श्रृंखला (गणित): Difference between revisions

{{About|infinite sums|finite sums|Summation}}

गणित में, एक श्रृंखला मोटे तौर पर बोलती है, एक दी गई प्रारंभिक मात्रा में एक के बाद एक अपरिमित रूप से कई मात्राओं को [[योग]] की क्रिया का वर्णन है।<ref>{{cite book |title=कैलकुलस मेड ईज़ी|last1=Thompson |first1=Silvanus |author-link1=Silvanus P. Thompson |last2=Gardner |first2=Martin |author-link2=Martin Gardner |date=1998 |isbn=978-0-312-18548-0 |url=https://archive.org/details/calculusmadeeasy00thom_0 }}</ref> श्रृंखला का अध्ययन कैलकुलस और इसके सामान्यीकरण, [[गणितीय विश्लेषण]] का एक प्रमुख हिस्सा है। श्रृंखला का उपयोग गणित के अधिकांश क्षेत्रों में किया जाता है, यहां तक कि परिमित संरचनाओं (जैसे संयोजन विज्ञान में) का अध्ययन कार्यों के माध्यम से करने के लिए भी किया जाता है। गणित में उनकी सर्वव्यापकता के अलावा, अनंत श्रृंखलाओं का व्यापक रूप से अन्य मात्रात्मक विषयों जैसे कि भौतिकी, [[कंप्यूटर विज्ञान]], सांख्यिकी और [[वित्त]] में भी उपयोग किया जाता है।

एक लंबे समय के लिए, यह विचार कि इस तरह के [[संभावित अनंत]] योग एक परिमित परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं, [[विरोधाभास|विरोधाभासी]] माना जाता था। 17वीं शताब्दी के दौरान एक [[सीमा (गणित)|सीमा]] की अवधारणा का उपयोग करके इस विरोधाभास को हल किया गया था। एच्लीस और कछुआ के ज़ेनो का विरोधाभास अनंत राशियों की इस प्रतिगामी संपत्ति को दर्शाता है: अकिलिस कछुए के पीछे दौड़ता है, लेकिन जब वह दौड़ की शुरुआत में कछुए की स्थिति तक पहुँचता है, तो कछुआ दूसरे स्थान पर पहुँच जाता है; जब वह इस दूसरे स्थान पर पहुंचता है, तो कछुआ तीसरे स्थान पर होता है, और इसी तरह आगे भी। ज़ेनो ने निष्कर्ष निकाला कि अकिलिस कभी भी कछुए तक नहीं पहुँच सकता, और इस तरह वह गति मौजूद नहीं है। ज़ेनो ने दौड़ को असीम रूप से कई उप-दौड़ों में विभाजित किया, जिनमें से प्रत्येक को एक सीमित समय की आवश्यकता थी, ताकि अकिलिस को कछुए को पकड़ने का कुल समय एक श्रृंखला द्वारा दिया जा सके। विरोधाभास का समाधान यह है कि, हालांकि श्रृंखला में शब्दों की अनंत संख्या है, इसकी एक परिमित राशि है, जो अकिलिस को कछुए के साथ पकड़ने के लिए आवश्यक समय देती है।

आधुनिक शब्दावली में, कोई भी (आदेशित) शब्दों का अनंत [[अनुक्रम (गणित)|अनुक्रम]] <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots)</math> (अर्थात, संख्याएँ, कार्य, या कुछ भी जो जोड़ा जा सकता है) एक श्रृंखला को परिभाषित करता है, जो कि एक के बाद एक जोड़ने का संचालन है। इस बात पर बल देने के लिए कि पदों की संख्या अपरिमित है, एक श्रंखला को अपरिमित श्रंखला कहा जा सकता है। इस तरह की श्रृंखला को एक [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] द्वारा दर्शाया गया है (या निरूपित)।<math display=block>a_1+a_2+a_3+\cdots,</math>या, [[योग चिह्न]] का उपयोग करके,<math display="block">\sum_{i=1}^\infty a_i.</math>एक श्रृंखला द्वारा निहित परिवर्धन के अनंत क्रम को प्रभावी ढंग से नहीं चलाया जा सकता (कम से कम समय की सीमित मात्रा में)। हालाँकि, यदि वह [[सेट (गणित)|सेट]] जिसमें पद और उनके परिमित योग हैं, की सीमा की धारणा है, तो कभी-कभी किसी श्रृंखला के लिए एक मान निर्दिष्ट करना संभव होता है, जिसे श्रृंखला का योग कहा जाता है। यह मान सीमा है क्योंकि {{math|''n''}} श्रृंखला के पहले {{math|''n''}} पदों के परिमित योगों की [[अनंतता]] (यदि सीमा मौजूद है) की ओर जाता है, जिसे श्रृंखला के {{math|''n''}}वें आंशिक योग कहा जाता है। अर्थात्,

