सजातीय विविधता: Difference between revisions
From Vigyanwiki
m (Abhishek moved page एफ़िन किस्म to सजातीय विविधता without leaving a redirect) |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{short description|Algebraic variety defined within an affine space}} | {{short description|Algebraic variety defined within an affine space}} | ||
[[File:Cubic with double point.svg|thumb|द्वारा दिया गया | [[File:Cubic with double point.svg|thumb|द्वारा दिया गया [[घन समतल वक्र]] <math>y^2 = x^2(x+1)</math>]][[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, संबधित विविधता, या बीजगणितीय विविधता, {{math|''k''}} affine स्थान में शून्य-स्थल है {{math|''k''<sup>''n''</sup>}} के [[बहुपद]]ों के कुछ परिमित परिवार का {{math|''n''}} में गुणांक के साथ चर {{math|''k''}} जो प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, तो ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय (affine) कहा जाता है। [[जरिस्की टोपोलॉजी]] संबधित किस्म की उप-प्रजाति को [[अर्ध-एफ़ाइन किस्म]] कहा जाता है। | ||
कुछ ग्रंथों को | कुछ ग्रंथों को प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और [[प्रधान आदर्श]] द्वारा परिभाषित बीजगणितीय विविधता को ''इरिड्यूसिबल '' कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकी को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजीय [[बीजगणितीय सेट|बीजगणितीय सेट है]]। | ||
कुछ संदर्भों में, क्षेत्र को अलग करना उपयोगी होता है {{mvar|k}} जिसमें बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र से गुणांकों पर विचार किया जाता है {{mvar|K}} (युक्त {{mvar|k}}) जिसके ऊपर शून्य-लोकस माना जाता है (अर्थात् एफ़ाइन किस्म के बिंदु अंदर होते हैं {{math|''K''<sup>''n''</sup>}}). इस मामले में, विविधता को परिभाषित कहा जाता है {{mvar|k}}, और विविधता के बिंदु जो संबंधित हैं {{math|''k''<sup>''n''</sup>}} कहा जाता है{{mvar|k}}-तर्कसंगत या तर्कसंगत अधिक {{mvar|k}}. सामान्य मामले में जहां {{mvar|k}} [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र है, a {{mvar|k}}-रामेय बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं।<ref name="ReidUAG">{{harvp|Reid|1988}}</ref> जब मैदान {{mvar|k}} निर्दिष्ट नहीं है, परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमेय है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का दावा है कि affine बीजगणितीय किस्म (यह | कुछ संदर्भों में, क्षेत्र को अलग करना उपयोगी होता है {{mvar|k}} जिसमें बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र से गुणांकों पर विचार किया जाता है {{mvar|K}} (युक्त {{mvar|k}}) जिसके ऊपर शून्य-लोकस माना जाता है (अर्थात् एफ़ाइन किस्म के बिंदु अंदर होते हैं {{math|''K''<sup>''n''</sup>}}). इस मामले में, विविधता को परिभाषित कहा जाता है {{mvar|k}}, और विविधता के बिंदु जो संबंधित हैं {{math|''k''<sup>''n''</sup>}} कहा जाता है{{mvar|k}}-तर्कसंगत या तर्कसंगत अधिक {{mvar|k}}. सामान्य मामले में जहां {{mvar|k}} [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र है, a {{mvar|k}}-रामेय बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं।<ref name="ReidUAG">{{harvp|Reid|1988}}</ref> जब मैदान {{mvar|k}} निर्दिष्ट नहीं है, परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमेय है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का दावा है कि affine बीजगणितीय किस्म (यह वक्र है) द्वारा परिभाषित {{math|''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> − 1 {{=}} 0}} का किसी पूर्णांक के लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है {{mvar|n}} दो से अधिक। | ||
== परिचय == | == परिचय == | ||
