जैव-एलजीसीए

कम्प्यूटेशनल जीवविज्ञान और गणितीय और सैद्धांतिक जीवविज्ञान में, जैविक जालक-गैस कोशिकीय ऑटोमेटन (बीआईओ-एलजीसीए) जैविक घटकों को स्थानांतरित करने और अन्तः क्रिया करने के लिए एक अलग मॉडल है, जो कोशिकीय ऑटोमेटन (मशीनी मानव) का एक प्रकार है। बीआईओ-एलजीसीए द्रव गतिशीलता में उपयोग किए जाने वाले जालक गैस ऑटोमेटन (एलजीसीए) मॉडल पर आधारित है। बीआईओ-एलजीसीए मॉडल कोशिकाओं और अन्य गतिशील जैविक घटकों को अलग जालक पर चलने वाले बिंदु कणों के रूप में वर्णित करता है, जिससे निकट के कणों के साथ अन्तः क्रिया होती है। उत्कृष्ट कोशिकीय ऑटोमेटन मॉडल के विपरीत, जैव-एलजीसीए में कणों को उनकी स्थिति और वेग से परिभाषित किया जाता है। यह मुख्य रूप से घनत्व के अतिरिक्त गति में परिवर्तन के माध्यम से सक्रिय तरल पदार्थों और सामूहिक प्रवासन का मॉडल और विश्लेषण करने की अनुमति देता है। जैव-एलजीसीए अनुप्रयोगों में कैंसर का हस्तक्षेप और कैंसर की प्रगति सम्मिलित है।

मॉडल परिभाषा

जैसा कि सभी कोशिकीय ऑटोमेटन मॉडल हैं, एक BIO-LGCA मॉडल को एक जालक ${\mathcal {L}}$, एक अवस्था समष्टि ${\mathcal {E}}$, एक निकटवर्ती ${\mathcal {N}}$ और एक नियम ${\mathcal {R}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

• जालक (${\mathcal {L}}$) सभी संभावित कण स्थितियों के समूह को परिभाषित करता है। कण मात्र कुछ निश्चित स्थानों पर अधिकृत करने के लिए प्रतिबंधित हैं, जो सामान्यतः समष्टि के नियमित और आवधिक चौकोर के परिणामस्वरूप होते हैं। गणितीय रूप से, ${\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ , $d$-आयामी समष्टि का एक अलग उपसमुच्चय है।
• अवस्था समष्टि (${\mathcal {E}}$) प्रत्येक जालक स्थल $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ के भीतर कणों की संभावित अवस्थाओं का वर्णन करता है. बीआईओ-एलजीसीए में, उत्कृष्ट कोशिकीय ऑटोमेटन मॉडल के विपरीत, अलग-अलग वेग वाले कई कण एक ही जालक स्थल पर अधिकृत कर सकते हैं, जहां सामान्यतः मात्र एक ही कोशिका प्रत्येक जालक नोड में एक साथ रह सकती है। यह अवस्था समष्टि को उत्कृष्ट कोशिकीय ऑटोमेटन मॉडल (नीचे देखें) की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल बनाता है।
• निकटवर्ती (${\mathcal {N}}$) जालक स्थलों के उपसमूह को इंगित करता है जो जालक में किसी दिए गए स्थल की गतिशीलता को निर्धारित करता है। कण मात्र अपने निकटवर्ती के अन्य कणों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। परिमित जालक की सीमा पर जालक स्थलों के निकटवर्ती के लिए सीमा की स्थिति का चयन किया जाना चाहिए। निकटवर्ती और सीमा की स्थितियों को नियमित कोशिकीय ऑटोमेटा के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है (कोशिकीय ऑटोमेटन देखें)।
• नियम (${\mathcal {R}}$) यह निर्धारित करता है कि कण समय के साथ कैसे चलते हैं, बढ़ते हैं या समाप्त हो जाते हैं। प्रत्येक कोशिकीय ऑटोमेटन के जैसे, जैव-एलजीसीए अलग-अलग समय चरणों में विकसित होता है। प्रणाली की गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए, नियम को प्रत्येक समय चरण पर प्रत्येक जालक स्थल पर समकालिक रूप से लागू किया जाता है। नियम अनुप्रयोग जालक स्थल की मूल स्थिति को नवीन स्थिति में बदल देता है। नियम अद्यतन की जाने वाली जालक स्थल के परस्पर क्रिया निकटवर्ती में जालक स्थलों की स्थिति पर निर्भर करता है। बीआईओ-एलजीसीए में, नियम को दो चरणों में विभाजित किया गया है, संभाव्य परस्पर क्रिया चरण जिसके पश्चात नियतात्मक परिवहन चरण होता है। परस्पर क्रिया चरण पुनर्अभिविन्यास, जन्म और मृत्यु प्रक्रियाओं का अनुकरण करता है, और विशेष रूप से मॉडलिंग प्रक्रिया के लिए परिभाषित किया गया है। परिवहन चरण कणों को उनके वेग की दिशा में निकटवर्ती जालक नोड में स्थानांतरित करता है। विवरण के लिए नीचे देखें।

