रिक्की वक्रता: Difference between revisions

[[विभेदक ज्यामिति]] में '''रिक्की वक्रता''' टेंसर को मुख्य रूप से जिसका नाम [[ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो]] के नाम पर रखा गया है, यह एक प्रकार से ज्यामितीय से जुड़ा ऐसा तत्व है, जो [[ कई गुना |कई गुना]] हो जाने पर [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक की आवश्यकता से निर्धारित होती है। मुख्य रूप से इसे उस डिग्री के माप के रूप में माना जाता है, जिस तक किसी दिए गए मीट्रिक टेंसर की ज्यामिति सामान्य [[स्यूडो-[[यूक्लिडियन स्थान]]]] या स्यूडो-यूक्लिडियन स्थान से स्थानीय रूप से भिन्न होती है।

रिक्की टेंसर को इस माप से पहचाना जा सकता है कि स्थान में [[जियोडेसिक]] के साथ चलते समय आकृति कैसे विकृत हो जाती है। [[सामान्य सापेक्षता]] में, जिसमें स्यूडो-रिमानियन सेटिंग उपस्थित है, यह रायचौधुरी समीकरण में रिक्की टेंसर की उपस्थिति से परिलक्षित होता है। इसे आंशिक रूप से इसी कारण आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों के प्रस्ताव पर आधारित किया गया है, क्योंकि स्पेसटाइम को स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें रिक्की टेंसर और ब्रह्मांड के लिए पदार्थों के बीच आश्चर्यजनक सरल संबंध स्थापित हो जाता है।

मीट्रिक टेंसर के समान, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक [[स्पर्शरेखा स्थान]] को [[सममित द्विरेखीय रूप]]  {{harv|बेसे|1987|p=43}} प्रदान करता है।<ref>Here it is assumed that the manifold carries its unique [[Levi-Civita connection]]. For a general [[affine connection]], the Ricci tensor need not be symmetric.</ref> मुख्य रूप से कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में [[लाप्लास ऑपरेटर]] की भूमिका के अनुरूप बनाता है, इस सादृश्य में [[रीमैन वक्रता टेंसर]], जिसमें से रिक्की वक्रता प्राकृतिक उप-उत्पाद है, फलन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण आव्यूह के अनुरूप होगा। चूंकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।

[[ निम्न-आयामी टोपोलॉजी |निम्न-आयामी टोपोलॉजी]] या थ्री-डायमेंशनल टोपोलॉजी में, रिक्की टेंसर में वह सारी जानकारी होती है जो उच्च आयामों में अधिक जटिल रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा एन्कोड की जाती है। इसकी कुछ सीमा तक यह स्थिति कई ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसके कारण रिचर्ड एस हैमिल्टन और [[ग्रिगोरी पेरेलमैन]] के काम के माध्यम से पोंकारे अनुमान का हल प्राप्त हुआ हैं।

रिक्की टेंसर का सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों [[शिंग-तुंग याउ]] और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास होने के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग सदैव रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।

2007 में, [[जॉन लोट (गणितज्ञ)]], [[कार्ल-थियोडोर स्टर्म]] और [[सेड्रिक विलानी]] ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूर्ण रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक स्थान संरचना के साथ-साथ इसके आयतन प्रारूप के संदर्भ में समझा जा सकता है।<ref>{{cite arXiv|last1=Lott|first1=John|last2=Villani|first2=Cedric|date=2006-06-23|title=इष्टतम परिवहन के माध्यम से मीट्रिक-माप स्थानों के लिए रिक्की वक्रता|eprint=math/0412127}}</ref> इसने रिक्की वक्रता और [[वासेरस्टीन मीट्रिक]] और [[परिवहन सिद्धांत (गणित)]] के बीच गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान समय में बहुत शोध का विषय है।

इसके कारण ऐसा लगता है कि <math>\left( M, g \right)</math> <math>n</math>आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड से सुसज्जित होने के कारण [[लेवी-सिविटा कनेक्शन]] <math>\nabla</math> के साथ [[रीमैनियन वक्रता टेंसर]] <math>M</math> का ऐसा नक्शा है, जो सहज सदिश क्षेत्र <math>X</math>, <math>Y</math>, और <math>Z</math> को उपयोग करता है और इसी के आधार पर सदिश क्षेत्र लौटाता है।<math display="block">R(X,Y)Z := \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z</math>[[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] पर <math>X, Y, Z</math>. तब से <math>R</math> के लिए टेंसर क्षेत्र है, जिसे प्रत्येक बिंदु <math>p \in M</math>, यह (बहुरेखीय) मानचित्र को जन्म देता है:<math display="block">\operatorname{R}_p:T_pM\times T_pM\times T_pM\to T_pM.</math>प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करता हैं, इस प्रकार <math>p \in M</math> वो नक्शा <math>\operatorname{Ric}_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}</math> से प्रदर्शित होता हैं।<math display="block">\operatorname{Ric}_p(Y,Z) := \operatorname{tr}\big(X\mapsto \operatorname{R}_p(X,Y)Z\big).</math>अर्ताथ यहाँ पर तय किया जा सकता है कि <math>Y</math> और <math>Z</math> किसी भी आधार पर इस प्रकार प्रदर्शित होगा।