affine बीजगणितीय सेट बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधान का सेट है {{math|''k''}} में गुणांकों के साथ बहुपद समीकरणों की प्रणाली {{math|''k''}}. अधिक सटीक, अगर <math>f_1, \ldots, f_m</math> में गुणांक वाले बहुपद हैं {{math|''k''}}, वे सजातीय बीजगणितीय सेट को परिभाषित करते हैं | |||
:<math> V(f_1,\ldots, f_m) = \left\{(a_1,\ldots,a_n)\in k^n \;|\;f_1(a_1,\ldots, a_n)=\ldots=f_m(a_1,\ldots, a_n)=0\right\}.</math> | :<math> V(f_1,\ldots, f_m) = \left\{(a_1,\ldots,a_n)\in k^n \;|\;f_1(a_1,\ldots, a_n)=\ldots=f_m(a_1,\ldots, a_n)=0\right\}.</math> | ||
affine (बीजीय) किस्म affine बीजगणितीय सेट है जो दो उचित affine बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस तरह के सजातीय बीजगणितीय सेट को अक्सर '' इर्रिड्यूसिबल '' कहा जाता है। | |||
अगर {{math|''X''}} | अगर {{math|''X''}} सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और {{math|''I''}} उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन पर शून्य है {{mvar|X}}, फिर [[भागफल की अंगूठी]] <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/I</math> कहा जाता है{{vanchor|coordinate ring}''्स'' का }. यदि ''X'' संबधित किस्म है, तो ''I'' अभाज्य है, इसलिए निर्देशांक वलय अभिन्न डोमेन है। समन्वय वलय ''आर'' के तत्वों को विविधता पर ''नियमित कार्य'' या ''बहुपद कार्य'' भी कहा जाता है। वे विविधता पर ''नियमित कार्यों की अंगूठी'' बनाते हैं, या, बस, ''विविधता की अंगूठी''; दूसरे शब्दों में (#स्ट्रक्चर शीफ देखें), यह ''्स'' के स्ट्रक्चर शीफ के ग्लोबल सेक्शन का स्पेस है। | ||
विविधता का आयाम प्रत्येक विविधता से जुड़ा | विविधता का आयाम प्रत्येक विविधता से जुड़ा पूर्णांक है, और यहां तक कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट के लिए, जिसका महत्व बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
* | * affine किस्म में hypersurface का पूरक {{math|''X''}} (वह है {{math|1=''X'' - { ''f'' = 0 } }} कुछ बहुपद के लिए {{math|''f''}}) एफ़िन है। इसके परिभाषित समीकरण [[संतृप्ति (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] द्वारा प्राप्त किए जाते हैं {{mvar|f}} का परिभाषित आदर्श {{math|''X''}}. इस प्रकार निर्देशांक वलय वलय का स्थानीयकरण है <math>k[X][f^{-1}]</math>. | ||
* विशेष रूप से, <math>\mathbb C - 0</math> (मूल के साथ affine रेखा हटा दी गई है) affine है। | * विशेष रूप से, <math>\mathbb C - 0</math> (मूल के साथ affine रेखा हटा दी गई है) affine है। | ||
* वहीं दूसरी ओर, <math>\mathbb C^2 - 0</math> (मूल के साथ संबधित तल) | * वहीं दूसरी ओर, <math>\mathbb C^2 - 0</math> (मूल के साथ संबधित तल) सजातीय किस्म नहीं है; सी एफ हार्टोग्स का विस्तार प्रमेय। | ||
* एफ़िन स्पेस में कोडिमेंशन वन की उप-किस्में <math>k^n</math> वास्तव में हाइपरसर्फ्स हैं, जो कि | * एफ़िन स्पेस में कोडिमेंशन वन की उप-किस्में <math>k^n</math> वास्तव में हाइपरसर्फ्स हैं, जो कि बहुपद द्वारा परिभाषित किस्में हैं। | ||
* इरेड्यूसिबल एफाइन किस्म की [[सामान्य योजना]] एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी तरह, | * इरेड्यूसिबल एफाइन किस्म की [[सामान्य योजना]] एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी तरह, प्रक्षेपी किस्म का सामान्यीकरण प्रक्षेपी किस्म है।) | ||
== वाजिब बिंदु == | == वाजिब बिंदु == | ||
| Line 26: | Line 26: | ||
{{main|rational point}} | {{main|rational point}} | ||
