मॉड्यूल (गणित): Difference between revisions

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मॉड्यूल (गणित)

Revision as of 15:07, 15 December 2022

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Algebraic structure → Ring theory Ring theory

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v t e

गणित में, एक मॉड्यूल सदिश स्थान की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें अदिश (गणित) के क्षेत्र (गणित) को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। 'मॉड्यूल' की अवधारणा विनिमेय समूह की धारणा को भी सामान्यीकृत करती है, क्योंकि विनिमेय समूह पूर्णांकों के वलय के ऊपर के मॉड्यूल हैं।

सदिश स्थान की तरह, एक मॉड्यूल एक योज्य विनिमेय समूह है, और अदिश गुणन वलय या मॉड्यूल के तत्वों के बीच जोड़ के संचालन पर वितरण गुण है और वलय गुणन के साथ अर्धसमूह क्रिया है।

मॉड्यूल समूह (गणित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से बहुत निकट से संबंधित हैं। वह क्रम विनिमेय बीजगणित और अनुरूपता बीजगणित के केंद्रीय विचारों में से एक हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

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 ; सरल: एक साधारण मॉड्यूल S एक ऐसा मॉड्यूल है जो {0} नहीं है और जिसके केवल सबमॉड्यूल {0} और S हैं। [[सरल मॉड्यूल]] को कभी-कभी इरेड्यूसिबल कहा जाता है।<ref>Jacobson (1964), [https://books.google.com/books?id=KlMDjaJxZAkC&pg=PA4 p. 4], Def. 1; {{PlanetMath|urlname=IrreducibleModule|title=Irreducible Module}}</ref>
 ; अर्धसरल: एक [[अर्ध-सरल मॉड्यूल]] सरल मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग (परिमित या नहीं) है। ऐतिहासिक रूप से इन मॉड्यूल को पूरी तरह से कम करने योग्य भी कहा जाता है।
-; अविघटनीय: एक गैर-शून्य मॉड्यूल एक गैर-शून्य मॉड्यूल है जिसे दो गैर-शून्य सबमॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रत्येक सरल मॉड्यूल अविघटनीय है, लेकिन ऐसे अविघटनीय मॉड्यूल हैं जो सरल नहीं हैं (जैसे [[वर्दी मॉड्यूल]])।
+; अविघटनीय: एक गैर-शून्य मॉड्यूल एक गैर-शून्य मॉड्यूल है जिसे दो गैर-शून्य सबमॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रत्येक सरल मॉड्यूल अविघटनीय है, लेकिन ऐसे अविघटनीय मॉड्यूल हैं जो सरल नहीं हैं (जैसे [[वर्दी मॉड्यूल|यूनिफार्म मॉड्यूल]])।
 ; वफादार: एक [[वफादार मॉड्यूल]] M वह है जहां M पर R में प्रत्येक R ≠ 0 की क्रिया अनौपचारिक है (अर्थात M में कुछ X के लिए R ⋅ x ≠ 0)। समान रूप से, M का सर्वनाश (वलय थ्योरी) [[शून्य आदर्श]] है।
 ; मरोड़-मुक्त: एक मरोड़-मुक्त मॉड्यूल एक वलय पर एक मॉड्यूल होता है जैसे कि 0 वलय के एक नियमित तत्व (गैर शून्य-विभाजक) द्वारा विलोपित एकमात्र तत्व है, समकक्ष {{nowrap|1=''rm'' = 0}} तात्पर्य {{nowrap|1=''r'' = 0}} या {{nowrap|1=''m'' = 0}}.
 ; नोथेरियन: एक [[नोथेरियन मॉड्यूल]] एक मॉड्यूल है जो सबमॉड्यूल पर [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है, अर्थात, सबमॉड्यूल की प्रत्येक बढ़ती हुई श्रृंखला बारीक कई चरणों के बाद स्थिर हो जाती है। समान रूप से, प्रत्येक सबमॉड्यूल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है।
 ; आर्टिनियन: एक [[आर्टिनियन मॉड्यूल]] एक मॉड्यूल है जो सबमॉड्यूल पर [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है, अर्थात, सबमॉड्यूल की प्रत्येक घटती श्रृंखला बारीक कई चरणों के बाद स्थिर हो जाती है।
-; श्रेणीबद्ध: एक [[वर्गीकृत मॉड्यूल|श्रेणीबद्ध मॉड्यूल]] एक [[वर्गीकृत अंगूठी|श्रेणीबद्ध वलय]] {{nowrap|1=''R'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''R''<sub>''x''</sub>}} पर प्रत्यक्ष योग {{nowrap|1=''M'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''M''<sub>''x''</sub>}} के रूप में एक अपघटन के साथ एक मॉड्यूल है जैसे कि सभी x और y के लिए {{nowrap|''R''<sub>''x''</sub>''M''<sub>''y''</sub> ⊂ ''M''<sub>''x''+''y''</sub>}}।:एक [[वर्गीकृत मॉड्यूल]] प्रत्यक्ष योग के रूप में अपघटन के साथ एक मॉड्यूल है  एक [[वर्गीकृत अंगूठी|वर्गीकृत वलय]] पर  ऐसा है कि  सभी X और वाई के लिए।
