अपेक्षित मूल्य: Difference between revisions

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''यह लेख ~~संभाव्यता~~ सिद्धांत और सांख्यिकी मे प्रयुक्त शब्द के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए, आपेक्षित मूल्य (बहुविकल्पी) देखें।''

''यह लेख प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी मे प्रयुक्त शब्द के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए, आपेक्षित मूल्य (बहुविकल्पी) देखें।''

''E(X) यहाँ पुनर्निर्देश करता है। <math>e^x </math> के लिए ~~प्रकार्य~~, घातीय ~~प्रकार्य~~ देखें।''

''E(X) यहाँ पुनर्निर्देश करता है। <math>e^x </math> के लिए फलन, घातीय फलन देखें।''

''<nowiki>''</nowiki>E मान<nowiki>''</nowiki> यहाँ पुनर्निर्देश करता है। अन्य उपयोगों के लिए, E-श्रेणी (बहुविकल्पी) देखें।'' {{Probability fundamentals}}

~~संभाव्यता~~ सिद्धांत में, '''''अपेक्षित मूल्य''''' (जिसे '''अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम मूल्य''' भी कहा जाता है) [[ भारित औसत ]]का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से (~~संभाव्यता~~ सिद्धांत) चयनित परिणामों (~~संभावना~~ सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।

प्रायिकता सिद्धांत में, '''''अपेक्षित मूल्य''''' (जिसे '''अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम मूल्य''' भी कहा जाता है) [[ भारित औसत ]]का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से (प्रायिकता सिद्धांत) चयनित परिणामों (प्रायिकता सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।

परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के स्थिति में, अपेक्षा को [[ अभिन्न |समाकलन]] द्वारा परिभाषित किया गया है। [[ माप सिद्धांत ]] द्वारा प्रदान की गई ~~संभाव्यता~~ के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, प्रत्याशा [[ लेबेसेग एकीकरण |लेबेसेग समाकलन]] द्वारा दी गई है।

परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के स्थिति में, अपेक्षा को [[ अभिन्न |समाकलन]] द्वारा परिभाषित किया गया है। [[ माप सिद्धांत ]] द्वारा प्रदान की गई प्रायिकता के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, प्रत्याशा [[ लेबेसेग एकीकरण |लेबेसेग समाकलन]] द्वारा दी गई है।

एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} का अपेक्षित मूल्य द्वारा प्रायः {{math|E(''X'')}}, {{math|E[''X'']}}, या {{math|E''X''}} दर्शाया जाता है, साथ {{math|E}} के रूप में भी प्रायः {{mvar|E}} या <math>\mathbb{E}.</math> शैलीबद्ध किया जाता है।<ref>{{Cite web|title=अपेक्षा {{!}} औसत {{!}} औसत|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter3/3_2_2_expectation.php|access-date=2020-09-11|website=www.probabilitycourse.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Hansen|first=Bruce|title=अर्थशास्त्रियों के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी|url=https://ssc.wisc.edu/~bhansen/probability/Probability.pdf|url-status=live|access-date=2021-07-20}}</ref><ref>{{cite book |last1=Wasserman |first1=Larry |title=सांख्यिकी के सभी: सांख्यिकीय निष्कर्ष में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम|date=December 2010 |publisher=Springer texts in statistics |isbn=9781441923226 |page=47}}</ref>

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अपेक्षित मूल्य का विचार 17 वीं शताब्दी के मध्य में अंकों की तथाकथित समस्या के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, जो दो खिलाड़ियों के बीच दांव को उचित तरीके से विभाजित करना चाहता है, जिन्हें अपने खेल को ठीक से समाप्त करने से पहले समाप्त करना होगा।<ref>{{Cite book|title=1750 से पहले संभाव्यता और सांख्यिकी का इतिहास और उनके अनुप्रयोग|language=en|doi=10.1002/0471725161|series = Wiley Series in Probability and Statistics|year = 1990|isbn = 9780471725169}}</ref> सदियों से इस समस्या पर बहस हुई थी। 1654 में फ्रांसीसी लेखक और अप्रवीण गणितज्ञ एंटोनी गोमबॉड शेवेलियर डे मेरे द्वारा [[ ब्लेस पास्कल ]] को पेश किए जाने पर कई परस्पर विरोधी प्रस्ताव और समाधान सुझाए गए थे। मेरे ने दावा किया कि इस समस्या को हल नहीं किया जा सकता है और यह दिखाता है कि गणित कितना त्रुटिपूर्ण था जब यह वास्तविक दुनिया में इसके अनुप्रयोग के लिए आया था। गणितज्ञ पास्कल ने, एक बार और सभी के लिए समस्या को हल करने के लिए प्रोत्साहित और दृढ़ संकल्पित किया था।

उन्होंने [[ पियरे डी फर्मेट |पियरे डी फर्मेट]] को लिखे पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना प्रारंभ किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न संगणनात्मक तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की ~~संभावना~~ के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया।<ref>{{cite journal |title=अयस्क, पास्कल और संभाव्यता सिद्धांत का आविष्कार|journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |issue=5 |year=1960 |pages=409–419 |doi=10.2307/2309286|jstor=2309286 |last1=Ore |first1=Oystein }}</ref>

उन्होंने [[ पियरे डी फर्मेट |पियरे डी फर्मेट]] को लिखे पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना प्रारंभ किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न संगणनात्मक तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की प्रायिकता के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया।<ref>{{cite journal |title=अयस्क, पास्कल और संभाव्यता सिद्धांत का आविष्कार|journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |issue=5 |year=1960 |pages=409–419 |doi=10.2307/2309286|jstor=2309286 |last1=Ore |first1=Oystein }}</ref>

डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, (देखें ह्यूजेन्स (1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद <nowiki>''~~संभाव्यता~~ सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस''</nowiki>। पुस्तक ने मूल समस्या (उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को विस्तारित किया और इसे ~~संभाव्यता~~ के सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है।

डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, (देखें ह्यूजेन्स (1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद <nowiki>''प्रायिकता सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस''</nowiki>। पुस्तक ने मूल समस्या (उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को विस्तारित किया और इसे प्रायिकता के सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है।

अपने ग्रंथ की प्रस्तावना में, ह्यूजेंस ने लिखा:

Line 55:

== परिभाषा ==

जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के स्थिति से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के पलटने में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के स्थिति में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग स्थिति पर विचार करना भी बहुत सामान्य है (टुकड़े-टुकड़े-) निरंतर [[ संभाव्यता घनत्व कार्य | ~~संभाव्यता~~ घनत्व ~~कार्यो~~]] द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष स्थितियो के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।

जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के स्थिति से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के पलटने में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के स्थिति में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग स्थिति पर विचार करना भी बहुत सामान्य है (टुकड़े-टुकड़े-) निरंतर [[ संभाव्यता घनत्व कार्य | प्रायिकता घनत्व फलनो]] द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष स्थितियो के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।

एक बहुआयामी यादृच्छिक चर, अथार्थ एक [[ यादृच्छिक वेक्टर ]]{{mvar|X}} के अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के लिए अपेक्षित मूल्य की कोई भी परिभाषा विस्तारित की जा सकती है . इसे घटक द्वारा घटक के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे {{math|E[''X'']''i'' {{=}} E[''X''''i'']}}. इसी तरह {{math|E[''X'']''ij'' {{=}} E[''X''''ij'']}} द्वारा {{math|''X''''ij''}} घटकों के साथ एक [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स |यादृच्छिक आव्यूह]] {{mvar|X}} के अपेक्षित मान को परिभाषित कर सकता है।

===परिमित रूप से कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर ===

संभावित परिणामों की एक परिमित सूची {{math|''x''1, ..., ''x''''k''}} के साथ एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें जिनमें से प्रत्येक (क्रमशः) की ~~संभाव्यता~~ {{math|''p''1, ..., ''p''''k''}} घटित होने की है। {{mvar|X}} की अपेक्षा को इस तरह परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1p=76}}

