अमूर्त बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 17:51, 31 December 2022

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।^[1] बीजगणितीय संरचनाओं में समूह, वलय, क्षेत्र, मॉड्यूल, सदिश स्थान, लैटिस (क्रम) और एक क्षेत्र पर बीजगणित सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द 20वीं शताब्दी के आरम्भ में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को पृथक करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से प्राथमिक बीजगणित से, संगणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग हैं।

बीजगणितीय संरचनाएं, उनकी संबद्ध समरूपता के साथ, गणितीय श्रेणी बनाती हैं। श्रेणी सिद्धांत एक औपचारिकता है जो विभिन्न संरचनाओं के समान गुणों और निर्माणों को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत पद्धति की अनुमति देता है।

सार्वभौमिक बीजगणित एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एक एकल वस्तु है,और जिसे समूहों की विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) कहा जाता है।

इतिहास

उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित का अर्थ बहुपद समीकरणों के समाधान का अध्ययन था। सार बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के समय अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों के विकास के रूप में अस्तित्व में आया था।अमूर्त बीजगणित शब्द को 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित के अन्य हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को अलग करने के लिए तैयार किया गया था। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और बीजगणितीय समीकरण के समाधान से आए हैं। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, गणित की विभिन्न शाखाओं से भिन्न तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो कि एक कोर के रूप में कार्य करता था जिसके चारों ओर विभिन्न परिणाम समूहित किए गए थे, और अंततः अवधारणाओं के एक सामान्य समूह के आधार पर एकीकृत हो गया था। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के आरम्भिक दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, रिंगों और क्षेत्रों की औपचारिक स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ सामने आईं।^[2] यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डन का मॉडर्न बीजगणित,^[3] जो प्रत्येक अध्याय को संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ आरम्भ करते हैं और उसके बाद ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करते हैं।^[4]

प्रारंभिक बीजगणित

बहुपद समीकरणों या बीजगणितीय समीकरण के अध्ययन का एक लंबा इतिहास रहा है। १८०० ई. से पहले गणित का सरोकार मुख्यतः दो सामान्य समझ-बूझ की संकल्पनाओं, संख्या और आकृति से था। १९वीं शताब्दी के आरम्भ में दो नए विचारों ने गणित के क्षेत्र को एकदम विस्तृत कर दिया ।1700 ई.पू. के आसपास, बेबीलोनिया शब्द समस्याओं के रूप में निर्दिष्ट द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम थे। इस शब्द समस्या चरण को आलंकारिक बीजगणित के रूप में वर्गीकृत किया गया है और 16वीं शताब्दी तक यह प्रभावी दृष्टिकोण था। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने 830 ईस्वी में बीजगणित शब्द की उत्पत्ति की थी, लेकिन उनका काम पूरी तरह अलंकारिक बीजगणित था। पूरी तरह से प्रतीकात्मक बीजगणित फ्रांकोइस विएते के 1591 नया बीजगणित तक प्रकट नहीं हुआ था, और यहां तक कि इसमें कुछ वर्तनी वाले शब्द थे जिन्हें डेसकार्टेस के 1637 कानून ज्यामिति में प्रतीक दिए गए थे।