एलओसीसी: Difference between revisions

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{{Use American English|date=January 2019}}{{Short description|Method in quantum computation and communication
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{{Technical|date=January 2019}}[[Image:LOCC.png|thumb|right|एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संचालन और मौलिक संचार की अनुमति है]]एलओसीसी या स्थानीय संचालन और मौलिक संचार [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] एक विधि के रूप में है, जहां एक स्थानीय उत्पाद ऑपरेशन सिस्टम के भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस ऑपरेशन का परिणाम मौलिक रूप से दूसरे भाग में संचारित किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय ऑपरेशन वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी से प्राप्त हुई है।
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==गणितीय गुण ==
==गणितीय गुण ==
एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए <math>r\geq1</math> कोई परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{LOCC}_r</math>, LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है <math>r</math> मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है <math>r</math> बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम ऑपरेशन हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।<ref name="CLMOW2012">{{cite journal |author1=Chitambar, E. |author2=Leung, D. |author3=Mancinska, L. |author4=Ozols, M. |author5=Winter, A. |title=एलओसीसी के बारे में वह सब कुछ जो आप हमेशा से जानना चाहते थे (लेकिन पूछने से डरते थे)|journal=Commun. Math. Phys. |volume=328 |page=303 |year=2012 |issue=1 |doi=10.1007/s00220-014-1953-9 |arxiv=1210.4583|bibcode=2014CMaPh.328..303C |s2cid=118478457 }}</ref>
एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए <math>r\geq1</math> कोई परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{LOCC}_r</math>, LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है <math>r</math> मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है <math>r</math> बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम संक्रिया हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।<ref name="CLMOW2012">{{cite journal |author1=Chitambar, E. |author2=Leung, D. |author3=Mancinska, L. |author4=Ozols, M. |author5=Winter, A. |title=एलओसीसी के बारे में वह सब कुछ जो आप हमेशा से जानना चाहते थे (लेकिन पूछने से डरते थे)|journal=Commun. Math. Phys. |volume=328 |page=303 |year=2012 |issue=1 |doi=10.1007/s00220-014-1953-9 |arxiv=1210.4583|bibcode=2014CMaPh.328..303C |s2cid=118478457 }}</ref>


एक-राउंड एलओसीसी <math>\operatorname{LOCC}_1</math> यह एक क्वांटम उपकरण के रूप में है <math>\left\{\mathcal{E}_x\right\}</math>, जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते [[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र|पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र]] (सीपीएम) <math> \mathcal{E}_x </math> सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं <math>x</math>, अर्थात। <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j}({\cal E}_x^j)</math> और एक साइट है <math>j=K</math> जैसे कि मात्र पर <math>K</math> वो नक्शा <math> \mathcal{E}_x^K</math> <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j\not=K}({\cal T_j^x})\otimes{\cal E}_K</math> ट्रेस-संरक्षण नहीं है.
एक-राउंड एलओसीसी <math>\operatorname{LOCC}_1</math> यह एक क्वांटम उपकरण के रूप में है <math>\left\{\mathcal{E}_x\right\}</math>, जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते [[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र|पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र]] (सीपीएम) <math> \mathcal{E}_x </math> सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं <math>x</math>, अर्थात। <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j}({\cal E}_x^j)</math> और एक साइट है <math>j=K</math> जैसे कि मात्र पर <math>K</math> वो नक्शा <math> \mathcal{E}_x^K</math> <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j\not=K}({\cal T_j^x})\otimes{\cal E}_K</math> ट्रेस-संरक्षण नहीं है.
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इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है <math>K</math> (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना <math>\left\{\mathcal{E}_x^K\right\}</math> और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना <math>x</math> अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं  <math>x</math> ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संचालन <math>{\cal T}_x^j</math> के रूप में है .
इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है <math>K</math> (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना <math>\left\{\mathcal{E}_x^K\right\}</math> और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना <math>x</math> अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं  <math>x</math> ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संचालन <math>{\cal T}_x^j</math> के रूप में है .


