अतान2 (atan2): Difference between revisions

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=== तर्क क्रम ===
=== तर्क क्रम ===


1961 में, फोरट्रान ने {{math|atan2}} तर्क क्रम के साथ कार्य करें <math>(y, x)</math> ताकि एक जटिल संख्या का तर्क (जटिल विश्लेषण) (चरण कोण) हो <math>\operatorname{arg}z = \operatorname{atan2}(\operatorname{Im}z, \operatorname{Re}z).</math> यह लिखे हुए अंश के बाएँ से दाएँ क्रम का अनुसरण करता है <math>y / x,</math> ताकि <math>\operatorname{atan2}(y, x) = \operatorname{atan}(y / x)</math> के सकारात्मक मूल्यों के लिए <math>x.</math> हालांकि, यह जटिल संख्याओं के पारंपरिक घटक क्रम के विपरीत है, <math>z = x + iy,</math> या निर्देशांक के रूप में <math>(\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z).</math> खंड देखें #परिभाषा और संगणना।
1961 में, फोरट्रान ने तर्क क्रम <math>(y, x)</math> के साथ {{math|atan2}} फ़ंक्शन पेश किया ताकि एक सम्मिश्र संख्या का तर्क (चरण कोण)<math>\operatorname{arg}z = \operatorname{atan2}(\operatorname{Im}z, \operatorname{Re}z).</math> यह <math>y / x,</math> लिखे अंश के बाएँ से दाएँ क्रम का अनुसरण करता है ताकि <math>\operatorname{atan2}(y, x) = \operatorname{atan}(y / x)</math> <math>x.</math> के सकारात्मक मूल्यों के लिए यह जटिल संख्याओं के पारंपरिक घटक क्रम के विपरीत है, <math>z = x + iy,</math> या निर्देशांक के रूप में <math>(\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z).</math> अनुभाग परिभाषा और संगणना देखें।


कुछ अन्य प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (देखें § #सामान्य कंप्यूटर भाषाओं में फ़ंक्शन की प्रतीति) ने इसके बजाय विपरीत क्रम चुना। उदाहरण के लिए [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]] उपयोग करता है <math>\operatorname{Atan2}(x,y),</math> Apache OpenOffice#Calc उपयोग करता है <math>\operatorname{arctan2}(x,y),</math> और गणितज्ञ उपयोग करता है <math>\operatorname{ArcTan}[x,y],</math> यदि एक तर्क के साथ बुलाया जाता है तो एक-तर्क आर्कटेंजेंट के लिए डिफ़ॉल्ट।
कुछ अन्य प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (देखें § सामान्य कंप्यूटर भाषाओं में फ़ंक्शन की प्रतीति) ने इसके अतिरिक्त विपरीत क्रम चुना। उदाहरण के लिए <math>\operatorname{Atan2}(x,y),</math> [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]] उपयोग करता है <math>\operatorname{arctan2}(x,y),</math> और गणितज्ञ उपयोग करता है <math>\operatorname{ArcTan}[x,y],</math> यदि एक तर्क के साथ बुलाया जाता है तो एक-तर्क आर्कटेंजेंट के लिए डिफ़ॉल्ट।


== परिभाषा और गणना ==
== परिभाषा और गणना ==
{{anchor|Definition}}
{{anchor|Definition}}कार्यक्रम {{math|अटन2}} जटिल संख्या {{math|''x'' + ''i''&hairsp;''y''}} पर लागू तर्क फ़ंक्शन के मुख्य मान की गणना करता है। अर्थात्, {{math|1=atan2(''y'', ''x'') = Pr arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'') = Arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'')}} कोण में कोई फर्क किए बिना तर्क को {{math|2π}} (मूल के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ के अनुरूप) के मनमाने ढंग से बदला जा सकता है, लेकिन {{math|atan2}} को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए  <math>( -\pi, \pi ]</math> {{math|−''π'' < atan2(''y'', ''x'') ≤ ''π''}}
कार्यक्रम {{math|atan2}} जटिल संख्या पर लागू तर्क (जटिल विश्लेषण) फ़ंक्शन के मुख्य मान की गणना करता है {{math|''x'' + ''i''&hairsp;''y''}}. वह है, {{math|1=atan2(''y'', ''x'') = Pr arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'') = Arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'')}}. तर्क को मनमाने गुणकों द्वारा बदला जा सकता है {{math|2π}} (मूल के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ के अनुरूप) कोण में कोई अंतर किए बिना, लेकिन परिभाषित करने के लिए {{math|atan2}} विशिष्ट रूप से अंतराल में प्रमुख मूल्य का उपयोग करता है (गणित) <math>( -\pi, \pi ]</math>, वह है, {{math|−''π'' < atan2(''y'', ''x'') ≤ ''π''}}.