^[5] प्रतीकात्मक समीकरणों को हल करने के औपचारिक अध्ययन ने लियोनहार्ड यूलर को 18वीं शताब्दी के अंत में नकारात्मक संख्याओं और काल्पनिक संख्या जैसी निरर्थक जड़ों को स्वीकार करने के लिए प्रेरित किया गया।^[6] यद्यपि, यूरोपीय गणितज्ञों ने, अधिकांश भाग के लिए, 19वीं शताब्दी के मध्य तक इन अवधारणाओं का विरोध किया।^[7] जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) का 1830 का बीजगणित का ग्रंथ बीजगणित को कड़ाई से प्रतीकात्मक आधार पर रखने का पहला प्रयास था। और उन्होंने पुराने अंकगणितीय बीजगणित से अलग एक नए प्रतीकात्मक बीजगणित को प्रतिष्ठित किया। जबकि अंकगणित बीजगणित में $a-b$ तक सीमित है $a\geq b$ , प्रतीकात्मक बीजगणित में संचालन के सभी नियम बिना किसी प्रतिबंध के लागू होते हैं। इसका उपयोग करके मोर जैसे कानून दिखा सकता है $(- a)$

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-{{about|the branch of mathematics|the Swedish band|Abstrakt Algebra}}
+[[गणित]] में, विशेष रूप से [[बीजगणित]] में, '''अमूर्त बीजगणित''' या आधुनिक बीजगणित [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का अध्ययन है।<ref>{{Cite book |last1=Finston |first1=David R. |url=https://www.google.com/books/edition/Abstract_Algebra/rLZjBAAAQBAJ?hl=en&gbpv=1 |title=सार बीजगणित: संरचना और अनुप्रयोग|last2=Morandi |first2=Patrick J. |date=29 August 2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-04498-9 |page=58 |language=en |quote=अमूर्त बीजगणित के हमारे अधिकांश अध्ययन में संरचनाओं और उनके कार्यों का विश्लेषण शामिल है}}</ref> बीजगणितीय संरचनाओं में [[समूह (गणित)|समूह]], वलय, [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]], [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]], सदिश स्थान, लैटिस (क्रम) और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द 20वीं शताब्दी के आरम्भ में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को पृथक करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से [[प्राथमिक बीजगणित]] से, संगणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[चर (गणित)|चर]] का उपयोग हैं।
-{{Redirect|Modern algebra|van der Waerden's book|Moderne Algebra}}
-{{More footnotes|date=June 2019}}गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणित]] में, अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का अध्ययन है।<ref>{{Cite book |last1=Finston |first1=David R. |url=https://www.google.com/books/edition/Abstract_Algebra/rLZjBAAAQBAJ?hl=en&gbpv=1 |title=सार बीजगणित: संरचना और अनुप्रयोग|last2=Morandi |first2=Patrick J. |date=29 August 2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-04498-9 |page=58 |language=en |quote=अमूर्त बीजगणित के हमारे अधिकांश अध्ययन में संरचनाओं और उनके कार्यों का विश्लेषण शामिल है}}</ref> बीजगणितीय संरचनाओं में [[समूह (गणित)|समूह]] , वलय , [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] , [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] , सदिश स्थान, लैटिस (क्रम) और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द 20वीं शताब्दी के आरम्भ में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को पृथक करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से [[प्राथमिक बीजगणित]] से, संगणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[चर (गणित)|चर]]  का उपयोग।बीजगणित के प्रगत अमूर्त भाग को अमूर्त बीजगणित कहते हैं।