संभावित परिणामों की एक परिमित सूची {{math|''x''1, ..., ''x''''k''}} के साथ एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें जिनमें से प्रत्येक (क्रमशः) की प्रायिकता {{math|''p''1, ..., ''p''''k''}} घटित होने की है। {{mvar|X}} की अपेक्षा को इस तरह परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1p=76}}

:<math>\operatorname{E}[X] =x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k.</math>

चूंकि ~~संभावनाओं~~ को {{math|''p''1 + ⋅⋅⋅ + ''p''''k'' {{=}} 1}} को स्वीकार करना चाहिए, इसीलिए {{math|E[''X'']}} को उनकी प्रायिकता {{math|''p''''i''}} द्वारा दिए गए औसत के रूप में {{math|''x''''i''}} मानो के भारित औसत के रूप मे व्याख्या करना स्वाभाविक है।

चूंकि प्रायिकतां को {{math|''p''1 + ⋅⋅⋅ + ''p''''k'' {{=}} 1}} को स्वीकार करना चाहिए, इसीलिए {{math|E[''X'']}} को उनकी प्रायिकता {{math|''p''''i''}} द्वारा दिए गए औसत के रूप में {{math|''x''''i''}} मानो के भारित औसत के रूप मे व्याख्या करना स्वाभाविक है।

विशेष स्थिति में कि सभी संभव परिणाम समतुल्य होते हैं (अर्थात, {{math|''p''1 {{=}} ⋅⋅⋅ {{=}} ''p''''k''}}), भारित औसत मानक अंकगणितीय माध्य द्वारा दिया जाता है। सामान्य स्थिति में, अपेक्षित मूल्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि कुछ परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक संभावित हैं।

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==== उदाहरण ====

*मान ले कि <math>X</math> निष्पक्ष छह-पक्षीय भूमिका के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं विशेष रूप से, <math>X</math> विक्षेप के बाद पिप की संख्या (गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी। <math>X</math> के लिए संभावित मान 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान ~~संभावना~~ 1/6 के साथ समान रूप से संभव है <math>X</math> की अपेक्षा

*मान ले कि <math>X</math> निष्पक्ष छह-पक्षीय भूमिका के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं विशेष रूप से, <math>X</math> विक्षेप के बाद पिप की संख्या (गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी। <math>X</math> के लिए संभावित मान 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान प्रायिकता 1/6 के साथ समान रूप से संभव है <math>X</math> की अपेक्षा

:: <math>\operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.</math>

: यदि कोई फलक को <math>n</math> बार घूमता है और परिणामों के औसत (अंकगणितीय माध्य) की गणना करता है, तो जैसे-जैसे <math>n</math> बढ़ता है, औसत [[ लगभग निश्चित रूप से ]] अपेक्षित मूल्य के [[ अभिसरण अनुक्रम |अभिसरण अनुक्रम]] होगा, एक तथ्य जिसे बड़ी संख्या के प्रबल नियम के रूप में जाना जाता है।

*[[ रूले | रूले]] गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाला थैला होता हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद अछे तरीके से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक थैले में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर <math>X</math> एक नंबर (सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के (मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि शर्त जीत जाती है (अमेरिकी रूले में ~~संभाव्यता~~ 1/38 के साथ होती है), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा

*[[ रूले | रूले]] गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाला थैला होता हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद अछे तरीके से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक थैले में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर <math>X</math> एक नंबर (सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के (मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि शर्त जीत जाती है (अमेरिकी रूले में प्रायिकता 1/38 के साथ होती है), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा

:: <math> \operatorname{E}[\,\text{gain from }\$1\text{ bet}\,] = -\$1 \cdot \frac{37}{38} + \$35 \cdot \frac{1}{38} = -\$\frac{1}{19}.</math>

:अर्थात्, $1 शर्त से जीते जाने वाला अपेक्षित मूल्य −$ है. इस प्रकार, 190 बाजी में, शुद्ध नुकसान लगभग $10 होगा।

=== कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर ===

अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक [[ गणनीय सेट | गणनीय ~~समूह~~]] के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को वास्तविक करने की ~~संभावनाओं~~ द्वारा दिया जाता है। यह कहना है

अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक [[ गणनीय सेट | गणनीय समुच्चय]] के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को वास्तविक करने की प्रायिकतां द्वारा दिया जाता है। यह कहना है

: <math> \operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,</math>

जहां पर {{math|''x''1, ''x''2, ...}} यादृच्छिक चर के संभावित परिणाम हैं {{mvar|X}} तथा {{math|''p''1, ''p''2, ...}} उनकी संगत ~~संभावनाएँ~~ हैं। कई गैर-गणितीय पाठ्यपुस्तकों में, इसे इस संदर्भ में अपेक्षित मूल्यों की पूर्ण परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है।{{sfnm|1a1=Ross|1y=2019|1loc=Section 2.4.1}}

जहां पर {{math|''x''1, ''x''2, ...}} यादृच्छिक चर के संभावित परिणाम हैं {{mvar|X}} तथा {{math|''p''1, ''p''2, ...}} उनकी संगत प्रायिकताएँ हैं। कई गैर-गणितीय पाठ्यपुस्तकों में, इसे इस संदर्भ में अपेक्षित मूल्यों की पूर्ण परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है।{{sfnm|1a1=Ross|1y=2019|1loc=Section 2.4.1}}

हालाँकि, अनंत योग के साथ कुछ सूक्ष्मताएँ हैं, इसलिए उपरोक्त सूत्र गणितीय परिभाषा के रूप में उपयुक्त नहीं है। विशेष रूप से, [[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] के[[ रीमैन श्रृंखला प्रमेय | रीमैन श्रृंखला प्रमेय]] यह दर्शाता है कि धनात्मक और ऋणात्मक योग वाले कुछ अनंत राशियों का मान उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें सारांश दिए गए हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर के परिणामों में स्वाभाविक रूप से कोई क्रम नहीं दिया गया है, यह अपेक्षित मूल्य को ठीक से परिभाषित करने में कठिनाई उपन्न करता है।

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==== उदाहरण ====

*मान लीजिए <math>x_i = i</math> तथा <math> p_i = \tfrac{c}{i2^i}</math> के लिये <math>i = 1, 2, 3, \ldots,</math> जहां पर <math>c = \tfrac{1}{\ln 2}</math> स्केलिंग कारक है जो ~~संभावनाओं~~ को 1 बनाता है। फिर, गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए प्रत्यक्ष परिभाषा का उपयोग करके, हमारे पास है <math display="block">\operatorname{E}[X] \,= \sum_i x_i p_i = 1(\tfrac{c}{2})

*मान लीजिए <math>x_i = i</math> तथा <math> p_i = \tfrac{c}{i2^i}</math> के लिये <math>i = 1, 2, 3, \ldots,</math> जहां पर <math>c = \tfrac{1}{\ln 2}</math> स्केलिंग कारक है जो प्रायिकतां को 1 बनाता है। फिर, गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए प्रत्यक्ष परिभाषा का उपयोग करके, हमारे पास है <math display="block">\operatorname{E}[X] \,= \sum_i x_i p_i = 1(\tfrac{c}{2})

+ 2(\tfrac{c}{8}) + 3 (\tfrac{c}{24}) + \cdots

\,= \, \tfrac{c}{2} + \tfrac{c}{4} + \tfrac{c}{8} + \cdots \,=\, c \,=\, \tfrac{1}{\ln 2}.</math>

=== घनत्व के साथ यादृच्छिक चर ===

अब एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें जिसमें [[ वास्तविक संख्या रेखा |वास्तविक संख्या रेखा]] पर एक ~~कार्य~~ {{mvar|f}} द्वारा दिया गया प्रायिकता घनत्व ~~कार्य~~ है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी दिए गए खुले अंतराल मे {{mvar|X}} के मान लेने की ~~संभावना~~ उस अंतराल पर {{mvar|f}} के पूर्णांक द्वारा दिया जाती है। {{mvar|X}} कीअपेक्षा तब समाकलन द्वारा दिया जाता है{{sfnm|1a1=Papoulis|1a2=Pillai|1y=2002|1loc=Section 5-3|2a1=Ross|2y=2019|2loc=Section 2.4.2}}

