द्विघात सूत्र: Difference between revisions
From Vigyanwiki
| Line 195: | Line 195: | ||
जहाँ {{math|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''αβ''}}. | जहाँ {{math|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''αβ''}}. | ||
चूँकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता है, कोई α और β | चूँकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता है, कोई α और β बदल सकता है और p और q के मान नहीं बदलेंगे: कोई कह सकता है कि p और q ,α और β में [[सममित बहुपद]] हैं। वास्तव में, वे [[प्राथमिक सममित बहुपद]] हैं α और β में किसी भी सममित बहुपद को α + β और αβ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो मूल में सममित फलन हैं, क्या कोई "समरूपता को तोड़ सकता है" और मूल को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार घात n के बहुपद को हल करना n पदों को पुनर्व्यवस्थित करने ("क्रम[[परिवर्तन]])के तरीकों से संबंधित है, जिसे n अक्षरों पर [[सममित समूह]]हा जाता है, और ''S<sub>n</sub>'' को निरूपित किया जाता है। द्विघात बहुपद के लिए, दो शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना है या उन्हें अदला बदली करना है ("उन्हें [[स्थानान्तरण (गणित)|स्थानांतरित करना]]), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है। | ||
मूल खोजने के लिए {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, उनके योग और अंतर पर विचार करें: | मूल खोजने के लिए {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, उनके योग और अंतर पर विचार करें: | ||
| Line 203: | Line 203: | ||
r_2 &= \alpha - \beta\ \ . | r_2 &= \alpha - \beta\ \ . | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है, ध्यान दें कि इनमें से | इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है, ध्यान दें कि इनमें से मूल के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी विलायक से मूल को पुनर्प्राप्त कर सकता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 211: | Line 211: | ||
इस प्रकार, विलायकों को हल करने से मूल मूल प्राप्त होते हैं। | इस प्रकार, विलायकों को हल करने से मूल मूल प्राप्त होते हैं। | ||
अब {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} ''α'' + ''β''}} में | अब {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} ''α'' + ''β''}} में सममित फलन है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, और वास्तव में {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} −''p''}} जैसा कि ऊपर उल्लेखित है। परंतु {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} ''α'' − ''β''}} बदलने के बाद से सममित नहीं है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} देता है {{math|−''r''{{sub|2}} {{=}} ''β'' − ''α''}} (औपचारिक रूप से, इसे मूल के सममित समूह की [[समूह क्रिया (गणित)]] कहा जाता है)। तब से {{math|''r''{{sub|2}}}} सममित नहीं है, इसे गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, क्योंकि ये मूल में सममित हैं और इस प्रकार कोई भी बहुपद अभिव्यक्ति उनमें शामिल है। मूल का क्रम बदलने से ही परिवर्तन होता है {{math|''r''{{sub|2}}}} के एक गुणक द्वारा -1, और इस प्रकार वर्ग {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} (''α'' − ''β''){{sup|2}}}} मूल में सममित है, और इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}। समीकरण का उपयोग करना | ||
:<math>(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\ \ </math> | :<math>(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\ \ </math> | ||
देता है | |||
:<math>r_2^2 = p^2 - 4q\ \ </math> | :<math>r_2^2 = p^2 - 4q\ \ </math> | ||
| Line 220: | Line 220: | ||
:<math>r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\ \ </math> | :<math>r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\ \ </math> | ||
यदि कोई सकारात्मक | यदि कोई सकारात्मक मूल लेता है, समरूपता को तोड़ता है, तो वह प्राप्त करता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 233: | Line 233: | ||
इस प्रकार मूल हैं | इस प्रकार मूल हैं | ||
:<math>\textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\right)</math> | :<math>\textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\right)</math> | ||