-बीजगणितीय संरचनाएं, उनकी संबद्ध [[समरूपता]] के साथ,  गणितीय [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]]  बनाती हैं। [[श्रेणी सिद्धांत]] एक औपचारिकता है जो विभिन्न संरचनाओं के समान गुणों और निर्माणों को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत पद्धति की अनुमति देता है।
+बीजगणितीय संरचनाएं, उनकी संबद्ध [[समरूपता]] के साथ, गणितीय [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] बनाती हैं। [[श्रेणी सिद्धांत]] एक औपचारिकता है जो विभिन्न संरचनाओं के समान गुणों और निर्माणों को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत पद्धति की अनुमति देता है।
 [[सार्वभौमिक बीजगणित]] एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एक एकल वस्तु है,और जिसे समूहों की [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)]] कहा जाता है।
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 उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित का अर्थ बहुपद समीकरणों के समाधान का अध्ययन था। सार बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के समय अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों के विकास के रूप में अस्तित्व में आया था।अमूर्त बीजगणित शब्द को 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित के अन्य हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को अलग करने के लिए तैयार किया गया था। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और [[बीजगणितीय समीकरण]] के समाधान से आए हैं। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, गणित की विभिन्न शाखाओं से भिन्न तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो कि एक कोर के रूप में कार्य करता था जिसके चारों ओर विभिन्न परिणाम समूहित किए गए थे, और अंततः अवधारणाओं के एक सामान्य समूह के आधार पर एकीकृत हो गया था। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के आरम्भिक दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, रिंगों और क्षेत्रों की औपचारिक [[स्वयंसिद्ध]] परिभाषाएँ सामने आईं।{{sfn|Kleiner|2007|pp=xi-xii}} यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डन का मॉडर्न बीजगणित,<ref>{{Cite book |last=van der Waerden |first=Bartel Leendert |title=आधुनिक बीजगणित। वॉल्यूम I|publisher=Frederick Ungar Publishing Co. |year=1949 |location=New York, N. Y. |translator-last=Blum |translator-first=Fred |mr=0029363}}</ref> जो प्रत्येक अध्याय को संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ आरम्भ करते हैं और उसके बाद ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करते हैं।{{sfn|Kleiner|2007|p=41}}
 === प्रारंभिक बीजगणित ===
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 === प्रारंभिक समूह सिद्धांत ===
 {{Main|History of group theory}}
-गणित के कई क्षेत्रों ने समूहों के अध्ययन का नेतृत्व किया। लैग्रेंज के 1770 में क्विंटिक के समाधान के अध्ययन ने एक बहुपद के गैलोज़ समूह का नेतृत्व किया। फ़र्मेट की छोटी प्रमेय के गॉस के 1801 के अध्ययन ने [[पूर्णांक मॉड्यूलो एन की अंगूठी]], पूर्णांक मॉड्यूलो एन के गुणक समूह और [[चक्रीय समूह]] और [[एबेलियन समूह]] की अधिक सामान्य अवधारणाओं का नेतृत्व किया। क्लेन के 1872 [[एर्लांगेन कार्यक्रम]] ने ज्यामिति का अध्ययन किया और [[यूक्लिडियन समूह]] और प्रक्षेपी परिवर्तनों के समूह जैसे [[समरूपता समूह]] का नेतृत्व किया। 1874 में ली ने [[झूठ समूह]] के सिद्धांत का आरम्भ किया , जिसका उद्देश्य अंतर समीकरणों के गाल्वा सिद्धांत के लिए था। 1976 में पोंकारे और क्लेन ने विश्लेषण में ऑटोमोर्फिक कार्यों पर काम के आधार पर मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के समूह और इसके उपसमूहों जैसे कि [[मॉड्यूलर समूह]] और फुच्सियन समूह की शुरुआत की।{{sfn|Kleiner|2007|pp=17-22}}