एफ़िन किस्म के लिए <math>V\subseteq K^n</math> बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर {{math|''K''}}, और उपक्षेत्र {{math|''k''}} का {{math|''K''}}, ए {{math|''k''}}-तार्किक बिंदु {{math|''V''}} बिंदु है <math>p\in V\cap k^n.</math> यानी बिंदु {{math|''V''}} जिसके निर्देशांक तत्व हैं {{math|''k''}}. का संग्रह {{math|''k''}}- सजातीय किस्म के तर्कसंगत बिंदु {{math|''V''}} को अक्सर निरूपित किया जाता है <math>V(k).</math> अक्सर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं {{math|'''C'''}}, बिंदु जो हैं {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत (जहां {{math|'''R'''}} वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत अंक ({{math|'''Q'''}} परिमेय संख्याएँ) अक्सर केवल परिमेय बिंदु कहलाते हैं। | |||
उदाहरण के लिए, {{math|(1, 0)}} | उदाहरण के लिए, {{math|(1, 0)}} है {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत और {{math|'''R'''}}-किस्म का तर्कसंगत बिंदु <math>V = V(x^2+y^2-1)\subseteq\mathbf{C}^2,</math> जैसा इसमें है {{math|''V''}} और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु {{math|({{sqrt|2}}/2, {{sqrt|2}}/2)}} का वास्तविक बिंदु है {{mvar|V}} जो कि नहीं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत, और <math>(i,\sqrt{2})</math> का बिन्दु है {{math|''V''}} जो कि नहीं {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत। इस किस्म को वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका सेट {{math|'''R'''}}-रेशनल पॉइंट्स [[यूनिट सर्कल]] है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक हैं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत बिंदु जो बिंदु हैं | ||
:<math>\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)</math> | :<math>\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)</math> | ||
कहाँ {{mvar|t}} | कहाँ {{mvar|t}} परिमेय संख्या है। | ||
वृत्त <math>V(x^2+y^2-3)\subseteq\mathbf{C}^2</math> डिग्री दो के [[बीजगणितीय वक्र]] का | वृत्त <math>V(x^2+y^2-3)\subseteq\mathbf{C}^2</math> डिग्री दो के [[बीजगणितीय वक्र]] का उदाहरण है जिसमें कोई नहीं है {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत बिंदु। इसका अंदाजा इस बात से लगाया जा सकता है कि, [[मॉड्यूलर अंकगणित]] {{math|4}}, दो वर्गों का योग नहीं हो सकता {{math|3}}. | ||
यह सिद्ध किया जा सकता है कि a के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र {{math|'''Q'''}}-रेशनल पॉइंट के अपरिमित रूप से कई अन्य होते हैं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत अंक; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है। | यह सिद्ध किया जा सकता है कि a के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र {{math|'''Q'''}}-रेशनल पॉइंट के अपरिमित रूप से कई अन्य होते हैं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत अंक; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है। | ||
| Line 38: | Line 38: | ||
जटिल किस्म <math>V(x^2+y^2+1)\subseteq\mathbf{C}^2</math> है कोई {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदु, लेकिन कई जटिल बिंदु हैं। | जटिल किस्म <math>V(x^2+y^2+1)\subseteq\mathbf{C}^2</math> है कोई {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदु, लेकिन कई जटिल बिंदु हैं। | ||
अगर {{math|''V''}} में | अगर {{math|''V''}} में एफ़ाइन किस्म है {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} जटिल संख्याओं पर परिभाषित {{math|'''C'''}}, द {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत अंक {{math|''V''}} को कागज के टुकड़े पर या रेखांकन सॉफ्टवेयर द्वारा खींचा जा सकता है। दाईं ओर का आंकड़ा दिखाता है {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत अंक <math>V(y^2-x^3+x^2+16x)\subseteq\mathbf{C}^2.</math> | ||
== | == वचन बिंदु और स्पर्शरेखा स्थान == | ||
होने देना {{mvar|V}} बहुपदों द्वारा परिभाषित | होने देना {{mvar|V}} बहुपदों द्वारा परिभाषित सजातीय किस्म हो <math>f_1, \dots, f_r\in k[x_1, \dots, x_n],</math> और <math>a=(a_1, \dots,a_n)</math> का बिंदु हो {{mvar|V}}. | ||