तब <math>\operatorname{LOCC}_r</math> पुनरावर्ती रूप से उन ऑपरेशनों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी ऑपरेशन का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है <math>\operatorname{LOCC}_{r-1}</math> के साथ <math>\operatorname{LOCC}_1</math>-संचालन। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।
तब <math>\operatorname{LOCC}_r</math> पुनरावर्ती रूप से उन संक्रियाों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी संक्रिया का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है <math>\operatorname{LOCC}_{r-1}</math> के साथ <math>\operatorname{LOCC}_1</math>-संचालन। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।


सबका मिलन <math>\operatorname{LOCC}_r</math> संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}</math> और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन <math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math> इसमें ऐसे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं।
सबका मिलन <math>\operatorname{LOCC}_r</math> संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}</math> और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन <math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math> इसमें ऐसे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं।


यह दिखाया जा सकता है, कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:<ref name="CLMOW2012" />:<math>\operatorname{LOCC}_r\subset \operatorname{LOCC}_{r+1}\subset \operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}\subset\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math>
यह दिखाया जा सकता है, कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:<ref name="CLMOW2012" />:<math>\operatorname{LOCC}_r\subset \operatorname{LOCC}_{r+1}\subset \operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}\subset\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math>


सभी एलओसीसी परिचालनों का समूह समूह में समाहित है <math>\operatorname{SEP}</math> सभी वियोज्य परिचालनों का. <math>\operatorname{SEP}</math> इसमें वे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं, जिन्हें क्वांटम ऑपरेशन क्रॉस ऑपरेटरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, जिनके पास सभी उत्पाद के रूप हैं,अर्थात,
सभी एलओसीसी परिचालनों का समूह समूह में समाहित है <math>\operatorname{SEP}</math> सभी वियोज्य परिचालनों का. <math>\operatorname{SEP}</math> इसमें वे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं, जिन्हें क्वांटम संक्रिया क्रॉस ऑपरेटरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, जिनके पास सभी उत्पाद के रूप हैं,अर्थात,
:<math>
:<math>
{\cal E} (\rho) = \sum_l K^l_1\otimes K^l_2\dots\otimes K_N \rho (K^l_1\otimes K^l_2\dots\otimes K_N)^\dagger,</math>
{\cal E} (\rho) = \sum_l K^l_1\otimes K^l_2\dots\otimes K_N \rho (K^l_1\otimes K^l_2\dots\otimes K_N)^\dagger,</math>
साथ <math>\sum_l K^l_1\otimes K^l_2\dots\otimes K_N(K^l_1\otimes K^l_2\dots\otimes K_N)^\dagger=1</math>. में सभी ऑपरेशन नहीं <math>\operatorname{SEP}</math> एलओसीसी हैं,
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:<math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}\subset \operatorname{SEP},</math>
:<math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}\subset \operatorname{SEP},</math>
अर्थात, ऐसे उदाहरण हैं, जिन्हें संचार के अनंत दौर के साथ भी स्थानीय स्तर पर लागू नहीं किया जा सकता है।<ref name="CLMOW2012" />
अर्थात, ऐसे उदाहरण हैं, जिन्हें संचार के अनंत दौर के साथ भी स्थानीय स्तर पर लागू नहीं किया जा सकता है।<ref name="CLMOW2012" />
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यह इससे भी अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है, कि स्थानीय परिचालन क्वांटम उलझाव माध्यमों को नहीं बढ़ा सकते हैं। यह पूर्णतया संभव है <math>|\psi\rangle</math> और <math>|\phi\rangle</math> समान मात्रा में उलझाव है, लेकिन एक को दूसरे में परिवर्तित करना संभव नहीं है और यहां तक ​​कि किसी भी दिशा में रूपांतरण असंभव है, क्योंकि श्मिट गुणांक का कोई भी समूह दूसरे को [[प्रमुखीकरण]] नहीं करता है। बड़े के लिए <math>d</math> यदि सभी श्मिट अपघटन गैर-शून्य हैं, तो गुणांकों के एक समूह के मेजराइजेशन और दूसरे समूह की संभावना नगण्य हो जाती है। इसलिए बड़े के लिए <math>d</math> एलओसीसी के माध्यम से किसी भी मनमाने राज्य के दूसरे में परिवर्तनीय होने की संभावना नगण्य हो जाती है।
यह इससे भी अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है, कि स्थानीय परिचालन क्वांटम उलझाव माध्यमों को नहीं बढ़ा सकते हैं। यह पूर्णतया संभव है <math>|\psi\rangle</math> और <math>|\phi\rangle</math> समान मात्रा में उलझाव है, लेकिन एक को दूसरे में परिवर्तित करना संभव नहीं है और यहां तक ​​कि किसी भी दिशा में रूपांतरण असंभव है, क्योंकि श्मिट गुणांक का कोई भी समूह दूसरे को [[प्रमुखीकरण]] नहीं करता है। बड़े के लिए <math>d</math> यदि सभी श्मिट अपघटन गैर-शून्य हैं, तो गुणांकों के एक समूह के मेजराइजेशन और दूसरे समूह की संभावना नगण्य हो जाती है। इसलिए बड़े के लिए <math>d</math> एलओसीसी के माध्यम से किसी भी मनमाने राज्य के दूसरे में परिवर्तनीय होने की संभावना नगण्य हो जाती है।


