एलओसीसी: Difference between revisions

Revision as of 00:00, 7 December 2023

एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संचालन और मौलिक संचार की अनुमति है

एलओसीसी या स्थानीय संचालन और मौलिक संचार क्वांटम सूचना सिद्धांत एक विधि के रूप में है, जहां एक स्थानीय उत्पाद ऑपरेशन सिस्टम के भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस ऑपरेशन का परिणाम मौलिक रूप से दूसरे भाग में संचारित किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय ऑपरेशन वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी प्राप्त हुई है।

गणितीय गुण

एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए $r\geq 1$ कोई परिभाषित कर सकता है $\operatorname {LOCC} _{r}$ , LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है $r$ मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है $r$ बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम ऑपरेशन हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।^[1]

एक-राउंड एलओसीसी $\operatorname {LOCC} _{1}$ यह एक क्वांटम उपकरण के रूप में है $\left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}$ , जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र (सीपीएम) ${\mathcal {E}}_{x}$ सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं $x$ , अर्थात। ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})$ और एक साइट है $j=K$ जैसे कि मात्र पर $K$ वो नक्शा ${\mathcal {E}}_{x}^{K}$ ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}$ ट्रेस-संरक्षण नहीं है.

इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है $K$ (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना $\left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}$ और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना $x$ अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं $x$ ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संचालन ${\cal {T}}_{x}^{j}$ के रूप में है .

तब $\operatorname {LOCC} _{r}$ पुनरावर्ती रूप से उन ऑपरेशनों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी ऑपरेशन का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है $\operatorname {LOCC} _{r-1}$ के साथ $\operatorname {LOCC} _{1}$ -संचालन। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।

सबका मिलन $\operatorname {LOCC} _{r}$ संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }$ और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन ${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$ इसमें ऐसे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं।

यह दिखाया जा सकता है, कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:^[1]: $\operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$

सभी एलओसीसी परिचालनों का समूह समूह में समाहित है $\operatorname {SEP}$ सभी वियोज्य परिचालनों का. $\operatorname {SEP}$ इसमें वे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं, जिन्हें क्वांटम ऑपरेशन क्रॉस ऑपरेटरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, जिनके पास सभी उत्पाद के रूप हैं,अर्थात,

{\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },

[1]