अवस्था समष्टि

छह वेग चैनलों (2डी षट्कोणीय जालक के अनुरूप) और आराम चैनल के साथ बीआईओ-एलजीसीए जालक स्थल की उपसंरचना। इस स्थिति में $b=6$, $a=1$, और वहन क्षमता $K=7$. चैनल 2, 3, 6 और 7 पर अधिकृत है, इस प्रकार जालक विन्यास है $\mathbf {s} =(0,1,1,0,0,1,1)$, और कणों की संख्या है $n\left(\mathbf {s} \right)=\sum _{i=1}^{K}s_{i}=4$.

कण वेगों को स्पष्ट रूप से मॉडलिंग करने के लिए, जालक स्थलों को विशिष्ट उपसंरचना माना जाता है। प्रत्येक जालक स्थल $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ वेग चैनल $\mathbf {c} _{i}$, $i\in \{1,2,\ldots ,b\}$ नामक सदिश के माध्यम से अपने निकटवर्ती जालक स्थलों से जुड़ा होता है, जहां वेग चैनलों की संख्या $b$ निकटतम निकटवर्ती संख्या के बराबर है, और इस प्रकार जालक ज्यामिति पर निर्भर करती है (एक आयामी जालक के लिए $b=2$, द्वि-आयामी षट्कोणीय जालक के लिए $b=6$ , और इसी प्रकार)। दो आयामों में, वेग चैनलों को $\mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त, तथाकथित "शेष चैनलों" की एक यादृच्छिक संख्या $a$ को परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि $\mathbf {c} _{i}=(0,0)$, $i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}$। चैनल को व्यस्त कहा जाता है यदि जालक स्थल में वेग चैनल के बराबर वेग वाला कण होता है। चैनल $\mathbf {c} _{i}$ का अधिकृत व्यवसाय संख्या $s_{i}$ द्वारा दर्शाया गया है। सामान्यतः, कणों को पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करना माना जाता है, जैसे कि से अधिक कण जालक स्थल पर ही वेग चैनल पर साथ अधिकृत नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति में, व्यवसाय संख्याएं बूलियन चर हैं, अर्थात $s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}$, और इस प्रकार, प्रत्येक साइट की अधिकतम वहन क्षमता $K=a+b$ होती है। चूंकि सभी चैनल व्यवसाय संख्याओं का संग्रह प्रत्येक जालक स्थल में कणों की संख्या और उनके वेग को परिभाषित करता है, इसलिए सदिश $\mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)$ जालक स्थल की स्थिति का वर्णन करता है, और अवस्था समष्टि ${\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}$ के द्वारा दिया जाता है।

नियम और मॉडल गतिशीलता

मॉडल की गतिशीलता को अनुकरण करने के लिए जालक में प्रत्येक स्थल की स्थिति को अलग-अलग समय चरणों में समकालिक रूप से अद्यतन किया जाता है। नियम को दो चरणों में बांटा गया है। संभाव्य अंतःक्रिया चरण कण अंतःक्रिया का अनुकरण करता है, जबकि नियतात्मक परिवहन चरण कण गति का अनुकरण करता है।

परस्पर क्रिया चरण

विशिष्ट अनुप्रयोग के आधार पर, परस्पर क्रिया चरण प्रतिक्रिया और/या पुनर्अभिविन्यास संक्रियकों से बना हो सकता है।

