एकदिष्ट फलन: Difference between revisions

Revision as of 12:38, 6 December 2022

चित्रा 1. एक नीरस रूप से गैर-घटता कार्य।

चित्रा 2. एक नीरस रूप से गैर-बढ़ता हुआ कार्य

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चित्रा 3. एक समारोह जो एकदिष्ट नहीं है

गणित में, एकदिष्ट प्रकार्य गणित में क्रमित संरचनाओं की सूची के बीच एक प्रकार्य (गणित) है जो दिए गए क्रमवार को संरक्षित या उलट देता है।^[1]^[2]^[3] यह अवधारणा पहले गणना में उत्पन्न हुई, और बाद में आदेश सिद्धांत की अधिक अमूर्त सेटिंग के लिए सामान्यीकृत की गई।

कलन और विश्लेषण में

कैलकुलस में, एक फंक्शन $f$ वास्तविक मानों के साथ वास्तविक संख्याओं के सबसेट पर परिभाषित को एकदिष्ट कहा जाता है यदि और केवल अगर यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती है, या पूरी तरह से गैर-घटती है।^[2]यही है, चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो नीरस रूप से बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं करना चाहिए।

एक समारोह को एकदिष्ट रूप से बढ़ाना (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता है^[3]अगर सभी के लिए $x$ तथा $y$ ऐसा है कि $x\leq y$ किसी के पास $f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)$ , इसलिए $f$ क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक प्रकार्य को नीरस रूप से घटते हुए (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता है^[3]अगर, जब भी $x\leq y$ , फिर $f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)$ , तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।

यदि आदेश $\leq$ एकरसता की परिभाषा में सख्त आदेश द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $<$ , एक मजबूत आवश्यकता प्राप्त करता है। इस संपत्ति के साथ एक प्रकार्य को सख्ती से बढ़ाना (भी बढ़ाना) कहा जाता है।^[3]^[4] फिर से, ऑर्डर सिंबल को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को सख्ती से घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है।^[3]^[4]किसी भी संपत्ति वाले प्रकार्य को सख्ती से मोनोटोन कहा जाता है। कार्य जो सख्ती से मोनोटोन हैं वे एक-से-एक कार्य हैं | एक-से-एक (क्योंकि के लिए $x$ असमान $y$ , या $x<y$ या $x>y$ और इसलिए, एकरसता से, या तो $f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)$ या $f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)$ , इस प्रकार $f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)$ .)

अस्पष्टता से बचने के लिए, कमजोर मोनोटोन, कमजोर रूप से बढ़ने और कमजोर रूप से घटने वाले शब्द अक्सर गैर-सख्त एकदिष्टिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

गैर-घटती और गैर-बढ़ती शर्तों को (बहुत कमजोर) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-एकदिष्ट प्रकार्य पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है।

एक समारोह $f\!\left(x\right)$ एक अंतराल पर बिल्कुल एकदिष्ट कहा जाता है $\left(a,b\right)$ यदि के सभी आदेशों के डेरिवेटिव $f$ अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-सकारात्मक हैं।

प्रकार्य का उलटा

सभी सख्ती से एकदिष्ट फ़ंक्शंस उलटा प्रकार्य हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने डोमेन में एक-से-एक मैपिंग की गारंटी है।

हालांकि, ऐसे कार्य जो केवल कमजोर मोनोटोन वाले होते हैं, व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं क्योंकि वे कुछ अंतराल पर स्थिर होते हैं (और इसलिए एक-से-एक नहीं होते हैं)।

एक प्रकार्य सीमित मूल्यों की एक सीमा पर सख्ती से एकदिष्ट हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर उलटा हो सकता है, भले ही यह हर जगह सख्ती से एकदिष्ट न हो। उदाहरण के लिए, यदि $y=g(x)$ सीमा पर सख्ती से बढ़ रहा है $[a,b]$ , तो इसका व्युत्क्रम होता है $x=h(y)$ सीमा पर $[g(a),g(b)]$ .

ध्यान दें कि एकदिष्ट शब्द का प्रयोग कभी-कभी सख्ती से एकदिष्ट के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी एकदिष्ट प्रकार्य उलटा हो सकते हैं जब उनका वास्तव में मतलब होता है कि सभी सख्ती से एकदिष्ट प्रकार्य उलटा हो जाते हैं।^{[citation needed]}

एकदिष्ट परिवर्तन

एकदिष्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन (या मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन) शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक सख्ती से बढ़ते प्रकार्य द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक उपयोगिता समारोह के क्रमिक गुणों के संबंध में एक एकदिष्ट परिवर्तन (मोनोटोन वरीयताएँ भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है।^[5] इस संदर्भ में, एकदिष्ट परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।^[6]

कुछ बुनियादी अनुप्रयोग और परिणाम

File:Monotonic dense jumps svg.svg

जम्प डिसकंटीन्युटीज के सघन सेट के साथ एकदिष्ट फंक्शन (कई सेक्शन दिखाए गए हैं)

एक एकदिष्ट प्रकार्य के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ :

$f$ प्रकार्य के अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से प्रकार्य की सीमा होती है;
$f$ सकारात्मक या नकारात्मक अनंत पर एक सीमा है ( $\pm \infty$ ) या तो एक वास्तविक संख्या का, $\infty$ , या $-\infty$ .
$f$ केवल जंप असततता हो सकती है;
$f$ इसके डोमेन में मोनोटोन फ़ंक्शंस की केवल गणनीय कई विसंगतियां हो सकती हैं। हालाँकि, विच्छिन्नताएँ, आवश्यक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से मिलकर नहीं बनती हैं और एक अंतराल (ए, बी) में सघन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी योग्‍य अनुक्रम के लिए $(a_{i})$ सकारात्मक संख्या और किसी भी गणना की $(q_{i})$ परिमेय संख्याओं का, नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन $f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}$ हर अपरिमेय संख्या (cf. चित्र) पर निरंतर है। यह परिमेय संख्याओं पर असतत माप का संचयी वितरण फलन है, जहाँ $a_{i}$ का वजन है $q_{i}$ .