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 अब तक वर्णित ऑपरेशन नियतात्मक हैं,  अर्थात, वे 100% संभावना के साथ सफल होते हैं। यदि कोई संभाव्य परिवर्तनों से संतुष्ट है, तो एलओसीसी का उपयोग करके कई और परिवर्तन संभव हैं।<ref name="Vidal2000">{{cite journal |author=Guifré Vidal |title=नीरस उलझाव|journal=J. Mod. Opt. |volume=47 |page=355 |year=2000 |issue=2–3 |doi=10.1080/09500340008244048 |arxiv=quant-ph/9807077|bibcode=2000JMOp...47..355V |s2cid=119347961 }}</ref> इन ऑपरेशनों को स्टोकेस्टिक एलओसीसी (एसएलओसीसी) कहा जाता है। विशेष रूप से बहु-पक्षीय राज्यों के लिए एसएलओसीसी के अनुसार परिवर्तनीयता का अध्ययन सम्मिलित राज्यों के उलझाव गुणों में गुणात्मक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जाता है।<ref name="GoWa2013">{{cite journal |author1=G. Gour |author2=N. R. Wallach |title=सभी परिमित आयामों के बहुपक्षीय उलझाव का वर्गीकरण|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=111 |page=060502 |year=2013 |issue=6 |doi=10.1103/PhysRevLett.111.060502 |arxiv=1304.7259|bibcode=2013PhRvL.111f0502G |pmid=23971544 |s2cid=1570745 }}</ref>
 ====एलओसीसी से आगे जाना: उत्प्रेरक रूपांतरण====
-यदि उलझे हुए राज्य एक संसाधन के रूप में उपलब्ध हैं, तो ये एलओसीसी के साथ मिलकर बहुत बड़े वर्ग के परिवर्तनों की अनुमति देते हैं। यह स्थिति तब भी है जब इन संसाधन स्थितियों का प्रक्रिया में उपभोग नहीं किया जाता है (उदाहरण के लिए, [[क्वांटम टेलीपोर्टेशन]] में)। इस प्रकार परिवर्तनों को उलझाव उत्प्रेरण कहा जाता है।<ref>{{cite journal |author1=D. Jonathan |author2=M. B. Plenio |title=शुद्ध क्वांटम अवस्थाओं का उलझाव-सहायता प्राप्त स्थानीय हेरफेर|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=83 |year=1999 |issue=17 |pages=3566–3569 |doi=10.1103/PhysRevLett.83.3566 |arxiv=quant-ph/9905071|bibcode=1999PhRvL..83.3566J |s2cid=392419 }}</ref> इस प्रक्रिया में, प्रारंभिक अवस्था को अंतिम अवस्था में बदलना जो कि LOCC के साथ असंभव है, उत्प्रेरक अवस्था के साथ प्रारंभिक अवस्था का टेंसर उत्पाद लेकर संभव बनाया जाता है। <math>|c\rangle</math> और यह आवश्यक है कि यह स्थिति रूपांतरण प्रक्रिया के अंत में भी उपलब्ध रहे।  अर्थात, उत्प्रेरक स्थिति को रूपांतरण द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है और फिर मात्र वांछित अंतिम स्थिति को छोड़कर हटाया जा सकता है। राज्यों पर विचार करें,
+यदि उलझे हुए राज्य एक संसाधन के रूप में उपलब्ध हैं, तो ये एलओसीसी के साथ मिलकर बहुत बड़े वर्ग के परिवर्तनों की अनुमति देते हैं। यह स्थिति तब भी है, जब इन संसाधन स्थितियों का प्रक्रिया में उपभोग नहीं किया जाता है उदाहरण के लिए [[क्वांटम टेलीपोर्टेशन]] में होता है। इस प्रकार परिवर्तनों को उलझाव उत्प्रेरण कहा जाता है।<ref>{{cite journal |author1=D. Jonathan |author2=M. B. Plenio |title=शुद्ध क्वांटम अवस्थाओं का उलझाव-सहायता प्राप्त स्थानीय हेरफेर|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=83 |year=1999 |issue=17 |pages=3566–3569 |doi=10.1103/PhysRevLett.83.3566 |arxiv=quant-ph/9905071|bibcode=1999PhRvL..83.3566J |s2cid=392419 }}</ref> इस प्रक्रिया में प्रारंभिक अवस्था को अंतिम अवस्था में बदलना होता है, जो कि LOCC के साथ असंभव है, उत्प्रेरक अवस्था के साथ प्रारंभिक अवस्था का टेंसर उत्पाद लेकर संभव बनाया जाता है। <math>|c\rangle</math> और यह आवश्यक है, कि यह स्थिति रूपांतरण प्रक्रिया के अंत में भी उपलब्ध रहे।  अर्थात उत्प्रेरक स्थिति को रूपांतरण द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है और फिर मात्र वांछित अंतिम स्थिति को छोड़कर हटाया जा सकता है। राज्यों पर विचार करें,
 :<math>|\psi\rangle=\sqrt{0.4}|00\rangle+\sqrt{0.4}|11\rangle+\sqrt{0.1}|22\rangle+\sqrt{0.1}|33\rangle</math>
 :<math>|\phi\rangle=\sqrt{0.5}|00\rangle+\sqrt{0.25}|11\rangle+\sqrt{0.25}|22\rangle</math>
 :<math>|c\rangle=\sqrt{0.6}\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.4}\mid\downarrow\downarrow\rangle</math>
-इन अवस्थाओं को श्मिट अपघटन के रूप में और अवरोही क्रम में लिखा जाता है। हम के गुणांकों के योग की तुलना करते हैं <math>|\psi\rangle</math> और <math>|\phi\rangle</math>
+इन अवस्थाओं को श्मिट अपघटन के रूप में और अवरोही क्रम में लिखा जाता है। हम इन गुणांकों के योग की तुलना करते हैं <math>|\psi\rangle</math> और <math>|\phi\rangle</math>
