लाई (lie) बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 18:58, 15 December 2022

गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण /liː/ LEE) एक सदिश स्थान है ${\mathfrak {g}}$ एक साथ एक द्वि-आधारी संक्रिया के साथ जिसे लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ , जो जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक $x$ तथा $y$ निरूपित किया जाता है $[x,y]$ ।^{[lower-alpha 1]} सदिश स्थान ${\mathfrak {g}}$ और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।

लाई बीजगणित लाई समूह से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे समूह (गणित) हैं जो चिकने विविध भी हैं: कोई लाई समूह लाई बीजगणित को जन्म देता है, जो समरूपता पर इसकी स्पर्शरेखा स्थान है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित संयोजित स्थान लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (समरूपता के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी और कण भौतिकी में।

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश का स्थान है ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ $[x,y]=x\times y.$ यह तिरछा-सममित है $x\times y=-y\times x$ , और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है:

x \times (y \times z) = (x \times y) \times z + y

[lower-alpha 1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{redirect|Lie bracket|the operation on vector fields|Lie bracket of vector fields}}
+{{redirect|लाई कोष्ठक|सदिश क्षेत्रों पर संचालन|सदिश क्षेत्रों का लाइ कोष्ठक}}
 {{Short description|Vector space with a binary operation satisfying the Jacobi identity}}
 {{Lie groups}}
@@ Line 100: / Line 100: @@
 <math>x,y\in\mathfrak g</math> सभी के लिए। किसी भी <math>x\in\mathfrak g</math> से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति  <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित आसन्न मानचित्रण <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>है। (यह जैकोबी समरूपता के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।
-व्युत्पन्न एक सदिश स्थान बनाते हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि लाई उपबीजगणित है <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ एक ले उपबीजगणित का निर्माण करती हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>।
+व्युत्पत्तियाँ एक सदिश स्थान  <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि  <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक लाई उपबीजगणित दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math> एक लाई उपबीजगणित का निर्माण करती हैं।
 ==== उदाहरण ====
-उदाहरण के लिए, एक लाई बीजगणित आदर्श दिया <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>। लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श है <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (जहां केवल गैर-शून्य तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है<math>\begin{align}
+उदाहरण के लिए, दिए गए एक लाई बीजगणित आदर्श <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>। लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श है <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (जहां केवल गैर-शून्य तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है<math>\begin{align}
 \left[
 \begin{bmatrix}

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