ये गुण ही कारण हैं कि गणितीय विश्लेषण में तकनीकी कार्य में एकदिष्ट प्रकार्य उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में शामिल हैं:

यदि $f$ एक अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य है $I$ , फिर $f$ लगभग हर जगह व्युत्पन्न है $I$ ; यानी संख्याओं का समूह $x$ में $I$ ऐसा है कि $f$ में अवकलनीय नहीं है $x$ Lebesgue माप माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को गणनीय में सुधार नहीं किया जा सकता है: कैंटर समारोह देखें।
यदि यह सेट गणनीय है, तो $f$ नितांत सतत है
यदि $f$ अंतराल पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य है $\left[a,b\right]$ , फिर $f$ रीमैन इंटीग्रल है।

संभाव्यता सिद्धांत में एकदिष्ट कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य $F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)$ एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।

एक फलन एकरूपी फलन है यदि यह नीरस रूप से किसी बिंदु तक बढ़ रहा है (बहुलक (सांख्यिकी)) और फिर नीरस रूप से घट रहा है।

कब $f$ एक सख्ती से एकदिष्ट प्रकार्य है, फिर $f$ अपने डोमेन पर इंजेक्शन समारोह है, और यदि $T$ के एक समारोह की सीमा है $f$ , तो वहाँ एक उलटा कार्य होता है $T$ के लिये $f$ . इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य एकदिष्ट है, लेकिन इंजेक्शन नहीं है,^[7] और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।

टोपोलॉजी में

नक्षा $f:X\to Y$ मोनोटोन कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक फाइबर (गणित)#फाइबर इन नेव सेट थ्योरी कनेक्टेड (टोपोलॉजी) है; अर्थात्, प्रत्येक तत्व के लिए $y\in Y,$ (संभवतः खाली) सेट $f^{-1}(y)$ का कनेक्टेड सबस्पेस टोपोलॉजी है $X.$

कार्यात्मक विश्लेषण में

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर कार्यात्मक विश्लेषण में $X$ , एक (संभवतः गैर-रैखिक) ऑपरेटर $T:X\rightarrow X^{*}$ एक मोनोटोन ऑपरेटर कहा जाता है अगर

(Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.

कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बनच रिक्त स्थान पर उत्तल कार्य उनके डेरिवेटिव के रूप में एकदिष्ट ऑपरेटर हैं।

उपसमुच्चय $G$ का $X\times X^{*}$ अगर हर जोड़ी के लिए एक मोनोटोन सेट कहा जाता है $[u_{1},w_{1}]$ तथा $[u_{2},w_{2}]$ में $G$ ,

(w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.

$G$ अधिकतम मोनोटोन कहा जाता है यदि यह सेट समावेशन के अर्थ में सभी मोनोटोन सेटों में अधिकतम है। एक मोनोटोन ऑपरेटर का ग्राफ $G(T)$ एक मोनोटोन सेट है। एक मोनोटोन ऑपरेटर को अधिकतम मोनोटोन कहा जाता है यदि इसका ग्राफ़ अधिकतम मोनोटोन सेट है।

क्रम सिद्धांत में

ऑर्डर थ्योरी मनमाना आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट और वास्तविक संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में पूर्व आदेश से संबंधित है। एकरसता की उपरोक्त परिभाषा इन मामलों में भी प्रासंगिक है। हालांकि, बढ़ती और घटती शर्तों से बचा जाता है, क्योंकि उनका पारंपरिक सचित्र प्रतिनिधित्व उन ऑर्डर पर लागू नहीं होता है जो कुल ऑर्डर नहीं हैं। इसके अलावा, सख्त आदेश संबंध < और > कई गैर-कुल आदेशों में बहुत कम उपयोग होते हैं और इसलिए उनके लिए कोई अतिरिक्त शब्दावली पेश नहीं की जाती है।

≤ को किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, एक मोनोटोन प्रकार्य , जिसे आइसोटोन भी कहा जाता है, याorder-preserving, संपत्ति को संतुष्ट करता है

x ≤ y का अर्थ है f(x) ≤ f(y),

इसके डोमेन में सभी x और y के लिए। दो मोनोटोन मैपिंग का सम्मिश्रण भी मोनोटोन है।

द्वैत (आदेश सिद्धांत) धारणा को अक्सर एंटीटोन, एंटी-मोनोटोन या ऑर्डर-रिवर्सिंग कहा जाता है। इसलिए, एक एंटीटोन प्रकार्य f संपत्ति को संतुष्ट करता है

x ≤ y का अर्थ है f(y) ≤ f(x),

इसके डोमेन में सभी x और y के लिए।

एक स्थिर कार्य मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है; इसके विपरीत, यदि f मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है, और यदि f का डोमेन एक जाली (क्रम) है, तो f स्थिर होना चाहिए।

क्रम सिद्धांत में मोनोटोन फ़ंक्शंस केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष मोनोटोन फ़ंक्शंस आदेश एम्बेडिंग हैं (प्रकार्य जिसके लिए x ≤ y अगर और केवल अगर f(x) ≤ f(y)) और आदेश समरूपता (विशेषण ऑर्डर एम्बेडिंग)।

खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में

खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में एकरसता (जिसे संगति भी कहा जाता है) अनुमानी कार्यों पर लागू एक शर्त है। एक अनुमानी समारोह (एन) एकदिष्ट है, यदि प्रत्येक नोड एन और एन के प्रत्येक उत्तराधिकारी एन 'के लिए किसी भी कार्रवाई से उत्पन्न होता है, एन से लक्ष्य तक पहुंचने की अनुमानित लागत एन' प्लस प्राप्त करने की चरण लागत से अधिक नहीं है n' से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत,

h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).

