एलओसीसी: Difference between revisions

Revision as of 21:03, 6 December 2023

एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संचालन और मौलिक संचार की अनुमति है

एलओसीसी या स्थानीय संचालन और मौलिक संचार क्वांटम सूचना सिद्धांत एक विधि के रूप में है, जहां एक स्थानीय उत्पाद ऑपरेशन सिस्टम के भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस ऑपरेशन का परिणाम मौलिक रूप से दूसरे भाग में संचारित किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय ऑपरेशन वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी प्राप्त हुई है।

गणितीय गुण

एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए $r\geq 1$ कोई परिभाषित कर सकता है $\operatorname {LOCC} _{r}$ , LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है $r$ मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है $r$ बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम ऑपरेशन हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।^[1]

एक-राउंड एलओसीसी $\operatorname {LOCC} _{1}$ यह एक क्वांटम उपकरण है $\left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}$ , जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र (सीपीएम) ${\mathcal {E}}_{x}$ सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं $x$ , अर्थात।, ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})$ और एक साइट है $j=K$ ऐसा कि मात्र पर $K$ वो नक्शा ${\mathcal {E}}_{x}^{K}$ ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}$ ट्रेस-संरक्षण नहीं है. इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है $K$ (स्थानीय) उपकरण लगाना $\left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}$ और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना $x$ अन्य सभी पार्टियों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन (शर्त पर) करती हैं $x$ ) ट्रेस-संरक्षण (नियतात्मक) स्थानीय क्वांटम संचालन ${\cal {T}}_{x}^{j}$ .

तब $\operatorname {LOCC} _{r}$ पुनरावर्ती रूप से उन ऑपरेशनों के रूप में परिभाषित किया गया है जिन्हें किसी ऑपरेशन का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है $\operatorname {LOCC} _{r-1}$ के साथ $\operatorname {LOCC} _{1}$ -संचालन। यहां यह अनुमति है कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई करती है वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त, हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं, अर्थात, माप परिणामों (सभी राउंड के) में एन्कोड की गई कुछ मौलिक जानकारी को त्याग देते हैं।

सबका मिलन $\operatorname {LOCC} _{r}$ संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }$ और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन ${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$ इसमें ऐसे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:^[1]: $\operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$ सभी एलओसीसी परिचालनों का समूह समूह में समाहित है $\operatorname {SEP}$ सभी वियोज्य परिचालनों का. $\operatorname {SEP}$ इसमें वे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं जिन्हें क्वांटम ऑपरेशन#क्रॉस ऑपरेटरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है जिनके पास सभी उत्पाद रूप हैं, अर्थात,

{\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },

साथ $\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1$ . में सभी ऑपरेशन नहीं $\operatorname {SEP}$ एलओसीसी हैं,

[1]

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 ==गणितीय गुण ==
-एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए <math>r\geq1</math> कोई परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{LOCC}_r</math>, LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है <math>r</math> मौलिक संचार के दौर. समूह कभी भी बड़ा हो जाता है <math>r</math> बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से, समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है,  अर्थात ऐसे क्वांटम ऑपरेशन हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।<ref name="CLMOW2012">{{cite journal |author1=Chitambar, E. |author2=Leung, D. |author3=Mancinska, L. |author4=Ozols, M. |author5=Winter, A. |title=एलओसीसी के बारे में वह सब कुछ जो आप हमेशा से जानना चाहते थे (लेकिन पूछने से डरते थे)|journal=Commun. Math. Phys. |volume=328 |page=303 |year=2012 |issue=1 |doi=10.1007/s00220-014-1953-9 |arxiv=1210.4583|bibcode=2014CMaPh.328..303C |s2cid=118478457 }}</ref>
+एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए <math>r\geq1</math> कोई परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{LOCC}_r</math>, LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है <math>r</math> मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है <math>r</math> बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम ऑपरेशन हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।<ref name="CLMOW2012">{{cite journal |author1=Chitambar, E. |author2=Leung, D. |author3=Mancinska, L. |author4=Ozols, M. |author5=Winter, A. |title=एलओसीसी के बारे में वह सब कुछ जो आप हमेशा से जानना चाहते थे (लेकिन पूछने से डरते थे)|journal=Commun. Math. Phys. |volume=328 |page=303 |year=2012 |issue=1 |doi=10.1007/s00220-014-1953-9 |arxiv=1210.4583|bibcode=2014CMaPh.328..303C |s2cid=118478457 }}</ref>
 एक-राउंड एलओसीसी <math>\operatorname{LOCC}_1</math> यह एक क्वांटम उपकरण है <math>\left\{\mathcal{E}_x\right\}</math>, जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते [[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र|पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र]] (सीपीएम) <math> \mathcal{E}_x </math> सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं <math>x</math>, अर्थात।, <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j}({\cal E}_x^j)</math> और एक साइट है <math>j=K</math> ऐसा कि मात्र पर <math>K</math> वो नक्शा <math> \mathcal{E}_x^K</math> <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j\not=K}({\cal T_j^x})\otimes{\cal E}_K</math> ट्रेस-संरक्षण नहीं है. इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है <math>K</math> (स्थानीय) उपकरण लगाना <math>\left\{\mathcal{E}_x^K\right\}</math> और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना <math>x</math> अन्य सभी पार्टियों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन (शर्त पर) करती हैं <math>x</math>) ट्रेस-संरक्षण (नियतात्मक) स्थानीय क्वांटम संचालन <math>{\cal T}_x^j</math>.
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 सबका मिलन <math>\operatorname{LOCC}_r</math> संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}</math> और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन <math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math> इसमें ऐसे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं।
-यह दिखाया जा सकता है कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:<ref name="CLMOW2012"/>:<math>\operatorname{LOCC}_r\subset \operatorname{LOCC}_{r+1}\subset \operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}\subset\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math>
+यह दिखाया जा सकता है कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:<ref name="CLMOW2012" />:<math>\operatorname{LOCC}_r\subset \operatorname{LOCC}_{r+1}\subset \operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}\subset\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math>
 सभी एलओसीसी परिचालनों का समूह समूह में समाहित है <math>\operatorname{SEP}</math> सभी वियोज्य परिचालनों का. <math>\operatorname{SEP}</math> इसमें वे सभी ऑपरेशन सम्मिलित हैं जिन्हें क्वांटम ऑपरेशन#क्रॉस ऑपरेटरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है जिनके पास सभी उत्पाद रूप हैं,  अर्थात,
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