द्विघात सूत्र: Difference between revisions

Revision as of 13:00, 1 December 2022

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।

प्रपत्र के सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए

ax^{2}+bx+c=0

x के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, a, b और c स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, और a ≠ 0 के साथ, द्विघात सूत्र है:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \

जहाँ धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।^[1] अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{or}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई परवलय, जिसे स्पष्ट रूप से $y = ax 2 + bx + c$ ,के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।^[2]

साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की पहचान के लिए भी किया जा सकता है,^[3]और वास्तविक संख्या शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।^[4]

यदि b² − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि b² − 4ac ≥ 0 तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो

अगर b² − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax² + bx + c = 0.
अगर b² − 4ac = 0 तो हमारे पास पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
अगर b² − 4ac< 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

समतुल्य फॉर्मूलेशन

द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ ,

जिसे सरल बनाया जा सकता है

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ .

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर का उपयोग करते समय जड़ों को खोजना आसान बनाता है।

मामले में जब भेदभाव करनेवाला $b^{2}-4ac$ ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ जड़ें शामिल हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x = - \frac{b}{}

[1]

[2]

[3]

[4]

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 [[File:Quadratic roots.svg|alt=A graph of a parabolaआकार का फलन, जो x-अक्ष को x = 1 और x = 4 पर प्रतिच्छेद करता है।|अंगूठे|231x231px|द्विघात फलन {{nowrap|1=''y'' = {{sfrac|1|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + 2}}, जड़ों के साथ {{nowrap|1=''x'' = 1}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 4}}.]]
-प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात [[सूत्र]] [[द्विघात समीकरण]] का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय एक द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।
+प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात [[सूत्र]] [[द्विघात समीकरण]] का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।
-प्रपत्र के एक सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए
+प्रपत्र के सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए
 :<math>ax^2+bx+c=0</math>
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 :<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ </math>
-जहाँ धन–ऋण चिह्न|धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&q=quadratic+formula&pg=PA219|page=219}}</ref> अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:
+जहाँ धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&q=quadratic+formula&pg=PA219|page=219}}</ref> अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:
 :<math> x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{or}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
-इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई [[परवलय]],जिसे स्पष्ट रूप से {{math|1=''y'' = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}},के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>
+इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई [[परवलय]], जिसे स्पष्ट रूप से {{math|1=''y'' = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}},के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>
-साथ ही एक सूत्र होने के नाते जो किसी भी पैराबोला के शून्य उत्पन्न करता है, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग पैराबोला की समरूपता के धुरी की पहचान के लिए भी किया जा सकता है,<ref>{{Cite web|url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=परवलय की सममिति का अक्ष। समीकरण या ग्राफ़ से अक्ष कैसे पता करें। समरूपता की धुरी खोजने के लिए ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}</ref>और [[वास्तविक संख्या]] शून्य की संख्या में क्वाड्रैटिक समीकरण शामिल है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=भेदभावपूर्ण समीक्षा|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>
+साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की पहचान के लिए भी किया जा सकता है,<ref>{{Cite web|url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=परवलय की सममिति का अक्ष। समीकरण या ग्राफ़ से अक्ष कैसे पता करें। समरूपता की धुरी खोजने के लिए ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}</ref>और [[वास्तविक संख्या]] शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=भेदभावपूर्ण समीक्षा|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>
-यदि b<sup>2</sup> − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि {{nowrap|''b''<sup>2</sup> − 4''ac'' ≥ 0}} तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी; अन्यथा यह एक सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो
+यदि b<sup>2</sup> − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि {{nowrap|''b''<sup>2</sup> − 4''ac'' ≥ 0}} तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो
 #अगर b<sup>2</sup> − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं {{nowrap|1=''ax''{{isup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}}.
-#अगर b<sup>2</sup> − 4ac = 0 तो हमारे पास एक पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
+#अगर b<sup>2</sup> − 4ac = 0 तो हमारे पास पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
 #अगर b<sup>2</sup> − 4ac< 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।
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 r_2 &= \alpha - \beta\ \ .
 \end{align}</math>
-इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है; ध्यान दें कि इनमें से एक जड़ों के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी रिज़ॉल्वेंट से जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है:
+इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है, ध्यान दें कि इनमें से एक जड़ों के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी रिज़ॉल्वेंट से जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है:
 :<math>\begin{align}
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 == ऐतिहासिक विकास ==
