अंतराल (गणित): Difference between revisions

Revision as of 14:44, 29 November 2022

संख्या रेखा पर x + a का योग। x से बड़ी और x + से कम की सभी संख्याएं उस विवृत्त अंतराल में आती हैं।

गणित में,(वास्तविक) अंतराल वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय(गणित) होता है जिसमें समुच्चय की किन्हीं दो संख्याओं के बीच स्थित सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं का समुच्चय $x$ संतुष्टि देने वाला $0 \leq x \leq 1$ एक अंतराल है जिसमें $0$ , $1$ , और बीच में सभी नंबर अंतरालों के अन्य उदाहरण संख्याओं का समुच्चय इस प्रकार हैं कि $0 < x < 1$ , सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {R}$ , अऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, रिक्त समुच्चय और कोई भी सिंगलटन (गणित) का सम्मुचय हो सकता है।

अभिन्न के सिद्धांत में वास्तविक अंतराल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, क्योंकि वे सबसे सरल सम्मुचय हैं जिनकी लंबाई(या माप या आकार) को परिभाषित करना आसान है। माप की अवधारणा को तब वास्तविक संख्याओं के अधिक जटिल सेटों तक बढ़ाया जा सकता है, जो बोरेल माप और अंततः लेबेस्गु माप के लिए अग्रणी है।

अंतराल अंकगणित के लिए केंद्रीय हैं, एक सामान्य संख्यात्मक विधि पद्धति जो अनिश्चितताओं, गणितीय अनुमानों और गोल त्रुटि की उपस्थिति में भी, मनमाने सूत्रों के लिए स्वचालित रूप से गारंटीकृत संलग्नक प्रदान करती है।

इसी तरह अंतराल को एकपक्षीय कुल क्रम सम्मुचय पर परिभाषित किया जाता है, जैसे कि पूर्णांक या परिमेय संख्या । पूर्णांक अंतरालों का अंकन पूर्णांक अंतराल माना जाता है।

शब्दावली

विवृत्त अंतराल में इसके समापन बिंदु सम्मिलित नहीं होते हैं, और कोष्ठक के साथ इंगित किया जाता है।^[1] उदाहरण के लिए, $(0,1)$ तात्पर्य इससे बड़ा $0$ और इससे कम $1$ . इसका तात्पर्य है की $(0,1) = {x | 0 < x < 1}$ . इस अंतराल को ]0,1[ द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है।

विवृत्त अंतराल एक अंतराल है जिसमें इसके सभी सीमा बिंदु सम्मिलित होते हैं, और इसे वर्ग कोष्ठक के साथ दर्शाया जाता है।^[1]उदाहरण के लिए, $[0,1]$ का अर्थ है, बड़ा या उसके बराबर, $0$ और 1 से कम या उसके बराबर।

अर्ध-विवृत्त अंतराल में इसका केवल एक समापन बिंदु सम्मिलित होता हैं, और विवृत्त और संकीर्ण अंतराल के लिए संकेतन को मिलाकर निरूपित किया जाता है।^[2] उदाहरण के लिए, $(0,1]$ का तात्पर्य $0$ से बड़ा और 1 से कम या उसके बराबर, जबकि $[0,1)$ का अर्थ है 0 से बड़ा या बराबर और 1 से कम।

अपभ्रष्ट अंतराल कोई सिंगलटन सम्मुचय होता है (अर्थात, फॉर्म का अंतराल $[a, a]$ ).^[2]कुछ लेखक इस परिभाषा में रिक्त सम्मुचय को सम्मिलित करते हैं। एक वास्तविक अंतराल जो न तो रिक्त होता है और न ही अपभ्रष्ट होता है, उसे उचित कहा जाता है, और इसमें असीम रूप से कई तत्व होते हैं।