+गणित के कई क्षेत्रों ने समूहों के अध्ययन का नेतृत्व किया। लैग्रेंज के 1770 में क्विंटिक के समाधान के अध्ययन ने एक बहुपद के गैलोज़ समूह का नेतृत्व किया। फ़र्मेट की छोटी प्रमेय के गॉस के 1801 के अध्ययन ने [[पूर्णांक मॉड्यूलो एन की अंगूठी]], पूर्णांक मॉड्यूलो एन के गुणक समूह और [[चक्रीय समूह]] और [[एबेलियन समूह]] की अधिक सामान्य अवधारणाओं का नेतृत्व किया। क्लेन के 1872 [[एर्लांगेन कार्यक्रम]] ने ज्यामिति का अध्ययन किया और [[यूक्लिडियन समूह]] और प्रक्षेपी परिवर्तनों के समूह जैसे [[समरूपता समूह]] का नेतृत्व किया। 1874 में ली ने [[झूठ समूह]] के सिद्धांत का आरम्भ किया, जिसका उद्देश्य अंतर समीकरणों के गाल्वा सिद्धांत के लिए था। 1976 में पोंकारे और क्लेन ने विश्लेषण में ऑटोमोर्फिक कार्यों पर काम के आधार पर मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के समूह और इसके उपसमूहों जैसे कि [[मॉड्यूलर समूह]] और फुच्सियन समूह की शुरुआत की।{{sfn|Kleiner|2007|pp=17-22}}
 उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में समूह की अमूर्त अवधारणा धीरे-धीरे उभरी। 1832 में गैल्वा ने "ग्रुप" शब्द का प्रयोग सबसे पहले किया था।<ref name="AbsGroup">{{MacTutor|class=HistTopics|id=Abstract_groups|title=The abstract group concept}}</ref> रचना के अधीन बंद किए गए क्रमपरिवर्तनों के संग्रह को दर्शाता है।{{sfn|Kleiner|2007|p=23}} [[आर्थर केली]] के 1854 के पेपर ऑन द थ्योरी ऑफ ग्रुप्स ने एक समूह को एक साहचर्य रचना संचालन और पहचान 1 के साथ एक समूह के रूप में परिभाषित किया, जिसे आज एक [[मोनोइड]] कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Cayley |first=A. |date=1854 |title=समूहों के सिद्धांत पर, जैसा कि प्रतीकात्मक समीकरण θ<sup>n</sup> = 1 पर निर्भर करता है|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=pst.000068485757;view=1up;seq=54 |journal=Philosophical Magazine |series=4th series |volume=7 |issue=42 |pages=40–47 |doi=10.1080/14786445408647421}}</ref> 1870 में क्रोनकर ने एक अमूर्त द्विआधारी संक्रिया को परिभाषित किया जो बंद, क्रमविनिमेय, साहचर्य था, और जिसमें बाईं रद्दीकरण संपत्ति थी <math>b\neq c \to a\cdot b\neq a\cdot c</math>,<ref>{{Cite book |last=Kronecker |first=Leopold |url=https://archive.org/details/leopoldkronecke00berlgoog/page/274/mode/2up?view=theater |title=लियोपोल्ड क्रोनकर की कृतियाँ: रॉयल प्रशिया विज्ञान अकादमी की पहल पर प्रकाशित|date=1895 |publisher=Leipzig ; Berlin : B.G. Teubner |editor-last=Hensel |editor-first=Kurt |page=275 |chapter=Auseinandeesetzung einiger eigenschaften der klassenanzahl idealer complexer zahlen |trans-chapter=An exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers}}</ref> परिमित एबेलियन समूह के लिए आधुनिक कानूनों के समान।{{sfn|Kleiner|2007|p=27}} वेबर की 1882 में एक समूह की परिभाषा एक बंद द्विआधारी संक्रिया थी जो साहचर्य था और बाएं और दाएं रद्दीकरण था।{{sfn|Kleiner|2007|p=32}} 1882 में [[वाल्थर वॉन डाइक]] एक समूह की परिभाषा के भाग के रूप में व्युत्क्रम तत्वों की आवश्यकता वाले पहले व्यक्ति थे।{{sfn|Kleiner|2007|p=33}}
