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R² के जुड़े और डिस्कनेक्ट किए गए उपस्थान

File:बस कनेक्टेड, कनेक्टेड और नॉन-कनेक्टेड स्पेस.svg

ऊपर से नीचे: लाल स्थान A, गुलाबी स्थान B, पीला स्थान

C और नारंगी स्थान D सभी हैं कनेक्टेड स्पेस,जबकि ग्रीन स्पेस E (उपसमुच्चय से बना है E₁, E₂, E₃, and E₄) है डिस्कनेक्ट किया गया. आगे, A and B भी हैं सिम्पली कनेक्टेड (जीनस

0), जबकिC तथाD नहीं हैं: C जीनस है 1 तथाD जीनस 4 है।

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, जुड़ा हुआ स्थान एक संस्थानिक स्थान है जिसे दो या दो से अधिक असंयुक्त गैर-रिक्त खुले उप-समुच्चय के संघ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। जुड़ाव एक प्रमुख टोपोलॉजिकल गुणों में से एक है जिसका उपयोग संस्थानिक स्थान को भिन्न करने के लिए किया जाता है।

संस्थानिक स्थान का एक उप-समुच्चय $X$ एक जुड़ा हुआ समूह है, यदि इसे $X$ के उप-स्थान टोपोलॉजी के रूप में देखा जाए तो यह एक जुड़ा हुआ स्थान है|

कुछ संबंधित लेकिन मजबूत स्थितियाँ पथ जुड़ाव हैं, सरल रूप से $n$ -जुड़ा हुआ स्थान हैं। एक अन्य संबंधित धारणा स्थानीय रूप से जुड़ी हुई है, जिसका न तो अर्थ है और न ही संबद्धता का अनुसरण करती है।

औपचारिक परिभाषा

एक संस्थानिक स्थान $X$ को डिसकनेक्टेड कहा जाता है यदि दो भिन्न -भिन्न गैर-खाली खुले समूहों का मिलन है। अन्यथा, $X$ को जुड़ा कहा जाता है। एक संस्थानिक स्थान के उप-स्थान को जुड़ा कहा जाता है यदि उप-स्थान टोपोलॉजी के अंतर्गत जुड़ा हुआ है। कुछ लेखक खाली समूह को एक जुड़ा हुआ स्थान के रूप में बाहर करते हैं, लेकिन यह लेख उस अभ्यास का पालन नहीं करता है।

एक संस्थानिक स्थान के लिए $X$ निम्नलिखित प्रतिबंध समतुल्य हैं:

$X$ जुड़ा हुआ है, इसे दो भिन्न -भिन्न गैर-खाली खुले समूहों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
$X$ के एकमात्र उप-समुच्चय खुले और बंद (क्लोपेन समूह) दोनों प्रकार के होते हैं $X$ खाली समूह हैं।
खाली सीमा के साथ $X$ के एकमात्र उप-समुच्चय $X$ और खाली समूह हैं।
$X$ को दो गैर-खाली भिन्न समूहों के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है (समूह जिसके लिए प्रत्येक दूसरे के बंद होने से भिन्न है)।
$X$ से $\{0,1\}$ तक सभी निरंतर कार्य स्थिर हैं, जहां प्रदर्शन शैली $\{0,1\}$ असतत टोपोलॉजी से संपन्न दो-बिंदु स्थान है| ऐतिहासिक रूप से जुड़ाव की धारणा का यह आधुनिक सूत्रीकरण दो भिन्न -भिन्न समूहों में $X$ के विभाजन के बिना) पहली बार (स्वतंत्र रूप से) 20वीं दशक की शुरुआत में एन. विवरण के लिए देखें | ^[1]

जुड़े हुए घटक

संस्थानिक स्थान $X,$ में कुछ बिंदु $x$ दिए गए हैं, जुड़े हुए उप-समुच्चयों के किसी भी संग्रह का संघ जैसे कि प्रत्येक में $x$ सम्मलित है| $X$ में एक बिंदु $x$ का जुड़ा हुआ घटक $X$ के सभी जुड़े उप-समूहों का संघ है जिसमें $x;$ सम्मलित है|अद्वितीय सबसे बड़ा (के संबंध में $\subseteq$ ) $X$ का जुड़ा उप-समुच्चयों उसमें $x.$ सम्मिलित है | एक गैर-खाली संस्थानिक स्थान के अधिकतम तत्व जुड़ा हुआ उपसमुच्चय (समावेशी द्वारा आदेशित $\subseteq$ ) के स्थान को जुड़े हुए घटक कहा जाता है। किसी भी संस्थानिक स्थान के घटक $X$ का एक विभाजन बनाते हैं | वे भिन्न हैं, अरिक्त हैं और उनका मिलन संपूर्ण स्थान है। प्रत्येक घटक मूल स्थान का एक बंद उप-समुच्चय है। यह इस प्रकार है कि, इस स्थिति में जहां उनकी संख्या परिमित है, प्रत्येक घटक भी खुला उप-समुच्चय है। चूंकि, यदि उनकी संख्या अनंत है, तो यह स्थिति नहीं हो सकती है; उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय से जुड़े घटक एक-बिंदु समुच्चय (सिंगलटन ) हैं, जो खुले नहीं हैं। उपपत्ति: कोई भी दो भिन्न परिमेय संख्याएँ $q_{1}<q_{2}$ विभिन्न घटकों में हैं। एक अपरिमेय संख्या लीजिए $q_{1}<r<q_{2},$ और फिर समुच्चय करें $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ तथा $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ फिर $(A,B)$ का वियोग है $\mathbb {Q} ,$ तथा $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ . इस प्रकार प्रत्येक घटक एक-बिंदु समुच्चय है।

