ऊष्मा समीकरण: Difference between revisions
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जिसमें {{math|''α''}} एक धनात्मक गुणांक है जिसे माध्यम का ऊष्मीय विसारकता कहा जाता है। अन्य भौतिक परिघटनाओं के अतिरिक्त, यह समीकरण एक सजातीय और समदैशिक माध्यम में ऊष्मा के प्रवाह का वर्णन करता है, साथ में {{math|''u''(''x'', ''y'', ''z'', ''t'')}} बिंदु पर तापमान होना {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} और समय {{mvar|t}}. यदि माध्यम सजातीय और समदैशिक नहीं है, तो {{math|α}} एक निश्चित गुणांक नहीं होगा, और इसके अतिरिक्त ( x, y, z ) पर निर्भर करेगा ; जो समीकरण का थोड़ा अलग रूप भी होगा। भौतिकी और इंजीनियरिंग साहित्य में का {{math|∇<sup>2</sup>}} का प्रयोग सामान्य है | जिसमें {{math|''α''}} एक धनात्मक गुणांक है जिसे माध्यम का ऊष्मीय विसारकता कहा जाता है। अन्य भौतिक परिघटनाओं के अतिरिक्त, यह समीकरण एक सजातीय और समदैशिक माध्यम में ऊष्मा के प्रवाह का वर्णन करता है, साथ में {{math|''u''(''x'', ''y'', ''z'', ''t'')}} बिंदु पर तापमान होना {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} और समय {{mvar|t}}. यदि माध्यम सजातीय और समदैशिक नहीं है, तो {{math|α}} एक निश्चित गुणांक नहीं होगा, और इसके अतिरिक्त ( x, y, z ) पर निर्भर करेगा ; जो समीकरण का थोड़ा अलग रूप भी होगा। भौतिकी और इंजीनियरिंग साहित्य में अतिरिक्त लाप्लासियन निरूपित करने के लिए {{math|∆}} का {{math|∇<sup>2</sup>}} का प्रयोग सामान्य है| | ||
गणित के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में समय व्युत्पन्न के लिए न्यूटन के अंकन का उपयोग करना | गणित के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में समय व्युत्पन्न के लिए न्यूटन के अंकन का उपयोग करना साधारण बात है, ताकि <math>\dot u</math> निरूपित करने के लिए {{math|{{sfrac|''∂u''|''∂t''}}}},प्रयोग किया जाता है इसलिए समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है | ||
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यह भी ध्यान दें कि | '''यह भी ध्यान दें कि {{math|∆}} या {{math|∇<sup>2</sup>}} या तो उपयोग करने की क्षमता लाप्लासियन को निरूपित करने के लिए, स्थानिक चर के स्पष्ट संदर्भ के बिना, इस तथ्य''' का प्रतिबिंब है कि लाप्लासियन समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है। गणितीय शब्दों में, कोई कहेगा कि लाप्लासियन ट्रांसलेशनली और रोटेशनली इनवेरिएंट है। वास्तव में, यह (शिथिलता से बोलना) सबसे सरल अंतर संचालक है जिसमें ये समरूपताएं हैं। यह लाप्लासियन के उपयोग के एक महत्वपूर्ण (और विशुद्ध रूप से गणितीय) औचित्य के रूप में लिया जा सकता है और किसी भी भौतिक घटना के मॉडलिंग में ऊष्मासमीकरण के समरूप और समदैशिक हैं, जिनमें से ऊष्माका प्रसार एक प्रमुख उदाहरण है। | ||