 एक बार इस सार समूह की अवधारणा उभरने के बाद, इस अमूर्त समुच्चयन में परिणामों का सुधार किया गया। उदाहरण के लिए, साइलो के प्रमेय को 1887 में सीधे एक परिमित समूह के कानूनों से फ्रोबेनियस द्वारा पुन: प्रमाणित किया गया था, यद्यपि फ्रोबेनियस ने टिप्पणी की थी कि प्रमेय क्रमपरिवर्तन समूहों पर कॉची के प्रमेय से अनुसरण करता है और तथ्य यह है कि प्रत्येक परिमित समूह एक क्रमचय समूह का एक उपसमूह है।{{sfn|Kleiner|2007|p=34}}<ref>{{Cite journal |last=Frobenius |first=G. |date=April 2008 |orig-date=1887 |title=साइलो के प्रमेय का नया प्रमाण|trans-title=New Proof of Sylow's Theorem |url=http://mmsengineering.ca/sasha-web/resources/frobenius/gutfraind_Frobenius1887.pdf |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=1887 |issue=100 |pages=179–181 |doi=10.1515/crll.1887.100.179 |s2cid=117970003 |lang=de |translator-first=Sasha |translator-last=Gutfraind}}</ref> ओटो होल्डर इस क्षेत्र में विशेष रूप से विपुल थे, 1889 में भागफल समूहों को परिभाषित करते हुए, 1893 में समूह ऑटोमोर्फिज्म, साथ ही साथ सरल समूह। उन्होंने जॉर्डन-होल्डर प्रमेय को भी पूरा किया। डेडेकिंड और मिलर ने स्वतंत्र रूप से [[हैमिल्टनियन समूह]] की विशेषता बताई और दो तत्वों के [[कम्यूटेटर]] की धारणा प्रस्तुत की। बर्नसाइड, फ्रोबेनियस और मोलियन ने उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में परिमित समूहों के [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] का निर्माण किया।{{sfn|Kleiner|2007|p=34}} जेए डी सेगुएर के 1904 मोनोग्राफ एलिमेंट्स ऑफ द थ्योरी ऑफ एब्स्ट्रैक्ट ग्रुप्स ने इनमें से कई परिणामों को अमूर्त, सामान्य रूप में प्रस्तुत किया, और ठोस समूहों को एक परिशिष्ट में बदल दिया, यद्यपि यह परिमित समूहों तक सीमित था। दोनों परिमित और अनंत अमूर्त समूहों पर पहला मोनोग्राफ ओ. के. श्मिट का 1916 का समूह का सार सिद्धांत था।{{sfn|Kleiner|2007|p=35}}
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 के दशक में, रीमैन ने [[रीमैन सतह]] की मौलिक अवधारणा प्रस्तुत की। रीमैन के तरीके एक धारणा पर निर्भर थे जिसे उन्होंने डिरिक्लेट का सिद्धांत कहा था,{{sfn|Kleiner|2007|p=54}} जिस पर 1870 में वीयरस्ट्रास ने सवाल उठाया था।और बहुत बाद में, 1900 में, हिल्बर्ट ने विविधताओं की कलन में प्रत्यक्ष विधि विकसित करके रीमैन के दृष्टिकोण को सही ठहराया।<ref>{{harvnb|Monna|1975|pp=55–56}}, citing {{Citation |last=Hilbert |first=David |title=Über das Dirichletsche Prinzip |work=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=129 |pages=63–67 |year=1905 |language=de}}</ref> 1860 और 1870 के दशक में, क्लेबश, गोर्डन, ब्रिल और विशेष रूप से मैक्स नोथेर|एम. नोथेर ने [[बीजगणितीय कार्य]] और वक्रों का अध्ययन किया। विशेष रूप से, नोथेर ने बहुपद रिंग में दो बीजगणितीय वक्रों द्वारा उत्पन्न आदर्श का एक तत्व होने के लिए बहुपद के लिए आवश्यक शर्तों का अध्ययन किया। <math>\mathbb{R}[x, y]</math>, यद्यपि नोथेर ने इस आधुनिक भाषा का उपयोग नहीं किया। 1882 में डेडेकिंड और वेबर ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत पर डेडेकिंड के पहले के काम के अनुरूप, [[बीजगणितीय कार्य क्षेत्र]] का एक सिद्धांत बनाया, जिसने रीमैन सतह की पहली कठोर परिभाषा और रीमैन-रोच प्रमेय के कठोर प्रमाण की अनुमति दी। 