अब एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें जिसमें [[ वास्तविक संख्या रेखा |वास्तविक संख्या रेखा]] पर एक फलन {{mvar|f}} द्वारा दिया गया प्रायिकता घनत्व फलन है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी दिए गए खुले अंतराल मे {{mvar|X}} के मान लेने की प्रायिकता उस अंतराल पर {{mvar|f}} के पूर्णांक द्वारा दिया जाती है। {{mvar|X}} कीअपेक्षा तब समाकलन द्वारा दिया जाता है{{sfnm|1a1=Papoulis|1a2=Pillai|1y=2002|1loc=Section 5-3|2a1=Ross|2y=2019|2loc=Section 2.4.2}}

: <math> \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx.</math>

इस परिभाषा का एक सामान्य और गणितीय रूप से सटीक सूत्रीकरण माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन का उपयोग करता है, और अगले खंड में पूर्ण रूप से निरंतर यादृच्छिक चर के संबंधित सिद्धांत का वर्णन किया गया है। कई सामान्य वितरणों के घनत्व ~~कार्य~~ [[ टुकड़े-टुकड़े निरंतर |टुकड़े निरंतर]] होते हैं, और इस तरह के सिद्धांत को प्रायः इस प्रतिबंधित व्यवस्था में विकसित किया जाता है।{{sfnm|1a1=Feller|1y=1971|1loc=Section I.2}} ऐसे ~~कार्यों~~ के लिए, केवल मानक [[ रीमैन एकीकरण | रीमैन समाकलन]] पर विचार करना पर्याप्त है। कभी-कभी निरंतर यादृच्छिक चर को घनत्व के इस विशेष वर्ग के अनुरूप परिभाषित किया जाता है, हालांकि इस शब्द का प्रयोग विभिन्न लेखकों द्वारा अलग-अलग तरीके से किया जाता है।

इस परिभाषा का एक सामान्य और गणितीय रूप से सटीक सूत्रीकरण माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन का उपयोग करता है, और अगले खंड में पूर्ण रूप से निरंतर यादृच्छिक चर के संबंधित सिद्धांत का वर्णन किया गया है। कई सामान्य वितरणों के घनत्व फलन [[ टुकड़े-टुकड़े निरंतर |टुकड़े निरंतर]] होते हैं, और इस तरह के सिद्धांत को प्रायः इस प्रतिबंधित व्यवस्था में विकसित किया जाता है।{{sfnm|1a1=Feller|1y=1971|1loc=Section I.2}} ऐसे फलनों के लिए, केवल मानक [[ रीमैन एकीकरण | रीमैन समाकलन]] पर विचार करना पर्याप्त है। कभी-कभी निरंतर यादृच्छिक चर को घनत्व के इस विशेष वर्ग के अनुरूप परिभाषित किया जाता है, हालांकि इस शब्द का प्रयोग विभिन्न लेखकों द्वारा अलग-अलग तरीके से किया जाता है।

उपरोक्त अनगिनत-अनंत स्थिति के अनुरूप, समाकलन के अनंत क्षेत्र के कारण इस अभिव्यक्ति के साथ सूक्ष्मताएं हैं। यदि वितरण किया जाए तो ऐसी सूक्ष्मताएँ ठोस रूप से देखी जा सकती हैं यदि {{mvar|X}} [[ कॉची वितरण ]]{{math|Cauchy(0, π)}} द्वारा दिया गया है, ताकि {{math|''f''(''x'') {{=}} (''x''2 + π2)−1}}. इस स्थिति में गणना करना स्पष्ट है

Line 104:

अपेक्षित मूल्य की सभी परिभाषाएँ माप सिद्धांत की भाषा में व्यक्त की जा सकती हैं। सामान्य रूप से, अगर {{mvar|X}} प्रायिकता स्थान {{math|(Ω, Σ, P)}} पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है, तो {{math|E[''X'']}} द्वारा चिन्हित {{mvar|X}} का आपेक्षित मूल्य, लेबेसेग समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1p=273}}

:<math>\operatorname{E} [X] = \int_\Omega X\,d\operatorname{P}.</math>

नई अमूर्त स्थिति केहोते हुए भी, यह परिभाषा कुछ भारित औसत के रूप में ऊपर दी गई अपेक्षित मूल्यों की सबसे सरल परिभाषा के स्वरूप में अत्यंत समान है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि माप सिद्धांत में, लेबेसेग समाकलन के मान {{mvar|X}} के अनुमानों के भारित औसत के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो निश्चित रूप से कई मान लेते हैं।{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Section 15}} इसके अतिरिक्त, यदि परिमित या गणनीय रूप से कई संभावित मानों के साथ एक यादृच्छिक चर दिया जाता है, तो अपेक्षा का लेबेस्ग सिद्धांत ऊपर दिए गए योग सूत्रों के समान है। हालांकि, लेबेस्ग सिद्धांत ~~संभाव्यता~~ घनत्व ~~कार्यों~~ के सिद्धांत के दायरे को स्पष्ट करता है। एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} को पूर्ण रूप से निरंतर कहा जाता है यदि निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है:

नई अमूर्त स्थिति केहोते हुए भी, यह परिभाषा कुछ भारित औसत के रूप में ऊपर दी गई अपेक्षित मूल्यों की सबसे सरल परिभाषा के स्वरूप में अत्यंत समान है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि माप सिद्धांत में, लेबेसेग समाकलन के मान {{mvar|X}} के अनुमानों के भारित औसत के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो निश्चित रूप से कई मान लेते हैं।{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Section 15}} इसके अतिरिक्त, यदि परिमित या गणनीय रूप से कई संभावित मानों के साथ एक यादृच्छिक चर दिया जाता है, तो अपेक्षा का लेबेस्ग सिद्धांत ऊपर दिए गए योग सूत्रों के समान है। हालांकि, लेबेस्ग सिद्धांत प्रायिकता घनत्व फलनों के सिद्धांत के दायरे को स्पष्ट करता है। एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} को पूर्ण रूप से निरंतर कहा जाता है यदि निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है:

* वास्तविक रेखा पर एक गैर-ऋणात्मक मापने योग्य ~~कार्य~~ {{mvar|f}} है जैसे कि

* वास्तविक रेखा पर एक गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलन {{mvar|f}} है जैसे कि

::<math>\text{P}(X\in A)=\int_A f(x)\,dx,</math>

: किसी भी [[ बोरेल सेट |बोरेल ~~समूह~~]] के लिए {{mvar|A}}, जिसमें समाकलन लेबेसेंग है।

: किसी भी [[ बोरेल सेट |बोरेल समुच्चय]] के लिए {{mvar|A}}, जिसमें समाकलन लेबेसेंग है।

* {{mvar|X}} का संचयी वितरण ~~कार्य~~ नितांत सतत है।

* {{mvar|X}} का संचयी वितरण फलन नितांत सतत है।

* किसी भी बोरेल ~~समूह~~ {{mvar|A}} के लिए लेबेसेंग माप के साथ वास्तविक संख्याओं का माप शून्य के बराबर है, {{mvar|A}} की प्रायिकता {{mvar|X}} में मूल्यांकित किया जा रहा है।

* किसी भी बोरेल समुच्चय {{mvar|A}} के लिए लेबेसेंग माप के साथ वास्तविक संख्याओं का माप शून्य के बराबर है, {{mvar|A}} की प्रायिकता {{mvar|X}} में मूल्यांकित किया जा रहा है।