मानक के संदर्भ में {{math|arctan}} कार्य, जिसकी सीमा है {{open-closed|−π/2, π/2}}, इसे एक ऐसी सतह को परिभाषित करने के लिए निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है जिसमें सेमी-इनफिनिट लाइन x<0 y=0 के अलावा कोई असततता नहीं है:
मानक के संदर्भ में {{math|आर्कटान}} कार्य, जिसकी सीमा {{open-closed|−π/2, π/2}} है , इसे एक ऐसी सतह को परिभाषित करने के लिए निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है जिसमें सेमी-इनफिनिट लाइन x<0 y=0 के अतिरिक्त कोई असततता नहीं है:


<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
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\end{align}</math> स्पष्ट सशर्त के बिना सूत्र (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग):
\end{align}</math> स्पष्ट सशर्त के बिना सूत्र (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग):
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \lim_{z \to x^+}\arctan\left(\frac{y}{z}\right) + \frac{\pi}2\sgn(y)\sgn(x)\left(\sgn(x)-1\right) </math>
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \lim_{z \to x^+}\arctan\left(\frac{y}{z}\right) + \frac{\pi}2\sgn(y)\sgn(x)\left(\sgn(x)-1\right) </math>
स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र से प्राप्त निम्न अभिव्यक्ति का उपयोग परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है {{math|atan2}}:
स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र से प्राप्त निम्न अभिव्यक्ति का उपयोग {{math|atan2}} परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है :
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
  2 \arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } x > 0 \text{ or } y \neq 0, \\
  2 \arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } x > 0 \text{ or } y \neq 0, \\
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  \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.
  \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
उपरोक्त परिभाषा की तुलना में यह अभिव्यक्ति प्रतीकात्मक उपयोग के लिए अधिक उपयुक्त हो सकती है। हालांकि यह सामान्य [[तैरनेवाला स्थल]] कम्प्यूटेशनल उपयोग के लिए अनुपयुक्त है, क्योंकि राउंडिंग त्रुटियों के प्रभाव के रूप में <math display="inline">\sqrt{x^2 + y^2}</math> क्षेत्र के निकट विस्तार करें {{math|1=''x'' < 0, ''y'' = 0}} (इससे y का शून्य से विभाजन भी हो सकता है)।
उपरोक्त परिभाषा की तुलना में यह अभिव्यक्ति प्रतीकात्मक उपयोग के लिए अधिक उपयुक्त हो सकती है। चूँकि यह सामान्य [[तैरनेवाला स्थल]] कम्प्यूटेशनल उपयोग के लिए अनुपयुक्त है, क्योंकि राउंडिंग त्रुटियों के प्रभाव के रूप में <math display="inline">\sqrt{x^2 + y^2}</math> क्षेत्र के निकट विस्तार करें {{math|1=''x'' < 0, ''y'' = 0}} (इससे y का शून्य से विभाजन भी हो सकता है)।