1880 के दशक में क्रोनेकर, 1890 में हिल्बर्ट, 1905 में लास्कर, और 1913 में मैकाले ने एमी नोथेर|ई में निहित बहुपद वलयों के आदर्शों की और जांच की। नोदर का काम। लास्कर ने लास्कर-नोथेर प्रमेय के एक विशेष मामले को सिद्ध किया, अर्थात् बहुपद वलय में प्रत्येक आदर्श [[प्राथमिक आदर्श]] का एक परिमित चौराहा है। मैकाले ने इस अपघटन की विशिष्टता को सिद्ध किया।{{sfn|Kleiner|2007|pp=54-57}} कुल मिलाकर, इस काम से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का विकास हुआ।{{sfn|Kleiner|2007|p=42}}
 में गॉस ने पूर्णांकों पर द्विघात द्विघात रूपों को प्रस्तुत किया और उनके द्विघात द्विघात रूप समानक को परिभाषित किया। उन्होंने आगे इन रूपों के विवेचक को परिभाषित किया, जो एक द्विआधारी रूप का एक अपरिवर्तनीय है। 1860 और 1890 के दशक के बीच [[अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] विकसित हुआ और बीजगणित का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। केली, सिल्वेस्टर, गोर्डन और अन्य ने [[द्विआधारी द्विघात रूप]] और क्यूबिक फॉर्म के लिए [[जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक]] और [[हेसियन मैट्रिक्स]] पाया।{{sfn|Kleiner|2007|pp=57-58}} 1868 में गोर्डन ने सिद्ध किया कि जटिल संख्याओं के ऊपर बाइनरी फॉर्म के इनवेरिएंट्स का ग्रेडेड बीजगणित अंतिम रूप से उत्पन्न हुआ था, अर्थात इसका एक आधार है।<ref>{{Citation |last=Gordan |first=Paul |title=Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist |url=https://zenodo.org/record/1448894 |work=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=1868 |issue=69 |pages=323–354 |year=1868 |doi=10.1515/crll.1868.69.323 |s2cid=120689164}}</ref> हिल्बर्ट ने 1885 में आक्रमणकारियों पर एक थीसिस लिखी और 1890 में दिखाया कि किसी भी डिग्री या चर की संख्या के किसी भी रूप का एक आधार होता है। उन्होंने इसे 1890 में हिल्बर्ट के आधार प्रमेय में आगे बढ़ाया।{{sfn|Kleiner|2007|p=58}}
-एक बार जब ये सिद्धांत विकसित हो गए थे, तब तक कई दशक हो गए थे जब तक कि एक अमूर्त अंगूठी की अवधारणा सामने नहीं आई। पहली स्वयंसिद्ध परिभाषा 1914 में [[अब्राहम फ्रेंकेल]] द्वारा दी गई थी।{{sfn|Kleiner|2007|p=58}} उनकी परिभाषा मुख्य रूप से मानक स्वयंसिद्ध थी: दो संक्रियाओं के योग के साथ एक समूह , जो एक समूह बनाता है (आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं), और गुणन, जो साहचर्य है, जोड़ पर वितरित करता है, और एक पहचान तत्व है।<ref>Frankel, A. (1914) "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Math. 145: 139–176</ref> इसके अतिरिक्त, उनके पास [[मेरा मतलब संख्या है]] |पी-एडिक नंबरों पर काम से प्रेरित नियमित तत्वों पर दो एक्सिओम थे, जिसमें पूर्णांकों के रिंग जैसे अब-आम रिंगों को सम्मिलित नहीं किया गया था। इनसे फ्रेंकेल को यह सिद्ध करने में मदद मिली कि योग क्रमविनिमेय था।<ref>{{Cite journal |last=Corry |first=Leo |date=January 2000 |title=अमूर्त छल्लों की परिभाषा की उत्पत्ति|url=https://projecteuclid.org/journals/modern-logic/volume-8/issue-1-2/The-origins-of-the-definition-of-abstract-rings/rml/1081878062.full |journal=Modern Logic |volume=8 |issue=1–2 |pages=5–27 |issn=1047-5982}}</ref> फ्रेंकेल के काम का उद्देश्य स्टीनिट्ज़ की 1910 की खेतों की परिभाषा को रिंगों में स्थानांतरित करना था, लेकिन यह कंक्रीट प्रणाली पर उपस्थित काम से जुड़ा नहीं था। मसाज़ो सोनो की 1917 की परिभाषा वर्तमान परिभाषा के बराबर पहली थी।{{sfn|Kleiner|2007|pp=58-59}}