* किसी भी धनात्मक संख्या {{math|ε}} के लिए एक धनात्मक संख्या {{math|δ}} है जैसे कि: यदि {{mvar|A}} माप से कम के साथ एक बोरेल ~~समूह~~ है जिसका माप {{math|δ}} से कम है, तो {{mvar|A}} मे मान के {{mvar|X}} की ~~संभावना~~ {{math|ε}} से कम है।

* किसी भी धनात्मक संख्या {{math|ε}} के लिए एक धनात्मक संख्या {{math|δ}} है जैसे कि: यदि {{mvar|A}} माप से कम के साथ एक बोरेल समुच्चय है जिसका माप {{math|δ}} से कम है, तो {{mvar|A}} मे मान के {{mvar|X}} की प्रायिकता {{math|ε}} से कम है।

ये स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं, हालाँकि इसे स्थापित करना महत्वपूर्ण नहीं है।{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Theorems 31.7 and 31.8 and p. 422}} इस परिभाषा में, {{mvar|f}} का {{mvar|X}} प्रायिकता घनत्व फलन कहलाता है (लेबेस्ग माप के सापेक्ष)। लेबेसेंग समाकलन के लिए चर-के-परिवर्तन सूत्र के अनुसार,{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Theorem 16.13}} अचेतन सांख्यिकीविद् के नियम के साथ संयुक्त,{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Theorem 16.11}} यह इस प्रकार है कि

:<math>\operatorname{E}[X]\equiv\int_\Omega X\,d\operatorname{P}=\int_{\mathbb{R}}xf(x)\,dx</math>

किसी भी पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर के लिए {{mvar|X}}. निरंतर यादृच्छिक चर की उपरोक्त चर्चा इस प्रकार सामान्य लेबेस्ग सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक टुकड़ा-सतत-निरंतर ~~कार्य~~ औसत दर्जे का है।

किसी भी पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर के लिए {{mvar|X}}. निरंतर यादृच्छिक चर की उपरोक्त चर्चा इस प्रकार सामान्य लेबेस्ग सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक टुकड़ा-सतत-निरंतर फलन औसत दर्जे का है।

=== अनंत अपेक्षित मान ===

अपेक्षित मान जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है स्वचालित रूप से परिमित संख्याएँ हैं। हालांकि, कई स्थितियो में अपेक्षित मूल्यों {{math|±∞}}पर विचार करने में सक्षम होना मौलिक है यह सहज ज्ञान युक्त है, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास की स्थिति में, जिसमें कोई संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करता है {{math|''x''''i'' {{=}} 2''i''}}, संबद्ध ~~संभावनाओं~~ के साथ {{math|''p''''i'' {{=}} 2−''i''}}, के लिये {{mvar|i}} सभी धनात्मक पूर्णांकों को लेकर। गणनात्मक रूप से अनेक परिणामों वाले यादृच्छिक चरों के स्थिति में योग सूत्र के अनुसार, एक के पास होता है

अपेक्षित मान जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है स्वचालित रूप से परिमित संख्याएँ हैं। हालांकि, कई स्थितियो में अपेक्षित मूल्यों {{math|±∞}}पर विचार करने में सक्षम होना मौलिक है यह सहज ज्ञान युक्त है, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास की स्थिति में, जिसमें कोई संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करता है {{math|''x''''i'' {{=}} 2''i''}}, संबद्ध प्रायिकतां के साथ {{math|''p''''i'' {{=}} 2−''i''}}, के लिये {{mvar|i}} सभी धनात्मक पूर्णांकों को लेकर। गणनात्मक रूप से अनेक परिणामों वाले यादृच्छिक चरों के स्थिति में योग सूत्र के अनुसार, एक के पास होता है

<math display="block"> \operatorname{E}[X]= \sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i =2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4} + 8\cdot\frac{1}{8}+ 16\cdot\frac{1}{16}+ \cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots. </math>

यह कहना स्वाभाविक है कि अपेक्षित मूल्य {{math|+∞}} बराबर है।

Line 130:

इस परिभाषा के अनुसार, {{math|E[''X'']}} सम्मिलित है और परिमित है यदि केवल {{math|E[''X'' +]}} तथा {{math|E[''X'' −]}} दोनों परिमित हैं। सूत्र के कारण {{math|{{!}}''X''{{!}} {{=}} ''X'' + + ''X'' −}}, यह स्थिति है यदि केवल {{math|E{{!}}''X''{{!}}}} परिमित है, और यह उपरोक्त परिभाषाओं में पूर्ण अभिसरण शर्तों के बराबर है। जैसे, वर्तमान विचार किसी भी स्थिति में परिमित अपेक्षित मूल्यों को परिभाषित नहीं करते हैं, जिन पर पहले विचार नहीं किया गया था; वे अनंत अपेक्षाओं के लिए ही उपयोगी हैं।

* सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के स्थिति में, किसी के पास {{math|''X'' − {{=}} 0}} है, इसलिए {{math|E[''X''] {{=}} +∞}} इच्छित है।

* मान लीजिए यादृच्छिक चर {{mvar|X}} {{math|1, −2,3, −4, ...}}मान लेता है जिसकी ~~संभावना~~ {{math|6π−2, 6(2π)−2, 6(3π)−2, 6(4π)−2, ...}}. इसके बाद यह इस प्रकार है {{math|''X'' +}} ~~संभाव्यता~~ {{math|6((2''k''−1)π)−2}} के साथ मान {{math|2''k''−1}}लेता है, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}, और शेष ~~संभावना~~ के साथ {{math|0}} मान लेता है। इसी प्रकार, {{math|''X'' −}} प्रायिकता{{math|6(2''k''π)−2}}के साथ मान {{math|2''k''}} लेता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}} और शेष ~~संभाव्यता~~ के साथ {{math|0}} मान लेता है। गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि दोनों {{math|E[''X'' +] {{=}} ∞}} तथा {{math|E[''X'' −] {{=}} −∞}} ([[ हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) | समरूप श्रृंखला (गणित)]] देखें)। इसलिए, इस स्थिति में {{mvar|X}} की अपेक्षा अपरिभाषित है।

* मान लीजिए यादृच्छिक चर {{mvar|X}} {{math|1, −2,3, −4, ...}}मान लेता है जिसकी प्रायिकता {{math|6π−2, 6(2π)−2, 6(3π)−2, 6(4π)−2, ...}}. इसके बाद यह इस प्रकार है {{math|''X'' +}} प्रायिकता {{math|6((2''k''−1)π)−2}} के साथ मान {{math|2''k''−1}}लेता है, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}, और शेष प्रायिकता के साथ {{math|0}} मान लेता है। इसी प्रकार, {{math|''X'' −}} प्रायिकता{{math|6(2''k''π)−2}}के साथ मान {{math|2''k''}} लेता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}} और शेष प्रायिकता के साथ {{math|0}} मान लेता है। गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि दोनों {{math|E[''X'' +] {{=}} ∞}} तथा {{math|E[''X'' −] {{=}} −∞}} ([[ हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) | समरूप श्रृंखला (गणित)]] देखें)। इसलिए, इस स्थिति में {{mvar|X}} की अपेक्षा अपरिभाषित है।

* इसी तरह, कॉची वितरण, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, मे अपेक्षा अपरिभाषित है।

Line 182:

== गुण ==

नीचे दिए गए मूल गुण (और बोल्ड में उनके नाम) ~~Lebesgue~~ समाकलन से तुरंत दोहराए जाते हैं या उनका अनुसरण करते हैं। ध्यान दें कि अक्षर a.s. लगभग निश्चित रूप से ~~स्टैंड~~ के लिए - [[ लेबेस्ग इंटीग्रल | लेबेस्ग समाकलन]] ~~की एक~~ केंद्रीय ~~संपत्ति।~~ मूल रूप से, कोई कहता है कि असमानता पसंद है <math>X \geq 0 </math> लगभग निश्चित रूप से सत्य है, जब