जो द्विघात सूत्र है। प्रतिस्थापी {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}} शीर्ष होने के नाते, और {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} विवेचक है (मोनिक बहुपद का)। | जो द्विघात सूत्र है। प्रतिस्थापी {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}} शीर्ष होने के नाते, और {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} विवेचक है (मोनिक बहुपद का)। | ||
एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि घन समीकरणों के लिए काम करती है, जहां एक में तीन | एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि घन समीकरणों के लिए काम करती है, जहां एक में तीन विलायक होते हैं और द्विघात समीकरण (बहुपद को हल करना) संबंधित {{math|''r''{{sub|2}}}} तथा {{math|''r''{{sub|3}}}} होता है जिसे द्विघात समीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, और इसी तरह एक चतुर्थांश समीकरण (बहुपद 4 की डिग्री) के लिए, जिसका हल करने वाला बहुपद घन है, जिसे बदले में हल किया जा सकता है।<ref name=Clark/>क्विंटिक समीकरण के लिए एक ही विधि 24 डिग्री का बहुपद उत्पन्न करती है, जो समस्या को सरल नहीं करती है, और वास्तव में, सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरणों के समाधान केवल मूल का उपयोग करके व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं। | ||
== ऐतिहासिक विकास == | == ऐतिहासिक विकास == | ||
द्विघात समीकरणों को हल करने की शुरुआती विधियाँ ज्यामितीय थीं। बेबीलोनियन कीलाकार गोलियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम करने योग्य समस्याएं हैं।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=34}}</ref> मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) के समय के मिस्र के [[बर्लिन पपीरस 6619|बर्लिन पपीरस]]में दो-अवधि के द्विघात समीकरण का हल है।<ref>{{cite book|title=कैम्ब्रिज प्राचीन इतिहास भाग 2 मध्य पूर्व का प्रारंभिक इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}</ref> | द्विघात समीकरणों को हल करने की शुरुआती विधियाँ ज्यामितीय थीं। बेबीलोनियन कीलाकार गोलियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम करने योग्य समस्याएं हैं।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=34}}</ref> मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) के समय के मिस्र के [[बर्लिन पपीरस 6619|बर्लिन पपीरस]] में दो-अवधि के द्विघात समीकरण का हल है।<ref>{{cite book|title=कैम्ब्रिज प्राचीन इतिहास भाग 2 मध्य पूर्व का प्रारंभिक इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}</ref> | ||
ग्रीक गणितज्ञ [[यूक्लिड]](लगभग 300 ई.पू.) ने अपने एलिमेंट्स की पुस्तक 2 में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया, जो एक प्रभावशाली गणितीय ग्रंथ है।<ref name="quad" />लगभग 200 ईसा पूर्व गणितीय कला पर चीनी [[गणितीय कला पर नौ अध्याय]]में द्विघात समीकरणों के नियम दिखाई देते हैं।<ref name="Aitken">{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=एक चीनी क्लासिक: नौ अध्याय|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|access-date=28 April 2013}}</ref><ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]}}</ref> ग्रीक गणितज्ञ [[डायोफैंटस]] (लगभग 250 ईस्वी) ने अपने काम [[अंकगणित]] में यूक्लिड के ज्यामितीय बीजगणित की तुलना में अधिक पहचानने योग्य बीजगणितीय विधि के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया।<ref name="quad">{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=39}}</ref> उसका समाधान केवल | ग्रीक गणितज्ञ [[यूक्लिड]](लगभग 300 ई.पू.) ने अपने एलिमेंट्स की पुस्तक 2 में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया, जो एक प्रभावशाली गणितीय ग्रंथ है।<ref name="quad" />लगभग 200 ईसा पूर्व गणितीय कला पर चीनी [[गणितीय कला पर नौ अध्याय]] में द्विघात समीकरणों के नियम दिखाई देते हैं।<ref name="Aitken">{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=एक चीनी क्लासिक: नौ अध्याय|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|access-date=28 April 2013}}</ref><ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]}}</ref> ग्रीक गणितज्ञ [[डायोफैंटस]] (लगभग 250 ईस्वी) ने अपने काम [[अंकगणित]] में यूक्लिड के ज्यामितीय बीजगणित की तुलना में अधिक पहचानने योग्य बीजगणितीय विधि के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया।<ref name="quad">{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=39}}</ref> उसका समाधान केवल मूल देता है, भले ही दोनों मूल धनात्मक हों।<ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=0-486-20429-4|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/134 134]}}</ref> | ||