+एक बार जब ये सिद्धांत विकसित हो गए थे, तब तक कई दशक हो गए थे जब तक कि एक अमूर्त अंगूठी की अवधारणा सामने नहीं आई। पहली स्वयंसिद्ध परिभाषा 1914 में [[अब्राहम फ्रेंकेल]] द्वारा दी गई थी।{{sfn|Kleiner|2007|p=58}} उनकी परिभाषा मुख्य रूप से मानक स्वयंसिद्ध थी: दो संक्रियाओं के योग के साथ एक समूह, जो एक समूह बनाता है (आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं), और गुणन, जो साहचर्य है, जोड़ पर वितरित करता है, और एक पहचान तत्व है।<ref>Frankel, A. (1914) "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Math. 145: 139–176</ref> इसके अतिरिक्त, उनके पास [[मेरा मतलब संख्या है]] |पी-एडिक नंबरों पर काम से प्रेरित नियमित तत्वों पर दो एक्सिओम थे, जिसमें पूर्णांकों के रिंग जैसे अब-आम रिंगों को सम्मिलित नहीं किया गया था। इनसे फ्रेंकेल को यह सिद्ध करने में मदद मिली कि योग क्रमविनिमेय था।<ref>{{Cite journal |last=Corry |first=Leo |date=January 2000 |title=अमूर्त छल्लों की परिभाषा की उत्पत्ति|url=https://projecteuclid.org/journals/modern-logic/volume-8/issue-1-2/The-origins-of-the-definition-of-abstract-rings/rml/1081878062.full |journal=Modern Logic |volume=8 |issue=1–2 |pages=5–27 |issn=1047-5982}}</ref> फ्रेंकेल के काम का उद्देश्य स्टीनिट्ज़ की 1910 की खेतों की परिभाषा को रिंगों में स्थानांतरित करना था, लेकिन यह कंक्रीट प्रणाली पर उपस्थित काम से जुड़ा नहीं था। मसाज़ो सोनो की 1917 की परिभाषा वर्तमान परिभाषा के बराबर पहली थी।{{sfn|Kleiner|2007|pp=58-59}}
 में, [[एमी नोथेर]] ने डब्ल्यू शमीडलर के सहयोग से [[आदर्श सिद्धांत]] के बारे में एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने आदर्श (रिंग थ्योरी) को रिंग  में परिभाषित किया। अगले वर्ष उन्होंने आइडियलथोरी इन रिंगबेरेइचेन (आइडियल थ्योरी इन रिंग्स') नामक एक लैंडमार्क पेपर प्रकाशित किया, जिसमें (गणितीय) आदर्शों के संबंध में आरोही श्रृंखला स्थितियों का विश्लेषण किया गया। प्रकाशन ने [[नोथेरियन रिंग]] शब्द को जन्म दिया, और कई अन्य गणितीय वस्तुओं को [[नोथेरियन (बहुविकल्पी)]] कहा जाता है।{{Sfn |Kimberling|1981|p=18}}<ref>{{Citation |last=Dick |first=Auguste |title=Emmy Noether: 1882–1935 |year=1981 |publisher=[[Birkhäuser]] |isbn=3-7643-3019-8 |author-link=Auguste Dick |translator-last=Blocher |translator-first=H. I.}}, p. 44–45.</ref> विख्यात बीजगणित [[इरविंग कपलान्स्की]] ने इस कार्य को क्रांतिकारी कहा;{{Sfn |Kimberling|1981|p=18}} परिणाम जो बहुपद के छल्ले के गुणों से अटूट रूप से जुड़े हुए प्रतीत होते हैं, उन्हें एक स्वयंसिद्ध से अनुसरण करने के लिए दिखाया गया था।{{sfn|Kleiner|2007|p=59}} नोथेर के काम से प्रेरित आर्टिन [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] के साथ आया। इन परिभाषाओं ने अमूर्त वलय सिद्धांत के जन्म को चिन्हित किया।{{sfn|Kleiner|2007|p=60}}
