घात समुच्चय का अभिगृहीत

{x, y, z}}समावेशन (सेट सिद्धांत) के संबंध में आदेश सिद्धांत।

गणित में, पावर सेट का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों में से एक है।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध पढ़ता है:

$\forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]$

जहाँ y x का घात समुच्चय है, ${\mathcal {P}}(x)$.

अंग्रेजी में, यह कहता है:

किसी भी सेट (गणित) x को देखते हुए, अस्तित्वगत मात्रा का एक सेट ${\mathcal {P}}(x)$ ऐसा कि, दिया गया कोई सेट z, यह सेट z का सदस्य है ${\mathcal {P}}(x)$ यदि और केवल यदि z का प्रत्येक अवयव भी x का एक अवयव है।

अधिक संक्षेप में: प्रत्येक सेट के लिए $x$, एक सेट है ${\mathcal {P}}(x)$ के सबसेट से मिलकर बनता है $x$.

सबसेट संबंध पर ध्यान दें $\subseteq$ औपचारिक परिभाषा में उपयोग नहीं किया जाता है क्योंकि उपसमुच्चय औपचारिक समुच्चय सिद्धांत में आदिम संबंध नहीं है; बल्कि, सबसेट को निर्धारित सदस्यता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, $\in$. विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा, समुच्चय ${\mathcal {P}}(x)$ निराला है।

पावर सेट का स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के अधिकांश स्वयंसिद्धों में प्रकट होता है। इसे आम तौर पर विवादास्पद माना जाता है, हालांकि रचनात्मक सेट सिद्धांत भविष्यवाणी के बारे में चिंताओं को हल करने के लिए कमजोर संस्करण को पसंद करता है।

परिणाम

पावर सेट स्वयंसिद्ध दो सेटों के कार्टेशियन उत्पाद की सरल परिभाषा की अनुमति देता है $X$ और $Y$:

$X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.$

नोटिस जो

$x,y\in X\cup Y$

$\{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)$

और, उदाहरण के लिए, ऑर्डर्ड पेयर#Defining_the_ordered_pair_using_set_theory का उपयोग करने वाले मॉडल पर विचार करें,

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$

और इस प्रकार कार्तीय गुणनफल एक समुच्चय है

$X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).$

कोई पुनरावर्ती सेट के किसी भी परिमित सेट वर्ग (सेट सिद्धांत) के कार्टेशियन उत्पाद को परिभाषित कर सकता है:

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.$

ध्यान दें कि कार्तीय उत्पाद के अस्तित्व को पावर सेट स्वयंसिद्ध का उपयोग किए बिना सिद्ध किया जा सकता है, जैसा कि क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत के मामले में है।

सीमाएं

पावर सेट स्वयंसिद्ध यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि सेट के कौन से उपसमुच्चय मौजूद हैं, केवल यह कि एक ऐसा सेट है जो सभी को समाहित करता है। सभी बोधगम्य उपसमूहों के अस्तित्व की गारंटी नहीं है। विशेष रूप से, अनंत सेट के पावर सेट में केवल रचनात्मक सेट होते हैं यदि ब्रह्मांड रचनात्मक ब्रह्मांड है लेकिन ZF सेट सिद्धांत के अन्य मॉडलों में ऐसे सेट हो सकते हैं जो रचनात्मक नहीं हैं।

संदर्भ

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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