the empty domain |mr=0064715 | year=1954 | journal=The Journal of Symbolic Logic | volume=19 | pages=177–179 | doi=10.2307/2268615 | issue=3 | publisher=Association for Symbolic Logic | jstor=2268615| s2cid=27053902 }}</ref> | ||
खाली संबंध प्रथम-क्रम की व्याख्याओं के लिए कोई समस्या पैदा नहीं करते हैं, क्योंकि प्रक्रिया में इसके दायरे को बढ़ाते हुए, तार्किक संबंध में संबंध प्रतीक को पार करने की कोई समान धारणा नहीं है। इस प्रकार यह संबंध प्रतीकों के लिए स्वीकार्य रूप से गलत होने के रूप में व्याख्या करने के लिए स्वीकार्य है। चूँकि , फलन | |||
खाली संबंध प्रथम-क्रम की व्याख्याओं के लिए कोई समस्या पैदा नहीं करते हैं, क्योंकि प्रक्रिया में इसके दायरे को बढ़ाते हुए, तार्किक संबंध में संबंध प्रतीक को पार करने की कोई समान धारणा नहीं है। इस प्रकार यह संबंध प्रतीकों के लिए स्वीकार्य रूप से गलत होने के रूप में व्याख्या करने के लिए स्वीकार्य है। चूँकि, फलन प्रतीक की व्याख्या सदैवप्रतीक को उत्तम प्रकार से परिभाषित और कुल फलन प्रदान करनी चाहिए। | |||
=== समानता की व्याख्या === | === समानता की व्याख्या === | ||
समानता संबंध को प्रायःविशेष रूप से | समानता संबंध को प्रायःविशेष रूप से पूर्वक्रम के तर्क और अन्य विधेय तर्कों में माना जाता है। दो सामान्य दृष्टिकोण हैं। | ||
पहला दृष्टिकोण समानता को किसी भी अन्य द्विआधारी संबंध से अलग नहीं मानना है। इस मामले में, यदि समानता प्रतीक हस्ताक्षर में सम्मिलित किया गया है, तो सामान्यतः स्वयंसिद्ध प्रणालियों में समानता के बारे में विभिन्न स्वयंसिद्धों को जोड़ना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध कह रहा है कि यदि a = b और R(a) धारण करता है तो R(b) ) भी रखता है)। समानता के लिए यह दृष्टिकोण उन हस्ताक्षरों का अध्ययन करते समय सबसे उपयोगी होता है जिनमें समानता संबंध सम्मिलित नहीं होता है, जैसे समुच्चय सिद्धांत के लिए हस्ताक्षर या दूसरे क्रम अंकगणित के लिए हस्ताक्षर जिसमें संख्याओं के लिए केवल समानता संबंध होता है, लेकिन समानता संबंध नहीं होता है संख्याओं का समूह। | पहला दृष्टिकोण समानता को किसी भी अन्य द्विआधारी संबंध से अलग नहीं मानना है। इस मामले में, यदि समानता प्रतीक हस्ताक्षर में सम्मिलित किया गया है, तो सामान्यतः स्वयंसिद्ध प्रणालियों में समानता के बारे में विभिन्न स्वयंसिद्धों को जोड़ना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध कह रहा है कि यदि a = b और R(a) धारण करता है तो R(b) ) भी रखता है)। समानता के लिए यह दृष्टिकोण उन हस्ताक्षरों का अध्ययन करते समय सबसे उपयोगी होता है जिनमें समानता संबंध सम्मिलित नहीं होता है, जैसे समुच्चय सिद्धांत के लिए हस्ताक्षर या दूसरे क्रम अंकगणित के लिए हस्ताक्षर जिसमें संख्याओं के लिए केवल समानता संबंध होता है, लेकिन समानता संबंध नहीं होता है संख्याओं का समूह। | ||