मान लें कि $x$ का संस्थानिक स्थान $X,$ से जुड़ा हुआ है। (जिसे $x.$ का अर्ध-घटक कहा जाता है) क्लोपेन समुच्चय का प्रतिच्छेदन है फिर $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ जहां समानता रखती है फिर $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ जहां समानता रखती है

[1]

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 [[File:Path-connected space.svg|thumb|R² का यह उपस्थान पथ से जुड़ा हुआ है, क्योंकि अंतरिक्ष में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच एक पथ खींचा जा सकता है।]]ए{{visible anchor|पथ से जुड़ा स्थान
 }} जुड़ाव की एक शक्तिशाली धारणा है, जिसके लिए पथ की संरचना की आवश्यकता होती है। एक [[पथ (टोपोलॉजी)|(टोपोलॉजी) पथ]] स्थान में बिंदु <math>x</math> से <math>y</math> तक का पथ <math>X</math> एक निरंतर फलन है| <math>f</math> [[इकाई अंतराल]] से <math>[0,1]</math> से प्रति <math>X</math> साथ <math>f(0)=x</math> तथा <math>f(1)=y</math>. <math>X</math> का {{visible anchor|पथ-घटक
-}} तुल्यता संबंध के अंतर्गत <math>X</math> का एक तुल्यता वर्ग है जो <math>x</math> को <math>y</math> के समतुल्य बनाता है यदि <math>x</math> प्रति <math>y</math>. स्थान  <math>X</math> को पथ जुड़ाव कहा जाता है अगर कुल एक पथ घटक है यदि कोई दो बिंदुओं <math>X</math> में सम्मलित होने वाला मार्ग है| फिर से, कई लेखक खाली स्थान को बाहर कर देते हैं (इस परिभाषा के अनुसार, चूंकि, खाली स्थान पथ से जुड़ा नहीं है क्योंकि इसमें शून्य पथ-घटक हैं; खाली समुच्चय पर एक अद्वितीय तुल्यता संबंध है जिसमें शून्य तुल्यता वर्ग है)।
+}} तुल्यता संबंध के अंतर्गत <math>X</math> का एक तुल्यता वर्ग है जो <math>x</math> को <math>y</math> के समतुल्य बनाता है यदि <math>x</math> प्रति <math>y</math>. स्थान  <math>X</math> को पथ जुड़ाव कहा जाता है यदि कुल एक पथ घटक है यदि कोई दो बिंदुओं <math>X</math> में सम्मलित होने वाला मार्ग है| फिर से, कई लेखक खाली स्थान को बाहर कर देते हैं (इस परिभाषा के अनुसार, चूंकि, खाली स्थान पथ से जुड़ा नहीं है क्योंकि इसमें शून्य पथ-घटक हैं; खाली समुच्चय पर एक अद्वितीय तुल्यता संबंध है जिसमें शून्य तुल्यता वर्ग है)।
 प्रत्येक पथ स्थान से जुड़ा हुआ है। इसका विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है: जुड़े हुए स्थान के उदाहरण जो पथ से जुड़े नहीं हैं उनमें विस्तारित लंबी रेखा <math>L^*</math>और  टोपोलॉजिस्ट की ज्या वक्र सम्मलित है|
-[[वास्तविक रेखा]] के उपसमुच्चय <math>\R</math> जुड़े हुए हैं [[अगर और केवल अगर|यदि केवल]] वे पथ से जुड़े हुए हैं; ये उपसमुच्चय <math>R</math> के [[अंतराल (गणित)]] हैं .
+[[वास्तविक रेखा]] के उप-समुच्चय <math>\R</math> जुड़े हुए हैं [[यदि केवल]] वे पथ से जुड़े हुए हैं; ये उप-समुच्चय <math>R</math> के [[अंतराल (गणित)]] हैं .
-साथ ही,<math>\R^n</math> या <math>\C^n</math> के उपसमुच्चय खुले जुड़े हुए हैं और केवल वे पथ से जुड़े हुए हैं।
+साथ ही,<math>\R^n</math> या <math>\C^n</math> के उप-समुच्चय खुले जुड़े हुए हैं और केवल वे पथ से जुड़े हुए हैं।
 इसके अतिरिक्त, [[परिमित सामयिक स्थान|परिमित सामयिक स्थानों]] के लिए जुड़ाव और पथ-जुड़ाव समान हैं।
 == चाप जुड़ाव == <!-- स्थान जुड़ाव चाप _जुड़ाव इस उपखंड पर रीडायरेक्ट करता है -->
-एक स्थान <math>X</math> चाप जुड़ा हुआ या चाप वार जुड़ाव कहा जाता है यदि कोई दो [[टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न ]]-भिन्न बिंदुओं को एक पथ (टोपोलॉजी) से जोड़ा जा सकता है, जो एक [[टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग]] है <math>f : [0, 1] \to X</math>. का चाप-घटक <math>X</math> का अधिकतम चाप-जुड़ाव उपसमुच्य है <math>X</math>; या समतुल्य रूप से समतुल्य संबंध का एक तुल्यता वर्ग कि क्या दो बिंदुओं को एक चाप से जोड़ा जा सकता है या एक ऐसे पथ से जिसके बिंदु स्थलीय रूप से अप्रभेद्य हैं।