[[जैकबियन मैट्रिक्स]] {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} का {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स है | [[जैकबियन मैट्रिक्स]] {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} का {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स है | ||
:<math> \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n).</math> | :<math> \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n).</math> | ||
बिंदु {{mvar|a}} की रैंक नियमित है {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर है {{mvar|V}}, और | बिंदु {{mvar|a}} की रैंक नियमित है {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर है {{mvar|V}}, और वचन अन्यथा। | ||
अगर {{mvar|a}} नियमित है, स्पर्शरेखा स्थान {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} का एफिन उपस्थान है <math>k^n</math> रैखिक समीकरणों द्वारा परिभाषित<ref>{{harvp|Milne|2017|loc=Ch. 5}}</ref> | अगर {{mvar|a}} नियमित है, स्पर्शरेखा स्थान {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} का एफिन उपस्थान है <math>k^n</math> रैखिक समीकरणों द्वारा परिभाषित<ref>{{harvp|Milne|2017|loc=Ch. 5}}</ref> | ||
:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n) (x_i - a_i) = 0, \quad j = 1, \dots, r.</math> | :<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n) (x_i - a_i) = 0, \quad j = 1, \dots, r.</math> | ||
यदि बिंदु | यदि बिंदु वचन है, तो इन समीकरणों द्वारा परिभाषित एफ़िन उप-स्थान को कुछ लेखकों द्वारा स्पर्शरेखा स्थान भी कहा जाता है, जबकि अन्य लेखकों का कहना है कि वचन बिंदु पर कोई स्पर्शरेखा स्थान नहीं है।<ref>{{harvp|Reid|1988|p=94}}.</ref> | ||
अधिक आंतरिक परिभाषा, जो निर्देशांक का उपयोग नहीं करती है, ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान द्वारा दी गई है। | |||
== जारिस्की टोपोलॉजी == | == जारिस्की टोपोलॉजी == | ||
{{main|Zariski topology}} | {{main|Zariski topology}} | ||
के के affine बीजगणितीय सेट<sup>n</sup> k पर टोपोलॉजी के बंद सेट बनाते हैं<sup>n</sup>, जिसे 'ज़ारिस्की टोपोलॉजी' कहा जाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि <math>V(0)=k[x_1,\ldots, x_n],</math> <math>V(1)=\emptyset,</math> <math>V(S)\cup V(T)=V(ST),</math> और <math>V(S)\cap V(T)=V(S+T)</math> (वास्तव में, affine बीजगणितीय सेटों का | के के affine बीजगणितीय सेट<sup>n</sup> k पर टोपोलॉजी के बंद सेट बनाते हैं<sup>n</sup>, जिसे 'ज़ारिस्की टोपोलॉजी' कहा जाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि <math>V(0)=k[x_1,\ldots, x_n],</math> <math>V(1)=\emptyset,</math> <math>V(S)\cup V(T)=V(ST),</math> और <math>V(S)\cap V(T)=V(S+T)</math> (वास्तव में, affine बीजगणितीय सेटों का गणनीय प्रतिच्छेदन affine बीजगणितीय सेट है)। | ||
ज़ारिस्की टोपोलॉजी को बेस (टोपोलॉजी) के माध्यम से भी वर्णित किया जा सकता है, जहाँ ज़ारिस्की-ओपन सेट फॉर्म के सेटों के गणनीय संघ हैं <math>U_f = \{p\in k^n:f(p)\neq 0\}</math> के लिए <math>f\in k[x_1,\ldots, x_n].</math> ये बुनियादी खुले सेट k में पूरक हैं<sup>n</sup> बंद सेटों में से <math>V(f)=D_f=\{p\in k^n:f(p)=0\},</math> | ज़ारिस्की टोपोलॉजी को बेस (टोपोलॉजी) के माध्यम से भी वर्णित किया जा सकता है, जहाँ ज़ारिस्की-ओपन सेट फॉर्म के सेटों के गणनीय संघ हैं <math>U_f = \{p\in k^n:f(p)\neq 0\}</math> के लिए <math>f\in k[x_1,\ldots, x_n].</math> ये बुनियादी खुले सेट k में पूरक हैं<sup>n</sup> बंद सेटों में से <math>V(f)=D_f=\{p\in k^n:f(p)=0\},</math> ल बहुपद का शून्य लोकी। यदि k नोथेरियन वलय है (उदाहरण के लिए, यदि k फ़ील्ड (गणित) या [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है), तो k का प्रत्येक आदर्श अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, इसलिए प्रत्येक खुला सेट बुनियादी खुले सेटों का परिमित संघ है। | ||