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दूसरा दृष्टिकोण समानता संबंध प्रतीक को तार्किक स्थिरांक के रूप में मानना है जिसे किसी भी व्याख्या में वास्तविक समानता संबंध द्वारा व्याख्या किया जाना चाहिए। व्याख्या जो समानता की इस तरह से व्याख्या करती है उसे सामान्य मॉडल के रूप में जाना जाता है, इसलिए यह दूसरा दृष्टिकोण केवल उन व्याख्याओं का अध्ययन करने के समान है जो सामान्य मॉडल होते हैं। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि समानता से संबंधित स्वयंसिद्ध प्रत्येक सामान्य मॉडल द्वारा स्वचालित रूप से संतुष्ट होते हैं, और इसलिए समानता के साथ व्यवहार किए जाने पर उन्हें प्रथम-क्रम के सिद्धांतों में स्पष्ट रूप से सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इस दूसरे दृष्टिकोण को कभी-कभी समानता के साथ प्रथम क्रम तर्क कहा जाता है, लेकिन कई लेखक बिना किसी टिप्पणी के प्रथम क्रम तर्क के सामान्य अध्ययन के लिए इसे अपनाते हैं। | दूसरा दृष्टिकोण समानता संबंध प्रतीक को तार्किक स्थिरांक के रूप में मानना है जिसे किसी भी व्याख्या में वास्तविक समानता संबंध द्वारा व्याख्या किया जाना चाहिए। व्याख्या जो समानता की इस तरह से व्याख्या करती है उसे सामान्य मॉडल के रूप में जाना जाता है, इसलिए यह दूसरा दृष्टिकोण केवल उन व्याख्याओं का अध्ययन करने के समान है जो सामान्य मॉडल होते हैं। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि समानता से संबंधित स्वयंसिद्ध प्रत्येक सामान्य मॉडल द्वारा स्वचालित रूप से संतुष्ट होते हैं, और इसलिए समानता के साथ व्यवहार किए जाने पर उन्हें प्रथम-क्रम के सिद्धांतों में स्पष्ट रूप से सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इस दूसरे दृष्टिकोण को कभी-कभी समानता के साथ प्रथम क्रम तर्क कहा जाता है, लेकिन कई लेखक बिना किसी टिप्पणी के प्रथम क्रम तर्क के सामान्य अध्ययन के लिए इसे अपनाते हैं। | ||
प्रथम-क्रम तर्क के अध्ययन को सामान्य मॉडलों तक सीमित करने के कुछ अन्य कारण हैं। सबसे पहले, यह ज्ञात है कि किसी भी प्रथम-क्रम की व्याख्या जिसमें समानता की व्याख्या [[तुल्यता संबंध]] द्वारा की जाती है और समानता के लिए प्रतिस्थापन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है, मूल डोमेन के सबसमुच्चय पर प्राथमिक उपसंरचना व्याख्या में कटौती की जा सकती है। इस प्रकार अन्य -सामान्य मॉडलों के अध्ययन में थोड़ी अतिरिक्त सामान्यता है। दूसरा, यदि अन्य -सामान्य मॉडलों पर विचार किया जाता है, तो प्रत्येक सुसंगत सिद्धांत का अनंत मॉडल होता है; यह लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय जैसे परिणामों के बयानों को प्रभावित करता है, जो सामान्यतः इस धारणा के अनुसार कहा जाता है कि केवल सामान्य मॉडल पर विचार किया जाता है। | प्रथम-क्रम तर्क के अध्ययन को सामान्य मॉडलों तक सीमित करने के कुछ अन्य कारण हैं। सबसे पहले, यह ज्ञात है कि किसी भी प्रथम-क्रम की व्याख्या जिसमें समानता की व्याख्या [[तुल्यता संबंध]] द्वारा की जाती है और समानता के लिए प्रतिस्थापन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है, मूल डोमेन के सबसमुच्चय पर प्राथमिक उपसंरचना व्याख्या में कटौती की जा सकती है। इस प्रकार अन्य-सामान्य मॉडलों के अध्ययन में थोड़ी अतिरिक्त सामान्यता है। दूसरा, यदि अन्य -सामान्य मॉडलों पर विचार किया जाता है, तो प्रत्येक सुसंगत सिद्धांत का अनंत मॉडल होता है; यह लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय जैसे परिणामों के बयानों को प्रभावित करता है, जो सामान्यतः इस धारणा के अनुसार कहा जाता है कि केवल सामान्य मॉडल पर विचार किया जाता है। | ||