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 अमूर्त बीजगणित, इसे कभी-कभी 'आधुनिक बीजगणित' भी कहा जाता है।19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी के आरम्भ में गणित की पद्धति में परिवर्तन देखा गया। सार बीजगणित 20 वीं शताब्दी के आरम्भ में आधुनिक बीजगणित के नाम से उभरा। और इसका अध्ययन गणित में अधिक [[बौद्धिक कठोरता]] के अभियान का हिस्सा था। प्रारंभ में, शास्त्रीय बीजगणित की मान्यताएँ, जिन पर पूरा गणित (और [[प्राकृतिक विज्ञान]] के प्रमुख भाग) निर्भर करता है, स्वयंसिद्ध प्रणालियों का रूप ले लिया। ठोस वस्तुओं के गुणों को स्थापित करने से संतुष्ट नहीं होने पर, गणितज्ञों ने अपना ध्यान सामान्य सिद्धांत की ओर मोड़ना शुरू कर दिया। 19वीं शताब्दी में कुछ बीजगणितीय संरचनाओं की औपचारिक परिभाषाएँ सामने आने लगीं। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन के विभिन्न समूहों के परिणाम सामान्य प्रमेयों के उदाहरणों के रूप में देखे जाने लगे जो एक सार समूह की सामान्य धारणा से संबंधित हैं। विभिन्न गणितीय वस्तुओं की संरचना और वर्गीकरण के प्रश्न सामने आए।
-ये प्रक्रियाएँ पूरे गणित में घटित हो रही थीं, लेकिन बीजगणित में विशेष रूप से स्पष्ट हो गईं। समूह , वलय  और क्षेत्र  जैसी कई बुनियादी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए आदिम संक्रियाओं और अभिगृहीतों के माध्यम से औपचारिक परिभाषा प्रस्तावित की गई थी। इसलिए समूह सिद्धांत और वलय सिद्धांत जैसी चीजों ने [[शुद्ध गणित]] में अपना स्थान ले लिया। [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] द्वारा सामान्य क्षेत्रों की बीजगणितीय जाँच और [[डेविड हिल्बर्ट]], [[एमिल आर्टिन]] और एमी नोथेर द्वारा क्रमविनिमेय और फिर सामान्य वलयों की, [[गंभीर दु:ख]], लियोपोल्ड क्रोनकर और रिचर्ड डेडेकिंड के काम पर निर्माण, जिन्होंने क्रमविनिमेय वलयों में आदर्श माना था, और समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विषय में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] और [[कुछ नहीं]] ने अमूर्त बीजगणित को परिभाषित किया। 19वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और 20वीं शताब्दी की पहली तिमाही के इन विकासों को [[बार्टेल वैन डेर वेर्डन]] के मॉडर्न बीजगणित में व्यवस्थित रूप से उजागर किया गया था, जो 1930-1931 में प्रकाशित दो-खंड [[प्रबंध]] था, जो गणितीय दुनिया के लिए शब्द के अर्थ को सर्वदा के लिए बदल देता था। बीजगणित समीकरणों के सिद्धांत से बीजगणितीय संरचनाओं के सिद्धांत तक।
+ये प्रक्रियाएँ पूरे गणित में घटित हो रही थीं, लेकिन बीजगणित में विशेष रूप से स्पष्ट हो गईं। समूह, वलय  और क्षेत्र  जैसी कई बुनियादी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए आदिम संक्रियाओं और अभिगृहीतों के माध्यम से औपचारिक परिभाषा प्रस्तावित की गई थी। इसलिए समूह सिद्धांत और वलय सिद्धांत जैसी चीजों ने [[शुद्ध गणित]] में अपना स्थान ले लिया। [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] द्वारा सामान्य क्षेत्रों की बीजगणितीय जाँच और [[डेविड हिल्बर्ट]], [[एमिल आर्टिन]] और एमी नोथेर द्वारा क्रमविनिमेय और फिर सामान्य वलयों की, [[गंभीर दु:ख]], लियोपोल्ड क्रोनकर और रिचर्ड डेडेकिंड के काम पर निर्माण, जिन्होंने क्रमविनिमेय वलयों में आदर्श माना था, और समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विषय में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] और [[कुछ नहीं]] ने अमूर्त बीजगणित को परिभाषित किया। 19वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और 20वीं शताब्दी की पहली तिमाही के इन विकासों को [[बार्टेल वैन डेर वेर्डन]] के मॉडर्न बीजगणित में व्यवस्थित रूप से उजागर किया गया था, जो 1930-1931 में प्रकाशित दो-खंड [[प्रबंध]] था, जो गणितीय दुनिया के लिए शब्द के अर्थ को सर्वदा के लिए बदल देता था। बीजगणित समीकरणों के सिद्धांत से बीजगणितीय संरचनाओं के सिद्धांत तक।
 == बुनियादी अवधारणाएँ ==

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