प्रमेय: Difference between revisions

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गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः पर अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।{{efn|The fact that Wiles's proof involves Grothendieck universes does not mean that the proof cannot be improved for avoiding this, and many specialist think that it is possible. Nevertheless, it is rather astonishing that the proof of a theorem that is stated in terms of elementary [[arithmetics]] involves the existence of Grothendieck universes, which are very large infinite sets.}}सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अलावा, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं।
गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः पर अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।{{efn|The fact that Wiles's proof involves Grothendieck universes does not mean that the proof cannot be improved for avoiding this, and many specialist think that it is possible. Nevertheless, it is rather astonishing that the proof of a theorem that is stated in terms of elementary [[arithmetics]] involves the existence of Grothendieck universes, which are very large infinite sets.}}सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अलावा, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं।


[[गणितीय तर्क]] में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और सबूत की अवधारणा [[औपचारिक प्रणाली]] रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ [[औपचारिक भाषा]] के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में शामिल होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।{{efn|A theory is often identified with the set of its theorems. This is avoided here for clarity, and also for not depending on [[set theory]].}} इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)।
[[गणितीय तर्क]] में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा [[औपचारिक प्रणाली]] रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ [[औपचारिक भाषा]] के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में शामिल होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।{{efn|A theory is often identified with the set of its theorems. This is avoided here for clarity, and also for not depending on [[set theory]].}} इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)।


चूंकि अभिगृहीत अक्सर [[भौतिक दुनिया]] के गुणों का सार होते हैं, प्रमेयों को कुछ सत्य व्यक्त करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन एक [[वैज्ञानिक कानून]] की धारणा के विपरीत, जो [[प्रयोगात्मक]] है, एक प्रमेय की सत्यता का औचित्य विशुद्ध रूप से निगमनात्मक है।<ref name=":0">{{Citation|last=Markie|first=Peter|title=Rationalism vs. Empiricism|date=2017|url=https://plato.stanford.edu/archives/fall2017/entries/rationalism-empiricism/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Fall 2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See {{harvnb|Heath|1897}} Introduction, The terminology of [[Archimedes]], p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"</ref>
चूंकि अभिगृहीत अधिकांशतः [[भौतिक दुनिया]] के गुणों का सार होते हैं, प्रमेयों को कुछ सत्य व्यक्त करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन एक [[वैज्ञानिक कानून]] की धारणा के विपरीत, जो [[प्रयोगात्मक]] है, एक प्रमेय की सत्यता का औचित्य विशुद्ध रूप से निगमनात्मक है।<ref name=":0">{{Citation|last=Markie|first=Peter|title=Rationalism vs. Empiricism|date=2017|url=https://plato.stanford.edu/archives/fall2017/entries/rationalism-empiricism/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Fall 2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See {{harvnb|Heath|1897}} Introduction, The terminology of [[Archimedes]], p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"</ref>




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19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था अभिधारणाएँ या अभिगृहीत कहलाते थे; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के [[आंतरिक कोण]]ों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।
19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था अभिधारणाएँ या अभिगृहीत कहलाते थे; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के [[आंतरिक कोण]]ों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।


गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, हालांकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में हेरफेर करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।
गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।


गणित की नींव को और अधिक [[गणितीय कठोरता]] बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और [[अनुमान नियम]]ों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के तहत, त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत [[असंगत]] है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है।
गणित की नींव को और अधिक [[गणितीय कठोरता]] बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और [[अनुमान नियम]]ों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के तहत, त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत [[असंगत]] है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है।
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इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है।
इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है।


गणित के बारे में सोचने के इस तरीके का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को [[गणितीय वस्तु]]ओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल के अपूर्णता प्रमेय इसके उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं साबित हो सकते हैं, हालांकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में साबित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत।
गणित के बारे में सोचने के इस तरीके का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को [[गणितीय वस्तु]]ओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल के अपूर्णता प्रमेय इसके उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं प्रमाणित हो सकते हैं, चूंकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में साबित नहीं किया जा सकता है। तथापि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत।


== ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार ==
== ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार ==

Revision as of 20:08, 27 November 2022

Not to be confused with Teorema, Theorema, or Theory.
File:Pythagorean Proof (3).PNG
पाइथागोरस प्रमेय के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं[1]