<math display="block">\sum_{i=1}^\infty a_i  = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i.</math>जब यह सीमा मौजूद होती है, तो कोई कहता है कि श्रृंखला अभिसारी या योग करने योग्य है, या यह कि अनुक्रम <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots)</math> योग करने योग्य है। इस मामले में, सीमा को श्रृंखला का योग कहा जाता है। अन्यथा, श्रृंखला को भिन्न कहा जाता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=श्रृंखला|url=https://mathworld.wolfram.com/श्रृंखला.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

अंकन <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty a_i</math> दोनों श्रृंखलाओं को दर्शाता है- जो एक के बाद एक अनिश्चित काल के लिए शब्दों को जोड़ने की अंतर्निहित प्रक्रिया है- और, यदि श्रृंखला अभिसारी है, तो श्रृंखला का योग-प्रक्रिया का परिणाम है। यह <math>a+b</math> के जोड़-जोड़ने की प्रक्रिया—और उसके परिणाम—{{mvar|a}} और {{mvar|b}} के योग दोनों को दर्शाने के समान सम्मेलन का सामान्यीकरण है।

आम तौर पर, एक श्रृंखला की शर्तें एक [[अंगूठी (गणित)|रिंग]] से आती हैं, अक्सर [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का फ़ील्ड <math>\mathbb R</math> या [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] का फ़ील्ड <math>\mathbb C</math> । इस मामले में, सभी श्रृंखलाओं का सेट अपने आप में एक वलय (और यहां तक कि एक [[साहचर्य बीजगणित]]) है, जिसमें जोड़ में शब्द द्वारा श्रृंखला शब्द को जोड़ना शामिल है, और गुणन [[कॉची उत्पाद]] है।

एक अनंत श्रृंखला या केवल एक श्रृंखला एक अनंत राशि है, जिसे प्रपत्र की [[अनंत अभिव्यक्ति]] द्वारा दर्शाया गया है<ref name="SW501">{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 501}}</ref><math display=block>a_0 + a_1 + a_2 + \cdots, </math>

 

 

 

यदि शर्तों के एबेलियन समूह {{math|''A''}} में सीमा की अवधारणा है (उदाहरण के लिए, यदि यह एक [[मीट्रिक स्थान]] है), तो कुछ श्रृंखला, [[अभिसरण श्रृंखला]], को {{math|''A''}} में मान होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसे श्रृंखला का योग कहा जाता है। इसमें कैलकुलस के सामान्य मामले शामिल हैं, जिसमें समूह वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। एक श्रृंखला <math display="inline">s=\sum_{n=0}^\infty a_n</math> को देखते हुए, इसका {{math|''k''}}वाँ आंशिक योग है<ref name=":0" />

परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> सीमा {{math|''L''}} तक अभिसरित होती है (या केवल {{math|''L''}} का योग), यदि इसके आंशिक योग के अनुक्रम की सीमा {{math|''L''}} है।<ref name="SW501" /> इस मामले में, आमतौर पर लिखा जाता है

एक श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है यदि यह किसी सीमा तक अभिसरण करता है, या जब यह नहीं होता है तो विचलन होता है। इस सीमा का मान, यदि यह अस्तित्व में है, तब श्रृंखला का मान है।

=== अभिसरण श्रृंखला ===

[[File:Geometric sequences.svg|thumb|right|1 से 6 पदों के आंशिक योग के साथ 3 ज्यामितीय श्रृंखला का चित्रण। धराशायी रेखा सीमा का प्रतिनिधित्व करती है।]]एक श्रेणी {{math|Σ''a''_''n''}} को अभिसारी या अभिसारी होना तब कहा जाता है जब आंशिक योगों के अनुक्रम {{math|(''s''_''k'')}} की एक सीमित सीमा होती है। यदि {{math|''s''_''k''}} की सीमा अनंत है या अस्तित्व में नहीं है, तो श्रृंखला को अपसारी कहा जाता है।<ref>{{citation|title=Calculus|author=Michael Spivak}}</ref><ref name=":0" /> जब आंशिक योग की सीमा मौजूद होती है, तो इसे श्रृंखला का मान (या योग) कहा जाता है<math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{k\to\infty} s_k = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^k a_n.</math>