एक अंतराल को बाएँ-बाँध या दाएँ-बाँधित कहा जाता है, यदि कोई वास्तविक संख्या है, जो क्रमशः, उसके सभी तत्वों से छोटी या बड़ी है। अंतराल को परिबद्ध कहा जाता है, यदि वह बाएँ और दाएँ-बाएँ दोनों हो अन्यथा और इसे असीमित कहा जाता है। अंतराल जो केवल एक छोर पर बंधे होते हैं, उन्हें अर्ध-अर्ध कहा जाता है। रिक्त समुच्चय परिबद्ध है, और सभी वास्तविकों का समुच्चय ही एकमात्र अंतराल है जो दोनों सिरों पर असीमित है। परिबद्ध अंतराल को सामान्यतः परिमित अंतराल के रूप में भी जाना जाता है।

परिबद्ध अंतराल बंधा हुआ सम्मुचय हैं, इस अर्थ में कि उनका व्यास (जो कि अंतिम बिंदुओं के बीच पूर्ण अंतर के बराबर है) परिमित है। व्यास को अंतराल की लंबाई, चौड़ाई, माप, सीमा या आकार कहा जा सकता है। असीमित अंतरालों के आकार को सामान्यतः परिभाषित किया जाता है $+\infty$ , 0 और रिक्त अंतराल के आकार को परिभाषित किया जा सकता है(या अपरिभाषित छोड़ दिया)।

समापन बिंदुओं के साथ बंधे हुए अंतराल का केंद्र(मध्य बिंदु) $a$ तथा $b$ है $(a + b)/2$ , और इसकी त्रिज्या आधी लंबाई है $| a - b |/2$ . ये अवधारणाएं रिक्त या असीमित अंतराल के लिए अपरिभाषित हैं।

एक अंतराल को बायाँ-विवृत्त कहा जाता है यदि इसमें कोई न्यूनतम नहीं है (एक तत्व जो अन्य सभी तत्वों से छोटा है); दायाँ-विवृत्त इसमें अधिकतम नहीं है; इसमें दोनों गुण हैं। अंतराल $[0,1) = {x | 0 \leq x < 1}$ , उदाहरण के लिए, बाएँ-संकीर्ण और दाएँ-विवृत्त है। रिक्त सम्मुचय और सभी रियल सम्मुचय विवृत्त अंतराल है, जबकि गैर-नकारात्मक वास्तविक सम्मुचय, दाएं-विवृत्त है लेकिन बाएं-विवृत्त अंतराल नहीं है। विवृत्त अंतराल अपने मानक बिंदु-सम्मुचय टोपोलॉजी में वास्तविक रेखा के विवृत्त सम्मुचय होते हैं, और विवृत्त सम्मुचयों का आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं।

एक अंतराल को वाम-संकीर्ण कहा जाता है यदि इसमें न्यूनतम तत्व होता है, यदि इसमें अधिकतम होता है तो दायां-संकीर्ण होता है, और यदि इसमें दोनों होते हैं तो बस संकीर्ण हो जाता है। इन परिभाषाओं को सामान्यतः रिक्त सम्मुचय और(बाएं या दाएं) असीमित अंतराल को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जाता है, ताकि संकीर्ण अंतराल उस टोपोलॉजी में संकीर्ण सम्मुचय के साथ समानता रखता हो।

अंतराल का आंतरिक भाग $I$ सबसे बड़ा विवृत्त अंतराल है जो $I$ में निहित है; यह $I$ अंकों का समुच्चय भी है जो $I$ के अंतिम बिंदु नहीं हैं, $I$ का संकीर्ण होना सबसे छोटा संकीर्ण अंतराल है जिसमें $I$ सम्मिलित है ; जो सम्मुचय भी अपने $I$ परिमित समापन बिंदुओं के साथ संवर्धित है।

किसी भी सम्मुचय के लिए $X$ वास्तविक संख्या, अंतराल संलग्नक या अंतराल अवधि $X$ अद्वितीय अंतराल है जिसमें सम्मिलित $X$ है , और इसमें कोई अन्य अंतराल ठीक से सम्मिलित नहीं है, जिसमें $X$ भी सम्मिलित है, अंतराल $I$ अंतराल का उप-अंतराल है $J$ यदि $I$ का एक उपसमुच्चय है, $J$ . अंतराल $I$ का एक उचित उप-अंतराल है $J$ यदि $I$ का एक उचित उपसमुच्चय $J$ है।

