ठोस कोण: Difference between revisions

Solid angle
Solid angle
सामान्य प्रतीक	Ω
Si इकाई	steradian
अन्य इकाइयां	Square degree
SI आधार इकाइयाँ में	m2/m2
संरक्षित?	No
अन्य मात्राओं से ; व्युत्पत्तियां
आयाम	Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table.

Revision as of 12:14, 18 January 2023

ज्यामिति में, ठोस कोण (प्रतीक: $Ω$ )किसी विशेष बिंदु से दृष्टि क्षेत्र की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए पिंडको कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को पिंडकितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से पिंडको देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि पिंडउस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे स्टेरेडियन (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर इकाई क्षेत्र पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए पिंडजो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र $4\pi$ के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की छोटी पिंडदूर की बड़ी पिंडके समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण

स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है

\Omega ={\frac {A}{r^{2}}},

जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अधिकांशतः खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

File:Solid Angle, 1 Steradian.svg

एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।

गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या 2 $π$ /3 sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = (180/ $π$ )² वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = 1/4 $π$ आंशिक क्षेत्र), जिसे स्पैट (इकाई) (1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।

गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है,

d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

जहां

θ

अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और

φ

देशांतर है।

यादृच्छिक उन्मुख सतह $S$ के लिए बिंदु $P$ पर अंतरित ठोस कोण सतह $S$ के केंद्र $P$ , के साथ इकाई क्षेत्र के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है, जिसकी गणना सतह समाकलन के रूप में की जा सकती है:

\Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

जहां

{\hat {r}}={\vec {r}}/r

के अनुरूप इकाई सदिश है

{\vec {r}}

, बिंदु

P

के संबंध में सतह

dS

के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की स्थिति सदिश और जहाँ

{\hat {n}}

,

dS

को इकाई सामान्य सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि यदि इकाई क्षेत्र पर सतह

S

पर प्रक्षेपण समरूपी नहीं है, तो अदिश गुणनफल

{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}

है।

इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र $dS$ , अभिविन्यास ${\hat {n}}$ , दर्शक से $r$ दूरी इस प्रकार है:

d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),

जहां गोले का सतह क्षेत्र

A = 4 π r 2

है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

दीप्त तीव्रता और दीप्त को परिभाषित करना, और संबंधित विकिरणमापी मात्राएं विकिरक तीव्रता और विकिरक
गोलाकार त्रिभुज के गोलाकार अतिरिक्त $E$ की गणना करना
सीमा तत्व विधि (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना
धातु परिसरों में लिगेंड के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें
चार्ज वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत की गणना करना
गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना
रदरफोर्ड प्रभाव में अनुप्रस्थ काट की गणना करना
रमण प्रभाव में अनुप्रस्थ काट की गणना करना
प्रकाशित तंतु के स्वीकृति शंकु का ठोस कोण

सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण

शंकु, गोलाकार कैप, गोलार्ध

File:Steradian cone and cap.svg

एक गोले के अंदर शंकु (1) और गोलाकार कैप (2) का खंड। इस आंकड़े में

θ = A /2

और

r = 1

.

ठोस कोण के शीर्ष पर शंकु (ज्यामिति) का ठोस कोण, और शीर्ष (ज्यामिति) कोण 2 $θ$ के साथ, इकाई गोले पर गोलाकार कैप का क्षेत्रफल है

\Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.

