घन फलन

Not to be confused with Cubic equation.

File:Polynomialdeg3.svg

एक फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - जहां y = 0)।दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं।यहाँ कार्य है f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4।

गणित में, एक क्यूबिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन (गणित) है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहां गुणांक a, b, c, तथा d जटिल संख्या हैं, और चर हैं x वास्तविक मूल्य लेता है, और $a\neq 0$।दूसरे शब्दों में, यह दोनों डिग्री तीन का एक बहुपद कार्य है, और एक वास्तविक कार्य है।विशेष रूप से, एक फ़ंक्शन और संहितात्मक का डोमेन वास्तविक संख्याओं का सेट है।

स्थापना f(x) = 0 रूप का एक घन समीकरण पैदा करता है

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

जिनके समाधानों को फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन की जड़ कहा जाता है।

एक क्यूबिक फ़ंक्शन में एक या तीन वास्तविक जड़ें होती हैं (जो अलग नहीं हो सकती हैं); सभी विषम-डिग्री बहुपद में कम से कम एक वास्तविक जड़ होती है।

क्यूबिक फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन के ग्राफ में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है।इसमें दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित), एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम हो सकता है।अन्यथा, एक क्यूबिक फ़ंक्शन एकरस है।एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है;यही है, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।एक affine परिवर्तन तक , क्यूबिक कार्यों के लिए केवल तीन संभावित रेखांकन हैं।

क्यूबिक कार्य क्यूबिक प्रक्षेप के लिए मौलिक हैं।

इतिहास

Main article: Cubic equation § History

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

File:Cubic graph special points.svg

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

एक क्यूबिक फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) इसके स्थिर बिंदु हैं, यही वे बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का ढलान शून्य है। इस प्रकार एक क्यूबिक फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु f द्वारा परिभाषित

f(x) = ax³ + bx² + cx + d,

के मूल्यों पर होना x ऐसा कि व्युत्पन्न

$3ax^{2}+2bx+c=0$

क्यूबिक फ़ंक्शन शून्य है।

इस समीकरण के समाधान हैं xक्रिटिकल पॉइंट्स के -values और दिए गए हैं, द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए,

$x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.$

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है।यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम है, और दूसरा एक स्थानीय न्यूनतम है।यदि b² – 3ac = 0, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है।यदि b² – 3ac < 0, फिर कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।दो बाद के मामलों में, अर्थात्, अगर b² – 3ac नॉनपोजिटिव है, क्यूबिक फ़ंक्शन कड़ाई से मोनोटोनिक है।मामले के एक उदाहरण के लिए आंकड़ा देखें Δ₀ > 0।

एक फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु वह जगह है जहां वह फ़ंक्शन दूसरे व्युत्पन्न#concavity को बदलता है। का विभक्ति बिंदु कहा जाता है एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न नॉनज़ेरो है।इस प्रकार एक क्यूबिक फ़ंक्शन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो होता है

$x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.$

वर्गीकरण

File:Cubic function (different c).svg

रूप के घन कार्य $y=x^{3}+cx.$
किसी भी क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह के वक्र के लिए समानता (ज्यामिति) है।

क्यूबिक फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन का ग्राफ एक क्यूबिक वक्र है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र कार्यों के ग्राफ़ नहीं हैं।

यद्यपि क्यूबिक फ़ंक्शन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं।वास्तव में, एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा फॉर्म के फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए समानता (ज्यामिति) होता है

$y=x^{3}+px.$ इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवाद ों की संरचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक एक प्रकार का (एक समान स्केलिंग ), और, संभवतः, एक प्रतिबिंब (गणित) (मिरर छवि) के संबंध में y-एक्सिस।एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ को तीन क्यूबिक कार्यों में से एक के ग्राफ में बदल सकता है

${\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}$

इसका मतलब यह है कि क्यूबिक कार्यों के केवल तीन रेखांकन एक एफाइन परिवर्तन तक हैं।

उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तन ों को निम्नलिखित तरीके से बनाया जा सकता है, जब एक सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होता है

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, अगर a < 0, चर का परिवर्तन x → –x दमन करने की अनुमति देता है a > 0।चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले एक की दर्पण छवि है, के संबंध में y-एक्सिस।

फिर, चर का परिवर्तन x = x₁ – b/3a फॉर्म का एक कार्य प्रदान करता है

$y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.$

यह एक अनुवाद के समानांतर से मेल खाता है x-एक्सिस।

चर का परिवर्तन y = y₁ + q के संबंध में एक अनुवाद से मेल खाती है y-एक्सिस, और फॉर्म का एक कार्य देता है

$y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.$

चर का परिवर्तन $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ एक समान स्केलिंग से मेल खाती है, और द्वारा गुणन के बाद देता है ${\sqrt {a}},$ प्रपत्र का एक कार्य

$y_2$