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-टेबल में लाल रंग डाला जाता है यदि <math>\sum_{i=0}^k\omega_i>\sum_{i=0}^k\omega'_i</math>, हरा रंग डाला जाता है यदि <math>\sum_{i=0}^k\omega_i<\sum_{i=0}^k\omega'_i</math>, और सफेद रंग रह जाता है यदि <math>\sum_{i=0}^k\omega_i=\sum_{i=0}^k\omega'_i</math>. तालिका बनाने के पश्चात, कोई भी सरली से पता लगा सकता है कि क्या <math>|\psi\rangle</math> और <math>|\phi\rangle</math> में रंग देखकर परिवर्तनीय हैं <math>k</math> दिशा। <math>|\psi\rangle</math> में परिवर्तित किया जा सकता है <math>|\phi\rangle</math> यदि सभी रंग हरे या सफेद हैं तो एलओसीसी द्वारा, और <math>|\phi\rangle</math> में परिवर्तित किया जा सकता है <math>|\psi\rangle</math> यदि सभी रंग लाल या सफेद हैं तो एलओसीसी द्वारा। जब तालिका लाल और हरे दोनों रंग प्रस्तुत करती है, तो स्थितियाँ परिवर्तनीय नहीं होती हैं।
+टेबल में लाल रंग डाला जाता है यदि <math>\sum_{i=0}^k\omega_i>\sum_{i=0}^k\omega'_i</math>, हरा रंग डाला जाता है यदि <math>\sum_{i=0}^k\omega_i<\sum_{i=0}^k\omega'_i</math>, और सफेद रंग रह जाता है यदि <math>\sum_{i=0}^k\omega_i=\sum_{i=0}^k\omega'_i</math>. तालिका बनाने के पश्चात, कोई भी आसानी से पता लगा सकता है कि क्या <math>|\psi\rangle</math> और <math>|\phi\rangle</math> में रंग देखकर परिवर्तनीय हैं <math>k</math> दिशा। <math>|\psi\rangle</math> में परिवर्तित किया जा सकता है <math>|\phi\rangle</math> यदि सभी रंग हरे या सफेद हैं तो एलओसीसी द्वारा और <math>|\phi\rangle</math> में परिवर्तित किया जा सकता है <math>|\psi\rangle</math> यदि सभी रंग लाल या सफेद हैं, तो एलओसीसी द्वारा व्यवस्थित करें। जब तालिका लाल और हरे दोनों रंग प्रस्तुत करती है, तो स्थितियाँ परिवर्तनीय नहीं होती हैं।
 अब हम उत्पाद स्थितियों पर विचार करते हैं <math>|\psi\rangle |c\rangle</math> और <math>|\phi\rangle |c\rangle</math>：
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-में रंग <math>k</math> नील्सन प्रमेय के अनुसार, सभी दिशाएँ हरी या सफेद हैं, <math>|\psi\rangle |c\rangle</math> में परिवर्तित किया जाना संभव है <math>|\phi\rangle |c\rangle</math> एलओसीसी द्वारा. उत्प्रेरक अवस्था <math>|c\rangle</math> धर्मांतरण के पश्चात हटा लिया जाता है. अंततः हम पाते हैं <math>|\psi\rangle\overset{|c\rangle}{\rightarrow}|\phi\rangle</math> एलओसीसी द्वारा.
+में रंग <math>k</math> नील्सन प्रमेय के अनुसार, सभी दिशाएँ हरी या सफेद हैं, <math>|\psi\rangle |c\rangle</math> में परिवर्तित किया जाना संभव है <math>|\phi\rangle |c\rangle</math> एलओसीसी द्वारा उत्प्रेरक अवस्था <math>|c\rangle</math> धर्मांतरण के पश्चात हटा लिया जाता है. अंततः हम पाते हैं <math>|\psi\rangle\overset{|c\rangle}{\rightarrow}|\phi\rangle</math> एलओसीसी द्वारा.
 यदि सिस्टम और उत्प्रेरक के बीच सहसंबंधों की अनुमति दी जाती है, तो द्विदलीय शुद्ध अवस्थाओं के बीच उत्प्रेरक परिवर्तनों को [[उलझाव एन्ट्रापी]] के माध्यम से चित्रित किया जाता है।<ref>{{Cite journal|last1=Kondra|first1=Tulja Varun|last2=Datta|first2=Chandan|last3=Streltsov|first3=Alexander|date=2021-10-05|title=शुद्ध उलझी हुई अवस्थाओं का उत्प्रेरक परिवर्तन|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.127.150503|journal=Physical Review Letters|volume=127|issue=15|page=150503|doi=10.1103/PhysRevLett.127.150503 |pmid=34678004 |arxiv=2102.11136|bibcode=2021PhRvL.127o0503K |s2cid=237532098 }}</ref> अधिक विस्तार से, एक शुद्ध अवस्था <math>
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 </math>,
-कहाँ <math>
+जहाँ <math>
 S
 </math> [[वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी]] है, और <math>
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 </math> और <math>
 |\phi\rangle
-</math>, क्रमश। सामान्य तौर पर, रूपांतरण उपयुक्त नहीं होता है, लेकिन मनमानी उपयुक्तता के साथ किया जा सकता है। सिस्टम और उत्प्रेरक के बीच सहसंबंधों की मात्रा को भी मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है।
+</math>, क्रमश। सामान्य तौर पर रूपांतरण उपयुक्त नहीं होता है, लेकिन मनमानी उपयुक्तता के साथ किया जा सकता है। सिस्टम और उत्प्रेरक के बीच सहसंबंधों की मात्रा को भी मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है।
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