द्विघात सूत्र: Difference between revisions

Revision as of 12:47, 1 December 2022

द्विघात फलन y = 1/2x2 − 5/2x + 2, जड़ों के साथ x = 1 तथा x = 4.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय एक द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।

प्रपत्र के एक सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए

ax^{2}+bx+c=0

x के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, a, b और c स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, और a ≠ 0 के साथ, द्विघात सूत्र है:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \

जहाँ धन–ऋण चिह्न|धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।^[1] अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{or}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई परवलय,जिसे स्पष्ट रूप से $y = ax 2 + bx + c$ ,के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।^[2]

साथ ही एक सूत्र होने के नाते जो किसी भी पैराबोला के शून्य उत्पन्न करता है, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग पैराबोला की समरूपता के धुरी की पहचान के लिए भी किया जा सकता है,^[3]और वास्तविक संख्या शून्य की संख्या में क्वाड्रैटिक समीकरण शामिल है।^[4]

यदि b² − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि b² − 4ac ≥ 0 तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी; अन्यथा यह एक सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो

अगर b² − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax² + bx + c = 0.
अगर b² − 4ac = 0 तो हमारे पास एक पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
अगर b² − 4ac< 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

समतुल्य फॉर्मूलेशन

द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ ,

जिसे सरल बनाया जा सकता है

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ .

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर का उपयोग करते समय जड़ों को खोजना आसान बनाता है।

मामले में जब भेदभाव करनेवाला $b squared minus 4 a c$

[1]

[2]

[3]

[4]

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 ===लैग्रेंज विलायकों द्वारा===
 {{details|Lagrange resolvents}}
-द्विघात सूत्र निकालने का एक वैकल्पिक तरीका लैग्रेंज विलायकों की विधि के माध्यम से है,<ref name=Clark>Clark, A. (1984). ''Elements of abstract algebra''. Courier Corporation. p. 146.</ref> जो गैल्वा सिद्धांत का प्रारंभिक भाग है।<ref name="efei">{{citation
+द्विघात सूत्र निकालने का एक वैकल्पिक तरीका लैग्रेंज रिज़ॉल्वेंट्स की विधि के माध्यम से है,<ref name=Clark>Clark, A. (1984). ''Elements of abstract algebra''. Courier Corporation. p. 146.</ref> जो गैलोज़ सिद्धांत का प्रारंभिक हिस्सा है।<ref name="efei">{{citation
 |title=Elliptic functions and elliptic integrals
 |first1=Viktor
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 |isbn=978-0-8218-0587-9
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-}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>
+}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>इस विधि को क्यूबिक बहुपद और क्वार्टिक बहुपद की जड़ें देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी जड़ों के [[समरूपता समूह]],गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है।
-इस विधि को क्यूबिक बहुपद और क्वार्टिक बहुपद की जड़ें देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी जड़ों के [[समरूपता समूह]], गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है।
 यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में जड़ों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। एक मोनिक द्विघात बहुपद दिया गया है
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 कहाँ पे {{math|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''αβ''}}.
-चूंकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता, कोई स्विच कर सकता है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} और के मूल्य {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}} नहीं बदलेगा: कोई ऐसा कह सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}} में [[सममित बहुपद]] हैं {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}. वास्तव में, वे [[प्राथमिक सममित बहुपद]] हैं - कोई भी सममित बहुपद {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''α'' + ''β''}} तथा {{math|''αβ''}}. बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो जड़ों में सममित कार्य हैं, क्या कोई समरूपता को तोड़ सकता है और जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार डिग्री के बहुपद को हल करना {{math|''n''}} पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों से संबंधित है (क्रम[[परिवर्तन]]) {{math|''n''}} शर्तें, जिसे [[सममित समूह]] कहा जाता है {{math|''n''}} पत्र, और निरूपित {{math|''S{{sub|n}}''}}. द्विघात बहुपद के लिए, दो पदों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना या उन्हें अदला-बदली करना है (उन्हें [[स्थानान्तरण (गणित)]]), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है।
+चूँकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता है, कोई α और β स्विच कर सकता है और p और q के मान नहीं बदलेंगे: कोई कह सकता है कि p और q α और β में [[सममित बहुपद]]हैं। वास्तव में, वे [[प्राथमिक सममित बहुपद]]हैं - α और β में किसी भी सममित बहुपद को α + β और αβ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो जड़ों में सममित कार्य हैं, क्या कोई "समरूपता को तोड़ सकता है" और जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार घात n के बहुपद को हल करना n पदों को पुनर्व्यवस्थित करने ("क्रम[[परिवर्तन]])के तरीकों से संबंधित है, जिसे n अक्षरों पर [[सममित समूह]]हा जाता है, और Sn को निरूपित किया जाता है। द्विघात बहुपद के लिए, दो शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना है या उन्हें स्वैप करना है ("उन्हें [[स्थानान्तरण (गणित)|स्थानांतरित करना]]), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है।
 जड़ें खोजने के लिए {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, उनके योग और अंतर पर विचार करें:

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