रिक्की वक्रता: Difference between revisions

मीट्रिक टेंसर के समान, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक [[स्पर्शरेखा स्थान]] को [[सममित द्विरेखीय रूप]]  {{harv|Besse|1987|p=43}} प्रदान करता है।<ref>Here it is assumed that the manifold carries its unique [[Levi-Civita connection]]. For a general [[affine connection]], the Ricci tensor need not be symmetric.</ref> मुख्य रूप से कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में [[लाप्लास ऑपरेटर]] की भूमिका के अनुरूप बना सकता है, इस सादृश्य में, [[रीमैन वक्रता टेंसर]], जिसमें से रिक्की वक्रता प्राकृतिक उप-उत्पाद है, फलन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण आव्यूह के अनुरूप होगा। चूंकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।

[[ निम्न-आयामी टोपोलॉजी |निम्न-आयामी टोपोलॉजी]] या थ्री-डायमेंशनल टोपोलॉजी में, रिक्की टेंसर में वह सारी जानकारी होती है जो उच्च आयामों में अधिक जटिल रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा एन्कोड की जाती है। कुछ सीमा तक, यह स्थिति कई ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसके कारण रिचर्ड एस हैमिल्टन और [[ग्रिगोरी पेरेलमैन]] के काम के माध्यम से पोंकारे अनुमान का समाधान प्राप्त हुआ हैं।

रिक्की टेंसर का सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों [[शिंग-तुंग याउ]] (और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास) के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग सदैव रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।

2007 में, [[जॉन लोट (गणितज्ञ)]], [[कार्ल-थियोडोर स्टर्म]] और [[सेड्रिक विलानी]] ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूर्ण रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक स्पेस संरचना के साथ-साथ इसके वॉल्यूम फॉर्म के संदर्भ में समझा जा सकता है।<ref>{{cite arXiv|last1=Lott|first1=John|last2=Villani|first2=Cedric|date=2006-06-23|title=इष्टतम परिवहन के माध्यम से मीट्रिक-माप स्थानों के लिए रिक्की वक्रता|eprint=math/0412127}}</ref> इसने रिक्की वक्रता और [[वासेरस्टीन मीट्रिक]] और [[परिवहन सिद्धांत (गणित)]] के बीच गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान में बहुत शोध का विषय है।

इसके कारण लगता है कि <math>\left( M, g \right)</math> <math>n</math>आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड से सुसज्जित होने के कारण [[लेवी-सिविटा कनेक्शन]] <math>\nabla</math> के साथ [[रीमैनियन वक्रता टेंसर]] <math>M</math> का नक्शा है, जो सहज वेक्टर क्षेत्र <math>X</math>, <math>Y</math>, और <math>Z</math> को उपयोग करता है और वेक्टर क्षेत्र लौटाता है।<math display="block">R(X,Y)Z := \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z</math>[[वेक्टर फ़ील्ड|वेक्टर क्षेत्र]] पर <math>X, Y, Z</math>. तब से <math>R</math> के लिए टेंसर क्षेत्र है, जिसे प्रत्येक बिंदु <math>p \in M</math>, यह (बहुरेखीय) मानचित्र को जन्म देता है:<math display="block">\operatorname{R}_p:T_pM\times T_pM\times T_pM\to T_pM.</math>प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करें, <math>p \in M</math> वो नक्शा <math>\operatorname{Ric}_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}</math> से प्रदर्शित होता हैं।<math display="block">\operatorname{Ric}_p(Y,Z) := \operatorname{tr}\big(X\mapsto \operatorname{R}_p(X,Y)Z\big).</math>अर्ताथ तय कर लिया गया है कि <math>Y</math> और <math>Z</math>, फिर किसी भी आधार के लिए इस प्रकार प्रदर्शित होगा।

