अतान2 (atan2)

File:Atan2definition.svg

अटन2(y, x) किरण के बीच बिंदु (x, y) और धनात्मक x-अक्ष पर कोण θ किरण (ज्यामिति) देता है, जो (−π, π] तक सीमित है .

File:Arctangent2.svg

$\operatorname {atan2} (y,x)$ का $y/x$ ग्राफ

कम्प्यूटिंग और गणित में, फलन (गणित) atan2 2-तर्क चाप स्पर्शरेखा है। परिभाषा के अनुसार, $\theta =\operatorname {atan2} (y,x)$ कोण माप है (रेडियन में, $-\pi <\theta \leq \pi$) धनात्मक $x$-अक्ष और किरण के बीच मूल से बिंदु तक $(x,\,y)$ कार्तीय तल में। समान रूप से, $\operatorname {atan2} (y,x)$ जटिल संख्या $x+iy.$का तर्क (जटिल विश्लेषण) (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है

$\operatorname {atan2}$ h> फलन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा फोरट्रान में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था θ कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में (x, y) ध्रुवीय निर्देशांक के लिए (r, θ). यदि $\theta =\operatorname {atan2} (y,x)$ तथा ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, फिर $x=r\cos \theta$ तथा $y=r\sin \theta .$

यदि x > 0, वांछित कोण माप है ${\textstyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)=\arctan \left(y/x\right).}$ चूँकि, जब x < 0, कोना $\arctan(y/x)$ एंटीपोडल बिंदु वांछित कोण है, और ±π (एक आधा मोड़ (कोण)) बिंदु को सही चतुर्भुज में रखने के लिए जोड़ा जाना चाहिए। $\operatorname {atan2}$ का फलन का उपयोग इस सुधार को दूर करता है, कोड और गणितीय सूत्रों को सरल करता है।

प्रेरणा

File:Atan2 argument sign graph.svg

−π से +π तक y/x के संबंधित संकेतों के साथ स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़। हरा तीर atan2(-1, -1) और atan2(1, 1) के परिणामों की ओर संकेत करता है।

सामान्य एकल-तर्क चाप स्पर्शरेखा फलन अंतराल में केवल कोण माप देता है ${\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi ,+{\tfrac {1}{2}}\pi \right]},$ और इसके बीच के कोण को खोजने के लिए इसका आह्वान करते समय x-अक्ष और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली तल में एक मनमाना वेक्टर, बाएं आधे-तल (एक बिंदु) में एक दिशा को संकेत करने का कोई आसान उपाय नहीं है $(x,\,y)$ साथ $x<0$). एंटीपोडल बिंदु कोण उपायों में समान स्पर्शरेखा होती है क्योंकि $y/x=(-y)/(-x),$ तो स्पर्शरेखा $y/x$ एक कोण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए अपने आप में पर्याप्त नहीं है।

दिए गए बिंदु या सदिश एक बिंदु $(x,y),$ गणितीय सूत्र या कंप्यूटर कोड को कई स्तिथियों को संभालना चाहिए; कम से कम एक $x$ के धनात्मक मानों के लिए और एक $x,$ के ऋणात्मक मानों के लिए, और कभी-कभी अतिरिक्त स्थितियाँ जब $y$ ऋणात्मक हो या एक निर्देशांक शून्य हो। वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कोण के उपायों को ढूंढना और कार्टेशियन को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में परिवर्तित करना सरल है, और यह कोड बेमानी और त्रुटि-प्रवण है।

इसका समाधान करने के लिए, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं ने कम से कम 1960 के फोरट्रान I V भाषा के रूप में atan2 फलन की शुरुआत की। मात्रा atan2(y,x) x-अक्ष और मूल से एक किरण के बीच कार्तीय तल में कहीं भी एक बिंदु (x, y) के बीच का कोण माप है। x तथा y के चिह्नों का उपयोग परिणाम के चतुर्थांश को निर्धारित करने के लिए किया जाता है और बहुमान फलन Arctan(y/x) की सही शाखा का चयन किया जाता है। atan2 फलन यूक्लिडियन वेक्टर से जुड़े कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है जैसे कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर दिशा ढूंढना या रोटेशन मैट्रिक्स को यूलर कोणों में परिवर्तित करना। वह atan2 फलन अब कई अन्य प्रोग्रामिंग भाषाओं में सम्मलित है, और सामान्यतः पूरे विज्ञान और इंजीनियरिंग में गणितीय सूत्रों में भी पाया जाता है।

तर्क क्रम

1961 में, फोरट्रान ने तर्क क्रम $(y,x)$ के साथ atan2 फलन दर्शाया जिससे एक सम्मिश्र संख्या का तर्क (चरण कोण)$\operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (\operatorname {Im} z,\operatorname {Re} z).$ यह $y/x,$ लिखे अंश के बाएँ से दाएँ क्रम का अनुसरण करता है ताकि $\operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {atan} (y/x)$ $x.$ के सकारात्मक मूल्यों के लिए यह जटिल संख्याओं के पारंपरिक घटक क्रम के विपरीत है, $z=x+iy,$ या निर्देशांक के रूप में $(\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z).$ अनुभाग परिभाषा और संगणना देखें।

कुछ अन्य प्रोग्रामिंग भाषा(देखें सामान्य कंप्यूटर भाषाओं में फलन के प्रति) ने इसके अतिरिक्त विपरीत क्रम चुना। उदाहरण के लिए $$