अंतिम सूत्र का एक प्रकार जो इन बढ़ी हुई गोलाई त्रुटियों से बचा जाता है:
अंतिम सूत्र का एक प्रकार जो इन बढ़ी हुई गोलाई त्रुटियों से बचा जाता है:
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[[File:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|thumb|तर्क के प्रमुख मूल्य की व्युत्पत्ति इस आंकड़े को संदर्भित करती है]]टिप्पणियाँ:
[[File:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|thumb|तर्क के प्रमुख मूल्य की व्युत्पत्ति इस आंकड़े को संदर्भित करती है]]टिप्पणियाँ:
* यह सीमा में परिणाम पैदा करता है {{open-closed|−π, π}}.<ref group="note">One can apply the periodicity of the result to map to another desired range, e.g. mapping to {{closed-open|0, 2π}} by adding {{math|2π}} to the negative results.</ref>
* यह सीमा में परिणाम पैदा करता है {{open-closed|−π, π}}.<ref group="note">One can apply the periodicity of the result to map to another desired range, e.g. mapping to {{closed-open|0, 2π}} by adding {{math|2π}} to the negative results.</ref>
* जैसा ऊपर बताया गया है, तर्क का मुख्य मूल्य {{math|atan2(''y'', ''x'')}} से संबंधित हो सकता है {{math|arctan(''y''/''x'')}} त्रिकोणमिति द्वारा। व्युत्पत्ति इस प्रकार है:{{pb}} यदि {{math|1=(''x'', ''y'')  = (''r'' cos ''θ'', ''r'' sin ''θ'')}}, फिर {{math|1=tan(''θ''/2) = ''y'' / (''r'' + ''x'')}}. यह इस प्रकार है कि <math display="block">\operatorname{atan2}(y, x) = \theta = 2\,\theta/2 = 2\arctan\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}.</math> ध्यान दें कि {{math|{{sqrt|''x''{{sup|{{small|2}}}} + ''y''{{sup|{{small|2}}}}}} + x ≠ 0}} संबंधित डोमेन में।
* जैसा ऊपर बताया गया है, तर्क का मुख्य मूल्य {{math|atan2(''y'', ''x'')}} त्रिकोणमिति द्वारा  {{math|आर्कटन(''y''/''x'')}} से संबंधित हो सकता है। व्युत्पत्ति इस प्रकार है:{{pb}} यदि {{math|1=(''x'', ''y'')  = (''r'' cos ''θ'', ''r'' sin ''θ'')}}, तो {{math|1=tan(''θ''/2) = ''y'' / (''r'' + ''x'')}}. यह इस प्रकार है कि <math display="block">\operatorname{atan2}(y, x) = \theta = 2\,\theta/2 = 2\arctan\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}.</math> ध्यान दें कि {{math|{{sqrt|''x''{{sup|{{small|2}}}} + ''y''{{sup|{{small|2}}}}}} + x ≠ 0}} संबंधित डोमेन में।


== व्युत्पन्न ==
== व्युत्पन्न ==
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== चित्रण ==
== चित्रण ==
[[File:Atan2 60.svg|thumb|right|300px|atan2 चयनित किरणों के लिए]]यह आंकड़ा यूनिट सर्कल पर लेबल किए गए उत्पत्ति से चयनित किरणों के साथ atan2 के मान दिखाता है। रेडियन में मान वृत्त के अंदर दिखाए जाते हैं। आरेख मानक गणितीय सम्मेलन का उपयोग करता है जो कोणों को शून्य से दाईं ओर किरण के साथ [[दक्षिणावर्त]] बढ़ाता है। ध्यान दें कि तर्कों का क्रम उल्टा है; कार्यक्रम {{math|atan2(''y'', ''x'')}} बिंदु के अनुरूप कोण की गणना करता है {{math|(''x'', ''y'')}}.
[[File:Atan2 60.svg|thumb|right|300px|atan2 चयनित किरणों के लिए]]यह आंकड़ा यूनिट सर्कल पर लेबल किए गए उत्पत्ति से चयनित किरणों के साथ अटन2 के मान दिखाता है। रेडियन में मान वृत्त के अंदर दिखाए जाते हैं। आरेख मानक गणितीय सम्मेलन का उपयोग करता है जो कोणों को शून्य से दाईं ओर किरण के साथ [[दक्षिणावर्त]] बढ़ाता है। ध्यान दें कि तर्कों {{math|atan2(''y'', ''x'')}} का क्रम उल्टा है; फलन {{math|(''x'', ''y'')}} बिंदु के अनुरूप कोण की गणना करता है .
{{clear}}
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[[File:Atan2atan.png|thumb|right|300px|व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और atan2 कार्यों की तुलना]]यह आंकड़ा के मूल्यों को दर्शाता है <math>\arctan(\tan(\theta))</math> साथ में <math>\operatorname {atan2}(\sin(\theta),\cos(\theta))</math> के लिये <math>0\le \theta \le 2\pi</math>. दोनों कार्य अवधियों के साथ विषम और आवधिक हैं <math>\pi</math> तथा <math>2\pi</math>, क्रमशः, और इस प्रकार वास्तविक मूल्यों के किसी भी क्षेत्र में आसानी से पूरक हो सकते हैं <math>\theta</math>. की शाखाओं में कटौती साफ देखी जा सकती है <math>\operatorname {atan2}</math>- समारोह पर <math>\theta = \pi</math>, और का <math>\arctan</math>- समारोह पर <math>\theta \in \{\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\}</math>.<ref>{{cite web|url=http://www.mndynamics.com/indexp.html|title=वुल्फ जंग: मंडल, जटिल गतिशीलता के लिए सॉफ्टवेयर|website=www.mndynamics.com|access-date=20 April 2018}}</ref>
[[File:Atan2atan.png|thumb|right|300px|व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और atan2 कार्यों की तुलना]]यह आंकड़ा <math>\arctan(\tan(\theta))</math> के साथ-साथ <math>\operatorname {atan2}(\sin(\theta),\cos(\theta))</math> के मान दिखाता है  <math>0\le \theta \le 2\pi</math> दोनों कार्य क्रमशः <math>\pi</math> तथा <math>2\pi</math> के साथ विषम और आवधिक हैं, और इस प्रकार <math>\theta</math> के वास्तविक मूल्यों के किसी भी क्षेत्र में आसानी से पूरक हो सकते हैं। <math>\theta = \pi</math> <math>\operatorname {atan2}</math> और <math>\theta \in \{\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\}</math> <math>\arctan</math> की शाखाओं में कटौती साफ देखी जा सकती है <ref>{{cite web|url=http://www.mndynamics.com/indexp.html|title=वुल्फ जंग: मंडल, जटिल गतिशीलता के लिए सॉफ्टवेयर|website=www.mndynamics.com|access-date=20 April 2018}}</ref>
नीचे दिए गए दो आंकड़े क्रमशः 3D दृश्य दिखाते हैं {{math|atan2(''y'', ''x'')}} तथा {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} विमान के एक क्षेत्र के ऊपर। ध्यान दें कि के लिए {{math|atan2(''y'', ''x'')}}, मूल से निकलने वाली एक्स/वाई-प्लेन में किरणों के निरंतर मूल्य होते हैं, लेकिन के लिए {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} मूल बिंदु से गुजरने वाली एक्स/वाई-प्लेन में लाइनों के निरंतर मान होते हैं। के लिये {{math|''x'' > 0}}, दो आरेख समान मान देते हैं।
नीचे दिए गए दो आंकड़े क्रमशः {{math|atan2(''y'', ''x'')}} और {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} विमान के एक क्षेत्र के ऊपर। ध्यान दें कि {{math|atan2(''y'', ''x'')}} के लिए, मूल बिंदु से निकलने वाले X/Y-प्लेन में किरणों का मान स्थिर होता है, लेकिन {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} एक्स/वाई-प्लेन मूल बिंदु से गुजरने वाली X/Y-तल में रेखाओं का मान स्थिर रहता है।{{math|''x'' > 0}} के लिए, दो आरेख समान मान देते हैं।