परस्पर विरोधी शब्दावली पर टिप्पणी

शब्द खंड और अंतराल को साहित्य में दो अनिवार्य रूप से विपरीत तरीकों से नियोजित किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप जब इन शब्दों का उपयोग किया जाता है तो अस्पष्टता होती है। गणित का विश्वकोश^[3] दोनों समापन बिंदुओं (अर्थात, संकीर्ण अंतराल) को सम्मिलित करने के लिए दोनों समापन बिंदुओं (अर्थात, विवृत्त अंतराल) और खंड के लिए अंतराल(एक क्वालीफायर के बिना) को परिभाषित करता है, जबकि रुडिन के गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत^[4] फॉर्म के सम्मुचय [ए, बी] अंतराल और फॉर्म के सम्मुचय (ए, बी) सेगमेंट भर में निर्देशित करता है। ये शब्द पुराने कार्यों में प्रकट होते हैं, आधुनिक ग्रंथ तेजी से अंतराल(विवृत्त, संकीर्ण, या अर्ध विवृत्त द्वारा योग्य) के पक्ष में हैं, भले ही समापन बिंदु सम्मिलित हों या नहीं।

अंतराल के लिए सूचनाएं

संख्याओं का अंतराल $a$ तथा $b$ , समेत $a$ तथा $b$ , अधिकांशतः निरूपित किया जाता है $[a, b]$ . दो संख्याओं को अंतराल का अंतिम बिंदु कहा जाता है। उन देशों में जहां संख्याएं दशमलव अल्पविराम से लिखी जाती हैं, अस्पष्टता से बचने के लिए अर्धविराम का उपयोग विभाजक के रूप में किया जा सकता है।

समापन बिंदुओं को सम्मिलित करना या हटाना

यह इंगित करने के लिए कि समापन बिंदुओं में से एक को सम्मुचय से बाहर रखा जाना है, संबंधित वर्ग ब्रैकेट को या तो कोष्ठक से बदला जा सकता है, या उलट दिया जा सकता है। दोनों नोटेशन अंतरराष्ट्रीय मानक आईएसओ 31-11 में वर्णित हैं। इस प्रकार, बिल्डर नोटेशन सम्मुचय करें में,

{\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}={\mathopen {\color {Maroon}]}}a,b{\mathclose {\color {Maroon}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {Maroon}{}<{}}x{\color {Maroon}{}<{}}b\},\\{}{\color {DarkGreen}[}a,b{\color {Maroon})}={\mathopen {\color {DarkGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {Maroon}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {DarkGreen}{}\leq {}}x{\color {Maroon}{}<{}}b\},\\{}{\color {Maroon}(}a,b{\color {DarkGreen}]}={\mathopen {\color {Maroon}]}}a,b{\mathclose {\color {DarkGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {Maroon}{}<{}}x{\color {DarkGreen}{}\leq {}}b\},\\{}{\color {DarkGreen}[}a,b{\color {DarkGreen}]}={\mathopen {\color {DarkGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {DarkGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {DarkGreen}{}\leq {}}x{\color {DarkGreen}{}\leq {}}b\}.\end{aligned}}

प्रत्येक अंतराल $(a, a)$ , $[a, a)$ , तथा $(a, a]$ रिक्त सम्मुचय का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि $[a, a]$ सिंगलटन सम्मुचय को दर्शाता है ${a}$ . जहाँ $a > b$ , सभी चार नोटेशन सामान्यतः रिक्त सम्मुचय का प्रतिनिधित्व करने के लिए लिए जाते हैं।