प्रतिक्रिया संचालिका ${\mathcal {A}}$ नोड की स्थिति $\mathbf {s}$ को प्रतिस्थापित करता है नवीन अवस्था $\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}$ के साथ मार्कोव श्रृंखला $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ का अनुसरण करते हुए है , जो प्रतिक्रियाशील प्रक्रिया पर निकटवर्ती कणों के प्रभाव का अनुकरण करने के लिए, निकटवर्ती जालक स्थल $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}$ की स्थिति पर निर्भर करता है। प्रतिक्रिया संक्रियक कण संख्या को संरक्षित नहीं करता है, इस प्रकार व्यक्तियों के जन्म और मृत्यु का अनुकरण करने की अनुमति देता है। प्रतिक्रिया संक्रियक की संक्रमण संभाव्यता को सामान्यतः घटनात्मक टिप्पणियों के रूप में तदर्थ रूप में परिभाषित किया जाता है।

पुनर्अभिविन्यास संक्रियक ${\mathcal {O}}$ भी संभाव्यता $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ के साथ एक अवस्था $\mathbf {s}$ को नवीन अवस्था $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ से प्रतिस्थापित करता है। यद्यपि, यह संक्रियक कण संख्या को संरक्षित करता है और इसलिए मात्र मॉडल वेग चैनलों के बीच कणों को पुनर्वितरित करके कण वेग में परिवर्तन करता है। इस संक्रियक के लिए संक्रमण की संभावना सांख्यिकीय अवलोकनों (अधिकतम कैलिबर के सिद्धांत का उपयोग करके) या ज्ञात एकल-कण गतिशीलता (पुनर्अभिविन्यास गतिशीलता का वर्णन करने वाले लैंग्विन समीकरण से संबंधित समीकरण फोककर-प्लैंक समीकरण द्वारा दिए गए विवेकाधीन, स्थिर-अवस्था कोणीय संभाव्यता वितरण का उपयोग करके) निर्धारित की जा सकती है, और सामान्यतः रूप

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$$

लेता है, जहां $Z$ सामान्यीकरण स्थिरांक है (जिसे विभाजन फलन (गणित) के रूप में भी जाना जाता है), $H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ ऊर्जा जैसा कार्य है जिसे कण अपनी गति की दिशा बदलते समय संभवतः न्यूनतम कर देंगे, $\beta$ कण पुनर्अभिविन्यास की यादृच्छिकता के विपरीत आनुपातिक स्वतंत्र पैरामीटर है (ऊष्मागतिकी में ऊष्मागतिक बीटा के अनुरूप), और $\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ क्रोनकर डेल्टा है जो उस कण संख्या $n\left(\mathbf {s} \right)$ को पहले सुनिश्चित करता है, और पुनर्अभिविन्यास $n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ के बाद अपरिवर्तित है।

प्रतिक्रिया और पुनर्अभिविन्यास संक्रियक को लागू करने वाला अवस्था परिणामी रूप $\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ से पश्चात-परस्पर क्रिया कॉन्फ़िगरेशन के रूप में जाना जाता है और इसे $\mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

File:Hexdynamics.png

जैव-एलजीसीए मॉडल की गतिशीलता। प्रत्येक समय चरण में, परस्पर क्रिया चरण के समय सभी जालक स्थलों में साथ प्रतिक्रिया और/या पुनर्संरचना संक्रियकों द्वारा व्यवसाय संख्याओं को प्रसंभात्य रूप से बदल दिया जाता है। इसके बाद, परिवहन चरण के समय, कणों को निश्चित रूप से उनके वेग चैनल की दिशा में निकटवर्ती नोड पर समान वेग चैनल पर ले जाया जाता है। रेखा-चित्र में वर्णों का उपयोग व्यक्तिगत नोड के कणों की गतिशीलता को ट्रैक करने के लिए किया जाता है। यह रेखा-चित्र कण-संरक्षण नियम (कोई प्रतिक्रिया संक्रियक नहीं) मानता है।

परिवहन चरण

परस्पर क्रिया चरण के पश्चात, नियतात्मक परिवहन चरण को सभी जालक स्थलों पर समकालिक रूप से लागू किया जाता है। परिवहन चरण जीवित जीवों के सक्रिय पदार्थ के कारण घटकों की गति को उनके वेग के अनुसार अनुकरण करता है।