प्रसार स्थिरांक {{math|''α''}} ऊष्मासमीकरण के गणितीय अध्ययन में प्रायः मौजूद नहीं होता है, जबकि इंजीनियरिंग में इसका मूल्य बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है। निम्नलिखित कारणों से यह एक बड़ा अंतर नहीं है। होने देना {{mvar|u}} के साथ एक फलनहो | प्रसार स्थिरांक {{math|''α''}} ऊष्मासमीकरण के गणितीय अध्ययन में प्रायः मौजूद नहीं होता है, जबकि इंजीनियरिंग में इसका मूल्य बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है। निम्नलिखित कारणों से यह एक बड़ा अंतर नहीं है। होने देना {{mvar|u}} के साथ एक फलनहो | ||
Revision as of 11:55, 21 December 2022
गणित और भौतिकी में, ऊष्मा समीकरण एक निश्चित आंशिक अंतर समीकरण है। ऊष्मा समीकरण के समाधान को कभी-कभी कैलोरी फलन के रूप में जाना जाता है। ऊष्मा समीकरण का सिद्धांत पहली बार 1822 में जोसेफ फूरियर द्वारा मॉडलिंग के उद्देश्य से विकसित किया गया था कि किसी दिए गए क्षेत्र में ऊष्मा जैसी मात्रा कैसे विसरित होती है।
प्रोटोटाइपिकल परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण के रूप में, ऊष्मा समीकरण शुद्ध गणित में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने वाले विषयों में से एक है, और इसके विश्लेषण को आंशिक अंतर समीकरणों के व्यापक क्षेत्र के लिए मूल सिद्धान्त माना जाता है। रीमैनियन बहुआयामी पर ऊष्मा समीकरण पर भी विचार किया जा सकता है, जिससे कई ज्यामितीय अनुप्रयोग हो सकते हैं। सुब्बरमा मीनाक्षीसुंदरम और एके प्लीजेल के काम के बाद, ऊष्मा समीकरण वर्णक्रमीय ज्यामिति से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। 1964 में जेम्स एल्स और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा अंतर ज्यामिति के लिए एक बीजीय हार्मोनिक नक्शा प्रस्तुत किया गया था, जो 1982 में रिचर्ड एस हैमिल्टन द्वारा रिक्की प्रवाह की शुरुआत को प्रेरित करता है और 2003 में त्वरित पेरेलमैन द्वारा पॉइनकेयर अनुमान के प्रमाण में परिणत हुआ। ऊष्मा समीकरण के रूप में जाने वाले ऊष्मा समीकरण के समाधान उस क्षेत्र के बारे में सूक्ष्म जानकारी प्रदान करते हैं, जिस पर उन्हें परिभाषित किया गया है, जैसा कि अतियाह-सिंगर सूचक प्रमेय में उनके आवेदन के माध्यम से उदाहरण दिया गया है।[1]
ऊष्मा समीकरण, इसके प्रकारों के साथ, विज्ञान और व्यावहारिक गणित के कई क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण है। संभाव्यता सिद्धांत में, फोकर-प्लैंक समीकरण के माध्यम से ऊष्मा समीकरण अनियमित चलने और ब्राउनियन गति के अध्ययन से जुड़ा हुआ है। वित्तीय गणित का काला-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण का एक छोटा रूप है, और क्वांटम यांत्रिकी के श्रोडिंगर समीकरण को काल्पनिक संख्या में ऊष्मा समीकरण के रूप में माना जा सकता है। छवि विश्लेषण में, ऊष्मा समीकरण का उपयोग कभी-कभी पिक्सेलेशन और किनारे का पता लगाना को हल करने के लिए किया जाता है। रॉबर्ट डी. रिचटमायर और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा कृत्रिम श्यानता विधियों की शुरूआत के बाद, ऊष्मा समीकरणों के समाधान शॉक (द्रव गतिकी) के गणितीय सूत्रीकरण में उपयोगी रहे हैं। 1950 के दशक की शुरुआत में जिम डगलस, डी.डब्ल्यू. शांतिदूत, और हेनरी रैचफोर्ड जूनियर साथ में काम किये थे।
समीकरण का कथन
