मोयल प्रोडक्ट: Difference between revisions

Revision as of 20:19, 1 December 2023

गणित में, मोयल प्रोडक्ट (जोस एनरिक मोयल के पश्चात; जिसे हरमन वेइल और हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड के पश्चात स्टार प्रोडक्ट या वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है) चरण-अंतरिक्ष स्टार प्रोडक्ट का इंटेग्रल उदाहरण है। यह इंटेग्रल सहयोगी, नॉन-कम्यूटेटिव प्रोडक्ट है, ★, $ℝ 2 n$ कार्यों पर, इसके पॉइसन ब्रैकेट से सुसज्जित है (स्यम्प्लेटिक मैनिफोल्ड्स के सामान्यीकरण के साथ, नीचे वर्णित है)। यह सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के "प्रतीकों के बीजगणित" के ★-प्रोडक्ट का विशेष केस है।

ऐतिहासिक टिप्पणियाँ

मोयल प्रोडक्ट का नाम जोस एनरिक मोयल के नाम पर रखा गया है, किंतु कभी-कभी इसे हरमन वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है क्योंकि इसे एचजे ग्रोएनवॉल्ड ने अपने 1946 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में वेइल पत्राचार की तीव्र सराहना में प्रस्तुत किया था। ^[1]ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल को वास्तव में अपने प्रसिद्ध लेख में प्रोडक्ट के बारे में ज्ञात नहीं था^[2] और डिराक के साथ उनके प्रसिद्ध पत्राचार में इसका अत्यंत अभाव था। ^[3] जैसा कि उनकी जीवनी में दर्शाया गया है। ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल के नाम पर लोकप्रिय नामकरण उनके फ्लैट चरण-अंतरिक्ष परिमाणीकरण चित्र के सम्मान में, 1970 के दशक में ही उभरा था।^[4]

परिभाषा

$ℝ 2 n$ पर सुचारू कार्य $f$ और $g$ के लिए प्रोडक्ट रूप लेता है

f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),

जहां प्रत्येक

C n

निम्नलिखित गुणों द्वारा विशेषता क्रम

n

का निश्चित द्विविभेदक ऑपरेटर है (स्पष्ट सूत्र के लिए नीचे देखें):

$f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar ),$ बिंदुवार प्रोडक्ट का विरूपण उपरोक्त सूत्र में निहित है।
$f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\},$ पॉइसन ब्रैकेट का विरूपण, जिसे मोयल ब्रैकेट कहा जाता है।
$f\star 1=1\star f=f,$ अविकृत बीजगणित का 1 नये बीजगणित में पहचान है।
${\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}},$ जटिल संयुग्म इंटेग्रल एंटीलिनियर एंटीऑटोमोर्फिज्म है।

ध्यान दें, यदि कोई वास्तविक संख्याओं में मान वाले फ़ंक्शन लेना चाहता है, तो इंटेग्रल वैकल्पिक वर्जन दूसरी स्थिति में $i$ को विस्थापित कर देता है और चौथी स्थिति को समाप्त कर देता है।

यदि कोई बहुपद कार्यों को प्रतिबंधित करता है, तो उपरोक्त बीजगणित वेइल बीजगणित $A n$ के लिए आइसोमोर्फिक है, और दोनों $n$ चर (या आयाम $2 n$ के सदिश स्थान के सममित बीजगणित) में बहुपद के स्थान के विग्नर-वेइल परिवर्तन की वैकल्पिक प्राप्ति को प्रस्तुत करते हैं।

स्पष्ट सूत्र प्रदान करने के लिए, इंटेग्रल स्थिर पॉइसन बायवेक्टर पर विचार करें $Π$ पर $ℝ 2 n$ :

\Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},

जहाँ

Π ij

प्रत्येक के लिए इंटेग्रल वास्तविक संख्या है

i, j

. दो कार्यों का स्टार प्रोडक्ट

f

और

g

को फिर उन दोनों पर कार्य करने वाले छद्म-विभेदक ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,

f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,

जहाँ

ħ

घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, जिसे यहां औपचारिक पैरामीटर के रूप में माना जाता है।