छोटे

θ

के लिए जैसे कि

cos θ \approx 1 - θ 2 /2

यह

π θ 2

, वृत्त का क्षेत्रफल कम हो जाता है।

उपरोक्त गोलाकार निर्देशांक में इकाई सतह तत्व का उपयोग करके निम्नलिखित दोहरा समाकलन की गणना करके पाया जाता है:

\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} \end{aligned}

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Measure of how large an object appears to an observer at a given point in three-dimensional space}}
 {{distinguish|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}}
-{{more citations needed|date=December 2011}}
 {{Infobox physical quantity
 | name = Solid angle
@@ Line 110: / Line 109: @@
 जहां
 <math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math>
-एक और दिलचस्प सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math|Ω}} है:<ref>{{cite journal| first=Folke| last=Eriksson| title= On the measure of solid angles| journal= Math. Mag.| volume=63|issue=3|pages=184–187|year=1990| doi=10.2307/2691141| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal| last = Van Oosterom| first = A|author2=Strackee, J | year = 1983| title = The Solid Angle of a Plane Triangle| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.| volume = BME-30| issue = 2| pages = 125–126| doi = 10.1109/TBME.1983.325207| pmid = 6832789| s2cid = 22669644}}</ref>
+एक सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math|Ω}} है:<ref>{{cite journal| first=Folke| last=Eriksson| title= On the measure of solid angles| journal= Math. Mag.| volume=63|issue=3|pages=184–187|year=1990| doi=10.2307/2691141| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal| last = Van Oosterom| first = A|author2=Strackee, J | year = 1983| title = The Solid Angle of a Plane Triangle| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.| volume = BME-30| issue = 2| pages = 125–126| doi = 10.1109/TBME.1983.325207| pmid = 6832789| s2cid = 22669644}}</ref>
 <math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =
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 [[ कोणीय व्यास | कोणीय व्यास]] की परिभाषा का उपयोग करके, खगोलीय पिंड के ठोस कोण के सूत्र को पिंड की त्रिज्या, <math display="inline">R</math>, और प्रेक्षक से पिंड की दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।, <math>d</math>:
-<math display=block>\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.</math> सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण 6.794×10-5 स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण 6.418×10-5 स्टेरेडियन होता है। कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः 0.0005406% ({{val|5.406|u=[[part per million|पीपीएम]]}}) और 0.0005107% (5.107 पीपीएम) के औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार दोनों तरह के सौर ग्रहण का कारण बन सकता है।
+<math display=block>\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.</math> सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण 6.794×10<sup>−5</sup> स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण 6.418×10<sup>−5</sup> स्टेरेडियन होता है। कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः 0.0005406% ({{val|5.406|u=[[part per million|पीपीएम]]}}) और 0.0005107% (5.107 पीपीएम) के औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार दोनों तरह के सौर ग्रहण का कारण बन सकता है।
 == यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==
@@ Line 175: / Line 174: @@
 ध्यान दें कि यहाँ <math>\N_0</math> = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन <math>\alpha_{ji}</math> के लिए <math>j > i</math> चर का अर्थ है <math>\alpha_{ij}</math>, इसी तरह घातांक के लिए <math>a_{ji}</math>.
 इसलिए, शब्द <math display="inline">\sum_{m \ne l} a_{lm}</math> का अर्थ है सभी पदों का योग <math>\vec a</math> जिसमें  या तो पहली या दूसरी अनुक्रमणिका के रूप में प्रकट होता है। जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह सदिशों द्वारा परिभाषित ठोस कोण में परिवर्तित हो जाती है।
@@ Line 252: / Line 252: @@
 |volume=580 | pages=149–152
 |bibcode=2007NIMPA.580..149T}}
-{{commons category}}
 == बाहरी कड़ियाँ ==
 *[https://www.academia.edu/8747694/HCRs_Theory_of_Polygon_solid_angle_subtended_by_any_polygonal_plane_at_any_point_in_the_space_ HCR's Theory of Polygon(solid angle subtended by any polygon)] from [[Academia.edu]]
@@ Line 263: / Line 260: @@
 {{Classical mechanics derived SI units}}
-{{DEFAULTSORT:Solid Angle}}[[Category:कोण]][[श्रेणी: यूक्लिडियन ठोस ज्यामिति]]
+{{DEFAULTSORT:Solid Angle}}[[Category:कोण]]
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 05/01/2023]]

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परिभाषा और गुण

व्यावहारिक अनुप्रयोग

सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण

शंकु, गोलाकार कैप, गोलार्ध