'''''''गणित में, यदि Rn का एक खुला उपसमुच्चय U दिया जाए और R का एक उपअंतराल I , एक कहता है कि एक फलनu : U × I → R ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर'''''''
जहाँ पर (x1, …, xn, t) डोमेन के एक सामान्य बिंदु को दर्शाता है संक्षेप संदर्भों में भी जहां ये वाक्यांश अपने सहज अर्थ के लिए विफल होते हैं, यहां पर t को समय के रूप में और x1, …, xn स्थानिक चर के रूप में निरूपित करना सामान्य है। स्थानिक चरों के संग्रह को प्रायः x बस के रूप में संदर्भित किया जाता है | t के किसी दिए गए मूल्य के लिए, समीकरण का दाहिना पक्ष फलन u(⋅, t) : U → R का लाप्लास संकारक है| जैसे, ऊष्मा समीकरण को प्रायः अधिक सघन रूप से इस प्रकार लिखा जाता है
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भौतिकी और इंजीनियरिंग संदर्भों में, विशेष रूप से एक माध्यम से प्रसार के संदर्भ में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को निर्धारित करना और फिर किसी फलन (गणित) u(x, y, z, t) के विशिष्ट मामले पर विचार करना अधिक सामान्य है| तीन स्थानिक चर के (x, y, z) और समय t.परिवर्तनशील है | इस प्रकार यह कहा जा सकता है u ऊष्मासमीकरण का समाधान है यदि
जिसमें α एक धनात्मक गुणांक है जिसे माध्यम का ऊष्मीय विसारकता कहा जाता है। अन्य भौतिक परिघटनाओं के अतिरिक्त, यह समीकरण एक सजातीय और समदैशिक माध्यम में ऊष्मा के प्रवाह का वर्णन करता है, साथ में u(x, y, z, t) बिंदु पर तापमान होना (x, y, z) और समय t. यदि माध्यम सजातीय और समदैशिक नहीं है, तो α एक निश्चित गुणांक नहीं होगा, और इसके अतिरिक्त ( x, y, z ) पर निर्भर करेगा ; जो समीकरण का थोड़ा अलग रूप भी होगा। भौतिकी और इंजीनियरिंग साहित्य में अतिरिक्त लाप्लासियन निरूपित करने के लिए ∆ का ∇2 का प्रयोग सामान्य है|
गणित के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में समय व्युत्पन्न के लिए न्यूटन के अंकन का उपयोग करना साधारण बात है, ताकि निरूपित करने के लिए ∂u/∂t,प्रयोग किया जाता है इसलिए समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है
.
यह भी ध्यान दें कि ∆ या ∇2 या तो उपयोग करने की क्षमता लाप्लासियन को निरूपित करने के लिए, स्थानिक चर के स्पष्ट संदर्भ के बिना, इस तथ्य का प्रतिबिंब है कि लाप्लासियन समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है। गणितीय शब्दों में, कोई कहेगा कि लाप्लासियन ट्रांसलेशनली और रोटेशनली इनवेरिएंट है। वास्तव में, यह (शिथिलता से बोलना) सबसे सरल अंतर संचालक है जिसमें ये समरूपताएं हैं। यह लाप्लासियन के उपयोग के एक महत्वपूर्ण (और विशुद्ध रूप से गणितीय) औचित्य के रूप में लिया जा सकता है और किसी भी भौतिक घटना के मॉडलिंग में ऊष्मासमीकरण के समरूप और समदैशिक हैं, जिनमें से ऊष्माका प्रसार एक प्रमुख उदाहरण है।
प्रसार स्थिरांक α ऊष्मासमीकरण के गणितीय अध्ययन में प्रायः मौजूद नहीं होता है, जबकि इंजीनियरिंग में इसका मूल्य बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है। निम्नलिखित कारणों से यह एक बड़ा अंतर नहीं है। होने देना u के साथ एक फलनहो
एक नया कार्य परिभाषित करें . फिर, शृंखला नियम के अनुसार, किसी के पास है