=== कई-क्रमबद्ध प्रथम-क्रम तर्क === | === कई-क्रमबद्ध प्रथम-क्रम तर्क === | ||
पूर्वक्रम के तर्क का सामान्यीकरण से अधिक प्रकार के चर वाली भाषाओं पर विचार करता है। विचार यह है कि विभिन्न प्रकार के चर विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रत्येक प्रकार के चर को परिमाणित किया जा सकता है; इस प्रकार कई प्रकार की भाषा के लिए व्याख्या में प्रत्येक प्रकार के चर के लिए अलग डोमेन होता है (प्रत्येक भिन्न-भिन्न प्रकार के चर का अनंत संग्रह होता है)। कार्यों और संबंध प्रतीकों, arities होने के अतिरिक्त, निर्दिष्ट हैं ताकि उनके प्रत्येक तर्क को निश्चित प्रकार से आना चाहिए। | |||
बहु-वर्गीकृत तर्क का उदाहरण प्लानर [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के लिए है{{clarification needed|date=June 2022|reason=This should probably refer to a particular axiomatization that the author has in mind. Tarski's axiomatization uses only a single sort, namely points.}}. दो प्रकार के होते हैं; अंक और रेखाएँ। बिंदुओं के लिए समानता संबंध प्रतीक है, रेखाओं के लिए समानता संबंध प्रतीक है, और द्विआधारी घटना संबंध E है जो बिंदु चर और पंक्ति चर लेता है। इस भाषा की इच्छित व्याख्या में [[यूक्लिडियन विमान]] पर सभी बिंदुओं पर बिंदु चर सीमा होती है, विमान पर सभी रेखाओं पर रेखा चर सीमा होती है, और घटना संबंध E(p,l) धारण करता है यदि और केवल बिंदु p रेखा पर है एल | बहु-वर्गीकृत तर्क का उदाहरण प्लानर [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के लिए है{{clarification needed|date=June 2022|reason=This should probably refer to a particular axiomatization that the author has in mind. Tarski's axiomatization uses only a single sort, namely points.}}. दो प्रकार के होते हैं; अंक और रेखाएँ। बिंदुओं के लिए समानता संबंध प्रतीक है, रेखाओं के लिए समानता संबंध प्रतीक है, और द्विआधारी घटना संबंध E है जो बिंदु चर और पंक्ति चर लेता है। इस भाषा की इच्छित व्याख्या में [[यूक्लिडियन विमान]] पर सभी बिंदुओं पर बिंदु चर सीमा होती है, विमान पर सभी रेखाओं पर रेखा चर सीमा होती है, और घटना संबंध E(p,l) धारण करता है यदि और केवल बिंदु p रेखा पर है एल | ||
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== उच्च-क्रम विधेय तर्क == | == उच्च-क्रम विधेय तर्क == | ||
उच्च-क्रम तर्क के लिए औपचारिक भाषा | उच्च-क्रम विधेय तर्क प्रथम-क्रम तर्क के लिए औपचारिक भाषा के समान ही दिखता है। अंतर यह है कि अब कई भिन्न प्रकार के चर हैं। कुछ चर डोमेन के तत्वों के अनुरूप होते हैं, जैसा कि | उच्च-क्रम तर्क के लिए औपचारिक भाषा | उच्च-क्रम विधेय तर्क प्रथम-क्रम तर्क के लिए औपचारिक भाषा के समान ही दिखता है। अंतर यह है कि अब कई भिन्न प्रकार के चर हैं। कुछ चर डोमेन के तत्वों के अनुरूप होते हैं, जैसा कि पूर्वक्रम के तर्क में होता है। अन्य चर उच्च प्रकार की वस्तुओं के अनुरूप हैं: डोमेन के उपसमुच्चय, डोमेन से कार्य, कार्य जो डोमेन का उपसमुच्चय लेते हैं और डोमेन से डोमेन के उपसमुच्चय में कार्य लौटाते हैं, आदि। इन सभी प्रकार के चर हो सकते हैं परिमाणित। | ||