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 {{Short description|The average value of a random variable}}
-''यह लेख संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी मे प्रयुक्त शब्द के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए, आपेक्षित मूल्य (बहुविकल्पी) देखें।''
+''यह लेख प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी मे प्रयुक्त शब्द के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए, आपेक्षित मूल्य (बहुविकल्पी) देखें।''
-''E(X) यहाँ पुनर्निर्देश करता है। <math>e^x </math> के लिए प्रकार्य, घातीय प्रकार्य देखें।''
+''E(X) यहाँ पुनर्निर्देश करता है। <math>e^x </math> के लिए फलन, घातीय फलन देखें।''
 ''<nowiki>''</nowiki>E मान<nowiki>''</nowiki> यहाँ पुनर्निर्देश करता है। अन्य उपयोगों के लिए, E-श्रेणी (बहुविकल्पी) देखें।'' {{Probability fundamentals}}
-संभाव्यता सिद्धांत में, '''''अपेक्षित मूल्य''''' (जिसे '''अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम मूल्य''' भी कहा जाता है) [[ भारित औसत ]]का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से (संभाव्यता सिद्धांत) चयनित परिणामों (संभावना सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।
+प्रायिकता सिद्धांत में, '''''अपेक्षित मूल्य''''' (जिसे '''अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम मूल्य''' भी कहा जाता है) [[ भारित औसत ]]का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से (प्रायिकता सिद्धांत) चयनित परिणामों (प्रायिकता सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।
-परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के स्थिति में, अपेक्षा को [[ अभिन्न |समाकलन]] द्वारा परिभाषित किया गया है। [[ माप सिद्धांत ]] द्वारा प्रदान की गई संभाव्यता के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, प्रत्याशा [[ लेबेसेग एकीकरण |लेबेसेग समाकलन]] द्वारा दी गई है।
+परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के स्थिति में, अपेक्षा को [[ अभिन्न |समाकलन]] द्वारा परिभाषित किया गया है। [[ माप सिद्धांत ]] द्वारा प्रदान की गई प्रायिकता के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, प्रत्याशा [[ लेबेसेग एकीकरण |लेबेसेग समाकलन]] द्वारा दी गई है।
 एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} का अपेक्षित मूल्य द्वारा प्रायः  {{math|E(''X'')}}, {{math|E[''X'']}}, या {{math|E''X''}} दर्शाया जाता है, साथ {{math|E}} के रूप में भी प्रायः {{mvar|E}} या <math>\mathbb{E}.</math> शैलीबद्ध किया जाता है।<ref>{{Cite web|title=अपेक्षा {{!}} औसत {{!}} औसत|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter3/3_2_2_expectation.php|access-date=2020-09-11|website=www.probabilitycourse.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Hansen|first=Bruce|title=अर्थशास्त्रियों के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी|url=https://ssc.wisc.edu/~bhansen/probability/Probability.pdf|url-status=live|access-date=2021-07-20}}</ref><ref>{{cite book |last1=Wasserman |first1=Larry |title=सांख्यिकी के सभी: सांख्यिकीय निष्कर्ष में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम|date=December 2010 |publisher=Springer texts in statistics |isbn=9781441923226 |page=47}}</ref>
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 अपेक्षित मूल्य का विचार 17 वीं शताब्दी के मध्य में अंकों की तथाकथित समस्या के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, जो दो खिलाड़ियों के बीच दांव को उचित तरीके से विभाजित करना चाहता है, जिन्हें अपने खेल को ठीक से समाप्त करने से पहले समाप्त करना होगा।<ref>{{Cite book|title=1750 से पहले संभाव्यता और सांख्यिकी का इतिहास और उनके अनुप्रयोग|language=en|doi=10.1002/0471725161|series = Wiley Series in Probability and Statistics|year = 1990|isbn = 9780471725169}}</ref> सदियों से इस समस्या पर बहस हुई थी। 1654 में फ्रांसीसी लेखक और अप्रवीण गणितज्ञ एंटोनी गोमबॉड शेवेलियर डे मेरे द्वारा [[ ब्लेस पास्कल ]] को पेश किए जाने पर कई परस्पर विरोधी प्रस्ताव और समाधान सुझाए गए थे। मेरे ने दावा किया कि इस समस्या को हल नहीं किया जा सकता है और यह दिखाता है कि गणित कितना त्रुटिपूर्ण था जब यह वास्तविक दुनिया में इसके अनुप्रयोग के लिए आया था। गणितज्ञ पास्कल ने, एक बार और सभी के लिए समस्या को हल करने के लिए प्रोत्साहित और दृढ़ संकल्पित किया था।
-उन्होंने [[ पियरे डी फर्मेट |पियरे डी फर्मेट]] को लिखे पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना प्रारंभ किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न संगणनात्मक तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की संभावना के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया।<ref>{{cite journal |title=अयस्क, पास्कल और संभाव्यता सिद्धांत का आविष्कार|journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |issue=5 |year=1960 |pages=409–419 |doi=10.2307/2309286|jstor=2309286 |last1=Ore |first1=Oystein }}</ref>
+उन्होंने [[ पियरे डी फर्मेट |पियरे डी फर्मेट]] को लिखे पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना प्रारंभ किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न संगणनात्मक तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की प्रायिकता के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया।<ref>{{cite journal |title=अयस्क, पास्कल और संभाव्यता सिद्धांत का आविष्कार|journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |issue=5 |year=1960 |pages=409–419 |doi=10.2307/2309286|jstor=2309286 |last1=Ore |first1=Oystein }}</ref>
-डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, (देखें ह्यूजेन्स (1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद <nowiki>''संभाव्यता सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस''</nowiki>। पुस्तक ने मूल समस्या (उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को विस्तारित किया और इसे संभाव्यता के सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है।
+डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, (देखें ह्यूजेन्स (1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद <nowiki>''प्रायिकता सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस''</nowiki>। पुस्तक ने मूल समस्या (उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को विस्तारित किया और इसे प्रायिकता के सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है।
 अपने ग्रंथ की प्रस्तावना में, ह्यूजेंस ने लिखा:
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 == परिभाषा ==
-जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के स्थिति से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के पलटने में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के स्थिति में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग स्थिति पर विचार करना भी बहुत सामान्य है (टुकड़े-टुकड़े-) निरंतर [[ संभाव्यता घनत्व कार्य | संभाव्यता घनत्व कार्यो]] द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष स्थितियो के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।
+जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के स्थिति से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के पलटने में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के स्थिति में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग स्थिति पर विचार करना भी बहुत सामान्य है (टुकड़े-टुकड़े-) निरंतर [[ संभाव्यता घनत्व कार्य | प्रायिकता घनत्व फलनो]] द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष स्थितियो के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।