गणित में कोष्ठक और कोष्ठक के अन्य उपयोगों के साथ दोनों संकेतन अतिव्यापन हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, संकेतन $(a, b)$ अधिकांशतः सम्मुचय सिद्धांत में एक टपल को इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रैखिक बीजगणित में एक बिंदु (ज्यामिति) या वेक्टर (गणित) के निर्देशांक, या (कभी-कभी) बीजगणित में एक जटिल संख्या प्रयोग की जाती है। यही कारण है कि निकोलस बॉरबाकि ने विवृत्त अंतराल को निरूपित करने के लिए संकेतन की शुरुआत की।^[5] संकेतन $[a, b]$ भी कभी-कभी आदेशित जोड़े के लिए उपयोग किया जाता है, विशेषकर कंप्यूटर विज्ञान में।

कुछ लेखक^[who?] [ a,b ] का उपयोग अंतराल के पूरक को निरूपित करने के लिए $(a, b)$ ; अर्थात्, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय जो या तो a से कम या उसके बराबर है, या b से अधिक या b के बराबर हैं।

अनंत समापन बिंदु

कुछ संदर्भों में, एक अंतराल को विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $-\infty$ तथा $+\infty$ हैं।

इस व्याख्या में, संकेतन $[-\infty, b]$ , $(-\infty, b]$ , $[a, +\infty]$ , तथा $[a, +\infty)$ सभी अर्थपूर्ण और विशिष्ट हैं। विशेष रूप से, $(-\infty, +\infty)$ सभी सामान्य वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, जबकि $[-\infty, +\infty]$ विस्तारित वास्तविकताओं को दर्शाता है।

साधारण वास्तविकताओं के संदर्भ में भी, कोई यह इंगित करने के लिए अनंत (गणित) समापन बिंदु का उपयोग कर सकता है कि उस दिशा में कोई सीमा नहीं है। उदाहरण के लिए, $(0, +\infty)$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसे इस प्रकार भी लिखा जाता है $\mathbb {R} _{+}$ . संदर्भ उपरोक्त कुछ परिभाषाओं और शब्दावली को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, अंतराल $(-\infty, +\infty)$ = $\mathbb {R}$ साधारण वास्तविकताओं के सीमा में संकीर्ण है, लेकिन विस्तारित वास्तविकताओं के सीमा में नहीं।

पूर्णांक अंतराल

$a$ तथा $b$ पूर्णांक हैं, संकेतन a, b⟧, or $[a .. b]$ या ${a .. b}$ या केवल $a .. b$ , कभी-कभी सभी पूर्णांकों के अंतराल को इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, $a$ तथा $b$ सम्मिलित संकेतन $[a .. b]$ कुछ प्रोग्रामिंग भाषा ओं में उपयोग किया जाता है; पास्कल प्रोग्रामिंग भाषा में, उदाहरण के लिए, इसका उपयोग औपचारिक रूप से एक उपश्रेणी प्रकार को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिसका उपयोग अधिकांशतः एक ऐरे डेटा प्रकार के वैध अनुक्रमित परिवार की निचली और ऊपरी सीमा को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है।

एक पूर्णांक अंतराल जिसमें एक परिमित निचला या ऊपरी समापन बिंदु होता है, उसमें हमेशा वह समापन बिंदु सम्मिलित होता है। इसलिए, समापन बिंदुओं के बहिष्करण को स्पष्ट रूप से लिखकर दर्शाया जा सकता है $a .. b - 1$ , $a + 1 .. b$ , या $a + 1 .. b - 1$ . वैकल्पिक-कोष्ठक संकेतन जैसे $[a .. b)$ या $[a .. b]$ पूर्णांक अंतराल के लिए शायद ही कभी उपयोग किया जाता है।^{[citation needed]}

अंतराल का वर्गीकरण

वास्तविक संख्याओं के अंतरालों को नीचे सूचीबद्ध ग्यारह विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है^{[citation needed]}, $a$ तथा $b$ वास्तविक संख्याएं हैं, और $a<b$ :

रिक्त:

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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 * {{MathWorld |title=Interval |urlname=Interval}}
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