गणित में, एक प्रमेय एक कथन (तर्क) है जो गणितीय प्रमाण हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है।[lower-alpha 1][2][3] एक प्रमेय का प्रमाण एक तार्किक तर्क है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय स्वयंसिद्धों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक तार्किक परिणाम है।

गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः पर अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।[lower-alpha 2]सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अलावा, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं।

गणितीय तर्क में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा औपचारिक प्रणाली रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ औपचारिक भाषा के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में शामिल होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।[lower-alpha 3] इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)।

चूंकि अभिगृहीत अधिकांशतः भौतिक दुनिया के गुणों का सार होते हैं, प्रमेयों को कुछ सत्य व्यक्त करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन एक वैज्ञानिक कानून की धारणा के विपरीत, जो प्रयोगात्मक है, एक प्रमेय की सत्यता का औचित्य विशुद्ध रूप से निगमनात्मक है।[4][5]


प्रमेय और सत्य

19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी गणितीय सिद्धांतों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक रेखा (गणित) है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था अभिधारणाएँ या अभिगृहीत कहलाते थे; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।

गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, सेट (गणित) के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।

गणित की नींव को और अधिक गणितीय कठोरता बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और अनुमान नियमों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के तहत, त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत असंगत है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है।

इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है।

गणित के बारे में सोचने के इस तरीके का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को गणितीय वस्तुओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल के अपूर्णता प्रमेय इसके उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं प्रमाणित हो सकते हैं, चूंकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में साबित नहीं किया जा सकता है। तथापि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत।

ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार

कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनके प्रमाण परिकल्पना या परिसर के रूप में जानी जाने वाली स्थितियों से निष्कर्ष निकालते हैं। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के आलोक में, निष्कर्ष को प्राक्कल्पना की आवश्यकता और पर्याप्तता के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है यदि परिकल्पनाएँ सत्य हैं - बिना किसी और धारणा के। हालांकि, कुछ निगमनात्मक प्रणालियों में सशर्त की अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर-शास्त्रीय तर्क) को दिए गए अर्थों पर निर्भर करती है।

हालांकि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक कलन में प्रस्तावों के रूप में), बेहतर पठनीयता के लिए उन्हें अक्सर अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमाणों के बारे में भी यही सच है, जिन्हें अक्सर तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट शब्दों में अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन की सच्चाई से रूबरू कराना है, और जिससे सैद्धांतिक रूप से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है।

बेहतर पठनीयता के अलावा, अनौपचारिक तर्क आमतौर पर विशुद्ध रूप से प्रतीकात्मक तर्कों की तुलना में जांचना आसान होता है- वास्तव में, कई गणितज्ञ एक प्रमाण के लिए वरीयता व्यक्त करेंगे जो न केवल एक प्रमेय की वैधता को प्रदर्शित करता है, बल्कि किसी तरह 'क्यों' की व्याख्या भी करता है। ' यह स्पष्ट रूप से सच है। कुछ मामलों में, एक चित्र को इसके प्रमाण के रूप में उपयोग करके एक प्रमेय को प्रमाणित करने में भी सक्षम हो सकता है।

क्योंकि प्रमेय गणित के मूल में स्थित हैं, वे इसके गणित के सौंदर्यशास्त्र के केंद्र में भी हैं। प्रमेयों को अक्सर तुच्छ, या कठिन, या गहरा, या यहां तक ​​कि सुंदर के रूप में वर्णित किया जाता है। ये व्यक्तिपरक निर्णय न केवल एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न होते हैं, बल्कि समय और संस्कृति के साथ भी भिन्न होते हैं: उदाहरण के लिए, एक प्रमाण के रूप में प्राप्त किया जाता है, सरलीकृत या बेहतर समझा जाता है, एक प्रमेय जो कभी कठिन था वह तुच्छ हो सकता है।[6] दूसरी ओर, एक गहन प्रमेय को आसानी से कहा जा सकता है, लेकिन इसके प्रमाण में गणित के अलग-अलग क्षेत्रों के बीच आश्चर्यजनक और सूक्ष्म संबंध शामिल हो सकते हैं। फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय ऐसी प्रमेय का एक विशेष रूप से प्रसिद्ध उदाहरण है।[7]