इस चरण के समय, पश्चात-परस्पर क्रिया अवस्थाों की व्यवसाय संख्या को वेग चैनल की दिशा में निकटवर्ती जालक स्थल के ही चैनल के नवीन व्यवसाय अवस्थाों के रूप में परिभाषित किया जाएगा, अर्थात $s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )$।

एक नवीन समय चरण तब प्रारंभ होता है जब अन्तः क्रिया और परिवहन चरण दोनों घटित हो जाते हैं। इसलिए, जैव-एलजीसीए की गतिशीलता को प्रसंभात्य पुनरावृत्ति संबंध सूक्ष्मगतिकी समीकरण के रूप में संक्षेपित किया जा सकता है

$$s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$$

उदाहरण परस्पर क्रिया डायनेमिक्स

File:PalignLGCA.webm

ध्रुवीय झुंड का षट्कोणीय जैव-एलजीसीए मॉडल। इस मॉडल में, कोशिकाएं निकटवर्ती की गति के समानांतर होने के लिए अपने वेग को अधिमानतः बदलती हैं। वर्ण चक्र का अनुसरण करते हुए, जालक स्थलों को उनके अभिविन्यास के अनुसार रंगीन किया जाता है। खाली स्थलें सफेद होती हैं. आवधिक सीमा शर्तों का उपयोग किया गया।

प्रतिक्रिया और/या पुनर्अभिविन्यास संक्रियक के लिए संक्रमण संभावना को मॉडल किए गए प्रणाली को उचित रूप से अनुकरण करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। कुछ प्राथमिक परस्पर क्रिया और संबंधित संक्रमण संभावनाएं नीचे सूचीबद्ध हैं।

यादृच्छिक चलना

किसी बाहरी या आंतरिक उत्तेजना के अभाव में, कोशिकाएँ बिना किसी दिशात्मक प्राथमिकता के बेतरतीब ढंग से घूम सकती हैं। इस स्थिति में, पुनर्अभिविन्यास संक्रियक को संक्रमण संभावना के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}$$

File:BIOLGCAbarkley.webm

एक्स्थलेबल मीडिया का षट्कोणीय जैव-एलजीसीए मॉडल। इस मॉडल में, प्रतिक्रिया संक्रियक वेग चैनलों के भीतर कणों के तेजी से प्रजनन और शेष चैनलों के भीतर कणों की धीमी मृत्यु का पक्ष लेता है। विश्राम चैनलों में कण वेग चैनलों में कणों के प्रजनन को रोकते हैं। पुनर्अभिविन्यास संक्रियक पाठ में रैंडम वॉक संक्रियक है। जालक वाले समष्टि चमकीले वर्ण के होते हैं, जितने अधिक गतिशील कण मौजूद होते हैं। आराम करते हुए कण नहीं दिखाए गए हैं। आवधिक सीमा शर्तों का उपयोग किया गया।

जहां $Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$. ऐसी संक्रमण संभावना किसी भी पश्चात-पुनर्अभिविन्यास कॉन्फ़िगरेशन की अनुमति देती है $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ पूर्व-पुनर्अभिविन्यास विन्यास के समान कणों की संख्या के साथ $\mathbf {s}$, चुना जाना चाहिए असतत समान वितरण।

सरल जन्म एवं मृत्यु प्रक्रिया

यदि जीव अन्य व्यक्तियों से स्वतंत्र रूप से प्रजनन करते हैं और मर जाते हैं (सीमित वहन क्षमता को छोड़कर), तो साधारण जन्म/मृत्यु प्रक्रिया का अनुकरण किया जा सकता हैद्वारा दी गई संक्रमण संभावना के साथ

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]$$

जहां $r_{b},r_{d}\in [0,1]$, $r_{b}+r_{d}\leq 1$ क्रमशः जन्म और मृत्यु की संभावनाएँ निरंतर हैं, $\delta _{i,j}$ क्रोनेकर डेल्टा है जो यह सुनिश्चित करता है कि हर चरण पर मात्र जन्म/मृत्यु की घटना घटित हो, और $\Theta (x)$ हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है, जो यह सुनिश्चित करता है कि कण संख्या सकारात्मक हैं और वहन क्षमता से बंधी हैं $K$.