 एक बहुआयामी यादृच्छिक चर, अथार्थ एक [[ यादृच्छिक वेक्टर ]]{{mvar|X}} के अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के लिए अपेक्षित मूल्य की कोई भी परिभाषा विस्तारित की जा सकती है . इसे घटक द्वारा घटक के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे {{math|E[''X'']<sub>''i''</sub> {{=}} E[''X''<sub>''i''</sub>]}}. इसी तरह {{math|E[''X'']<sub>''ij''</sub> {{=}} E[''X''<sub>''ij''</sub>]}} द्वारा {{math|''X''<sub>''ij''</sub>}} घटकों के साथ एक [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स |यादृच्छिक आव्यूह]] {{mvar|X}} के अपेक्षित मान को परिभाषित कर सकता है।
 ===परिमित रूप से कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर ===
-संभावित परिणामों की एक परिमित सूची  {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''k''</sub>}} के साथ एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें  जिनमें से प्रत्येक (क्रमशः) की संभाव्यता  {{math|''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''k''</sub>}} घटित  होने की है। {{mvar|X}} की अपेक्षा को इस तरह परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1p=76}}
+संभावित परिणामों की एक परिमित सूची  {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''k''</sub>}} के साथ एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें  जिनमें से प्रत्येक (क्रमशः) की प्रायिकता  {{math|''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''k''</sub>}} घटित  होने की है। {{mvar|X}} की अपेक्षा को इस तरह परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1p=76}}
 :<math>\operatorname{E}[X] =x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k.</math>
-चूंकि संभावनाओं को  {{math|''p''<sub>1</sub> + ⋅⋅⋅ + ''p''<sub>''k''</sub> {{=}} 1}} को स्वीकार करना चाहिए,  इसीलिए {{math|E[''X'']}} को उनकी प्रायिकता {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दिए गए  औसत के रूप में {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} मानो के भारित औसत के रूप मे व्याख्या करना स्वाभाविक है।
+चूंकि प्रायिकतां को  {{math|''p''<sub>1</sub> + ⋅⋅⋅ + ''p''<sub>''k''</sub> {{=}} 1}} को स्वीकार करना चाहिए,  इसीलिए {{math|E[''X'']}} को उनकी प्रायिकता {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दिए गए  औसत के रूप में {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} मानो के भारित औसत के रूप मे व्याख्या करना स्वाभाविक है।
 विशेष स्थिति में कि सभी संभव परिणाम समतुल्य होते हैं (अर्थात, {{math|''p''<sub>1</sub> {{=}} ⋅⋅⋅ {{=}} ''p''<sub>''k''</sub>}}), भारित औसत मानक अंकगणितीय माध्य द्वारा दिया जाता है। सामान्य स्थिति में, अपेक्षित मूल्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि कुछ परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक संभावित हैं।
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 ==== उदाहरण ====
-*मान ले कि <math>X</math> निष्पक्ष छह-पक्षीय भूमिका के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं विशेष रूप से, <math>X</math> विक्षेप के बाद पिप की संख्या (गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी। <math>X</math> के लिए संभावित मान  1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान संभावना 1/6 के साथ समान रूप से संभव है <math>X</math> की अपेक्षा
+*मान ले कि <math>X</math> निष्पक्ष छह-पक्षीय भूमिका के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं विशेष रूप से, <math>X</math> विक्षेप के बाद पिप की संख्या (गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी। <math>X</math> के लिए संभावित मान  1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान प्रायिकता 1/6 के साथ समान रूप से संभव है <math>X</math> की अपेक्षा
 :: <math>\operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.</math>
 : यदि कोई फलक को  <math>n</math> बार घूमता है और परिणामों के औसत (अंकगणितीय माध्य) की गणना करता है, तो जैसे-जैसे <math>n</math> बढ़ता है, औसत [[ लगभग निश्चित रूप से ]] अपेक्षित मूल्य के [[ अभिसरण अनुक्रम |अभिसरण अनुक्रम]]  होगा, एक तथ्य जिसे बड़ी संख्या के प्रबल नियम के रूप में जाना जाता है।
-*[[ रूले | रूले]] गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाला थैला होता हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद अछे तरीके से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक थैले में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर <math>X</math> एक नंबर (सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के (मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि शर्त जीत जाती है (अमेरिकी रूले में संभाव्यता 1/38 के साथ होती है), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा
+*[[ रूले | रूले]] गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाला थैला होता हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद अछे तरीके से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक थैले में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर <math>X</math> एक नंबर (सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के (मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि शर्त जीत जाती है (अमेरिकी रूले में प्रायिकता 1/38 के साथ होती है), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा
 :: <math>   \operatorname{E}[\,\text{gain from }\$1\text{ bet}\,] = -\$1 \cdot \frac{37}{38} + \$35 \cdot \frac{1}{38} = -\$\frac{1}{19}.</math>
 :अर्थात्, $1 शर्त से जीते जाने वाला अपेक्षित मूल्य −$ है. इस प्रकार, 190 बाजी में, शुद्ध नुकसान लगभग $10 होगा।
 === कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर ===
-अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक [[ गणनीय सेट | गणनीय समूह]] के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को वास्तविक करने की संभावनाओं द्वारा दिया जाता है। यह कहना है
+अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक [[ गणनीय सेट | गणनीय  समुच्चय]] के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को वास्तविक करने की प्रायिकतां द्वारा दिया जाता है। यह कहना है
 : <math>    \operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,</math>
-जहां पर {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...}} यादृच्छिक चर के संभावित परिणाम हैं {{mvar|X}} तथा {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ...}} उनकी संगत संभावनाएँ हैं। कई गैर-गणितीय पाठ्यपुस्तकों में, इसे इस संदर्भ में अपेक्षित मूल्यों की पूर्ण परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है।{{sfnm|1a1=Ross|1y=2019|1loc=Section 2.4.1}}
+जहां पर {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...}} यादृच्छिक चर के संभावित परिणाम हैं {{mvar|X}} तथा {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ...}} उनकी संगत प्रायिकताएँ हैं। कई गैर-गणितीय पाठ्यपुस्तकों में, इसे इस संदर्भ में अपेक्षित मूल्यों की पूर्ण परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है।{{sfnm|1a1=Ross|1y=2019|1loc=Section 2.4.1}}