-द्विघात समीकरणों को हल करने की शुरुआती विधियाँ ज्यामितीय थीं। बेबीलोनियन कीलाकार गोलियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम करने योग्य समस्याएं हैं।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=34}}</ref> मिस्र के मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) तक के मिस्र के [[बर्लिन पपीरस 6619]] में दो-अवधि के द्विघात समीकरण का समाधान शामिल है।<ref>{{cite book|title=कैम्ब्रिज प्राचीन इतिहास भाग 2 मध्य पूर्व का प्रारंभिक इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}</ref>
+द्विघात समीकरणों को हल करने की शुरुआती विधियाँ ज्यामितीय थीं। बेबीलोनियन कीलाकार गोलियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम करने योग्य समस्याएं हैं।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=34}}</ref> मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) के समय के मिस्र के [[बर्लिन पपीरस 6619|बर्लिन पपीरस]]में दो-अवधि के द्विघात समीकरण का हल है।<ref>{{cite book|title=कैम्ब्रिज प्राचीन इतिहास भाग 2 मध्य पूर्व का प्रारंभिक इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}</ref>
-ग्रीक गणितज्ञ [[यूक्लिड]] (लगभग 300 ईसा पूर्व) ने अपने यूक्लिड के तत्वों, एक प्रभावशाली गणितीय ग्रंथ की पुस्तक 2 में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया।<ref name=quad/>द्विघात समीकरणों के नियम चीनी [[गणितीय कला पर नौ अध्याय]] लगभग 200 ईसा पूर्व में दिखाई देते हैं।<ref name=Aitken>{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=एक चीनी क्लासिक: नौ अध्याय|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|access-date=28 April 2013}}</ref><ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]}}</ref> ग्रीक गणितज्ञ [[डायोफैंटस]] (लगभग 250 ईस्वी) ने अपने काम [[अंकगणित]] में यूक्लिड के ज्यामितीय बीजगणित की तुलना में अधिक पहचानने योग्य बीजगणितीय विधि के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया।<ref name=quad>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=39}}</ref> उसका हल केवल एक मूल देता है, भले ही दोनों मूल धनात्मक हों।<ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=0-486-20429-4|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/134 134]}}</ref>
-भारतीय गणितज्ञ [[ब्रह्मगुप्त]] (597-668 ईस्वी) ने 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में स्पष्ट रूप से द्विघात सूत्र का वर्णन किया,<ref name=Bradley>Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).</ref> लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा गया।<ref>Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).</ref> द्विघात समीकरण का उनका समाधान {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c''}} इस प्रकार था: निरपेक्ष संख्या को [वर्ग के गुणांक] के चार गुणा से गुणा करने के लिए, मध्य अवधि के [गुणांक] के वर्ग को जोड़ें; उसी का वर्गमूल, मध्य पद के [गुणांक] को घटाकर, वर्ग के दोगुने [गुणांक] से विभाजित किया जाने वाला मान होता है।<ref name=Stillwell2004>{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=गणित और इसका इतिहास (दूसरा संस्करण)|year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|page=87}}</ref>
+ग्रीक गणितज्ञ [[यूक्लिड]](लगभग 300 ई.पू.) ने अपने एलिमेंट्स की पुस्तक 2 में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया, जो एक प्रभावशाली गणितीय ग्रंथ है।<ref name="quad" />लगभग 200 ईसा पूर्व गणितीय कला पर चीनी [[गणितीय कला पर नौ अध्याय]]में द्विघात समीकरणों के नियम दिखाई देते हैं।<ref name="Aitken">{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=एक चीनी क्लासिक: नौ अध्याय|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|access-date=28 April 2013}}</ref><ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]}}</ref> ग्रीक गणितज्ञ [[डायोफैंटस]] (लगभग 250 ईस्वी) ने अपने काम [[अंकगणित]] में यूक्लिड के ज्यामितीय बीजगणित की तुलना में अधिक पहचानने योग्य बीजगणितीय विधि के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया।<ref name="quad">{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=39}}</ref> उसका समाधान केवल एक मूल देता है, भले ही दोनों मूल धनात्मक हों।<ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=0-486-20429-4|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/134 134]}}</ref>
+भारतीय गणितज्ञ [[ब्रह्मगुप्त]](597-668 ईस्वी) ने स्पष्ट रूप से 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में द्विघात सूत्र का वर्णन किया,<ref name="Bradley">Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).</ref> लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा।<ref>Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).</ref> द्विघात समीकरण का उनका समाधान {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c''}} इस प्रकार था: "पूर्ण संख्या में [गुणांक] वर्ग के चार गुणा गुणा करने पर, मध्य पद [गुणांक] का वर्ग जोड़ें, वर्गमूल का वर्गमूल समान, कम [मध्य पद का गुणांक] वर्ग के दोगुने से विभाजित किया जा रहा मूल्य है।<ref name="Stillwell2004">{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=गणित और इसका इतिहास (दूसरा संस्करण)|year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|page=87}}</ref>
 यह इसके बराबर है:
 :<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\ \ .</math>
-श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), एक भारतीय गणितज्ञ भी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक समान एल्गोरिथ्म के साथ आए, हालांकि इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्होंने दोनों जड़ों पर विचार किया।<ref>{{Citation |title=Sridhara-MacTutor |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara/}}</ref> 9वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=42}}</ref> सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में [[साइमन स्टीवन]] द्वारा प्राप्त किया गया था।<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> 1637 में रेने डेसकार्टेस ने ला जियोमेट्री को प्रकाशित किया जिसमें आज हम जानते हैं कि द्विघात सूत्र के विशेष मामले हैं।<ref>{{Cite book|url=http://archive.org/details/TheGeometry|title=ज्यामिति|last=Rene Descartes|language=en}}</ref>
+श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), एक भारतीय गणितज्ञ भी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक समान एल्गोरिथ्म के साथ आए, हालांकि इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्होंने दोनों जड़ों पर विचार किया।<ref>{{Citation |title=Sridhara-MacTutor |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara/}}</ref> 9वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=42}}</ref> सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में [[साइमन स्टीवन]] द्वारा प्राप्त किया गया था।<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> 1637 में रेने डेसकार्टेस ने ला ज्योमेट्री को प्रकाशित किया जिसमें द्विघात सूत्र के विशेष मामले शामिल थे, जिस रूप में आज हम जानते हैं।<ref>{{Cite book|url=http://archive.org/details/TheGeometry|title=ज्यामिति|last=Rene Descartes|language=en}}</ref>
-== महत्वपूर्ण उपयोग ==
+'''महत्वपूर्ण उपयोग'''
 ===ज्यामितीय महत्व ===
 {{quadratic_equation_graph_key_points.svg}}

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