श्रृंखला के गुणों का पता लगाना जो अभिसरण करते हैं, भले ही असीम रूप से कई पद गैर-शून्य हों, श्रृंखला के अध्ययन का सार है। मिसाल पर विचार करें

वास्तविक संख्या रेखा पर इसके अभिसरण की "कल्पना" करना संभव है: हम लंबाई 2 की एक [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] की कल्पना कर सकते हैं, जिसमें लगातार [[रेखा खंड|खंड]] 1, 1/2, 1/4, आदि की लंबाई से चिह्नित हैं। चिह्नित करने के लिए हमेशा जगह होती है अगला खंड, क्योंकि शेष रेखा की मात्रा हमेशा अंतिम खंड के रूप में चिह्नित होती है: जब हमने 1/2 को चिन्हित कर लिया है, तब भी हमारे पास 1/2 लंबाई का एक टुकड़ा है, इसलिए हम निश्चित रूप से अगले 1/4 को चिह्नित कर सकते हैं। यह तर्क यह साबित नहीं करता है कि योग 2 के बराबर है (हालांकि यह है), लेकिन यह साबित करता है कि यह अधिक से अधिक 2 है। दूसरे शब्दों में, श्रृंखला की ऊपरी सीमा होती है। यह देखते हुए कि श्रृंखला अभिसरण करती है, यह साबित करते हुए कि यह 2 के बराबर है, केवल प्राथमिक बीजगणित की आवश्यकता है। यदि श्रृंखला को {{math|''S''}} के रूप में निरूपित किया जाता है, तो यह देखा जा सकता है

मुहावरे को श्रृंखला के अन्य समकक्ष विचारों तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक दोहराए जाने वाला दशमलव, जैसा कि

श्रृंखला को एनकोड करता है

चूँकि ये श्रृंखलाएँ हमेशा [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] में परिवर्तित होती हैं (क्योंकि जिसे वास्तविक संख्याओं की पूर्णता संपत्ति कहा जाता है), इस तरह से श्रृंखला के बारे में बात करना उसी तरह है जैसे उन संख्याओं के बारे में बात करना जिनके लिए वे खड़े होते हैं। विशेष रूप से, दशमलव विस्तार 0.111... की पहचान 1/9 से की जा सकती है। यह एक तर्क की ओर ले जाता है कि {{nowrap|1=9 × 0.111... = 0.999... = 1}}, जो केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है कि श्रृंखला के लिए सीमा नियम अंकगणितीय संक्रियाओं को संरक्षित करते हैं; इस तर्क पर अधिक विवरण के लिए, 0.999 देखें ....

== संख्यात्मक श्रृंखला के उदाहरण ==

* एक ज्यामितीय श्रृंखला वह है जहां प्रत्येक क्रमिक पद पिछले पद को एक [[गणितीय स्थिरांक|स्थिरांक]] संख्या से गुणा करके निर्मित किया जाता है (इस संदर्भ में सामान्य अनुपात कहा जाता है)। उदाहरण के लिए:<ref name=":0" /><math display=block>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n} = 2.</math><p>सामान्य तौर पर, ज्यामितीय श्रृंखला</p> <math display=block>\sum_{n=0}^\infty z^n</math> <p>अभिसरण करता है [[अगर और केवल अगर]] <math display="inline">|z| < 1</math>, जिस स्थिति में यह <math display="inline"> {1 \over 1 - z}</math> में परिवर्तित हो जाता है।</p>

* [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)|हार्मोनिक श्रृंखला]] एक श्रृंखला है<ref>{{Cite web|title=अनंत श्रृंखला|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/infinite-series.html|access-date=2020-08-30|website=www.mathsisfun.com}}</ref> <math display=block>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.</math> <p>हार्मोनिक श्रृंखला अपसारी है।</p>

* एक [[वैकल्पिक श्रृंखला]] एक ऐसी श्रृंखला है जहां पद वैकल्पिक संकेत हैं। उदाहरण:<math display=block>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad </math> <p>([[वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला]]) और</p> <math display=block>-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}</math>

* एक [[दूरबीन श्रृंखला]] <math display=block>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math> <p>अभिसरित होता है यदि अनुक्रम bn एक सीमा L तक अभिसरित होता है—जैसा कि n अनंत तक जाता है। श्रृंखला का मान तब b1 − L है।</p>

* एक [[अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रृंखला]] ज्यामितीय श्रृंखला का एक सामान्यीकरण है, जिसमें अंकगणितीय अनुक्रम में शर्तों के बराबर सामान्य अनुपात के गुणांक होते हैं। उदाहरण :<math display=block>3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.</math>