सामान्यतः उच्च-क्रम तर्क के लिए दो प्रकार की व्याख्याएँ नियोजित की जाती हैं। पूर्ण शब्दार्थ की आवश्यकता है कि, बार प्रवचन का डोमेन संतुष्ट हो जाने पर, उच्च-क्रम चर सही प्रकार के सभी संभावित तत्वों (डोमेन के सभी उपसमुच्चय, डोमेन से स्वयं के लिए सभी कार्य, आदि) पर रेंज करते हैं। इस प्रकार पूर्ण व्याख्या का विनिर्देश प्रथम-क्रम व्याख्या के विनिर्देश के समान है। हेनकिन सिमेंटिक्स, जो अनिवार्य रूप से मल्टी-सॉर्टेड फर्स्ट-ऑर्डर सिमेंटिक्स हैं, को रेंज ओवर करने के लिए प्रत्येक प्रकार के उच्च-ऑर्डर वेरिएबल के लिए अलग डोमेन निर्दिष्ट करने के लिए व्याख्या की आवश्यकता होती है। इस प्रकार हेनकिन सिमेंटिक्स में व्याख्या में डोमेन डी, डी के सबसमुच्चय का संग्रह, डी से डी तक के कार्यों का संग्रह आदि सम्मिलित हैं। इन दो शब्दार्थों के बीच संबंध [[उच्च क्रम तर्क]] में महत्वपूर्ण विषय है। | सामान्यतः उच्च-क्रम तर्क के लिए दो प्रकार की व्याख्याएँ नियोजित की जाती हैं। पूर्ण शब्दार्थ की आवश्यकता है कि, बार प्रवचन का डोमेन संतुष्ट हो जाने पर, उच्च-क्रम चर सही प्रकार के सभी संभावित तत्वों (डोमेन के सभी उपसमुच्चय, डोमेन से स्वयं के लिए सभी कार्य, आदि) पर रेंज करते हैं। इस प्रकार पूर्ण व्याख्या का विनिर्देश प्रथम-क्रम व्याख्या के विनिर्देश के समान है। हेनकिन सिमेंटिक्स, जो अनिवार्य रूप से मल्टी-सॉर्टेड फर्स्ट-ऑर्डर सिमेंटिक्स हैं, को रेंज ओवर करने के लिए प्रत्येक प्रकार के उच्च-ऑर्डर वेरिएबल के लिए अलग डोमेन निर्दिष्ट करने के लिए व्याख्या की आवश्यकता होती है। इस प्रकार हेनकिन सिमेंटिक्स में व्याख्या में डोमेन डी, डी के सबसमुच्चय का संग्रह, डी से डी तक के कार्यों का संग्रह आदि सम्मिलित हैं। इन दो शब्दार्थों के बीच संबंध [[उच्च क्रम तर्क]] में महत्वपूर्ण विषय है। | ||
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== उद्देश्य व्याख्याएं == | == उद्देश्य व्याख्याएं == | ||
कई औपचारिक भाषाएँ विशेष व्याख्या से जुड़ी हैं जो उन्हें प्रेरित करने के लिए उपयोग की जाती हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत के लिए | कई औपचारिक भाषाएँ विशेष व्याख्या से जुड़ी हैं जो उन्हें प्रेरित करने के लिए उपयोग की जाती हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत के लिए पूर्वक्रम के हस्ताक्षर में केवल द्विआधारी संबंध सम्मिलित है, ∈, जिसका उद्देश्य समुच्चय सदस्यता का प्रतिनिधित्व करना है, और प्राकृतिक संख्याओं के पूर्वक्रम के सिद्धांत में प्रवचन का डोमेन प्राकृतिक का समुच्चय होना है नंबर। | ||
इच्छित व्याख्या को मानक मॉडल (1960 में [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा पेश किया गया शब्द) कहा जाता है।<ref>{{cite book|editor=Anthonie Meijers|title=Philosophy of technology and engineering sciences|year=2009|publisher=Elsevier|isbn=978-0-444-51667-1|series=Handbook of the Philosophy of Science|volume=9|author=Roland Müller|chapter=The Notion of a Model}}</ref> पीआनो अंकगणित के संदर्भ में, इसमें उनके सामान्य अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ प्राकृतिक संख्याएँ सम्मिलित हैं। सभी मॉडल जो अभी दिए गए मॉडल के लिए [[समरूप]] हैं, उन्हें मानक भी कहा जाता है; ये सभी मॉडल पीआनो सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं। पियानो अभिगृहीत#अमानक मॉडल|पीआनो अभिगृहीत के (प्रथम-क्रम संस्करण) अन्य -मानक मॉडल भी हैं, जिनमें ऐसे तत्व सम्मिलित हैं जो किसी भी प्राकृतिक संख्या से संबंधित नहीं हैं। | इच्छित व्याख्या को मानक मॉडल (1960 में [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा पेश किया गया शब्द) कहा जाता है।