यह n, n' और लक्ष्य G के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है_nएन के सबसे करीब। क्योंकि प्रत्येक एकदिष्ट ह्यूरिस्टिक भी स्वीकार्य ह्यूरिस्टिक है, स्वीकार्यता की तुलना में एकदिष्टिटी एक सख्त आवश्यकता है। कुछ अनुमानी एल्गोरिथम जैसे A* खोज एल्गोरिद्म|A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिथम सिद्ध किया जा सकता है, बशर्ते कि वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह एकदिष्ट हो।^[8]

बूलियन कार्यों में

File:Hasse3 x impl y and z.svg

With the nonmonotonic function "if a then both b and c", false nodes appear above true nodes.

File:Hasse3 ge2.svg

Hasse diagram of the monotonic function "at least two of a, b, c hold". Colors indicate function output values.

बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एक एकदिष्ट प्रकार्य ऐसा है जो सभी के लिए है_i और बी_i {0,1} में, अगर a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n (यानी कार्टेशियन उत्पाद {0, 1}ⁿ को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n). दूसरे शब्दों में, एक बूलियन प्रकार्य एकदिष्ट होता है, अगर इनपुट के प्रत्येक संयोजन के लिए, इनपुट में से किसी एक को गलत से सही पर स्विच करने से केवल आउटपुट को गलत से सही पर स्विच किया जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक एन-आरी बूलियन प्रकार्य एकदिष्ट है जब एक हाइपरक्यूब के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है | सत्य मूल्यों के साथ लेबल किए गए एन-क्यूब में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह लेबल किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है # प्रकार्य के लेबल किए गए वेन आरेख का आयाम-उलटा द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व है n ≤ 3.)

एकदिष्ट बूलियन फ़ंक्शंस ठीक वे हैं जिन्हें केवल ऑपरेटर्स तार्किक संयोजन और तार्किक विच्छेदन (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके इनपुट्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कम से कम दो ए, बी, सी होल्ड ए, बी, सी का एक एकदिष्ट प्रकार्य है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((ए और बी) या (ए और सी) या (बी और सी)) के रूप में लिखा जा सकता है। .

n चरों पर ऐसे कार्यों की संख्या को n की डेडेकिंड संख्या के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

मोनोटोन क्यूबिक इंटरपोलेशन
छद्म-मोनोटोन ऑपरेटर
स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक - डेटा के एक सेट में एकरसता का माप
कुल एकरसता
चक्रीय एकरसता
ऑपरेटर मोनोटोन प्रकार्य

↑ Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). गणित का ऑक्सफोर्ड संक्षिप्त शब्दकोश (5th ed.). Oxford University Press.
↑ ^2.0 ^2.1 Stover, Christopher. "मोनोटोनिक फ़ंक्शन". Wolfram MathWorld (in English). Retrieved 2018-01-29.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 "मोनोटोन फ़ंक्शन". Encyclopedia of Mathematics (in English). Retrieved 2018-01-29.
↑ ^4.0 ^4.1 Spivak, Michael (1994). गणना. 1572 West Gray, #377 Houston, Texas 77019: Publish or Perish, Inc. p. 192. ISBN 0-914098-89-6.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
↑ See the section on Cardinal Versus Ordinal Utility in Simon & Blume (1994).
↑ Varian, Hal R. (2010). इंटरमीडिएट सूक्ष्मअर्थशास्त्र (8th ed.). W. W. Norton & Company. p. 56. ISBN 9780393934243.
↑ if its domain has more than one element
↑ Conditions for optimality: Admissibility and consistency pg. 94–95 (Russell & Norvig 2010).

ग्रन्थसूची

Bartle, Robert G. (1976). The elements of real analysis (second ed.).
Grätzer, George (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. ISBN 0-7167-0442-0.
Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 0-387-00444-0.
Riesz, Frigyes & Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Functional Analysis. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach (3rd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (April 1994). Mathematics for Economists (first ed.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Definition 9.31)

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शून्य को मापें
सिद्धांत संभावना
अनियमित चर
मोड (सांख्यिकी)
एकरूप समारोह
उत्तल समारोह
बनच स्थान
आंशिक रूप से आदेशित सेट
जाली (आदेश)
निरंतर कार्य
असमानित त्रिकोण
अनुमानी एल्गोरिथ्म
ए * खोज एल्गोरिदम
स्वीकार्य अनुमानी
असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिदम
समन्वय क्रम
हस्स आरेख
नकार
डेडेकाइंड संख्या

बाहरी संबंध

"Monotone function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
Weisstein, Eric W. "Monotonic Function". MathWorld.

[1] Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). गणित का ऑक्सफोर्ड संक्षिप्त शब्दकोश (5th ed.). Oxford University Press.

[:1-2] 2.0 ^2.1 Stover, Christopher. "मोनोटोनिक फ़ंक्शन". Wolfram MathWorld (in English). Retrieved 2018-01-29.

[:0-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 "मोनोटोन फ़ंक्शन". Encyclopedia of Mathematics (in English). Retrieved 2018-01-29.

[:2-4] 4.0 ^4.1 Spivak, Michael (1994). गणना. 1572 West Gray, #377 Houston, Texas 77019: Publish or Perish, Inc. p. 192. ISBN 0-914098-89-6.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

[5] See the section on Cardinal Versus Ordinal Utility in Simon & Blume (1994).

[6] Varian, Hal R. (2010). इंटरमीडिएट सूक्ष्मअर्थशास्त्र (8th ed.). W. W. Norton & Company. p. 56. ISBN 9780393934243.

[7] ts domain has more than one element

[8] Conditions for optimality: Admissibility and consistency pg. 94–95 (Russell & Norvig 2010).