+; श्रेणीबद्ध: एक [[वर्गीकृत मॉड्यूल|श्रेणीबद्ध मॉड्यूल]] एक [[वर्गीकृत अंगूठी|श्रेणीबद्ध वलय]] {{nowrap|1=''R'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''R''<sub>''x''</sub>}} पर प्रत्यक्ष योग {{nowrap|1=''M'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''M''<sub>''x''</sub>}} के रूप में एक अपघटन के साथ एक मॉड्यूल है जैसे कि सभी x और y के लिए {{nowrap|''R''<sub>''x''</sub>''M''<sub>''y''</sub> ⊂ ''M''<sub>''x''+''y''</sub>}}।:
-; यूनिफ़ॉर्म: एक यूनिफ़ॉर्म मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल होता है जिसमें नॉनज़रो सबमॉड्यूल्स के सभी जोड़े नॉनज़रो इंटरसेक्शन होते हैं।
+; यूनिफ़ॉर्म: एक यूनिफ़ॉर्म मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल होता है जिसमें अशून्य सबमॉड्यूल्स के सभी जोड़े अशून्य प्रतिच्छेदन होते हैं।
 == आगे की धारणाएँ ==
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 === प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंध ===
-फ़ील्ड k पर समूह G का प्रतिनिधित्व समूह वलय k [G] पर एक मॉड्यूल है।
+क्षेत्र k पर समूह G का प्रतिनिधित्व समूह वलय k [G] पर एक मॉड्यूल है।
-यदि M एक बाएं R-मॉड्यूल है, तो R में एक तत्व R की क्रिया को मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|''M'' → ''M''}} जो प्रत्येक x को rx (या सही मॉड्यूल के मामले में xr) भेजता है, और अनिवार्य रूप से विनिमेय समूह का एक [[समूह समरूपता]] है {{nowrap|(''M'', +)}}. M के सभी समूह एंडोमोर्फिज्म के सेट को अंत के रूप में दर्शाया गया है<sub>'''Z'''</sub>(X) और इसके अलावा और कार्य संरचना के तहत एक वलय बनाता है, और R के एक वलय तत्व R को अपनी क्रिया में भेजना वास्तव में R से अंत तक एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है<sub>'''Z'''</sub>(M)।
+यदि M एक बाएं R-मॉड्यूल है, तो R में एक तत्व R की क्रिया को मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|''M'' → ''M''}} जो प्रत्येक x को rx (या सही मॉड्यूल के स्थिति में xr) भेजता है, और अनिवार्य रूप से विनिमेय समूह {{nowrap|(''M'', +)}} का एक [[समूह समरूपता]] है. M के सभी समूह एंडोमोर्फिज्म के सेट को अंत <sub>'''Z'''</sub>(X) के रूप में दर्शाया गया है और इसके अलावा और कार्य संरचना के तहत एक वलय बनाता है, और R के एक वलय तत्व R को अपनी क्रिया में भेजना वास्तविक में R से अंत तक एक वलय समरूपता <sub>'''Z'''</sub>(M) को परिभाषित करता है।
 ऐसा वलय होमोमोर्फिज्म {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} विनिमेय समूह M पर R का प्रतिनिधित्व कहा जाता है; बाएं R-मॉड्यूल को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक और समतुल्य तरीका यह कहना है कि एक बाएं R-मॉड्यूल एक विनिमेय समूह M है जो इसके ऊपर R के प्रतिनिधित्व के साथ है। ऐसा प्रतिनिधित्व {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} M पर R की वलय क्रिया भी कहा जा सकता है।
-एक प्रतिनिधित्व को वफादार कहा जाता है अगर और केवल अगर नक्शा {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} [[इंजेक्शन]] है। मॉड्यूल के संदर्भ में, इसका मतलब यह है कि यदि R R का एक तत्व है जैसे कि {{nowrap|1=''rx'' = 0}} M में सभी X के लिए, फिर {{nowrap|1=''r'' = 0}}. प्रत्येक विनिमेय समूह पूर्णांक या कुछ मॉड्यूलर अंकगणित, 'Z'/n'Z' पर एक वफादार मॉड्यूल है।
+एक प्रतिनिधित्व को वफादार कहा जाता है यदि और केवल यदि नक्शा {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपक]] है। मॉड्यूल के संदर्भ में, इसका मतलब यह है कि यदि R R का एक तत्व है जैसे कि {{nowrap|1=''rx'' = 0}} M में सभी X के लिए, तो {{nowrap|1=''r'' = 0}}. प्रत्येक विनिमेय समूह पूर्णांक या कुछ मॉड्यूलर अंकगणित, 'Z'/n'Z' पर एक वफादार मॉड्यूल है।
 === सामान्यीकरण ===