प्रमेयों का अनौपचारिक खाता

तार्किक रूप से, कई प्रमेय सांकेतिक सशर्त के रूप में हैं: यदि ए, तो बी। ऐसा प्रमेय बी पर जोर नहीं देता है - केवल यह कि बी ए का एक आवश्यक परिणाम है। इस मामले में, A को प्रमेय की परिकल्पना कहा जाता है (यहाँ परिकल्पना का अर्थ अनुमान से बहुत अलग है), और B प्रमेय का निष्कर्ष है। दोनों को एक साथ (बिना प्रमाण के) प्रमेय का प्रस्ताव या कथन कहा जाता है (जैसे यदि A, तो B प्रस्ताव है)। वैकल्पिक रूप से, ए और बी को क्रमशः पूर्ववर्ती (तर्क) और परिणामी भी कहा जा सकता है।[8] प्रमेय यदि n एक सम प्राकृतिक संख्या है, तो n/2 एक प्राकृतिक संख्या है एक विशिष्ट उदाहरण है जिसमें परिकल्पना n एक सम प्राकृतिक संख्या है, और निष्कर्ष n/2 भी एक प्राकृतिक संख्या है।

किसी प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, उसे सैद्धांतिक रूप से सटीक, औपचारिक कथन के रूप में अभिव्यक्त होना चाहिए। हालांकि, प्रमेयों को आमतौर पर पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप के बजाय प्राकृतिक भाषा में व्यक्त किया जाता है - इस धारणा के साथ कि एक औपचारिक बयान अनौपचारिक से प्राप्त किया जा सकता है।

गणित में किसी दी गई भाषा के भीतर कई परिकल्पनाओं को चुनना और यह घोषित करना आम बात है कि सिद्धांत में इन परिकल्पनाओं से सिद्ध होने वाले सभी कथन शामिल हैं। ये परिकल्पनाएँ सिद्धांत का मूलभूत आधार बनाती हैं और इन्हें स्वयंसिद्ध या अभिगृहीत कहा जाता है। प्रमाण सिद्धांत के रूप में जाना जाने वाला गणित का क्षेत्र औपचारिक भाषाओं, स्वयंसिद्धों और प्रमाणों की संरचना का अध्ययन करता है।

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पांच रंगों वाला एक समतल (गणित) नक्शा इस प्रकार कि कोई भी दो क्षेत्र एक ही रंग के साथ न मिलें। इसे वास्तव में केवल चार रंगों से इस तरह से रंगा जा सकता है। चार रंग प्रमेय में कहा गया है कि इस तरह के रंग किसी भी समतल मानचित्र के लिए संभव हैं, लेकिन प्रत्येक ज्ञात प्रमाण में एक कम्प्यूटेशनल खोज शामिल है जो हाथ से जांचने के लिए बहुत लंबी है।

कुछ प्रमेय तुच्छता (गणित) हैं, इस अर्थ में कि वे परिभाषाओं, स्वयंसिद्धों और अन्य प्रमेयों से स्पष्ट रूप से अनुसरण करते हैं और उनमें कोई आश्चर्यजनक अंतर्दृष्टि नहीं होती है। दूसरी ओर, कुछ को गहरा कहा जा सकता है, क्योंकि उनके प्रमाण लंबे और कठिन हो सकते हैं, गणित के क्षेत्रों को प्रमेय के कथन से सतही रूप से अलग करते हैं, या गणित के असमान क्षेत्रों के बीच आश्चर्यजनक संबंध दिखाते हैं।[9] एक प्रमेय का वर्णन करना सरल हो सकता है और फिर भी गहरा हो सकता है। फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय एक उत्कृष्ट उदाहरण है,[7]और अन्य क्षेत्रों के अलावा, संख्या सिद्धांत और साहचर्य में सरल लेकिन गहन प्रमेय के कई अन्य उदाहरण हैं।

अन्य प्रमेयों का एक ज्ञात प्रमाण है जिसे आसानी से लिखा नहीं जा सकता। सबसे प्रमुख उदाहरण चार रंग प्रमेय और केप्लर अनुमान हैं। इन दोनों प्रमेयों को केवल एक कम्प्यूटेशनल खोज में घटाकर सत्य माना जाता है जिसे बाद में एक कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा सत्यापित किया जाता है। प्रारंभ में, कई गणितज्ञों ने प्रमाण के इस रूप को स्वीकार नहीं किया, लेकिन यह अधिक व्यापक रूप से स्वीकृत हो गया है। गणितज्ञ डोरोन ज़िलबर्गर ने यहाँ तक दावा किया है कि ये संभवतः एकमात्र गैर-तुच्छ परिणाम हैं जो गणितज्ञों ने कभी साबित किए हैं।[10] बहुपद सर्वसमिका, त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सहित कई गणितीय प्रमेयों को अधिक सरल संगणना में घटाया जा सकता है[11] और हाइपरज्यामितीय पहचान।[12][page needed]


वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध

गणित में प्रमेय और विज्ञान में सिद्धांत उनकी ज्ञानमीमांसा में मौलिक रूप से भिन्न हैं। एक वैज्ञानिक सिद्धांत सिद्ध नहीं किया जा सकता; इसकी प्रमुख विशेषता यह है कि यह मिथ्या है, अर्थात यह प्राकृतिक दुनिया के बारे में भविष्यवाणियां करता है जो प्रयोगों द्वारा परीक्षण योग्य हैं। भविष्यवाणी और प्रयोग के बीच कोई भी असहमति वैज्ञानिक सिद्धांत की गलतता को प्रदर्शित करती है, या कम से कम इसकी सटीकता या वैधता के क्षेत्र को सीमित करती है। दूसरी ओर, गणितीय प्रमेय विशुद्ध रूप से अमूर्त औपचारिक कथन हैं: एक प्रमेय के प्रमाण में प्रयोग या अन्य अनुभवजन्य साक्ष्य शामिल नहीं हो सकते हैं, जिस तरह से वैज्ञानिक सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए इस तरह के साक्ष्य का उपयोग किया जाता है।[4]

File:CollatzFractal.png
Collatz अनुमान: इसकी जटिलता को दर्शाने का एक तरीका यह है कि पुनरावृत्ति को प्राकृतिक संख्याओं से जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जाए। परिणाम एक भग्न है, जो (सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) के अनुसार) मैंडेलब्रॉट सेट जैसा दिखता है।

बहरहाल, गणितीय प्रमेयों की खोज में कुछ हद तक अनुभववाद और डेटा संग्रह शामिल है। एक पैटर्न की स्थापना करके, कभी-कभी एक शक्तिशाली कंप्यूटर के उपयोग के साथ, गणितज्ञों को यह पता चल सकता है कि क्या साबित करना है, और कुछ मामलों में सबूत देने के बारे में भी एक योजना है। एक एकल प्रति-उदाहरण खोजना भी संभव है और इसलिए जैसा कि कहा गया है, प्रस्ताव के लिए एक प्रमाण की असंभवता स्थापित करें, और संभवतः मूल प्रस्ताव के प्रतिबंधित रूपों का सुझाव दें जिनके पास संभव प्रमाण हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, Collatz अनुमान और Riemann परिकल्पना दोनों प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याएं हैं; अनुभवजन्य जाँच के माध्यम से उनका व्यापक अध्ययन किया गया है, लेकिन वे अप्रमाणित हैं। Collatz अनुमान को लगभग 2.88 × 10 तक के शुरुआती मानों के लिए सत्यापित किया गया है18. रीमैन जीटा फ़ंक्शन के पहले 10 ट्रिलियन गैर-तुच्छ शून्यों को धारण करने के लिए रीमैन परिकल्पना को सत्यापित किया गया है। हालांकि अधिकांश गणितज्ञ यह मानकर सहन कर सकते हैं कि अनुमान और परिकल्पना सत्य हैं, इनमें से किसी भी प्रस्ताव को सिद्ध नहीं माना जाता है।

इस तरह के सबूत सबूत नहीं बनते। उदाहरण के लिए, Mertens अनुमान प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक कथन है जो अब असत्य के रूप में जाना जाता है, लेकिन कोई स्पष्ट प्रति उदाहरण नहीं है (यानी, एक प्राकृतिक संख्या n जिसके लिए Mertens फ़ंक्शन M(n) n के वर्गमूल के बराबर या उससे अधिक है) है ज्ञात: 10 से कम सभी संख्याएँ14 के पास Mertens गुण है, और सबसे छोटी संख्या जिसके पास यह गुण नहीं है, केवल 1.59 × 10 के घातीय फलन से कम के रूप में जानी जाती है40, जो लगभग 10 की घात 4.3 × 10 है39. चूंकि ब्रह्मांड में कणों की संख्या को आम तौर पर 10 की शक्ति 100 (एक इसे काट दें) से कम माना जाता है, संपूर्ण खोज द्वारा एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण खोजने की कोई उम्मीद नहीं है।