यदि V, k की | यदि V, k की सजातीय उप-किस्म है<sup>n</sup> V पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी केवल k पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी से विरासत में मिली सबस्पेस टोपोलॉजी है<sup>एन</sup>. | ||
== ज्यामिति-बीजगणित पत्राचार == | == ज्यामिति-बीजगणित पत्राचार == | ||
सजातीय किस्म की ज्यामितीय संरचना इसके समन्वय वलय की बीजगणितीय संरचना से गहरे तरीके से जुड़ी हुई है। I और J को k [V] के आदर्श होने दें, जो affine किस्म V का समन्वय वलय है। I (V) को सभी बहुपदों का समुच्चय होने दें <math>k[x_1, \ldots, x_n],</math> जो वी पर गायब हो जाता है, और जाने दो <math>\sqrt{I}</math> आदर्श I के आदर्श के रेडिकल को निरूपित करें, बहुपद f का सेट जिसके लिए f की कुछ शक्ति I में है। आधार क्षेत्र को बीजगणितीय रूप से बंद करने की आवश्यकता का कारण यह है कि affine किस्में स्वचालित रूप से हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज को संतुष्ट करती हैं: आदर्श के लिए जे में <math>k[x_1, \ldots, x_n],</math> जहाँ k बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, <math>I(V(J))=\sqrt{J}.</math> | |||
के [वी] के कट्टरपंथी आदर्श (आदर्श जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी हैं) वी के बीजगणितीय उपसमुच्चय के अनुरूप हैं। वास्तव में, कट्टरपंथी आदर्शों I और J के लिए, <math>I\subseteq J</math> अगर और केवल अगर <math>V(J)\subseteq V(I).</math> इसलिए V(I)=V(J) अगर और केवल अगर I=J. इसके अलावा, फलन बीजगणितीय सेट W को ग्रहण करता है और I(W) लौटाता है, सभी कार्यों का सेट जो W के सभी बिंदुओं पर भी गायब हो जाता है, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम होता है, जो बीजगणितीय सेट को कट्टरपंथी आदर्श के लिए निर्दिष्ट करता है, नलस्टेलेंसैट द्वारा। इसलिए affine बीजगणितीय सेट और कट्टरपंथी आदर्शों के बीच पत्राचार | के [वी] के कट्टरपंथी आदर्श (आदर्श जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी हैं) वी के बीजगणितीय उपसमुच्चय के अनुरूप हैं। वास्तव में, कट्टरपंथी आदर्शों I और J के लिए, <math>I\subseteq J</math> अगर और केवल अगर <math>V(J)\subseteq V(I).</math> इसलिए V(I)=V(J) अगर और केवल अगर I=J. इसके अलावा, फलन बीजगणितीय सेट W को ग्रहण करता है और I(W) लौटाता है, सभी कार्यों का सेट जो W के सभी बिंदुओं पर भी गायब हो जाता है, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम होता है, जो बीजगणितीय सेट को कट्टरपंथी आदर्श के लिए निर्दिष्ट करता है, नलस्टेलेंसैट द्वारा। इसलिए affine बीजगणितीय सेट और कट्टरपंथी आदर्शों के बीच पत्राचार आपत्ति है। affine बीजगणितीय सेट का समन्वय रिंग कम रिंग (nilpotent-free) है, रिंग R में आदर्श I के रूप में कट्टरपंथी है अगर और केवल अगर भागफल रिंग R/I कम हो जाता है। | ||
समन्वयित वलय के प्रधान आदर्श एफ़िन उप-किस्मों के अनुरूप होते हैं। | समन्वयित वलय के प्रधान आदर्श एफ़िन उप-किस्मों के अनुरूप होते हैं। सजातीय बीजीय समुच्चय V(I) को दो अन्य बीजगणितीय समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है यदि और केवल यदि I=JK उचित आदर्शों के लिए J और K I के बराबर नहीं है (किस मामले में <math>V(I)=V(J)\cup V(K)</math>). यह मामला है अगर और केवल अगर मैं प्रधान नहीं हूं। Affine उपप्रकार ठीक वे हैं जिनकी समन्वय रिंग अभिन्न डोमेन है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आदर्श प्रधान है अगर और केवल अगर आदर्श द्वारा रिंग का भागफल अभिन्न डोमेन है। | ||