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Order-preserving mathematical function}}
-{{redirect|Monotonicity|information on monotonicity as it pertains to [[voting systems]]|monotonicity criterion|information on monotonicity as it pertains to logical systems|Monotonicity of entailment}}
+{{redirect|दिष्टता|[[मतदान प्रणाली]] से संबंधित दिष्टता पर जानकारी|दिष्टता मापदंड|information on monotonicity as it pertains to logical systems|अनुलग्नता की दिष्टता}}
-{{Redirect|Monotonic|other uses|Monotone (disambiguation)}}
+{{Redirect|दिष्टता|अन्य उपयोग|एकदिष्ट (विसंदिग्धीकरण)}}
 [[Image:Monotonicity example1.svg|right|thumb|चित्रा 1. एक नीरस रूप से गैर-घटता कार्य।]]
 [[Image:Monotonicity example2.svg|right|thumb|चित्रा 2. एक नीरस रूप से गैर-बढ़ता हुआ कार्य]]
-[[Image:Monotonicity example3.svg|right|thumb|चित्रा 3. एक समारोह जो मोनोटोनिक नहीं है]]गणित में, एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन (या मोनोटोन फ़ंक्शन) गणित में ऑर्डर संरचनाओं की सूची के बीच एक फ़ंक्शन (गणित) है जो दिए गए ऑर्डर संबंध को संरक्षित या उलट देता है।<ref>{{Cite book|title=गणित का ऑक्सफोर्ड संक्षिप्त शब्दकोश|last1=Clapham|first1=Christopher|last2=Nicholson|first2=James|publisher=Oxford University Press|year=2014|edition=5th}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MonotonicFunction.html|title=मोनोटोनिक फ़ंक्शन|last=Stover|first=Christopher|website=Wolfram MathWorld|language=en|access-date=2018-01-29}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Monotone_function|title=मोनोटोन फ़ंक्शन|website=Encyclopedia of Mathematics|language=en|access-date=2018-01-29}}</ref> यह अवधारणा पहले [[गणना]] में उत्पन्न हुई, और बाद में [[आदेश सिद्धांत]] की अधिक अमूर्त सेटिंग के लिए सामान्यीकृत की गई।
+[[Image:Monotonicity example3.svg|right|thumb|चित्रा 3. एक समारोह जो एकदिष्ट नहीं है]]गणित में, एकदिष्ट प्रकार्य गणित में क्रमित संरचनाओं की सूची के बीच एक प्रकार्य (गणित) है जो दिए गए क्रमवार को संरक्षित या उलट देता है।<ref>{{Cite book|title=गणित का ऑक्सफोर्ड संक्षिप्त शब्दकोश|last1=Clapham|first1=Christopher|last2=Nicholson|first2=James|publisher=Oxford University Press|year=2014|edition=5th}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MonotonicFunction.html|title=मोनोटोनिक फ़ंक्शन|last=Stover|first=Christopher|website=Wolfram MathWorld|language=en|access-date=2018-01-29}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Monotone_function|title=मोनोटोन फ़ंक्शन|website=Encyclopedia of Mathematics|language=en|access-date=2018-01-29}}</ref> यह अवधारणा पहले [[गणना]] में उत्पन्न हुई, और बाद में [[आदेश सिद्धांत]] की अधिक अमूर्त सेटिंग के लिए सामान्यीकृत की गई।
 == कलन और विश्लेषण में ==
-कैलकुलस में, एक फंक्शन <math>f</math> वास्तविक मानों के साथ [[वास्तविक संख्या]]ओं के [[सबसेट]] पर परिभाषित को मोनोटोनिक कहा जाता है यदि और केवल अगर यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती है, या पूरी तरह से गैर-घटती है।<ref name=":1" />यही है, चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो नीरस रूप से बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं करना चाहिए।
+कैलकुलस में, एक फंक्शन <math>f</math> वास्तविक मानों के साथ [[वास्तविक संख्या]]ओं के [[सबसेट]] पर परिभाषित को एकदिष्ट कहा जाता है यदि और केवल अगर यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती है, या पूरी तरह से गैर-घटती है।<ref name=":1" />यही है, चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो नीरस रूप से बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं करना चाहिए।
-एक समारोह को मोनोटोनिक रूप से बढ़ाना (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता है<ref name=":0" />अगर सभी के लिए <math>x</math> तथा <math>y</math> ऐसा है कि <math>x \leq y</math> किसी के पास  <math>f\!\left(x\right) \leq f\!\left(y\right)</math>, इसलिए <math>f</math> क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक फ़ंक्शन को नीरस रूप से घटते हुए (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता है<ref name=":0" />अगर, जब भी <math>x \leq y</math>, फिर <math>f\!\left(x\right) \geq f\!\left(y\right)</math>, तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।
+एक समारोह को एकदिष्ट रूप से बढ़ाना (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता है<ref name=":0" />अगर सभी के लिए <math>x</math> तथा <math>y</math> ऐसा है कि <math>x \leq y</math> किसी के पास  <math>f\!\left(x\right) \leq f\!\left(y\right)</math>, इसलिए <math>f</math> क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक प्रकार्य  को नीरस रूप से घटते हुए (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता है<ref name=":0" />अगर, जब भी <math>x \leq y</math>, फिर <math>f\!\left(x\right) \geq f\!\left(y\right)</math>, तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।