अब तक वर्णित ऑपरेशन नियतात्मक हैं,  अर्थात, वे 100% संभावना के साथ सफल होते हैं। यदि कोई संभाव्य परिवर्तनों से संतुष्ट है, तो एलओसीसी का उपयोग करके कई और परिवर्तन संभव हैं।<ref name="Vidal2000">{{cite journal |author=Guifré Vidal |title=नीरस उलझाव|journal=J. Mod. Opt. |volume=47 |page=355 |year=2000 |issue=2–3 |doi=10.1080/09500340008244048 |arxiv=quant-ph/9807077|bibcode=2000JMOp...47..355V |s2cid=119347961 }}</ref> इन ऑपरेशनों को स्टोकेस्टिक एलओसीसी (एसएलओसीसी) कहा जाता है। विशेष रूप से बहु-पक्षीय राज्यों के लिए एसएलओसीसी के अनुसार परिवर्तनीयता का अध्ययन सम्मिलित राज्यों के उलझाव गुणों में गुणात्मक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जाता है।<ref name="GoWa2013">{{cite journal |author1=G. Gour |author2=N. R. Wallach |title=सभी परिमित आयामों के बहुपक्षीय उलझाव का वर्गीकरण|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=111 |page=060502 |year=2013 |issue=6 |doi=10.1103/PhysRevLett.111.060502 |arxiv=1304.7259|bibcode=2013PhRvL.111f0502G |pmid=23971544 |s2cid=1570745 }}</ref>
अब तक वर्णित संक्रिया नियतात्मक हैं,  अर्थात, वे 100% संभावना के साथ सफल होते हैं। यदि कोई संभाव्य परिवर्तनों से संतुष्ट है, तो एलओसीसी का उपयोग करके कई और परिवर्तन संभव हैं।<ref name="Vidal2000">{{cite journal |author=Guifré Vidal |title=नीरस उलझाव|journal=J. Mod. Opt. |volume=47 |page=355 |year=2000 |issue=2–3 |doi=10.1080/09500340008244048 |arxiv=quant-ph/9807077|bibcode=2000JMOp...47..355V |s2cid=119347961 }}</ref> इन संक्रियाों को स्टोकेस्टिक एलओसीसी (एसएलओसीसी) कहा जाता है। विशेष रूप से बहु-पक्षीय राज्यों के लिए एसएलओसीसी के अनुसार परिवर्तनीयता का अध्ययन सम्मिलित राज्यों के उलझाव गुणों में गुणात्मक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जाता है।<ref name="GoWa2013">{{cite journal |author1=G. Gour |author2=N. R. Wallach |title=सभी परिमित आयामों के बहुपक्षीय उलझाव का वर्गीकरण|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=111 |page=060502 |year=2013 |issue=6 |doi=10.1103/PhysRevLett.111.060502 |arxiv=1304.7259|bibcode=2013PhRvL.111f0502G |pmid=23971544 |s2cid=1570745 }}</ref>
====एलओसीसी से आगे जाना: उत्प्रेरक रूपांतरण====
====एलओसीसी से आगे जाना: उत्प्रेरक रूपांतरण====
यदि उलझे हुए राज्य एक संसाधन के रूप में उपलब्ध हैं, तो ये एलओसीसी के साथ मिलकर बहुत बड़े वर्ग के परिवर्तनों की अनुमति देते हैं। यह स्थिति तब भी है, जब इन संसाधन स्थितियों का प्रक्रिया में उपभोग नहीं किया जाता है उदाहरण के लिए [[क्वांटम टेलीपोर्टेशन]] में होता है। इस प्रकार परिवर्तनों को उलझाव उत्प्रेरण कहा जाता है।<ref>{{cite journal |author1=D. Jonathan |author2=M. B. Plenio |title=शुद्ध क्वांटम अवस्थाओं का उलझाव-सहायता प्राप्त स्थानीय हेरफेर|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=83 |year=1999 |issue=17 |pages=3566–3569 |doi=10.1103/PhysRevLett.83.3566 |arxiv=quant-ph/9905071|bibcode=1999PhRvL..83.3566J |s2cid=392419 }}</ref> इस प्रक्रिया में प्रारंभिक अवस्था को अंतिम अवस्था में बदलना होता है, जो कि LOCC के साथ असंभव है, उत्प्रेरक अवस्था के साथ प्रारंभिक अवस्था का टेंसर उत्पाद लेकर संभव बनाया जाता है। <math>|c\rangle</math> और यह आवश्यक है, कि यह स्थिति रूपांतरण प्रक्रिया के अंत में भी उपलब्ध रहे।  अर्थात उत्प्रेरक स्थिति को रूपांतरण द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है और फिर मात्र वांछित अंतिम स्थिति को छोड़कर हटाया जा सकता है। राज्यों पर विचार करें,
यदि उलझे हुए राज्य एक संसाधन के रूप में उपलब्ध हैं, तो ये एलओसीसी के साथ मिलकर बहुत बड़े वर्ग के परिवर्तनों की अनुमति देते हैं। यह स्थिति तब भी है, जब इन संसाधन स्थितियों का प्रक्रिया में उपभोग नहीं किया जाता है उदाहरण के लिए [[क्वांटम टेलीपोर्टेशन]] में होता है। इस प्रकार परिवर्तनों को उलझाव उत्प्रेरण कहा जाता है।<ref>{{cite journal |author1=D. Jonathan |author2=M. B. Plenio |title=शुद्ध क्वांटम अवस्थाओं का उलझाव-सहायता प्राप्त स्थानीय हेरफेर|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=83 |year=1999 |issue=17 |pages=3566–3569 |doi=10.1103/PhysRevLett.83.3566 |arxiv=quant-ph/9905071|bibcode=1999PhRvL..83.3566J |s2cid=392419 }}</ref> इस प्रक्रिया में प्रारंभिक अवस्था को अंतिम अवस्था में बदलना होता है, जो कि LOCC के साथ असंभव है, उत्प्रेरक अवस्था के साथ प्रारंभिक अवस्था का टेंसर उत्पाद लेकर संभव बनाया जाता है। <math>|c\rangle</math> और यह आवश्यक है, कि यह स्थिति रूपांतरण प्रक्रिया के अंत में भी उपलब्ध रहे।  अर्थात उत्प्रेरक स्थिति को रूपांतरण द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है और फिर मात्र वांछित अंतिम स्थिति को छोड़कर हटाया जा सकता है। राज्यों पर विचार करें,