के [वी] के अधिकतम आदर्श वी के बिंदुओं के अनुरूप हैं। यदि मैं और जे कट्टरपंथी आदर्श हैं, तो <math>V(J)\subseteq V(I)</math> अगर और केवल अगर <math>I\subseteq J.</math> जैसा कि अधिकतम आदर्श कट्टरपंथी हैं, अधिकतम आदर्श न्यूनतम बीजगणितीय सेट (जिनमें कोई उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय नहीं है) के अनुरूप हैं, जो V में बिंदु हैं। यदि V समन्वय वलय के साथ | के [वी] के अधिकतम आदर्श वी के बिंदुओं के अनुरूप हैं। यदि मैं और जे कट्टरपंथी आदर्श हैं, तो <math>V(J)\subseteq V(I)</math> अगर और केवल अगर <math>I\subseteq J.</math> जैसा कि अधिकतम आदर्श कट्टरपंथी हैं, अधिकतम आदर्श न्यूनतम बीजगणितीय सेट (जिनमें कोई उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय नहीं है) के अनुरूप हैं, जो V में बिंदु हैं। यदि V समन्वय वलय के साथ परिशोधित किस्म है <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/\langle f_1, \ldots, f_m\rangle,</math> यह पत्राचार मानचित्र के माध्यम से स्पष्ट हो जाता है <math>(a_1,\ldots, a_n) \mapsto \langle \overline{x_1-a_1}, \ldots, \overline{x_n-a_n}\rangle,</math> कहाँ <math>\overline{x_i-a_i}</math> बहुपद के भागफल बीजगणित आर में छवि को दर्शाता है <math>x_i-a_i.</math> बीजगणितीय उपसमुच्चय बिंदु है यदि और केवल यदि उपसमुच्चय का समन्वय वलय क्षेत्र है, क्योंकि अधिकतम आदर्श द्वारा वलय का भागफल क्षेत्र है। | ||
निम्न तालिका इस पत्राचार को सारांशित करती है, | निम्न तालिका इस पत्राचार को सारांशित करती है, सजातीय विविधता के बीजगणितीय उपसमुच्चय और संबंधित समन्वय अंगूठी के आदर्शों के लिए: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
| Line 83: | Line 83: | ||
==एफ़ाइन किस्मों के उत्पाद== | ==एफ़ाइन किस्मों के उत्पाद== | ||
समरूप किस्मों के उत्पाद को समरूपता का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है {{math|'''A'''<sup>''n''</sup> × '''A'''<sup>''m''</sup> {{=}} '''A'''<sup>''n''+''m''</sup>,}} फिर उत्पाद को इस नए affine स्थान में एम्बेड करना। होने देना {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} और {{math|'''A'''<sup>''m''</sup>}} में समन्वय के छल्ले हैं {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>]}} और {{math|''k''[''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}} क्रमशः, ताकि उनका उत्पाद {{math|'''A'''<sup>''n''+''m''</sup>}} में निर्देशांक वलय है {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}}. होने देना {{math|''V'' {{=}} ''V''( ''f''<sub>1</sub>,..., ''f''<sub>''N''</sub>)}} का | समरूप किस्मों के उत्पाद को समरूपता का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है {{math|'''A'''<sup>''n''</sup> × '''A'''<sup>''m''</sup> {{=}} '''A'''<sup>''n''+''m''</sup>,}} फिर उत्पाद को इस नए affine स्थान में एम्बेड करना। होने देना {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} और {{math|'''A'''<sup>''m''</sup>}} में समन्वय के छल्ले हैं {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>]}} और {{math|''k''[''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}} क्रमशः, ताकि उनका उत्पाद {{math|'''A'''<sup>''n''+''m''</sup>}} में निर्देशांक वलय है {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}}. होने देना {{math|''V'' {{=}} ''V''( ''f''<sub>1</sub>,..., ''f''<sub>''N''</sub>)}} का बीजगणितीय उपसमुच्चय हो {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>,}} और {{math|''W'' {{=}} ''V''( ''g''<sub>1</sub>,..., ''g''<sub>''M''</sub>)}} का बीजगणितीय उपसमुच्चय {{math|'''A'''<sup>''m''</sup>.}} फिर प्रत्येक {{math|''f''<sub>''i''</sub>}} में बहुपद है {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>]}}, और प्रत्येक {{math|''g''<sub>''j''</sub>}} में है {{math|''k''[''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}}. का उत्पाद {{mvar|''V''}} और {{mvar|''W''}} को बीजगणितीय सेट के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''V'' × ''W'' {{=}} ''V''( ''f''<sub>1</sub>,..., ''f''<sub>''N''</sub>, ''g''<sub>1</sub>,..., ''g''<sub>''M''</sub>)}} में {{math|'''A'''<sup>''n''+''m''</sup>.}} यदि प्रत्येक उत्पाद अप्रासंगिक है {{mvar|''V''}}, {{mvar|''W''}} अलघुकरणीय है।<ref>This is because, over an algebraically closed field, the tensor product of integral domains is an integral domain; see [[integral domain#Properties]].</ref> | ||