-यदि आदेश <math>\leq</math> एकरसता की परिभाषा में सख्त आदेश द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है <math><</math>, एक मजबूत आवश्यकता प्राप्त करता है। इस संपत्ति के साथ एक फ़ंक्शन को सख्ती से बढ़ाना (भी बढ़ाना) कहा जाता है।<ref name=":0" /><ref name=":2">{{Cite book|last=Spivak|first=Michael|title=गणना|publisher=Publish or Perish, Inc.|year=1994|isbn=0-914098-89-6|location=1572 West Gray, #377 Houston, Texas 77019|pages=192}}</ref> फिर से, ऑर्डर सिंबल को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को सख्ती से घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है।<ref name=":0" /><ref name=":2" />किसी भी संपत्ति वाले फ़ंक्शन को सख्ती से मोनोटोन कहा जाता है। कार्य जो सख्ती से मोनोटोन हैं वे एक-से-एक कार्य हैं | एक-से-एक (क्योंकि के लिए <math>x</math> असमान <math>y</math>, या <math>x < y</math> या <math>x > y</math> और इसलिए, एकरसता से, या तो <math>f\!\left(x\right) < f\!\left(y\right)</math> या <math>f\!\left(x\right) > f\!\left(y\right)</math>, इस प्रकार <math>f\!\left(x\right) \neq f\!\left(y\right)</math>.)
+यदि आदेश <math>\leq</math> एकरसता की परिभाषा में सख्त आदेश द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है <math><</math>, एक मजबूत आवश्यकता प्राप्त करता है। इस संपत्ति के साथ एक प्रकार्य  को सख्ती से बढ़ाना (भी बढ़ाना) कहा जाता है।<ref name=":0" /><ref name=":2">{{Cite book|last=Spivak|first=Michael|title=गणना|publisher=Publish or Perish, Inc.|year=1994|isbn=0-914098-89-6|location=1572 West Gray, #377 Houston, Texas 77019|pages=192}}</ref> फिर से, ऑर्डर सिंबल को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को सख्ती से घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है।<ref name=":0" /><ref name=":2" />किसी भी संपत्ति वाले प्रकार्य  को सख्ती से मोनोटोन कहा जाता है। कार्य जो सख्ती से मोनोटोन हैं वे एक-से-एक कार्य हैं | एक-से-एक (क्योंकि के लिए <math>x</math> असमान <math>y</math>, या <math>x < y</math> या <math>x > y</math> और इसलिए, एकरसता से, या तो <math>f\!\left(x\right) < f\!\left(y\right)</math> या <math>f\!\left(x\right) > f\!\left(y\right)</math>, इस प्रकार <math>f\!\left(x\right) \neq f\!\left(y\right)</math>.)
-अस्पष्टता से बचने के लिए, कमजोर मोनोटोन, कमजोर रूप से बढ़ने और कमजोर रूप से घटने वाले शब्द अक्सर गैर-सख्त मोनोटोनिकिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
+अस्पष्टता से बचने के लिए, कमजोर मोनोटोन, कमजोर रूप से बढ़ने और कमजोर रूप से घटने वाले शब्द अक्सर गैर-सख्त एकदिष्टिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
-गैर-घटती और गैर-बढ़ती शर्तों को (बहुत कमजोर) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-मोनोटोनिक फ़ंक्शन पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है।
+गैर-घटती और गैर-बढ़ती शर्तों को (बहुत कमजोर) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-एकदिष्ट प्रकार्य  पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है।
-एक समारोह <math>f\!\left(x\right)</math> एक अंतराल पर बिल्कुल मोनोटोनिक कहा जाता है <math>\left(a, b\right)</math> यदि के सभी आदेशों के डेरिवेटिव <math>f</math> अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-[[सकारात्मक]] हैं।
+एक समारोह <math>f\!\left(x\right)</math> एक अंतराल पर बिल्कुल एकदिष्ट कहा जाता है <math>\left(a, b\right)</math> यदि के सभी आदेशों के डेरिवेटिव <math>f</math> अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-[[सकारात्मक]] हैं।
-=== फ़ंक्शन का उलटा ===
+=== प्रकार्य  का उलटा ===
-सभी सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शंस उलटा फ़ंक्शन हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने डोमेन में एक-से-एक मैपिंग की गारंटी है।
+सभी सख्ती से एकदिष्ट फ़ंक्शंस उलटा प्रकार्य  हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने डोमेन में एक-से-एक मैपिंग की गारंटी है।
 हालांकि, ऐसे कार्य जो केवल कमजोर मोनोटोन वाले होते हैं, व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं क्योंकि वे कुछ अंतराल पर स्थिर होते हैं (और इसलिए एक-से-एक नहीं होते हैं)।
-एक फ़ंक्शन सीमित मूल्यों की एक सीमा पर सख्ती से मोनोटोनिक हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर उलटा हो सकता है, भले ही यह हर जगह सख्ती से मोनोटोनिक न हो। उदाहरण के लिए, यदि <math>y = g(x)</math> सीमा पर सख्ती से बढ़ रहा है <math>[a, b]</math>, तो इसका व्युत्क्रम होता है <math>x = h(y)</math> सीमा पर <math>[g(a), g(b)]</math>.
+एक प्रकार्य  सीमित मूल्यों की एक सीमा पर सख्ती से एकदिष्ट हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर उलटा हो सकता है, भले ही यह हर जगह सख्ती से एकदिष्ट न हो। उदाहरण के लिए, यदि <math>y = g(x)</math> सीमा पर सख्ती से बढ़ रहा है <math>[a, b]</math>, तो इसका व्युत्क्रम होता है <math>x = h(y)</math> सीमा पर <math>[g(a), g(b)]</math>.
-ध्यान दें कि मोनोटोनिक शब्द का प्रयोग कभी-कभी सख्ती से मोनोटोनिक के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी मोनोटोनिक फ़ंक्शन उलटा हो सकते हैं जब उनका वास्तव में मतलब होता है कि सभी सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन उलटा हो जाते हैं।{{cn|reason=Give an example for such a source.|date=August 2022}}
+ध्यान दें कि एकदिष्ट शब्द का प्रयोग कभी-कभी सख्ती से एकदिष्ट के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी एकदिष्ट प्रकार्य  उलटा हो सकते हैं जब उनका वास्तव में मतलब होता है कि सभी सख्ती से एकदिष्ट प्रकार्य  उलटा हो जाते हैं।{{cn|reason=Give an example for such a source.|date=August 2022}}
-=== मोनोटोनिक परिवर्तन ===
+=== एकदिष्ट परिवर्तन ===