शब्द सिद्धांत भी गणित में मौजूद है, गणितीय सिद्धांतों, परिभाषाओं और प्रमेयों के एक निकाय को निरूपित करने के लिए, उदाहरण के लिए, समूह सिद्धांत (गणितीय सिद्धांत देखें)। विज्ञान, विशेष रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी प्रमेय हैं, लेकिन उनके पास अक्सर बयान और प्रमाण होते हैं जिनमें भौतिक धारणाएं और अंतर्ज्ञान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; भौतिक सिद्धांत जिन पर इस तरह के प्रमेय आधारित होते हैं, स्वयं मिथ्या होते हैं।

शब्दावली

गणितीय कथनों के लिए कई अलग-अलग शब्द मौजूद हैं; ये पद किसी विशेष विषय में निभाई जाने वाली भूमिका बयानों को इंगित करते हैं। विभिन्न शब्दों के बीच अंतर कभी-कभी मनमाना होता है, और कुछ शब्दों का उपयोग समय के साथ विकसित हुआ है।

  • एक स्वयंसिद्ध या अभिधारणा अध्ययन की वस्तु के संबंध में एक मौलिक धारणा है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है। एक संबंधित अवधारणा एक परिभाषा की है, जो ज्ञात अवधारणाओं के संदर्भ में एक शब्द या वाक्यांश का अर्थ देती है। शास्त्रीय ज्यामिति स्वयंसिद्धों के बीच विचार करती है, जो सामान्य कथन हैं; और अभिधारणाएँ, जो कि ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में कथन हैं।[13] ऐतिहासिक रूप से, सूक्तियों को स्व-साक्ष्य के रूप में माना जाता था|स्व-स्पष्ट; आज उन्हें केवल सच माना जाता है।
  • एक अनुमान एक अप्रमाणित कथन है जिसे सत्य माना जाता है। अनुमान आमतौर पर सार्वजनिक रूप से बनाए जाते हैं, और उनके निर्माता के नाम पर रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान और Collatz अनुमान)। परिकल्पना शब्द का प्रयोग इस अर्थ में भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना), जिसे प्रमाण के आधार के रूप में परिकल्पना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अन्य शब्दों का भी अवसर पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए समस्या जब लोग सुनिश्चित नहीं होते हैं कि कथन को सत्य माना जाना चाहिए या नहीं। फर्मेट की अंतिम प्रमेय को ऐतिहासिक रूप से एक प्रमेय कहा जाता था, हालांकि सदियों से यह केवल एक अनुमान था।
  • एक प्रमेय एक कथन है जो स्वयंसिद्धों और अन्य प्रमेयों के आधार पर सत्य साबित हुआ है।
  • एक प्रस्ताव कम महत्व का एक प्रमेय है, या जिसे इतना प्राथमिक या तुरंत स्पष्ट माना जाता है, कि इसे बिना प्रमाण के कहा जा सकता है। इसे प्रस्ताव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि प्रस्तावपरक तर्क में प्रयोग किया जाता है। शास्त्रीय ज्यामिति में प्रस्ताव शब्द का प्रयोग अलग तरह से किया गया था: यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में (c. 300 BCE), सभी प्रमेयों और ज्यामितीय निर्माणों को उनके महत्व की परवाह किए बिना प्रस्ताव कहा जाता था।
  • एक लेम्मा (गणित) एक सहायक प्रस्ताव है - एक प्रस्ताव जिसमें किसी विशेष प्रमाण में इसके उपयोग के बाहर थोड़ी प्रयोज्यता होती है। समय के साथ एक लेम्मा का महत्व बढ़ सकता है और इसे एक प्रमेय माना जा सकता है, हालांकि लेम्मा शब्द को आमतौर पर इसके नाम के हिस्से के रूप में रखा जाता है (उदाहरण के लिए गॉस की लेम्मा (बहुपद) | गॉस की लेम्मा, ज़ोर्न की लेम्मा, और मौलिक लेम्मा (लैंगलैंड्स कार्यक्रम))।
  • उपप्रमेय एक प्रस्ताव है जो किसी अन्य प्रमेय या अभिगृहीत से तत्काल अनुसरण करता है, जिसमें बहुत कम या कोई आवश्यक