भारतीय गणितज्ञ [[ब्रह्मगुप्त]](597-668 ईस्वी) ने स्पष्ट रूप से 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में द्विघात सूत्र का वर्णन किया,<ref name="Bradley">Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).</ref> लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा।<ref>Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).</ref> द्विघात समीकरण का उनका समाधान {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c''}} इस प्रकार था: "पूर्ण संख्या में [गुणांक] वर्ग के चार गुणा गुणा करने पर, मध्य पद [गुणांक] का वर्ग जोड़ें, वर्गमूल का वर्गमूल समान, कम [मध्य पद का गुणांक] वर्ग के दोगुने से विभाजित किया जा रहा मूल्य है।<ref name="Stillwell2004">{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=गणित और इसका इतिहास (दूसरा संस्करण)|year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|page=87}}</ref> | भारतीय गणितज्ञ [[ब्रह्मगुप्त]] (597-668 ईस्वी) ने स्पष्ट रूप से 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में द्विघात सूत्र का वर्णन किया,<ref name="Bradley">Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).</ref> लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा।<ref>Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).</ref> द्विघात समीकरण का उनका समाधान {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c''}} इस प्रकार था: "पूर्ण संख्या में [गुणांक] वर्ग के चार गुणा गुणा करने पर, मध्य पद [गुणांक] का वर्ग जोड़ें, वर्गमूल का वर्गमूल समान, कम [मध्य पद का गुणांक] वर्ग के दोगुने से विभाजित किया जा रहा मूल्य है।<ref name="Stillwell2004">{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=गणित और इसका इतिहास (दूसरा संस्करण)|year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|page=87}}</ref>यह इसके बराबर है: | ||
यह इसके बराबर है: | |||
:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\ \ .</math> | :<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\ \ .</math> | ||
श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), | श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), भारतीय गणितज्ञ भी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए समान एल्गोरिथ्म के साथ आए, हालांकि इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्होंने दोनों मूल पर विचार किया।<ref>{{Citation |title=Sridhara-MacTutor |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara/}}</ref> 9वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=42}}</ref> सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में [[साइमन स्टीवन]] द्वारा प्राप्त किया गया था।<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> 1637 में रेने डेसकार्टेस ने ला ज्योमेट्री को प्रकाशित किया जिसमें द्विघात सूत्र के विशेष मामले शामिल थे, जिस रूप में आज हम जानते हैं।<ref>{{Cite book|url=http://archive.org/details/TheGeometry|title=ज्यामिति|last=Rene Descartes|language=en}}</ref> | ||
'''महत्वपूर्ण उपयोग''' | '''महत्वपूर्ण उपयोग''' | ||
| Line 257: | Line 256: | ||
:<math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math> | :<math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math> | ||
सममिति का अक्ष रेखा के रूप में प्रकट होता है {{math|1=''x'' = −{{sfrac|''b''|2''a''}}}} | सममिति का अक्ष रेखा के रूप में प्रकट होता है {{math|1=''x'' = −{{sfrac|''b''|2''a''}}}}।दूसरा शब्द, {{math|{{sfrac|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}}|2''a''}}}}, सममिति के अक्ष से शून्य के दूर होने की दूरी देता है, जहां धन चिह्न दाईं ओर की दूरी को दर्शाता है, और ऋण चिह्न बाईं ओर की दूरी को दर्शाता है। | ||