-मोनोटोनिक ट्रांसफ़ॉर्मेशन (या मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन) शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक [[उपयोगिता समारोह]] के क्रमिक गुणों के संबंध में एक मोनोटोनिक परिवर्तन ([[मोनोटोन वरीयताएँ]] भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है।<ref>See the section on Cardinal Versus Ordinal Utility in {{harvtxt|Simon|Blume|1994}}.</ref> इस संदर्भ में, मोनोटोनिक परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक मोनोटोनिक परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक मोनोटोनिक परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।<ref>{{cite book |last=Varian |first=Hal R. |title=इंटरमीडिएट सूक्ष्मअर्थशास्त्र|edition=8th |year=2010 |publisher=W. W. Norton & Company |page=56 |isbn=9780393934243}}</ref>
+एकदिष्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन (या मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन) शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक सख्ती से बढ़ते प्रकार्य  द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक [[उपयोगिता समारोह]] के क्रमिक गुणों के संबंध में एक एकदिष्ट परिवर्तन ([[मोनोटोन वरीयताएँ]] भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है।<ref>See the section on Cardinal Versus Ordinal Utility in {{harvtxt|Simon|Blume|1994}}.</ref> इस संदर्भ में, एकदिष्ट परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।<ref>{{cite book |last=Varian |first=Hal R. |title=इंटरमीडिएट सूक्ष्मअर्थशास्त्र|edition=8th |year=2010 |publisher=W. W. Norton & Company |page=56 |isbn=9780393934243}}</ref>
 === कुछ बुनियादी अनुप्रयोग और परिणाम ===
-[[File:Monotonic dense jumps svg.svg|thumb|550px|जम्प डिसकंटीन्युटीज के सघन सेट के साथ मोनोटोनिक फंक्शन (कई सेक्शन दिखाए गए हैं)]]एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>:
+[[File:Monotonic dense jumps svg.svg|thumb|550px|जम्प डिसकंटीन्युटीज के सघन सेट के साथ एकदिष्ट फंक्शन (कई सेक्शन दिखाए गए हैं)]]एक एकदिष्ट प्रकार्य  के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>:
-*<math>f</math> फ़ंक्शन के अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से फ़ंक्शन की सीमा होती है;
+*<math>f</math> प्रकार्य  के अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से प्रकार्य  की सीमा होती है;
 *<math>f</math> सकारात्मक या नकारात्मक अनंत पर एक सीमा है (<math>\pm\infty</math>) या तो एक वास्तविक संख्या का, <math>\infty</math>, या <math>-\infty</math>.
 *<math>f</math> केवल जंप असततता हो सकती है;
 *<math>f</math> इसके डोमेन में मोनोटोन फ़ंक्शंस की केवल [[गणनीय]] कई विसंगतियां हो सकती हैं। हालाँकि, विच्छिन्नताएँ, आवश्यक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से मिलकर नहीं बनती हैं और एक अंतराल (ए, बी) में सघन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी योग्‍य अनुक्रम के लिए <math display>(a_i)</math> सकारात्मक संख्या और किसी भी गणना की <math>(q_i)</math> [[परिमेय संख्या]]ओं का, नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन <math display=block>f(x)=\sum_{q_i\leq x} a_i</math> हर अपरिमेय संख्या (cf. चित्र) पर निरंतर है। यह परिमेय संख्याओं पर असतत माप का [[संचयी वितरण फलन]] है, जहाँ <math>a_i</math> का वजन है <math>q_i</math>.
-ये गुण ही कारण हैं कि [[गणितीय विश्लेषण]] में तकनीकी कार्य में मोनोटोनिक फ़ंक्शन उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में शामिल हैं:
+ये गुण ही कारण हैं कि [[गणितीय विश्लेषण]] में तकनीकी कार्य में एकदिष्ट प्रकार्य  उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में शामिल हैं:
-*यदि <math>f</math> एक [[अंतराल (गणित)]] पर परिभाषित एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है <math>I</math>, फिर <math>f</math> [[लगभग हर जगह]] व्युत्पन्न है <math>I</math>; यानी संख्याओं का समूह <math>x</math> में <math>I</math> ऐसा है कि <math>f</math> में अवकलनीय नहीं है <math>x</math> Lebesgue माप माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को गणनीय में सुधार नहीं किया जा सकता है: [[कैंटर समारोह]] देखें।
+*यदि <math>f</math> एक [[अंतराल (गणित)]] पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य  है <math>I</math>, फिर <math>f</math> [[लगभग हर जगह]] व्युत्पन्न है <math>I</math>; यानी संख्याओं का समूह <math>x</math> में <math>I</math> ऐसा है कि <math>f</math> में अवकलनीय नहीं है <math>x</math> Lebesgue माप माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को गणनीय में सुधार नहीं किया जा सकता है: [[कैंटर समारोह]] देखें।
 *यदि यह सेट गणनीय है, तो <math>f</math> नितांत सतत है
-*यदि <math>f</math> अंतराल पर परिभाषित एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है <math>\left[a, b\right]</math>, फिर <math>f</math> [[रीमैन इंटीग्रल]] है।
+*यदि <math>f</math> अंतराल पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य  है <math>\left[a, b\right]</math>, फिर <math>f</math> [[रीमैन इंटीग्रल]] है।
-संभाव्यता सिद्धांत में मोनोटोनिक कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि <math>X</math> एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य <math>F_X\!\left(x\right) = \text{Prob}\!\left(X \leq x\right)</math> एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।