 हालाँकि, अनंत योग के साथ कुछ सूक्ष्मताएँ हैं, इसलिए उपरोक्त सूत्र गणितीय परिभाषा के रूप में उपयुक्त नहीं है। विशेष रूप से, [[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] के[[ रीमैन श्रृंखला प्रमेय | रीमैन श्रृंखला प्रमेय]] यह दर्शाता है कि धनात्मक और ऋणात्मक योग वाले कुछ अनंत राशियों का मान उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें सारांश दिए गए हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर के परिणामों में स्वाभाविक रूप से कोई क्रम नहीं दिया गया है, यह अपेक्षित मूल्य को ठीक से परिभाषित करने में कठिनाई उपन्न करता है।
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 ==== उदाहरण ====
-*मान लीजिए <math>x_i = i</math> तथा <math> p_i = \tfrac{c}{i2^i}</math> के लिये <math>i = 1, 2, 3, \ldots,</math> जहां पर   <math>c = \tfrac{1}{\ln 2}</math> स्केलिंग कारक है जो संभावनाओं को 1 बनाता है। फिर, गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए प्रत्यक्ष परिभाषा का उपयोग करके, हमारे पास है <math display="block">\operatorname{E}[X] \,=  \sum_i x_i p_i = 1(\tfrac{c}{2})
+*मान लीजिए <math>x_i = i</math> तथा <math> p_i = \tfrac{c}{i2^i}</math> के लिये <math>i = 1, 2, 3, \ldots,</math> जहां पर   <math>c = \tfrac{1}{\ln 2}</math> स्केलिंग कारक है जो प्रायिकतां को 1 बनाता है। फिर, गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए प्रत्यक्ष परिभाषा का उपयोग करके, हमारे पास है <math display="block">\operatorname{E}[X] \,=  \sum_i x_i p_i = 1(\tfrac{c}{2})
 + 2(\tfrac{c}{8}) + 3 (\tfrac{c}{24}) + \cdots
   \,= \,  \tfrac{c}{2} + \tfrac{c}{4} + \tfrac{c}{8} + \cdots \,=\,  c \,=\,  \tfrac{1}{\ln  2}.</math>
 === घनत्व के साथ यादृच्छिक चर ===
-अब एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें जिसमें [[ वास्तविक संख्या रेखा |वास्तविक संख्या रेखा]] पर एक कार्य  {{mvar|f}}  द्वारा दिया गया प्रायिकता घनत्व कार्य है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी दिए गए खुले अंतराल मे {{mvar|X}} के मान लेने की संभावना उस अंतराल पर {{mvar|f}}  के पूर्णांक  द्वारा दिया जाती है।  {{mvar|X}} कीअपेक्षा तब समाकलन द्वारा दिया जाता है{{sfnm|1a1=Papoulis|1a2=Pillai|1y=2002|1loc=Section 5-3|2a1=Ross|2y=2019|2loc=Section 2.4.2}}
+अब एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} पर विचार करें जिसमें [[ वास्तविक संख्या रेखा |वास्तविक संख्या रेखा]] पर एक फलन  {{mvar|f}}  द्वारा दिया गया प्रायिकता घनत्व फलन है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी दिए गए खुले अंतराल मे {{mvar|X}} के मान लेने की प्रायिकता उस अंतराल पर {{mvar|f}}  के पूर्णांक  द्वारा दिया जाती है।  {{mvar|X}} कीअपेक्षा तब समाकलन द्वारा दिया जाता है{{sfnm|1a1=Papoulis|1a2=Pillai|1y=2002|1loc=Section 5-3|2a1=Ross|2y=2019|2loc=Section 2.4.2}}
 : <math>    \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx.</math>
-इस परिभाषा का एक सामान्य और गणितीय रूप से सटीक सूत्रीकरण माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन का उपयोग करता है, और अगले खंड में पूर्ण रूप से निरंतर यादृच्छिक चर के संबंधित सिद्धांत का वर्णन किया गया है। कई सामान्य वितरणों के घनत्व कार्य [[ टुकड़े-टुकड़े निरंतर |टुकड़े निरंतर]] होते हैं, और इस तरह के सिद्धांत को प्रायः इस प्रतिबंधित व्यवस्था में विकसित किया जाता है।{{sfnm|1a1=Feller|1y=1971|1loc=Section I.2}} ऐसे कार्यों के लिए, केवल मानक [[ रीमैन एकीकरण | रीमैन समाकलन]] पर विचार करना पर्याप्त है। कभी-कभी निरंतर यादृच्छिक चर को घनत्व के इस विशेष वर्ग के अनुरूप परिभाषित किया जाता है, हालांकि इस शब्द का प्रयोग विभिन्न लेखकों द्वारा अलग-अलग तरीके से किया जाता है।
+इस परिभाषा का एक सामान्य और गणितीय रूप से सटीक सूत्रीकरण माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन का उपयोग करता है, और अगले खंड में पूर्ण रूप से निरंतर यादृच्छिक चर के संबंधित सिद्धांत का वर्णन किया गया है। कई सामान्य वितरणों के घनत्व फलन [[ टुकड़े-टुकड़े निरंतर |टुकड़े निरंतर]] होते हैं, और इस तरह के सिद्धांत को प्रायः इस प्रतिबंधित व्यवस्था में विकसित किया जाता है।{{sfnm|1a1=Feller|1y=1971|1loc=Section I.2}} ऐसे फलनों के लिए, केवल मानक [[ रीमैन एकीकरण | रीमैन समाकलन]] पर विचार करना पर्याप्त है। कभी-कभी निरंतर यादृच्छिक चर को घनत्व के इस विशेष वर्ग के अनुरूप परिभाषित किया जाता है, हालांकि इस शब्द का प्रयोग विभिन्न लेखकों द्वारा अलग-अलग तरीके से किया जाता है।
 उपरोक्त अनगिनत-अनंत स्थिति के अनुरूप, समाकलन के अनंत क्षेत्र के कारण इस अभिव्यक्ति के साथ सूक्ष्मताएं हैं। यदि वितरण किया जाए तो ऐसी सूक्ष्मताएँ ठोस रूप से देखी जा सकती हैं यदि {{mvar|X}} [[ कॉची वितरण ]]{{math|Cauchy(0, &pi;)}} द्वारा दिया गया है, ताकि {{math|''f''(''x'') {{=}} (''x''<sup>2</sup> + &pi;<sup>2</sup>)<sup>−1</sup>}}. इस स्थिति में गणना करना स्पष्ट है
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 अपेक्षित मूल्य की सभी परिभाषाएँ माप सिद्धांत की भाषा में व्यक्त की जा सकती हैं। सामान्य  रूप से, अगर {{mvar|X}} प्रायिकता स्थान {{math|(&Omega;, &Sigma;, P)}} पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है, तो {{math|E[''X'']}} द्वारा चिन्हित {{mvar|X}} का आपेक्षित मूल्य, लेबेसेग  समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1p=273}}
 :<math>\operatorname{E} [X]  = \int_\Omega X\,d\operatorname{P}.</math>
-नई अमूर्त स्थिति केहोते हुए भी, यह परिभाषा कुछ भारित औसत के रूप में ऊपर दी गई अपेक्षित मूल्यों की सबसे सरल परिभाषा के स्वरूप में अत्यंत समान है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि माप सिद्धांत में, लेबेसेग समाकलन के मान {{mvar|X}} के अनुमानों के भारित औसत के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो निश्चित रूप से कई मान लेते हैं।{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Section 15}} इसके अतिरिक्त, यदि परिमित या गणनीय रूप से कई संभावित मानों के साथ एक यादृच्छिक चर दिया जाता है, तो अपेक्षा का लेबेस्ग सिद्धांत ऊपर दिए गए योग सूत्रों के समान है। हालांकि, लेबेस्ग सिद्धांत संभाव्यता घनत्व कार्यों के सिद्धांत के दायरे को स्पष्ट करता है। एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}}  को पूर्ण रूप से निरंतर कहा जाता है यदि निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है:
+नई अमूर्त स्थिति केहोते हुए भी, यह परिभाषा कुछ भारित औसत के रूप में ऊपर दी गई अपेक्षित मूल्यों की सबसे सरल परिभाषा के स्वरूप में अत्यंत समान है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि माप सिद्धांत में, लेबेसेग समाकलन के मान {{mvar|X}} के अनुमानों के भारित औसत के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो निश्चित रूप से कई मान लेते हैं।{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Section 15}} इसके अतिरिक्त, यदि परिमित या गणनीय रूप से कई संभावित मानों के साथ एक यादृच्छिक चर दिया जाता है, तो अपेक्षा का लेबेस्ग सिद्धांत ऊपर दिए गए योग सूत्रों के समान है। हालांकि, लेबेस्ग सिद्धांत प्रायिकता घनत्व फलनों के सिद्धांत के दायरे को स्पष्ट करता है। एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}}  को पूर्ण रूप से निरंतर कहा जाता है यदि निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है:
-* वास्तविक रेखा पर एक गैर-ऋणात्मक मापने योग्य कार्य {{mvar|f}}  है जैसे कि
+* वास्तविक रेखा पर एक गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलन {{mvar|f}}  है जैसे कि
 ::<math>\text{P}(X\in A)=\int_A f(x)\,dx,</math>
-: किसी भी [[ बोरेल सेट |बोरेल समूह]]  के लिए {{mvar|A}}, जिसमें समाकलन लेबेसेंग है।
+: किसी भी [[ बोरेल सेट |बोरेल समुच्चय]] के लिए {{mvar|A}}, जिसमें समाकलन लेबेसेंग है।
-* {{mvar|X}} का संचयी वितरण कार्य नितांत सतत है।
+* {{mvar|X}} का संचयी वितरण फलन नितांत सतत है।