यदि यह दूरी पद शून्य हो जाए, तो सममिति के अक्ष का मान होगा {{math|''x''}} केवल शून्य का मान, अर्थात द्विघात समीकरण का केवल एक ही संभव हल है। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि {{math|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}} {{=}} 0}}, या केवल {{math|''b''{{sup|2}} − 4''ac'' {{=}} 0}} (जहां बाईं ओर को विवेचक कहा जाता है)। यह तीन मामलों में से एक है, जहां विवेचक इंगित करता है कि परबोला में कितने शून्य होंगे। यदि विवेचक सकारात्मक है, तो दूरी गैर-शून्य होगी, और दो समाधान होंगे। हालाँकि, ऐसा भी मामला है जहाँ विवेचक शून्य से कम है, और यह इंगित करता है कि दूरी काल्पनिक होगी{{snd}} या जटिल इकाई के कुछ गुणक {{math|''i''}}, जहाँ {{math|''i'' {{=}} {{sqrt|−1}}}}{{snd}} और परवलय के शून्य सम्मिश्र संख्याएँ होंगी। जटिल मूल जटिल संयुग्म होंगी, जहां जटिल मूल का वास्तविक भाग समरूपता के अक्ष का मान होगा। का कोई वास्तविक मूल्य नहीं होगा {{math|''x''}} जहां परवलय पार करता है {{math|''x''}}-एक्सिस। | यदि यह दूरी पद शून्य हो जाए, तो सममिति के अक्ष का मान होगा {{math|''x''}} केवल शून्य का मान, अर्थात द्विघात समीकरण का केवल एक ही संभव हल है। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि {{math|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}} {{=}} 0}}, या केवल {{math|''b''{{sup|2}} − 4''ac'' {{=}} 0}} (जहां बाईं ओर को विवेचक कहा जाता है)। यह तीन मामलों में से एक है, जहां विवेचक इंगित करता है कि परबोला में कितने शून्य होंगे। यदि विवेचक सकारात्मक है, तो दूरी गैर-शून्य होगी, और दो समाधान होंगे। हालाँकि, ऐसा भी मामला है जहाँ विवेचक शून्य से कम है, और यह इंगित करता है कि दूरी काल्पनिक होगी{{snd}} या जटिल इकाई के कुछ गुणक {{math|''i''}}, जहाँ {{math|''i'' {{=}} {{sqrt|−1}}}}{{snd}} और परवलय के शून्य सम्मिश्र संख्याएँ होंगी। जटिल मूल जटिल संयुग्म होंगी, जहां जटिल मूल का वास्तविक भाग समरूपता के अक्ष का मान होगा। का कोई वास्तविक मूल्य नहीं होगा {{math|''x''}} जहां परवलय पार करता है {{math|''x''}}-एक्सिस। | ||
=== आयामी विश्लेषण === | === आयामी विश्लेषण === | ||
यदि स्थिरांक {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, और/या {{math|''c''}} [[इकाई रहित]] नहीं हैं, तो की इकाइयाँ {{math|''x''}} की इकाइयों के बराबर होना चाहिए {{math|{{sfrac|''b''|''a''}}}}, आवश्यकता के कारण कि {{math|''ax''{{sup|2}}}} तथा {{math|''bx''}} उनकी इकाइयों पर सहमत हैं। इसके अलावा, उसी तर्क से, की इकाइयाँ {{math|''c''}} की इकाइयों के बराबर होना चाहिए {{math|{{sfrac|''b''{{sup|2}}|''a''}}}}, जिसे हल किए बिना सत्यापित किया जा सकता है {{math|''x''}} | यदि स्थिरांक {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, और/या {{math|''c''}} [[इकाई रहित]] नहीं हैं, तो की इकाइयाँ {{math|''x''}} की इकाइयों के बराबर होना चाहिए {{math|{{sfrac|''b''|''a''}}}}, आवश्यकता के कारण कि {{math|''ax''{{sup|2}}}} तथा {{math|''bx''}} उनकी इकाइयों पर सहमत हैं। इसके अलावा, उसी तर्क से, की इकाइयाँ {{math|''c''}} की इकाइयों के बराबर होना चाहिए {{math|{{sfrac|''b''{{sup|2}}|''a''}}}}, जिसे हल किए बिना सत्यापित किया जा सकता है {{math|''x''}}।यह सत्यापित करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हो सकता है कि इसे हल करने से पहले [[भौतिक मात्रा]]ओं की द्विघात अभिव्यक्ति को सही ढंग से स्थापित किया गया है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 17:21, 1 December 2022
प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।
प्रपत्र के सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए
x के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, a, b और c स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, और a ≠ 0 के साथ, द्विघात सूत्र है:
जहाँ धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।[1] अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:
इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये मूल x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई परवलय, जिसे स्पष्ट रूप से y = ax2 + bx + c,के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।[2]
साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की सर्वसमिका के लिए भी किया जा सकता है,[3]और वास्तविक संख्या शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।[4]
यदि b2 − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि b2 − 4ac ≥ 0 तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो
- अगर b2 − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax2 + bx + c= 0.
- अगर b2 − 4ac = 0 तो हमारे पास पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
- अगर b2 − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।
समतुल्य सूत्रीकरण
द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है
जिसे सरल बनाया जा सकता है