 

<math>v_1, \ldots, v_n</math> सदिश स्थान का <math>T_p M</math> के लिए इस प्रकार होगा।<math display="block">\operatorname{Ric}_p(Y,Z) = \sum_{i=1} \langle\operatorname{R}_p(v_i, Y) Z, v_i \rangle.</math>

यह विविध रैखिक का मानक अभ्यास है, यहाँ पर बीजगणित यह सत्यापित करने के लिए कि इस परिभाषा के आधार के रूप पर निर्भर नहीं करती है

यहां हम यह कह सकते हैं कि <math>-R(X,Y)Z;</math> के समान हैं, जिसे फिर से परिभाषित करना पड़ता हैं। इस प्रकार <math>\operatorname{Ric}_p</math> के लिए जैसे <math>-\operatorname{tr}(X\mapsto \operatorname{R}_p(X,Y)Z).</math> रीमैन टेंसर के बारे में संकेत परंपराएं भिन्न हैं, अपितु वे इसके लिए भिन्न रूप में नहीं हैं।

===समतल मैनिफोल्ड पर स्थानीय निर्देशांक के माध्यम से परिभाषा===

<math>\left( M, g \right)</math> समतल रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें या स्यूडो-रिमानियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रिमानियन <math>n</math>-कई गुना होने के साथ एक सहज चार्ट <math>\left( U, \varphi \right)</math> दिया गया हैं, जिसके लिए फलन <math>g_{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> हैं। प्रत्येक <math>g^{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> के लिए <math>i, j = 1, \ldots, n</math> के यह मान संतुष्ट करता है।<math display="block">

यहाँ पर सभी <math>x \in \varphi(U)</math> के लिए यह उत्तरार्द्ध मान दिखाता है कि इसे आव्यूह, <math>g^{ij}(x) = (g^{-1})_{ij}(x)</math> के रूप में व्यक्त किया गया हैं। इस प्रकार फलन <math>g_{ij}</math> के मूल्यांकन के लिए इसे <math>g</math> पर परिभाषित किया जाता है, सदिश क्षेत्रों का समन्वय करें, जबकि फलन <math>g^{ij}</math> इस प्रकार परिभाषित किया गया है, इस प्रकार आव्यूह के इसे मान के लिए फलन के रूप में वे आव्यूह-वैल्यू का व्युत्क्रम फलन <math>x \mapsto g_{ij}(x)</math> प्रदान करते हैं।

मानचित्र <math>\varphi: U \rightarrow \mathbb{R}</math> के रूप में <math>\left( U, \varphi \right)</math> और <math>\left( V, \psi \right)</math> के साथ दो सहज चार्ट <math>U \cap V \neq \emptyset</math> बनाये जाते हैं, माना कि <math>R_{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> चार्ट के माध्यम से उपरोक्त फलन <math>\left( U, \varphi \right)</math>  की गणना करें, और <math>r_{ij}: \psi(V) \rightarrow \mathbb{R}</math> चार्ट के माध्यम से उपरोक्त फलन <math>\left( V, \psi \right)</math> की गणना करें। फिर कोई श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम के साथ गणना करके जांच कर सकता है।<math display="block">

R_{ij}(x) = \sum_{k,l=1}^n r_{kl}\left(\psi\circ\varphi^{-1}(x)\right)D_i\Big|_x \left(\psi\circ\varphi^{-1}\right)^kD_j\Big|_x \left(\psi\circ\varphi^{-1}\right)^l.

<math display="block">

(X, Y) \in T_p M \times T_p M \mapsto \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \sum_{i,j=1}^n R_{ij}(\varphi(x))X^i(p)Y^j(p),

जहाँ <math>X^1, \ldots, X^n</math> और <math>Y^1, \ldots, Y^n</math> हैं, स्पर्शरेखा सदिशों के घटक <math>p</math> में <math>X</math> और <math>Y</math> के सापेक्ष समन्वय सदिश क्षेत्र <math>\left( U, \varphi \right)</math> है।

सभी के लिए <math>X,Y\in T_pM.</math>  

 