-एक वलय R एक एकल [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के साथ एक पूर्ववर्ती श्रेणी 'R' से मेल खाता है। इस समझ के साथ, एक बायाँ R-मॉड्यूल 'R' से विनिमेय समूहों की श्रेणी के लिए सिर्फ एक सहसंयोजक योगात्मक फ़ंक्टर है। विनिमेय समूहों की श्रेणी 'एबी', और दायाँ R-मॉड्यूल कॉन्ट्रावेरिएंट [[योगात्मक कारक]] हैं। इससे पता चलता है कि, यदि 'सी' कोई पूर्ववर्ती श्रेणी है, तो 'सी' से 'एबी' तक एक सहसंयोजक योज्य फ़ैक्टर को 'सी' पर सामान्यीकृत बाएं मॉड्यूल माना जाना चाहिए। ये फ़ंक्टर एक [[फ़ैक्टर श्रेणी]] 'C'-'मॉड' बनाते हैं जो मॉड्यूल श्रेणी R-'मॉड' का स्वाभाविक सामान्यीकरण है।
+एक वलय R एक एकल [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के साथ एक पूर्ववर्ती श्रेणी 'R' से मेल खाता है। इस समझ के साथ, एक बायाँ R-मॉड्यूल 'R' से विनिमेय समूहों की श्रेणी के लिए सिर्फ एक सहसंयोजक योगात्मक गुणन है। विनिमेय समूहों की श्रेणी 'Ab', और दायाँ R-मॉड्यूल कॉन्ट्रावेरिएंट [[योगात्मक कारक]] हैं। इससे पता चलता है कि, यदि 'C' कोई पूर्ववर्ती श्रेणी है, तो 'C' से 'Ab' तक एक सहसंयोजक योज्य गुणन को 'C' पर सामान्यीकृत बाएं मॉड्यूल माना जाना चाहिए। ये गुणन एक गुणन [[फ़ैक्टर श्रेणी|श्रेणी]] 'C'-'मॉड' बनाते हैं जो मॉड्यूल श्रेणी R-'मॉड' का स्वाभाविक सामान्यीकरण है।
-कम्यूटेटिव वलय्स पर मॉड्यूल को एक अलग दिशा में सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक वलय वाली जगह लें (X, O<sub>''X''</sub>) और O के पूले (गणित) पर विचार करें<sub>''X''</sub>-मॉड्यूल (मॉड्यूल का शीफ देखें)। ये एक श्रेणी O बनाते हैं<sub>''X''</sub>-मॉड, और आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यदि ''X'' में केवल एक बिंदु है, तो यह क्रमविनिमेय वलय O पर पुराने अर्थों में एक मॉड्यूल श्रेणी है<sub>''X''</sub>(X)।
+क्रम विनिमेय वलयों पर मॉड्यूल को एक अलग दिशा में सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक वलय (X, O<sub>''X''</sub>) वाली जगह लें और O<sub>''X''</sub>- के समूह (गणित) पर विचार करेंमॉड्यूल (मॉड्यूल का शीफ देखें)। ये एक श्रेणी O<sub>''X''</sub>-मॉड बनाते हैं, और आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यदि ''X'' में केवल एक बिंदु है, तो यह क्रमविनिमेय वलय O पर पुराने अर्थों में एक<sub>''X''</sub>(X) मॉड्यूल श्रेणी है।
-कोई [[मोटी हो जाओ]] पर मॉड्यूल पर भी विचार कर सकता है। वलय्स के ऊपर मॉड्यूल विनिमेय समूह हैं, लेकिन सेमीवलय्स पर मॉड्यूल केवल [[विनिमेय]] [[मोनोइड]]्स हैं। मॉड्यूल के अधिकांश अनुप्रयोग अभी भी संभव हैं। विशेष रूप से, किसी भी सेमीवलय एस के लिए, एस पर मैट्रिसेस एक सेमीवलय बनाते हैं, जिस पर एस से तत्वों के टुपल्स एक मॉड्यूल होते हैं (केवल इस सामान्यीकृत अर्थ में)। यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान से सेमीवलय को शामिल करते हुए सदिश स्थान की अवधारणा के एक और सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
+कोई [[मोटी हो जाओ|सेमीरिंग]] पर मॉड्यूल पर भी विचार कर सकता है। वलयों के ऊपर मॉड्यूल विनिमेय समूह हैं, लेकिन अर्द्धवलय पर मॉड्यूल केवल [[विनिमेय]] [[मोनोइड|मोनोइडस]] हैं। मॉड्यूल के अधिकांश अनुप्रयोग अभी भी संभव हैं। विशेष रूप से, किसी भी अर्द्धवलय S के लिए, S पर मैट्रिसेस एक अर्द्धवलय बनाते हैं, जिस पर एस से तत्वों के टुपल्स एक मॉड्यूल होते हैं (केवल इस सामान्यीकृत अर्थ में)। यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान से अर्द्धवलय को शामिल करते हुए सदिश स्थान की अवधारणा के एक और सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
-निकट-अंगूठियों पर, निकट-वलय मॉड्यूल पर विचार कर सकते हैं, मॉड्यूल के एक गैर-अबेलियन सामान्यीकरण।{{Citation needed|date=May 2015}}
+निकट-वलयों पर, निकट-वलय मॉड्यूल पर विचार कर सकते हैं, मॉड्यूल के एक गैर-विनिमेय सामान्यीकरण है।{{Citation needed|date=May 2015}}

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