File:AdhLGCA.webm

चिपकने वाली परस्पर क्रिया करने वाली कोशिकाओं का वर्गाकार जैव-एलजीसीए मॉडल। कोशिकाएँ कोशिका घनत्व प्रवणता की दिशा में अधिमानतः चलती हैं। कोशिका घनत्व में वृद्धि के साथ जालकदार समष्टि गहरे नीले वर्ण से रंगे जाते हैं। खाली नोड को सफेद वर्ण में रंगा जाता है। आवधिक सीमा शर्तों का उपयोग किया जाता है।

चिपकने वाली अन्तः क्रिया

कोशिकाएं कोशिका की सतह पर कैडेरिन अणुओं द्वारा दूसरे से चिपक सकती हैं। कैडरिन परस्पर क्रिया कोशिकाओं को समुच्चय बनाने की अनुमति देता है। चिपकने वाले बायोमोलेक्युलस के माध्यम से सेल समुच्चय के गठन का मॉडल तैयार किया जा सकता है पुनर्अभिविन्यास संक्रियक द्वारा संक्रमण संभावनाओं के साथ परिभाषित किया गया है

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]$$

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अर्ध-जीवन के साथ विसरित रसायन-आकर्षक का उत्पादन करती हैं। कोशिकाएं अधिमानतः कीमोआकर्षक प्रवणता की दिशा में चलती हैं। जालकदार स्थानों को कोशिका घनत्व में वृद्धि के साथ गहरे नीले वर्ण के साथ और केमोआट्रैक्टेंट एकाग्रता में वृद्धि के साथ गहरे पीले वर्ण के वर्ण के साथ जोड़ा जाता है। खाली जालक वाले समष्टि सफेद वर्ण के होते हैं। आवधिक सीमा शर्तों का उपयोग किया गया।

जहां $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ अधिकतम सेल घनत्व की दिशा में इंगित करने वाला सदिश है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)$, जहां $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}$जालक स्थल का विन्यास है $\mathbf {r} '$ निकटवर्ती के भीतर ${\mathcal {N}}$, और $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ पश्चात-रीओरिएंटेशन कॉन्फ़िगरेशन की गति है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}$. यह संक्रमण संभावना सेल घनत्व ढाल की ओर बढ़ने वाली कोशिकाओं के साथ पश्चात-रीओरिएंटेशन कॉन्फ़िगरेशन का पक्ष लेती है।

गणितीय विश्लेषण

चूंकि सभी घटकों के बीच उच्च-क्रम सहसंबंध और निर्भरता के कारण प्रसंभात्य घटक-आधारित मॉडल का सटीक उपचार जल्दी ही असंभव हो जाता है, बीआईओ-एलजीसीए मॉडल का विश्लेषण करने की सामान्य विधि इसे जनसंख्या की अपेक्षित मूल्य गतिशीलता का वर्णन करने वाले अनुमानित, नियतात्मक पुनरावृत्ति संबंध (एफडीई) में डालना है, फिर इस अनुमानित मॉडल का गणितीय विश्लेषण करना और परिणामों की तुलना मूल से करना है बायो-एलजीसीए मॉडल।

सबसे पहले, सूक्ष्मगतिकील समीकरण का अपेक्षित मूल्य $s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$ प्राप्त होना