+एक स्थान <math>X</math> चाप जुड़ा हुआ या चाप वार जुड़ाव कहा जाता है यदि कोई दो [[टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न ]]-भिन्न बिंदुओं को एक पथ (टोपोलॉजी) से जोड़ा जा सकता है, जो एक [[टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग]] है <math>f : [0, 1] \to X</math>. का चाप-घटक <math>X</math> का अधिकतम चाप-जुड़ाव उप-समुच्य है <math>X</math>; या समतुल्य रूप से समतुल्य संबंध का एक तुल्यता वर्ग कि क्या दो बिंदुओं को एक चाप से जोड़ा जा सकता है या एक ऐसे पथ से जिसके बिंदु स्थलीय रूप से अप्रभेद्य हैं।
 प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थान जो पथ से जुड़ा हुआ है, चाप से भी जुड़ा हुआ है; अधिक सामान्यतः यह एक कमजोर हौसडॉर्फ स्थान के लिए सही है<math>\Delta</math>-हॉसडॉर्फ स्थान, जो एक ऐसा स्थान है जहां पथ (टोपोलॉजी) की प्रत्येक छवि बंद है। एक ऐसे स्थान का उदाहरण जो पथ से जुड़ा हुआ है लेकिन चाप से जुड़ा नहीं है, दो मूल के साथ रेखा द्वारा दिया गया है; इसकी दो प्रतियां <math>0</math> पथ से जोड़ा जा सकता है लेकिन चाप से नहीं।
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 पथ से जुड़े रिक्त स्थान के लिए अंतर्ज्ञान चाप से जुड़े रिक्त स्थान पर आसानी से स्थानांतरित नहीं होता है। होने देना <math>X</math> दो मूल वाली रेखा हो। निम्नलिखित तथ्य हैं जिनके अनुरूप पथ से जुड़े रिक्त स्थान के लिए हैं, लेकिन चाप से जुड़े रिक्त स्थान के लिए नहीं हैं:
-चाप -जुड़ाव स्थान की निरंतर छवि चाप-जुड़ाव नहीं हो सकती है: उदाहरण के लिए, चाप -जुड़ाव स्थान से उसके भागफल के लिए बहुत से (कम से कम 2) टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न -भिन्न बिंदुओं के साथ एक लब्धि नक्शा बहुत छोटा होने के कारण चाप -जुड़ाव नहीं किया जा सकता है। प्रमुखता।
+चाप -जुड़ाव स्थान की निरंतर छवि चाप-जुड़ाव नहीं हो सकती है: उदाहरण के लिए, चाप -जुड़ाव स्थान से उसके भागफल के लिए बहुत से (कम से कम 2) टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न -भिन्न बिंदुओं के साथ एक लब्धि चित्र बहुत छोटा होने के कारण चाप -जुड़ाव नहीं किया जा सकता है। प्रमुखता।
 * चाप-घटक असंयुक्त नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, <math>X</math> दो अतिव्यापी चाप-घटक हैं।
 * चाप -जुड़ाव स्थान का उत्पादनहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, <math>X \times \mathbb{R}</math> चाप से जुड़ा है, लेकिन <math>X</math> नहीं है।
 * किसी उत्पाद स्थान के चाप-घटक सीमांत स्थानों के चाप-घटकों के उत्पाद नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, <math>X \times \mathbb{R}</math> एक चाप-घटक है, लेकिन <math>X</math> दो चाप-घटक हैं।
-*यदि चाप से जुड़े उपसमुच्चय में एक गैर-खाली चौराहा है, तो उनका संघ चाप से जुड़ा नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, के चाप-घटक <math>X</math> प्रतिच्छेद करते हैं, लेकिन उनका मिलन चाप से जुड़ा नहीं है।
+*यदि चाप से जुड़े उप-समुच्चय में एक गैर-खाली अंतःखण्ड है, तो उनका संघ चाप से जुड़ा नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, के चाप-घटक <math>X</math> प्रतिच्छेद करते हैं, लेकिन उनका मिलन चाप से जुड़ा नहीं है।
 स्थानीय जुड़ाव <!-- उसका खंड [[ढका हुआ स्थान]] --> से जुड़ा हुआ है

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