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Revision as of 21:41, 20 December 2022

File:Atan2definition.svg
अटन2(y, x) किरण के बीच बिंदु (x, y) और धनात्मक x-अक्ष पर कोण θ किरण (ज्यामिति) देता है, जो (−π, π] तक सीमित है .
File:Arctangent2.svg
का ग्राफ

कम्प्यूटिंग और गणित में, फ़ंक्शन (गणित) अटन2 2-तर्क चाप स्पर्शरेखा है। परिभाषा के अनुसार, कोण माप है (रेडियन में, ) धनात्मक -अक्ष और किरण के बीच मूल से बिंदु तक कार्तीय तल में। समान रूप से, जटिल संख्या का तर्क (जटिल विश्लेषण) (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है 

 h> फ़ंक्शन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा फोरट्रान में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था θ कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में (x, y) ध्रुवीय निर्देशांक के लिए (r, θ). यदि  तथा , फिर  तथा

यदि x > 0, वांछित कोण माप है चूँकि, कब x < 0, कोना एंटीपोडल बिंदु वांछित कोण है, और ±π (एक आधा मोड़ (कोण)) बिंदु को सही चतुर्भुज (विमान ज्यामिति) में रखने के लिए जोड़ा जाना चाहिए।[1] का फ़ंक्शन का उपयोग इस सुधार को दूर करता है, कोड और गणितीय सूत्रों को सरल करता है।

प्रेरणा

File:Atan2 argument sign graph.svg
−π से +π तक y/x के संबंधित संकेतों के साथ स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़। हरा तीर atan2(-1, -1) और atan2(1, 1) के परिणामों की ओर संकेत करता है।

सामान्य एकल-तर्क चाप स्पर्शरेखा फ़ंक्शन अंतराल में केवल कोण माप देता है और इसके बीच के कोण को खोजने के लिए इसका आह्वान करते समय x-एक्सिस और कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम प्लेन में एक मनमाना वेक्टर, बाएं आधे-प्लेन (यानी, एक बिंदु) में एक दिशा को इंगित करने का कोई आसान तरीका नहीं है साथ ). एंटीपोडल बिंदु कोण उपायों में समान स्पर्शरेखा होती है क्योंकि तो स्पर्शरेखा