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$$

जहां $\langle \cdot \rangle$ अपेक्षित मूल्य को दर्शाता है, और $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ का अपेक्षित मूल्य है $m$-वें चैनल पर जालक स्थल का व्यवसाय क्रमांक $\mathbf {r}$ समय चरण पर $k$. यद्यपि, दाईं ओर शब्द, $\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ दोनों जालक स्थल की व्यवसाय संख्या पर अत्यधिक अरैखिक है $\mathbf {r}$ और अंतःक्रिया निकटवर्ती के भीतर जालक स्थल ${\mathcal {N}}$, संक्रमण संभावना के रूप के कारण $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ और वेग चैनलों के भीतर कण प्लेसमेंट के आँकड़े (उदाहरण के लिए, चैनल व्यवसायों पर लगाए गए बहिष्करण सिद्धांत से उत्पन्न)। इस गैर-रैखिकता के परिणामस्वरूप इसमें सम्मिलित सभी चैनल व्यवसायों के बीच उच्च-क्रम सहसंबंध और क्षण होंगे। इसके अतिरिक्त, सामान्यतः माध्य-क्षेत्र सन्निकटन मान लिया जाता है, जिसमें सभी सहसंबंधों और उच्च क्रम के क्षणों की उपेक्षा की जाती है, जैसे कि प्रत्यक्ष कण-कण परस्पर क्रिया को संबंधित अपेक्षित मूल्यों के साथ परस्पर क्रिया द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ यादृच्छिक चर हैं, और $F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ तो फिर, यह फ़ंक्शन है$\left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)$ इस सन्निकटन के तहत. इस प्रकार, हम समीकरण को सरल बना सकते हैं

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$$

जहां ${\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$ अपेक्षित जालक स्थल कॉन्फ़िगरेशन का अरेखीय कार्य है $\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)$ और अपेक्षित निकटवर्ती विन्यास $\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)$ संक्रमण संभावनाओं और इन-नोड कण सांख्यिकी पर निर्भर।

इस अरेखीय FDE से, कोई कई सजातीय संतुलन बिंदु, या स्थिरांक की पहचान कर सकता है ${\bar {f}}_{m}$ स्वतंत्र $\mathbf {r}$ और $k$ जो एफडीई के समाधान हैं। इन स्थिर अवस्थाओं की स्थिरता स्थितियों और मॉडल की पैटर्न निर्माण क्षमता का अध्ययन करने के लिए, रैखिक स्थिरता का प्रदर्शन किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, अरेखीय FDE को इस प्रकार रैखिकीकृत किया जाता है

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)$$

जहां $\mathrm {ss}$ सजातीय स्थिर अवस्था को दर्शाता है $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}$, और वॉन न्यूमैन निकटवर्ती मान लिया गया था। इसे मात्र अस्थायी वृद्धि के साथ अधिक परिचित परिमित अंतर समीकरण में डालने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ अलग फूरियर रूपांतरण लागू किया जा सकता है। असतत फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म#शिफ्ट प्रमेय को लागू करने और बाईं ओर अस्थायी वृद्धि के साथ शब्द को अलग करने के बाद, व्यक्ति को जालक-बोल्ट्ज़मैन समीकरण प्राप्त होता है

$${\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}$$

जहां $i={\sqrt {-1}}$ काल्पनिक इकाई है, $L$ आयाम के साथ जालक का आकार है, $\mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$ फूरियर वेवनंबर है, और ${\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}$ असतत फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। मैट्रिक्स नोटेशन में, इस समीकरण को सरल बनाया गया है ${\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)$, जहां मैट्रिक्स $\Gamma$ बोल्ट्ज़मैन प्रचारक कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$\Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right].$$

आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनसदिश्स $\lambda \left(\mathbf {q} \right)$ बोल्ट्ज़मैन प्रचारक स्थिर अवस्था की स्थिरता गुणों को निर्देशित करते हैं:

• अगर $\left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1$, जहां $|\cdot |$ जटिल संख्या#ध्रुवीय जटिल तल को दर्शाता है, फिर तवर्ण संख्या के साथ गड़बड़ी $\mathbf {q}$ समय के साथ बढ़ें. अगर $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1$, और $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$, फिर तवर्ण संख्या के साथ गड़बड़ी $\mathbf {q} _{\mathrm {max} }$ हावी हो जाएगा और स्पष्ट तवर्ण दैर्ध्य वाले पैटर्न देखे जाएंगे। अन्यथा, स्थिर स्थिति स्थिर है और कोई भी गड़बड़ी क्षय हो जाएगी।
• अगर $\mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0$, जहां $\mathrm {arg} (\cdot )$ सम्मिश्र संख्या#ध्रुवीय सम्मिश्र तल को दर्शाता है, तब विक्षोभ का परिवहन होता है और गैर-स्थिर जनसंख्या व्यवहार देखा जाता है। अन्यथा, जनसंख्या स्थूल स्तर पर स्थिर दिखाई देगी।