+संभाव्यता सिद्धांत में एकदिष्ट कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि <math>X</math> एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य <math>F_X\!\left(x\right) = \text{Prob}\!\left(X \leq x\right)</math> एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।
 एक फलन एकरूपी फलन है यदि यह नीरस रूप से किसी बिंदु तक बढ़ रहा है (बहुलक (सांख्यिकी)) और फिर नीरस रूप से घट रहा है।
-कब <math>f</math> एक सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, फिर <math>f</math> अपने डोमेन पर [[इंजेक्शन समारोह]] है, और यदि <math>T</math> के [[एक समारोह की सीमा]] है <math>f</math>, तो वहाँ एक उलटा कार्य होता है <math>T</math> के लिये <math>f</math>. इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य मोनोटोनिक है, लेकिन इंजेक्शन नहीं है,<ref>if its domain has more than one element</ref> और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।
+कब <math>f</math> एक सख्ती से एकदिष्ट प्रकार्य  है, फिर <math>f</math> अपने डोमेन पर [[इंजेक्शन समारोह]] है, और यदि <math>T</math> के [[एक समारोह की सीमा]] है <math>f</math>, तो वहाँ एक उलटा कार्य होता है <math>T</math> के लिये <math>f</math>. इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य एकदिष्ट है, लेकिन इंजेक्शन नहीं है,<ref>if its domain has more than one element</ref> और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।
 == टोपोलॉजी में ==
@@ Line 64: / Line 64: @@
 :<math>(Tu - Tv, u - v) \geq 0 \quad \forall u,v \in X.</math>
-कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बनच रिक्त स्थान पर उत्तल कार्य उनके डेरिवेटिव के रूप में मोनोटोनिक ऑपरेटर हैं।
+कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बनच रिक्त स्थान पर उत्तल कार्य उनके डेरिवेटिव के रूप में एकदिष्ट ऑपरेटर हैं।
 उपसमुच्चय <math>G</math> का <math>X \times X^*</math> अगर हर जोड़ी के लिए एक मोनोटोन सेट कहा जाता है <math>[u_1, w_1]</math> तथा <math>[u_2, w_2]</math> में <math>G</math>,
@@ Line 76: / Line 76: @@
 ऑर्डर थ्योरी मनमाना आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट और वास्तविक संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में [[पूर्व आदेश]] से संबंधित है। एकरसता की उपरोक्त परिभाषा इन मामलों में भी प्रासंगिक है। हालांकि, बढ़ती और घटती शर्तों से बचा जाता है, क्योंकि उनका पारंपरिक सचित्र प्रतिनिधित्व उन ऑर्डर पर लागू नहीं होता है जो कुल ऑर्डर नहीं हैं। इसके अलावा, [[सख्त आदेश]] संबंध < और > कई गैर-[[कुल आदेश]]ों में बहुत कम उपयोग होते हैं और इसलिए उनके लिए कोई अतिरिक्त शब्दावली पेश नहीं की जाती है।
-≤ को किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, एक मोनोटोन फ़ंक्शन, जिसे आइसोटोन भी कहा जाता है, या{{visible anchor|order-preserving}}, संपत्ति को संतुष्ट करता है
+≤ को किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, एक मोनोटोन प्रकार्य , जिसे आइसोटोन भी कहा जाता है, या{{visible anchor|order-preserving}}, संपत्ति को संतुष्ट करता है
 : x ≤ y का अर्थ है f(x) ≤ f(y),
@@ Line 82: / Line 82: @@
 इसके डोमेन में सभी x और y के लिए। दो मोनोटोन मैपिंग का सम्मिश्रण भी मोनोटोन है।
-[[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] धारणा को अक्सर एंटीटोन, एंटी-मोनोटोन या ऑर्डर-रिवर्सिंग कहा जाता है। इसलिए, एक एंटीटोन फ़ंक्शन f संपत्ति को संतुष्ट करता है
+[[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] धारणा को अक्सर एंटीटोन, एंटी-मोनोटोन या ऑर्डर-रिवर्सिंग कहा जाता है। इसलिए, एक एंटीटोन प्रकार्य  f संपत्ति को संतुष्ट करता है
 : x ≤ y का अर्थ है f(y) ≤ f(x),
@@ Line 90: / Line 90: @@
 एक स्थिर कार्य मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है; इसके विपरीत, यदि f मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है, और यदि f का डोमेन एक जाली (क्रम) है, तो f स्थिर होना चाहिए।
-क्रम सिद्धांत में मोनोटोन फ़ंक्शंस केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष मोनोटोन फ़ंक्शंस [[आदेश एम्बेडिंग]] हैं (फ़ंक्शन जिसके लिए x ≤ y [[अगर और केवल अगर]] f(x) ≤ f(y)) और [[आदेश समरूपता]] ([[विशेषण]] ऑर्डर एम्बेडिंग)।
+क्रम सिद्धांत में मोनोटोन फ़ंक्शंस केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष मोनोटोन फ़ंक्शंस [[आदेश एम्बेडिंग]] हैं (प्रकार्य  जिसके लिए x ≤ y [[अगर और केवल अगर]] f(x) ≤ f(y)) और [[आदेश समरूपता]] ([[विशेषण]] ऑर्डर एम्बेडिंग)।
 == [[खोज एल्गोरिदम]] के संदर्भ में ==
-खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में एकरसता (जिसे संगति भी कहा जाता है) अनुमानी कार्यों पर लागू एक शर्त है। एक [[अनुमानी समारोह]] (एन) मोनोटोनिक है, यदि प्रत्येक नोड एन और एन के प्रत्येक उत्तराधिकारी एन 'के लिए किसी भी कार्रवाई से उत्पन्न होता है, एन से लक्ष्य तक पहुंचने की अनुमानित लागत एन' प्लस प्राप्त करने की चरण लागत से अधिक नहीं है n' से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत,
+खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में एकरसता (जिसे संगति भी कहा जाता है) अनुमानी कार्यों पर लागू एक शर्त है। एक [[अनुमानी समारोह]] (एन) एकदिष्ट है, यदि प्रत्येक नोड एन और एन के प्रत्येक उत्तराधिकारी एन 'के लिए किसी भी कार्रवाई से उत्पन्न होता है, एन से लक्ष्य तक पहुंचने की अनुमानित लागत एन' प्लस प्राप्त करने की चरण लागत से अधिक नहीं है n' से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत,
 :<math>h(n) \leq c\left(n, a, n'\right) + h\left(n'\right).</math>