इस प्रकार यह रैखिक-बीजगणितीय रूप से अनुसरण करता है कि रिक्की टेंसर पूर्ण रूप से निर्धारित है, यह मात्रा जानकर <math>\operatorname{Ric}(X, X)</math> सभी वैक्टर के लिए इस प्रकार हैं। <math>X</math> इकाई लंबाई का. इकाई स्पर्शरेखा सदिशों के सेट पर यह फलन इसे अधिकांशतः रिक्की वक्रता भी कहा जाता है, क्योंकि इसे जानना इसके बराबर है जैसे कि रिक्की वक्रता टेंसर को जानना इसका विषय हैं।

 

 

इस प्रकार, यदि रिक्की वक्रता <math>\operatorname{Ric}(\xi, \xi)</math> धनात्मक है। एक सदिश की दिशा में <math>\xi</math>, शंक्वाकार क्षेत्र में <math>M</math> लंबाई के जियोडेसिक खंडों के कसकर केंद्रित परिवार द्वारा बह गया हैं। <math>\varepsilon</math> से निकलना <math>p</math>, अंदर प्रारंभिक वेग के साथ जिसके बारे में छोटा सा <math>\xi</math> शंकु हैं, जिसके संगत की तुलना में छोटी मात्रा होगी। यूक्लिडियन स्थान में शंक्वाकार क्षेत्र, कम से कम यह प्रदान करता हैं कि <math>\varepsilon</math> को पर्याप्त रूप से छोटा माना जाता है, इसी प्रकार यदि रिक्की वक्रता ऋणात्मक है, जो किसी दिए गए सदिश की दिशा <math>\xi</math> के लिए अनेक गुना में ऐसा शंक्वाकार क्षेत्र हैं, इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन स्थान की तुलना में इसका आयतन बड़ा होगा।

रिक्की वक्रता अनिवार्य रूप से विमानों में वक्रता का औसत <math>\xi</math> है, इस प्रकार यदि शंकु प्रारंभ में गोलाकार (या गोलाकार) से उत्सर्जित होता है, क्रॉस-सेक्शन दीर्घवृत्त (दीर्घवृत्त) में विकृत हो जाता है, यह संभव है कि यदि विकृतियाँ साथ में हों तो आयतन विरूपण विलुप्त हो जाए। [[प्रधान अक्ष प्रमेय]] दूसरे का प्रतिकार करते हैं। रिक्की वक्रता <math>\xi</math> पुनः विलुप्त हो जाएगी। भौतिक अनुप्रयोगों में एक गैर-लुप्त अनुभागीय वक्रता की उपस्थिति आवश्यक रूप से इसका संकेत नहीं देती है, स्थानीय स्तर पर किसी द्रव्यमान की उपस्थिति, यदि शंकु का आरंभिक वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट है, विश्व रेखाओं का आयतन बदले बिना बाद में अण्डाकार हो जाता है, यह किसी अन्य स्थान पर द्रव्यमान से उत्पन्न ज्वारीय प्रभाव के कारण है।

यदि मीट्रिक <math>g</math> इसे अनुरूप कारक से गुणा करके परिवर्तित किया जाता है, {{harv|बेस्से|1987|p=59}} द्वारा <math>e^{2f}</math> के लिए नए अनुरूप को इससे संबंधित मीट्रिक रिक्की टेंसर के रूप में <math>\tilde{g} = e^{2f} g</math> दिया हुआ है। <math display="block">\widetilde{\operatorname{Ric}}=\operatorname{Ric}+(2-n)\left[ \nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f -(n-2)\|df\|^2\right]g ,</math>

जहाँ <math>\operatorname{Ric}</math> और <math>R</math> रिक्की वक्रता को निरूपित करें, और अदिश वक्रता <math>g</math>. इस वस्तु का नाम दर्शाता है, इसका तथ्य यह है कि इसका [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] स्वचालित रूप <math>\operatorname{tr}_gZ\equiv g^{ab}Z_{ab} = 0.</math> से विलुप्त हो जाता है, चूंकि यह काफी है कि महत्वपूर्ण टेंसर के लिए यह रिक्की टेंसर के ऑर्थोगोनल अपघटन को दर्शाता है।

काहलर मैनिफोल्ड पर <math>X</math>, रिक्की वक्रता निर्धारित करती है, इस प्रकार [[विहित बंडल]] का [[वक्रता रूप]] हैं। {{harv|मोरोजानू|2007|loc=अध्याय 12}} के लिए कैनोनिकल लाइन बंडल शीर्ष पर है, होलोमोर्फिक काहलर डिफरेंशियल के बंडल की [[बाहरी शक्ति]] इस प्रकार होगी:<math display="block">

</math>लेवी-सिविटा कनेक्शन मीट्रिक के अनुरूप है <math>X</math> देता है, जिसके कारण इस संयोजन के लिए <math>\kappa</math>.को इस संबंध की वक्रता है, जिसके द्वारा परिभाषित 2-रूप का हैं।

 

 

इसके विपरीत, रिक्की प्रारूप रिक्की टेंसर को निर्धारित करता है