अनुप्रयोग

जैविक घटनाओं के अध्ययन के लिए बीआईओ-एलजीसीए के निर्माण में मुख्य रूप से परस्पर क्रिया संक्रियक के लिए उचित संक्रमण संभावनाओं को परिभाषित करना सम्मिलित है, हालांकि अवस्था समष्टि की सटीक परिभाषा (उदाहरण के लिए कई कोशिकीय फेनोटाइप पर विचार करने के लिए), सीमा की स्थिति (सीमित परिस्थितियों में मॉडलिंग घटना के लिए) , निकटवर्ती (मात्रात्मक रूप से प्रयोगात्मक परस्पर क्रिया रेंज से मेल खाने के लिए), और वहन क्षमता (दिए गए सेल आकार के लिए भीड़ प्रभाव का अनुकरण करने के लिए) विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हो सकते हैं। जबकि पुनर्अभिविन्यास संक्रियक का वितरण उपरोक्त सांख्यिकीय और बायोफिजिकल तरीकों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रतिक्रिया संक्रियकों के वितरण का अनुमान इन विट्रो प्रयोगों के आंकड़ों से लगाया जा सकता है। जैव-एलजीसीए मॉडल का उपयोग कई कोशिकीय, बायोफिजिकल और चिकित्सा घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया गया है। कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

• एंजियोजिनेसिस : एंजियोजेनेसिस के समय सम्मिलित प्रक्रियाओं और उनके वजन को निर्धारित करने के लिए एंडोथेलियल कोशिकाओं और बीआईओ-एलजीसीए सिमुलेशन वेधशालाओं के साथ इन विट्रो प्रयोग की तुलना की गई। उन्होंने पाया कि आसंजन, संरेखण, संपर्क मार्गदर्शन और कोशिकी साँचा रीमॉडलिंग सभी एंजियोजेनेसिस में सम्मिलित हैं, जबकि लंबी दूरी की अन्तः क्रिया प्रक्रिया के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।
• सक्रिय तरल पदार्थ: ध्रुवीय संरेखण परस्पर क्रिया के माध्यम से अन्तः क्रिया करने वाले कणों की आबादी के स्थूल भौतिक गुणों की जांच जैव-एलजीसीए मॉडल का उपयोग करके की गई थी। यह पाया गया कि प्रारंभिक कण घनत्व और अंतःक्रिया शक्ति बढ़ने से दूसरे क्रम के चरण में सजातीय, अव्यवस्थित अवस्था से क्रमबद्ध, प्रतिरूपित, गतिमान अवस्था में संक्रमण होता है।
• महामारी विज्ञान: स्थानिक एसआईआर मॉडल बीआईओ-एलजीसीए मॉडल का उपयोग विभिन्न टीकाकरण रणनीतियों के प्रभाव और गैर-स्थानिक मॉडल के साथ स्थानिक महामारी का अनुमान लगाने के प्रभाव का अध्ययन करने के लिए किया गया था। उन्होंने पाया कि बाधा-प्रकार की टीकाकरण रणनीतियाँ स्थानिक रूप से समान टीकाकरण रणनीतियों की तुलना में बहुत अधिक प्रभावी हैं। इसके अलावा, उन्होंने पाया कि गैर-स्थानिक मॉडल संक्रमण की दर को बहुत अधिक आंकते हैं।
• सेल जैमिंग (भौतिकी): स्तन कैंसर में रूप-परिवर्तन व्यवहार का अध्ययन करने के लिए इन विट्रो और बायो-एलजीसीए मॉडल का उपयोग किया गया था। बीआईओ-एलजीसीए मॉडल से पता चला कि मेटास्टेसिस अलग-अलग व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है, जैसे कि यादृच्छिक गैस जैसा, जाम ठोस जैसा, और सहसंबद्ध तरल पदार्थ जैसी स्थिति, जो कोशिकाओं के बीच चिपकने के स्तर, ईसीएम घनत्व और सेल-ईसीएम परस्पर क्रिया पर निर्भर करता है।

बाहरी संबंध

• जैव-एलजीसीए Simulator - An online simulator with elementary interactions with personalizable parameter values.
• जैव-एलजीसीए Python Package - An open source Python package for implementing जैव-एलजीसीए model simulations.