-यह n, n' और लक्ष्य G के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है<sub>n</sub>एन के सबसे करीब। क्योंकि प्रत्येक मोनोटोनिक ह्यूरिस्टिक भी स्वीकार्य ह्यूरिस्टिक है, स्वीकार्यता की तुलना में मोनोटोनिकिटी एक सख्त आवश्यकता है। कुछ अनुमानी एल्गोरिथम जैसे A* खोज एल्गोरिद्म|A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिथम सिद्ध किया जा सकता है, बशर्ते कि वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह मोनोटोनिक हो।<ref>Conditions for optimality:  Admissibility and consistency pg. 94–95 {{Harv|Russell|Norvig|2010}}.</ref>
+यह n, n' और लक्ष्य G के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है<sub>n</sub>एन के सबसे करीब। क्योंकि प्रत्येक एकदिष्ट ह्यूरिस्टिक भी स्वीकार्य ह्यूरिस्टिक है, स्वीकार्यता की तुलना में एकदिष्टिटी एक सख्त आवश्यकता है। कुछ अनुमानी एल्गोरिथम जैसे A* खोज एल्गोरिद्म|A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिथम सिद्ध किया जा सकता है, बशर्ते कि वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह एकदिष्ट हो।<ref>Conditions for optimality:  Admissibility and consistency pg. 94–95 {{Harv|Russell|Norvig|2010}}.</ref>
@@ Line 106: / Line 106: @@
 | [[File:Hasse3 ge2.svg|thumb|Hasse diagram of the monotonic function "at least two of ''a'', ''b'', ''c'' hold". Colors indicate function output values.]]
 |}
-[[बूलियन बीजगणित (तर्क)]] में, एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन ऐसा है जो सभी के लिए है<sub>''i''</sub> और बी<sub>''i''</sub> {0,1} में, अगर {{nowrap|''a''<sub>1</sub> ≤ ''b''<sub>1</sub>}}, {{nowrap|''a''<sub>2</sub> ≤ ''b''<sub>2</sub>}}, ..., {{nowrap|''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub>}} (यानी कार्टेशियन उत्पाद {0, 1}<sup>n</sup> को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब {{nowrap|f(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) ≤ f(''b''<sub>1</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>)}}. दूसरे शब्दों में, एक बूलियन फ़ंक्शन मोनोटोनिक होता है, अगर इनपुट के प्रत्येक संयोजन के लिए, इनपुट में से किसी एक को गलत से सही पर स्विच करने से केवल आउटपुट को गलत से सही पर स्विच किया जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक एन-आरी बूलियन फ़ंक्शन मोनोटोनिक है जब एक हाइपरक्यूब के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है | सत्य मूल्यों के साथ लेबल किए गए एन-क्यूब में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह लेबल किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है # फ़ंक्शन के लेबल किए गए [[वेन आरेख]] का आयाम-उलटा द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व है {{nowrap|''n'' ≤ 3}}.)
+[[बूलियन बीजगणित (तर्क)]] में, एक एकदिष्ट प्रकार्य  ऐसा है जो सभी के लिए है<sub>''i''</sub> और बी<sub>''i''</sub> {0,1} में, अगर {{nowrap|''a''<sub>1</sub> ≤ ''b''<sub>1</sub>}}, {{nowrap|''a''<sub>2</sub> ≤ ''b''<sub>2</sub>}}, ..., {{nowrap|''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub>}} (यानी कार्टेशियन उत्पाद {0, 1}<sup>n</sup> को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब {{nowrap|f(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) ≤ f(''b''<sub>1</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>)}}. दूसरे शब्दों में, एक बूलियन प्रकार्य  एकदिष्ट होता है, अगर इनपुट के प्रत्येक संयोजन के लिए, इनपुट में से किसी एक को गलत से सही पर स्विच करने से केवल आउटपुट को गलत से सही पर स्विच किया जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक एन-आरी बूलियन प्रकार्य  एकदिष्ट है जब एक हाइपरक्यूब के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है | सत्य मूल्यों के साथ लेबल किए गए एन-क्यूब में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह लेबल किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है # प्रकार्य  के लेबल किए गए [[वेन आरेख]] का आयाम-उलटा द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व है {{nowrap|''n'' ≤ 3}}.)
-मोनोटोनिक बूलियन फ़ंक्शंस ठीक वे हैं जिन्हें केवल ऑपरेटर्स [[तार्किक संयोजन]] और [[तार्किक विच्छेदन]] (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके इनपुट्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कम से कम दो ए, बी, सी होल्ड ए, बी, सी का एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((ए और बी) या (ए और सी) या (बी और सी)) के रूप में लिखा जा सकता है। .
+एकदिष्ट बूलियन फ़ंक्शंस ठीक वे हैं जिन्हें केवल ऑपरेटर्स [[तार्किक संयोजन]] और [[तार्किक विच्छेदन]] (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके इनपुट्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कम से कम दो ए, बी, सी होल्ड ए, बी, सी का एक एकदिष्ट प्रकार्य  है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((ए और बी) या (ए और सी) या (बी और सी)) के रूप में लिखा जा सकता है। .
 n चरों पर ऐसे कार्यों की संख्या को n की डेडेकिंड संख्या के रूप में जाना जाता है।
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 * [[कुल एकरसता]]
 * [[चक्रीय एकरसता]]
-* [[ऑपरेटर मोनोटोन फ़ंक्शन]]
+* [[ऑपरेटर मोनोटोन फ़ंक्शन|ऑपरेटर मोनोटोन प्रकार्य]]
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 195: / Line 195: @@
 *उलटा काम करना
 *एक समारोह की सीमा
-*किसी फ़ंक्शन का डोमेन
+*किसी प्रकार्य  का डोमेन
 *कूदना बंद करो
 *योग्‍य क्रम

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