यह इंटेग्रल विशेष मामला है जिसे सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है^[5] प्रतीकों के बीजगणित पर और इसे इंटेग्रल बंद रूप दिया जा सकता है^[6] (जो बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से अनुसरण करता है)। मैट्रिक्स घातांक का उपयोग करके बंद फॉर्म प्राप्त किया जा सकता है:

f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),

जहाँ

m

गुणन मानचित्र है,

m (a \otimes b) = ab

, और घातांक को इंटेग्रल घात श्रृंखला के रूप में माना जाता है,

e^{A} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 11: / Line 11: @@
 <math display="block">f \star g = fg + \sum_{n=1}^\infty \hbar^n C_n(f,g),</math>
 जहां प्रत्येक {{mvar|C<sub>n</sub>}} निम्नलिखित गुणों द्वारा विशेषता क्रम {{mvar|n}} का निश्चित द्विविभेदक ऑपरेटर है (स्पष्ट सूत्र के लिए नीचे देखें):
-* <math>f \star g = fg + \mathcal O(\hbar),</math> बिंदुवार प्रोडक्ट का विरूपण - उपरोक्त सूत्र में निहित है।
+* <math>f \star g = fg + \mathcal O(\hbar),</math> बिंदुवार प्रोडक्ट का विरूपण उपरोक्त सूत्र में निहित है।
 * <math>f \star g - g \star f = i\hbar\{f,g\} + \mathcal O(\hbar^3) \equiv i\hbar \{\{f,g\}\},</math> पॉइसन ब्रैकेट का विरूपण, जिसे [[मोयल ब्रैकेट]] कहा जाता है।
-* <math>f \star 1 = 1 \star f = f,</math> अविकृत बीजगणित का 1 नये बीजगणित में भी पहचान है।
+* <math>f \star 1 = 1 \star f = f,</math> अविकृत बीजगणित का 1 नये बीजगणित में पहचान है।
 * <math>\overline{f \star g} = \overline{g} \star \overline{f},</math> जटिल संयुग्म इंटेग्रल एंटीलिनियर एंटीऑटोमोर्फिज्म है।
-ध्यान दें, यदि कोई [[वास्तविक संख्या]]ओं में मान वाले फ़ंक्शन लेना चाहता है, तो इंटेग्रल वैकल्पिक संस्करण इसे समाप्त कर देता है {{mvar|i}} दूसरी स्थिति में और चौथी स्थिति को समाप्त कर देता है।
+ध्यान दें, यदि कोई [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] में मान वाले फ़ंक्शन लेना चाहता है, तो इंटेग्रल वैकल्पिक वर्जन दूसरी स्थिति में {{mvar|i}} को विस्थापित कर देता है और चौथी स्थिति को समाप्त कर देता है।
-यदि कोई बहुपद कार्यों तक सीमित है, तो उपरोक्त बीजगणित [[वेइल बीजगणित]] के समरूपी है {{mvar|A<sub>n</sub>}}, और दोनों बहुपदों के स्थान के विग्नर-वेइल परिवर्तन की वैकल्पिक प्राप्ति की प्रस्तुतकश करते हैं {{mvar|n}} चर (या आयाम के सदिश स्थान का [[सममित बीजगणित]] {{math|2''n''}}).
+यदि कोई बहुपद कार्यों को प्रतिबंधित करता है, तो उपरोक्त बीजगणित [[वेइल बीजगणित]] {{mvar|A<sub>n</sub>}} के लिए आइसोमोर्फिक है, और दोनों {{mvar|n}} चर (या आयाम {{math|2''n''}} के सदिश स्थान के [[सममित बीजगणित]]) में बहुपद के स्थान के विग्नर-वेइल परिवर्तन की वैकल्पिक प्राप्ति को प्रस्तुत करते हैं।
-इंटेग्रल स्पष्ट सूत्र प्रदान करने के लिए, इंटेग्रल स्थिर [[पॉइसन बायवेक्टर]] पर विचार करें  {{math|Π}} पर {{math|ℝ<sup>2''n''</sup>}}:
+स्पष्ट सूत्र प्रदान करने के लिए, इंटेग्रल स्थिर [[पॉइसन बायवेक्टर]] पर विचार करें  {{math|Π}} पर {{math|ℝ<sup>2''n''</sup>}}:
 <math display="block">\Pi = \sum_{i,j} \Pi^{ij} \partial_i \wedge \partial_j,</math>
 जहाँ {{math|Π<sup>''ij''</sup>}} प्रत्येक के लिए इंटेग्रल वास्तविक संख्या है {{mvar|''i'', ''j''}}.

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