<ref>{{cite book|editor=Anthonie Meijers|title=Philosophy of technology and engineering sciences|year=2009|publisher=Elsevier|isbn=978-0-444-51667-1|series=Handbook of the Philosophy of Science|volume=9|author=Roland Müller|chapter=The Notion of a Model}}</ref> पीआनो अंकगणित के संदर्भ में, इसमें उनके सामान्य अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ प्राकृतिक संख्याएँ सम्मिलित हैं। सभी मॉडल जो अभी दिए गए मॉडल के लिए [[समरूप]] हैं, उन्हें मानक भी कहा जाता है; ये सभी मॉडल पीआनो सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं। पियानो अभिगृहीत#अमानक मॉडल|पीआनो अभिगृहीत के (प्रथम-क्रम संस्करण) अन्य -मानक मॉडल भी हैं, जिनमें ऐसे तत्व सम्मिलित हैं जो किसी भी प्राकृतिक संख्या से संबंधित नहीं हैं। | ||
Revision as of 15:42, 22 February 2023
व्याख्या औपचारिक भाषा के प्रतीक (औपचारिक) के अर्थ का अभिहस्तांकन है। गणित, तर्कशास्त्र और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग की जाने वाली कई औपचारिक भाषाओं को केवल वाक्य-विन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है,और जब तक उन्हें कुछ व्याख्या नहीं दी जाती है, तब तक उनका कोई अर्थ नहीं होता है। औपचारिक भाषाओं की व्याख्याओं के सामान्य अध्ययन को औपचारिक शब्दार्थ (तर्क) कहा जाता है।
सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले औपचारिक लॉजिक्स प्रस्तावात्मक तर्क, विधेय तर्क और उनके मोडल तर्क एनालॉग हैं, और इनके लिए व्याख्या प्रस्तुत करने की मानक विधि हैं। इन संदर्भों में व्याख्या ऐसा कार्य (गणित) है जो किसी वस्तु भाषा के प्रतीकों और प्रतीकों के तार का विस्तार (विधेय तर्क) प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, व्याख्या फलन T ("लंबा" के लिए) विधेय ले सकता है और इसे विस्तार {a} ("अब्राहम लिंकन" के लिए) निर्दिष्ट कर सकता है। ध्यान दें कि हमारी सभी व्याख्या अन्य -तार्किक स्थिरांक T के लिए {a} का विस्तार प्रदान करती है, और इस बारे में कोई दावा नहीं करती है कि क्या T लंबा है और 'a' अब्राहम लिंकन के लिए है . न ही तार्किक व्याख्या में 'और', 'या' और 'नहीं' जैसे तार्किक संयोजकों के बारे में कुछ कहना है। चूँकि हम इन प्रतीकों को कुछ चीजों या अवधारणाओं के लिए खड़े होने के लिए ले सकते हैं, यह व्याख्या फलन द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है।
व्याख्या प्रायः (लेकिन सदैव नहीं) भाषा में वाक्य (गणितीय तर्क) के सत्य मूल्यों को निर्धारित करने की विधि प्रदान करती है। यदि दी गई व्याख्या किसी वाक्य या सिद्धांत (गणितीय तर्क) के लिए सही मान प्रदान करती है, तो व्याख्या को उस वाक्य या सिद्धांत का मॉडल (मॉडल सिद्धांत) कहा जाता है।