Revision as of 23:32, 8 December 2023

File:LOCC.png
एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संचालन और मौलिक संचार की अनुमति है

एलओसीसी या स्थानीय संक्रिया और शास्त्रीय संचार क्वांटम सूचना सिद्धांत की एक विधि है, जहां एक स्थानीय उत्पाद संक्रिया प्रणाली के एक भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस संक्रिया का परिणाम वर्गीकृत रूप से दूसरे भाग में "संप्रेषित" किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय संक्रिया वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी से प्राप्त हुई है।

गणितीय गुण

एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए कोई परिभाषित कर सकता है , LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम संक्रिया हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।[1]

एक-राउंड एलओसीसी यह एक क्वांटम उपकरण के रूप में है , जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र (सीपीएम) सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं , अर्थात। और एक साइट है जैसे कि मात्र पर वो नक्शा ट्रेस-संरक्षण नहीं है.

इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संचालन के रूप में है .

तब पुनरावर्ती रूप से उन संक्रियाों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी संक्रिया का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है के साथ -संचालन। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।

सबका मिलन संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन इसमें ऐसे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं।

यह दिखाया जा सकता है, कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:[1]:

सभी एलओसीसी परिचालनों का समूह समूह में समाहित है सभी वियोज्य परिचालनों का. इसमें वे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं, जिन्हें क्वांटम संक्रिया क्रॉस ऑपरेटरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, जिनके पास सभी उत्पाद के रूप हैं,अर्थात,