  <math>v_1, \ldots, v_n</math> सदिश स्थान का <math>T_p M</math> के लिए इस प्रकार होगा।<math display="block">\operatorname{Ric}_p(Y,Z) = \sum_{i=1} \langle\operatorname{R}_p(v_i, Y) Z, v_i \rangle.</math>

यह (मल्टी) लीनियर का मानक अभ्यास है, यहाँ पर बीजगणित यह सत्यापित करने के लिए कि इस परिभाषा के आधार के रूप पर निर्भर नहीं करती है

स्यूडो सूचकांक संकेतन में,<math display="block">\mathrm{Ric}_{ab} = \mathrm{R}^{c}{}_{bca} = \mathrm{R}^{c}{}_{acb}. </math>

<math>\left( M, g \right)</math> समतल रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें या स्यूडो-रिमानियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रिमानियन <math>n</math>-कई गुना होने के साथ एक सहज चार्ट <math>\left( U, \varphi \right)</math> दिया गया जिसके लिए फलन <math>g_{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> हैं।

सभी के लिए <math>x \in \varphi(U)</math> उत्तरार्द्ध दिखाता है कि इसे आव्यूह, <math>g^{ij}(x) = (g^{-1})_{ij}(x)</math> के रूप में व्यक्त किया गया हैं। फलन <math>g_{ij}</math> के मूल्यांकन के लिए इसे <math>g</math> पर परिभाषित किया जाता है, सदिश क्षेत्रों का समन्वय करें, जबकि फलन <math>g^{ij}</math> इस प्रकार परिभाषित किया गया है, आव्यूह के इसे मान के लिए फलन के रूप में वे आव्यूह-वैल्यू का व्युत्क्रम प्रदान करते हैं।

 

फलन <math>x \mapsto g_{ij}(x)</math>

अब प्रत्येक के लिए परिभाषित करें, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>i</math> और <math>j</math> 1 और के बीच <math>n</math>, फलन इस प्रकार प्रदर्शित होता हैं।

अब चलो <math>\left( U, \varphi \right)</math> और <math>\left( V, \psi \right)</math> के साथ दो सहज चार्ट <math>U \cap V \neq \emptyset</math> बनाये जाते हैं, माना कि <math>R_{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> चार्ट के माध्यम से उपरोक्त फलन <math>\left( U, \varphi \right)</math> की गणना करें, और <math>r_{ij}: \psi(V) \rightarrow \mathbb{R}</math> चार्ट के माध्यम से उपरोक्त फलन <math>\left( V, \psi \right)</math> की गणना करें। फिर कोई श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम के साथ गणना करके जांच कर सकता है।<math display="block">

 

 

जहाँ <math>D_{i}</math> साथ में पहला व्युत्पन्न <math>i</math>दिशा है। जिसके कारण <math>\mathbb{R}^n</math>के मान द्वारा पता चलता है कि निम्नलिखित परिभाषा के उपयोग पर निर्भर नहीं करती है

</math>जहाँ <math>X^1, \ldots, X^n</math> और <math>Y^1, \ldots, Y^n</math> हैं, स्पर्शरेखा सदिशों के घटक <math>p</math> में <math>X</math> और <math>Y</math> के सापेक्ष समन्वय वेक्टर क्षेत्र <math>\left( U, \varphi \right)</math> है।

उपरोक्त औपचारिक प्रस्तुति को निम्नलिखित शैली में संक्षिप्त करना साधारण बात है:

उपरोक्त दोनों परिभाषाएँ समान हैं। परिभाषित करने वाले सूत्र <math>\Gamma_{ij}^k</math> और <math>R_{ij}</math> समन्वय दृष्टिकोण में लेवी-सिविटा कनेक्शन और लेवी-सिविटा कनेक्शन के माध्यम से रीमैन वक्रता को परिभाषित करने वाले सूत्रों में सटीक समानता है। तर्कसंगत रूप से, सीधे स्थानीय निर्देशांक का उपयोग करने वाली परिभाषाएँ बेहतर हैं, क्योंकि ऊपर उल्लिखित रीमैन टेंसर की महत्वपूर्ण संपत्ति की आवश्यकता है <math>M</math> धारण करने के लिए हॉसडॉर्फ होना। इसके विपरीत, स्थानीय समन्वय दृष्टिकोण के लिए केवल सहज एटलस की आवश्यकता होती है। स्थानीय दृष्टिकोण में अंतर्निहित अपरिवर्तनवादी दर्शन को [[स्पिनर क्षेत्र]] जैसे अधिक विदेशी ज्यामितीय वस्तुओं के निर्माण के तरीकों से जोड़ना भी कुछ सीमा तक आसान है।

सभी के लिए <math>X,Y\in T_pM.</math> इस प्रकार यह रैखिक-बीजगणितीय रूप से अनुसरण करता है कि रिक्की टेंसर पूर्ण रूप से निर्धारित है

  <math>X</math> इकाई लंबाई का. इकाई स्पर्शरेखा सदिशों के सेट पर यह फलन

कई गुना, अपितु आम तौर पर इसमें कम जानकारी होती है। वास्तव में, यदि <math>\xi</math> है

जहाँ <math>R</math> [[अदिश वक्रता]] है, जिसे स्थानीय निर्देशांक में परिभाषित किया गया है <math>g^{ij}R_{ij}.</math> इसे अक्सर अनुबंधित दूसरी बियांची पहचान कहा जाता है।

जहाँ <math>\Delta = \nabla \cdot \nabla</math> लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है,

यहां इसे स्थानीय रूप से परिभाषित कार्यों पर फलन करने वाला माना जाता है <math>g_{ij}</math>.

इस फलन की परिणति ज्यामितिकरण अनुमान का प्रमाण थी

यहां सकारात्मक रिक्की वक्रता वाले मैनिफोल्ड्स से संबंधित वैश्विक परिणामों की छोटी सूची दी गई है, रीमैनियन ज्यामिति#स्थानीय से वैश्विक प्रमेय भी देखें। संक्षेप में, रीमैनियन मैनिफोल्ड के सकारात्मक रिक्की वक्रता के मजबूत टोपोलॉजिकल परिणाम होते हैं, जबकि (कम से कम 3 आयाम के लिए), नकारात्मक रिक्की वक्रता का कोई टोपोलॉजिकल निहितार्थ नहीं होता है। (यदि रिक्की वक्रता फलन करती है तो रिक्की वक्रता को 'सकारात्मक' कहा जाता है <math>\operatorname{Ric}(\xi, \xi)</math> गैर-शून्य स्पर्शरेखा सदिशों के समुच्चय पर धनात्मक है <math>\xi</math>.) कुछ परिणाम स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के लिए भी जाने जाते हैं।

#बिशप-ग्रोमोव असमानता बताती है कि यदि पूर्ण <math>n</math>-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में गैर-नकारात्मक रिक्की वक्रता है, तो जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन में समान त्रिज्या के जियोडेसिक गेंद के आयतन से कम या बराबर होता है <math>n</math>-स्पेस। इसके अलावा, यदि <math>v_p(R)</math> केंद्र के साथ गेंद के आयतन को दर्शाता है <math>p</math> और त्रिज्या <math>R</math> अनेक गुना में और <math>V(R) = c_n R^n</math> त्रिज्या की गेंद के आयतन को दर्शाता है <math>R</math> यूक्लिडियन में <math>n</math>-स्पेस फिर फलन <math>v_p(R) / V(R)</math> नहीं बढ़ रहा है. इसे रिक्की वक्रता (केवल गैर-नकारात्मकता नहीं) पर किसी भी निचली सीमा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (ज्यामिति) | ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के प्रमाण में मुख्य बिंदु है।)

रिक्की प्रवाह के लिए #हैमिल्टन के पहले रिक्की प्रवाह का �