जरिस्की टोपोलॉजी ऑन {{math|'''A'''<sup>''n''</sup> × '''A'''<sup>''m''</sup> }} दो स्थानों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का [[उत्पाद टोपोलॉजी]] नहीं है। दरअसल, उत्पाद टोपोलॉजी मूल खुले सेट के उत्पादों द्वारा उत्पन्न होती है {{math|''U''<sub>''f''</sub> {{=}} '''A'''<sup>''n''</sup> − ''V''( ''f'' )}} और {{math|''T''<sub>''g''</sub> {{=}} '''A'''<sup>''m''</sup> − ''V''( ''g'' ).}} इसलिए, बहुपद जो अंदर हैं {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}} लेकिन | जरिस्की टोपोलॉजी ऑन {{math|'''A'''<sup>''n''</sup> × '''A'''<sup>''m''</sup> }} दो स्थानों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का [[उत्पाद टोपोलॉजी]] नहीं है। दरअसल, उत्पाद टोपोलॉजी मूल खुले सेट के उत्पादों द्वारा उत्पन्न होती है {{math|''U''<sub>''f''</sub> {{=}} '''A'''<sup>''n''</sup> − ''V''( ''f'' )}} और {{math|''T''<sub>''g''</sub> {{=}} '''A'''<sup>''m''</sup> − ''V''( ''g'' ).}} इसलिए, बहुपद जो अंदर हैं {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}} लेकिन बहुपद के उत्पाद के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>]}} में बहुपद के साथ {{math|''k''[''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''m''</sub>]}} उन बीजगणितीय सेटों को परिभाषित करेगा जो ज़रिस्की टोपोलॉजी में हैं {{math|'''A'''<sup>''n''</sup> × '''A'''<sup>''m''</sup> ,}} लेकिन उत्पाद टोपोलॉजी में नहीं। | ||
== सजातीय किस्मों की रूपात्मकता == | == सजातीय किस्मों की रूपात्मकता == | ||
{{main|Morphism of algebraic varieties}} | {{main|Morphism of algebraic varieties}} | ||
एफ़िन किस्मों का | एफ़िन किस्मों का रूपवाद, या नियमित मानचित्र, एफ़िन किस्मों के बीच कार्य है जो प्रत्येक समन्वय में बहुपद है: अधिक सटीक रूप से, एफ़िन किस्मों के लिए {{math|''V'' ⊆ ''k''<sup>''n''</sup>}} और {{math|''W'' ⊆ ''k''<sup>''m''</sup>}}, रूपवाद से {{math| ''V''}} को {{math| ''W''}} नक्शा है {{math | ''φ'' : ''V'' → ''W''}} फॉर्म का {{math | ''φ''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) {{=}} (''f''<sub>1</sub>(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>), ..., ''f''<sub>''m''</sub>(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)),}} कहाँ {{math | ''f''<sub>''i''</sub> ∈ ''k''[''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>]}} प्रत्येक के लिए {{math | ''i'' {{=}} 1, ..., ''m''.}} ये एफ़ाइन किस्मों की [[श्रेणी (गणित)]] में आकारिकी हैं। | ||
बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एफ़ाइन किस्मों के आकारिकी के बीच -से- पत्राचार होता है {{math|''k'',}} और affine किस्मों के समन्वय के छल्ले के समरूपता {{math|''k''}} विपरीत दिशा में जा रहा है। इस वजह से, इस तथ्य के साथ कि वहाँ affine किस्मों के बीच -से- पत्राचार है {{math|''k''}} और उनके निर्देशांक के छल्ले, affine किस्मों की श्रेणी {{math|''k''}} affine किस्मों के समन्वय के छल्ले की श्रेणी के लिए [[दोहरी (श्रेणी सिद्धांत)]] है {{math|''k''.}} affine किस्मों के समन्वय के छल्ले की श्रेणी {{math|''k''}} ठीक-ठीक जनित, निलपोटेंट-मुक्त बीजगणित की श्रेणी है {{math|''k''.}} | |||
अधिक सटीक, प्रत्येक रूपवाद के लिए {{math | ''φ'' : ''V'' → ''W''}} affine किस्मों में, | |||