* पी-श्रृंखला<math display=block>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}</math> <p>यदि p > 1 अभिसरित होता है और p ≤ 1 के लिए अपसरित होता है, जिसे अभिसरण परीक्षण में नीचे वर्णित समाकल मानदंड के साथ दिखाया जा सकता है। पी के एक समारोह के रूप में, इस श्रृंखला का योग रीमैन का जेटा फ़ंक्शन है।</p>

* [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]]: <math display=block>_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n</math> <p>और उनके सामान्यीकरण (जैसे बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला और दीर्घवृत्तीय अतिज्यामितीय श्रृंखला) अक्सर समाकलनीय प्रणालियों और [[गणितीय भौतिकी]] में दिखाई देते हैं।<ref>Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. [[Cambridge University Press]].</ref></p>

* कुछ प्राथमिक श्रंखलाएँ ऐसी हैं जिनका अभिसरण अभी तक ज्ञात/सिद्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि फ्लिंट हिल्स श्रृंखला<math display=block>\sum_{n=1}^\infty \frac{\csc^{2} n}{n^{3}}</math> <p>जुड़ता है या नहीं। अभिसरण इस बात पर निर्भर करता है कि <math>\pi</math> को [[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] (जो अभी तक अज्ञात है) के साथ कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है। अधिक विशिष्ट रूप से, योग में बड़े संख्यात्मक योगदान के साथ n के मान <math>\pi</math> के सतत अंश अभिसरण के अंश हैं, 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... {{OEIS|A046947}} से शुरू होने वाला एक अनुक्रम। ये पूर्णांक हैं जो कुछ पूर्णांक n के लिए <math>n\pi</math> के करीब हैं, ताकि <math>\sin n\pi</math> 0 के करीब हो और इसका पारस्परिक बड़ा हो। अलेक्सेयेव (2011) ने साबित किया कि यदि श्रृंखला अभिसरित होती है, तो 55 की अपरिमेयता माप 2.5 से छोटी होती है, जो कि 7.10320533 की वर्तमान ज्ञात सीमा से बहुत छोटी है....<ref>Max A. Alekseyev, [https://arxiv.org/abs/1104.5100 On convergence of the Flint Hills series],  arXiv:1104.5100, 2011.</ref><ref>{{MathWorld|FlintHillsSeries|Flint Hills Series}}</ref></p>

आंशिक योग एक अनुक्रम इनपुट के रूप में लेता है, (ए), और आउटपुट के रूप में एक और अनुक्रम देता है, (एसएन)। इस प्रकार यह अनुक्रमों पर एक एकात्मक संक्रिया है। इसके अलावा, यह फ़ंक्शन रैखिक है, और इस प्रकार अनुक्रमों के [[सदिश स्थल]] पर एक [[रैखिक ऑपरेटर]] है, जिसे Σ निरूपित किया गया है। उलटा ऑपरेटर [[परिमित अंतर]] ऑपरेटर है, जिसे Δ दर्शाया गया है। ये एक वास्तविक चर के कार्यों के बजाय केवल श्रृंखला (एक प्राकृतिक संख्या के कार्यों) के लिए [[अभिन्न]] और व्युत्पन्न के असतत अनुरूप व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1, 1, ...) में आंशिक योग के रूप में श्रृंखला (1, 2, 3, 4, ...) है, जो कि <math display="inline">\int_0^x 1\,dt = x</math> के तथ्य के अनुरूप है।

कंप्यूटर विज्ञान में इसे उपसर्ग योग के नाम से जाना जाता है।

== श्रृंखला के गुण ==

श्रृंखला को न केवल अभिसरण या विचलन द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, बल्कि शर्तों के गुणों द्वारा भी (पूर्ण या सशर्त अभिसरण); श्रृंखला के अभिसरण का प्रकार (बिंदुवार, वर्दी); शब्द a का वर्ग (चाहे वह एक वास्तविक संख्या हो, अंकगणितीय प्रगति हो, त्रिकोणमितीय फलन हो); आदि।

=== गैर-नकारात्मक शब्द ===

जब प्रत्येक एन के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है, तो आंशिक योगों का अनुक्रम एसएन गैर-घटता है। यह इस प्रकार है कि गैर-नकारात्मक शर्तों के साथ एक श्रृंखला Σan अभिसरण करती है अगर और केवल अगर आंशिक रकम का अनुक्रम SN परिबद्ध है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला

और टेलीस्कोपिक योग तर्क का तात्पर्य है कि आंशिक योग 2 से घिरा है। म