-* किसी भी बोरेल समूह {{mvar|A}} के लिए  लेबेसेंग माप के साथ वास्तविक संख्याओं का माप शून्य के बराबर है, {{mvar|A}} की प्रायिकता {{mvar|X}} में मूल्यांकित किया जा रहा है।
+* किसी भी बोरेल समुच्चय {{mvar|A}} के लिए  लेबेसेंग माप के साथ वास्तविक संख्याओं का माप शून्य के बराबर है, {{mvar|A}} की प्रायिकता {{mvar|X}} में मूल्यांकित किया जा रहा है।
-* किसी भी धनात्मक संख्या {{math|&epsilon;}} के लिए एक धनात्मक संख्या {{math|&delta;}} है जैसे कि: यदि {{mvar|A}} माप से कम के साथ एक बोरेल समूह है जिसका माप {{math|&delta;}} से कम है, तो {{mvar|A}} मे मान के {{mvar|X}} की संभावना {{math|&epsilon;}} से कम है।
+* किसी भी धनात्मक संख्या {{math|&epsilon;}} के लिए एक धनात्मक संख्या {{math|&delta;}} है जैसे कि: यदि {{mvar|A}} माप से कम के साथ एक बोरेल समुच्चय है जिसका माप {{math|&delta;}} से कम है, तो {{mvar|A}} मे मान के {{mvar|X}} की प्रायिकता {{math|&epsilon;}} से कम है।
 ये स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं, हालाँकि इसे स्थापित करना महत्वपूर्ण नहीं है।{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Theorems 31.7 and 31.8 and p. 422}} इस परिभाषा में,  {{mvar|f}}  का {{mvar|X}} प्रायिकता घनत्व फलन कहलाता है (लेबेस्ग माप के सापेक्ष)। लेबेसेंग समाकलन के लिए चर-के-परिवर्तन सूत्र के अनुसार,{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Theorem 16.13}} अचेतन सांख्यिकीविद् के नियम के साथ संयुक्त,{{sfnm|1a1=Billingsley|1y=1995|1loc=Theorem 16.11}} यह इस प्रकार है कि
 :<math>\operatorname{E}[X]\equiv\int_\Omega X\,d\operatorname{P}=\int_{\mathbb{R}}xf(x)\,dx</math>
-किसी भी पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर के लिए {{mvar|X}}. निरंतर यादृच्छिक चर की उपरोक्त चर्चा इस प्रकार सामान्य लेबेस्ग सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक टुकड़ा-सतत-निरंतर कार्य औसत दर्जे का है।
+किसी भी पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर के लिए {{mvar|X}}. निरंतर यादृच्छिक चर की उपरोक्त चर्चा इस प्रकार सामान्य लेबेस्ग सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक टुकड़ा-सतत-निरंतर फलन औसत दर्जे का है।
 === अनंत अपेक्षित मान ===
-अपेक्षित मान जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है स्वचालित रूप से परिमित संख्याएँ हैं। हालांकि, कई स्थितियो में अपेक्षित मूल्यों {{math|±∞}}पर विचार करने में सक्षम होना मौलिक है  यह सहज ज्ञान युक्त है, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास की स्थिति में, जिसमें कोई संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करता है {{math|''x''<sub>''i''</sub> {{=}} 2<sup>''i''</sup>}}, संबद्ध संभावनाओं के साथ {{math|''p''<sub>''i''</sub> {{=}} 2<sup>−''i''</sup>}}, के लिये {{mvar|i}} सभी धनात्मक पूर्णांकों को लेकर। गणनात्मक रूप से अनेक परिणामों वाले यादृच्छिक चरों के स्थिति में योग सूत्र के अनुसार, एक के पास होता है
+अपेक्षित मान जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है स्वचालित रूप से परिमित संख्याएँ हैं। हालांकि, कई स्थितियो में अपेक्षित मूल्यों {{math|±∞}}पर विचार करने में सक्षम होना मौलिक है  यह सहज ज्ञान युक्त है, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास की स्थिति में, जिसमें कोई संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करता है {{math|''x''<sub>''i''</sub> {{=}} 2<sup>''i''</sup>}}, संबद्ध प्रायिकतां के साथ {{math|''p''<sub>''i''</sub> {{=}} 2<sup>−''i''</sup>}}, के लिये {{mvar|i}} सभी धनात्मक पूर्णांकों को लेकर। गणनात्मक रूप से अनेक परिणामों वाले यादृच्छिक चरों के स्थिति में योग सूत्र के अनुसार, एक के पास होता है
 <math display="block"> \operatorname{E}[X]= \sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i  =2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4} + 8\cdot\frac{1}{8}+ 16\cdot\frac{1}{16}+ \cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots. </math>
 यह कहना स्वाभाविक है कि अपेक्षित मूल्य {{math|+∞}} बराबर है।
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 इस परिभाषा के अनुसार, {{math|E[''X'']}} सम्मिलित है और परिमित है यदि केवल {{math|E[''X''<sup> +</sup>]}} तथा {{math|E[''X''<sup> −</sup>]}} दोनों परिमित हैं। सूत्र के कारण {{math|{{!}}''X''{{!}} {{=}} ''X''<sup> +</sup> + ''X''<sup> −</sup>}}, यह स्थिति है यदि केवल {{math|E{{!}}''X''{{!}}}} परिमित है, और यह उपरोक्त परिभाषाओं में पूर्ण अभिसरण शर्तों के बराबर है। जैसे, वर्तमान विचार किसी भी स्थिति में परिमित अपेक्षित मूल्यों को परिभाषित नहीं करते हैं, जिन पर पहले विचार नहीं किया गया था; वे अनंत अपेक्षाओं के लिए ही उपयोगी हैं।
 * सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के स्थिति में, किसी के पास  {{math|''X''<sup> −</sup> {{=}} 0}} है, इसलिए {{math|E[''X''] {{=}} +∞}} इच्छित है।
-* मान लीजिए यादृच्छिक चर {{mvar|X}} {{math|1, −2,3, −4, ...}}मान लेता है जिसकी संभावना {{math|6&pi;<sup>−2</sup>, 6(2&pi;)<sup>−2</sup>, 6(3&pi;)<sup>−2</sup>, 6(4&pi;)<sup>−2</sup>, ...}}. इसके बाद यह इस प्रकार है {{math|''X''<sup> +</sup>}} संभाव्यता {{math|6((2''k''−1)&pi;)<sup>−2</sup>}} के साथ मान {{math|2''k''−1}}लेता है, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}, और  शेष संभावना के साथ {{math|0}} मान लेता है। इसी प्रकार, {{math|''X''<sup> −</sup>}} प्रायिकता{{math|6(2''k''&pi;)<sup>−2</sup>}}के साथ मान {{math|2''k''}} लेता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}} और शेष संभाव्यता के साथ {{math|0}} मान लेता है। गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि दोनों {{math|E[''X''<sup> +</sup>] {{=}} ∞}} तथा {{math|E[''X''<sup> −</sup>] {{=}} −∞}} ([[ हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) | समरूप श्रृंखला (गणित)]]  देखें)। इसलिए, इस स्थिति में {{mvar|X}} की अपेक्षा अपरिभाषित है।
+* मान लीजिए यादृच्छिक चर {{mvar|X}} {{math|1, −2,3, −4, ...}}मान लेता है जिसकी प्रायिकता {{math|6&pi;<sup>−2</sup>, 6(2&pi;)<sup>−2</sup>, 6(3&pi;)<sup>−2</sup>, 6(4&pi;)<sup>−2</sup>, ...}}. इसके बाद यह इस प्रकार है {{math|''X''<sup> +</sup>}} प्रायिकता {{math|6((2''k''−1)&pi;)<sup>−2</sup>}} के साथ मान {{math|2''k''−1}}लेता है, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}, और  शेष प्रायिकता के साथ {{math|0}} मान लेता है। इसी प्रकार, {{math|''X''<sup> −</sup>}} प्रायिकता{{math|6(2''k''&pi;)<sup>−2</sup>}}के साथ मान {{math|2''k''}} लेता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|k}} और शेष प्रायिकता के साथ {{math|0}} मान लेता है। गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि दोनों {{math|E[''X''<sup> +</sup>] {{=}} ∞}} तथा {{math|E[''X''<sup> −</sup>] {{=}} −∞}} ([[ हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) | समरूप श्रृंखला (गणित)]]  देखें)। इसलिए, इस स्थिति में {{mvar|X}} की अपेक्षा अपरिभाषित है।
 * इसी तरह, कॉची वितरण, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, मे अपेक्षा अपरिभाषित है।
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 == गुण ==
-नीचे दिए गए मूल गुण (और बोल्ड में उनके नाम) Lebesgue समाकलन से तुरंत दोहराए जाते हैं या उनका अनुसरण करते हैं। ध्यान दें कि अक्षर a.s. लगभग निश्चित रूप से स्टैंड के लिए - [[ लेबेस्ग इंटीग्रल | लेबेस्ग समाकलन]]  की एक केंद्रीय संपत्ति। मूल रूप से, कोई कहता है कि असमानता पसंद है <math>X \geq 0 </math> लगभग निश्चित रूप से सत्य है, जब