सजातीय विविधता

द्वारा दिया गया एक घन समतल वक्र $y^{2}=x^{2}(x+1)$

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक संबधित विविधता, या बीजगणितीय विविधता, k affine स्थान में शून्य-स्थल है kⁿ के बहुपदों के कुछ परिमित परिवार का n में गुणांक के साथ चर k जो एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि एक अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, तो ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय (affine) कहा जाता है। एक जरिस्की टोपोलॉजी एक संबधित किस्म की उप-प्रजाति को अर्ध-एफ़ाइन किस्म कहा जाता है।

कुछ ग्रंथों को एक प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और एक प्रधान आदर्श द्वारा परिभाषित एक बीजगणितीय विविधता इरिड्यूसिबल कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकी को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजीय बीजगणितीय सेट।

कुछ संदर्भों में, क्षेत्र को अलग करना उपयोगी होता है k जिसमें बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र से गुणांकों पर विचार किया जाता है K (युक्त k) जिसके ऊपर शून्य-लोकस माना जाता है (अर्थात् एफ़ाइन किस्म के बिंदु अंदर होते हैं Kⁿ). इस मामले में, विविधता को परिभाषित कहा जाता है k, और विविधता के बिंदु जो संबंधित हैं kⁿ कहा जाता हैk-तर्कसंगत या तर्कसंगत अधिक k. सामान्य मामले में जहां k वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, a k-रामेय बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं। जब मैदान k निर्दिष्ट नहीं है, परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमेय है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का दावा है कि affine बीजगणितीय किस्म (यह एक वक्र है) द्वारा परिभाषित xⁿ + yⁿ − 1 = 0 का किसी पूर्णांक के लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है n दो से अधिक।

परिचय

एक affine बीजगणितीय सेट बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधान का सेट है k में गुणांकों के साथ बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली k. अधिक सटीक, अगर $f_{1},\ldots ,f_{m}$ में गुणांक वाले बहुपद हैं k, वे एक सजातीय बीजगणितीय सेट को परिभाषित करते हैं

$V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.$

एक affine (बीजीय) किस्म एक affine बीजगणितीय सेट है जो दो उचित affine बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस तरह के एक सजातीय बीजगणितीय सेट को अक्सर इर्रिड्यूसिबल कहा जाता है।

अगर X एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और I उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन पर शून्य है X, फिर भागफल की अंगूठी $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ कहा जाता है{{vanchor|coordinate ring}एक्स का }. यदि X एक संबधित किस्म है, तो I अभाज्य है, इसलिए निर्देशांक वलय एक अभिन्न डोमेन है। समन्वय वलय आर के तत्वों को विविधता पर नियमित कार्य या बहुपद कार्य भी कहा जाता है। वे विविधता पर नियमित कार्यों की अंगूठी बनाते हैं, या, बस, विविधता की अंगूठी; दूसरे शब्दों में (#स्ट्रक्चर शीफ देखें), यह एक्स के स्ट्रक्चर शीफ के ग्लोबल सेक्शन का स्पेस है।

विविधता का आयाम प्रत्येक विविधता से जुड़ा एक पूर्णांक है, और यहां तक ​​​​कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट के लिए, जिसका महत्व बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)।

उदाहरण

• एक affine किस्म में एक hypersurface का पूरक X (वह है X - { f = 0 } कुछ बहुपद के लिए f) एफ़िन है। इसके परिभाषित समीकरण संतृप्ति (कम्यूटेटिव बीजगणित) द्वारा प्राप्त किए जाते हैं f का परिभाषित आदर्श X. इस प्रकार निर्देशांक वलय एक वलय का स्थानीयकरण है $k[X][f^{-1}]$.
• विशेष रूप से, $\mathbb {C} -0$ (मूल के साथ affine रेखा हटा दी गई है) affine है।
• वहीं दूसरी ओर, $\mathbb {C} ^{2}-0$ (मूल के साथ संबधित तल) एक सजातीय किस्म नहीं है; सी एफ हार्टोग्स का विस्तार प्रमेय।
• एफ़िन स्पेस में कोडिमेंशन वन की उप-किस्में $k^{n}$ वास्तव में हाइपरसर्फ्स हैं, जो कि एक बहुपद द्वारा परिभाषित किस्में हैं।
• इरेड्यूसिबल एफाइन किस्म की सामान्य योजना एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी तरह, एक प्रक्षेपी किस्म का सामान्यीकरण एक प्रक्षेपी किस्म है।)

वाजिब बिंदु

वक्र के वास्तविक बिंदुओं का आरेखण y² = x³ − x² − 16x.

Main article: rational point

एक एफ़िन किस्म के लिए $V\subseteq K^{n}$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर K, और एक उपक्षेत्र k का K, ए k-तार्किक बिंदु V बिंदु है $p\in V\cap k^{n}.$ यानी एक बिंदु V जिसके निर्देशांक तत्व हैं k. का संग्रह k-एक सजातीय किस्म के तर्कसंगत बिंदु V को अक्सर निरूपित किया जाता है $V(k).$ अक्सर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं C, बिंदु जो हैं R-तर्कसंगत (जहां R वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और Q-तर्कसंगत अंक (Q परिमेय संख्याएँ) अक्सर केवल परिमेय बिंदु कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, (1, 0) एक है Q-तर्कसंगत और एक R-किस्म का तर्कसंगत बिंदु $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},$ जैसा इसमें है V और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु (√2/2, √2/2) का वास्तविक बिंदु है V जो कि नहीं Q-तर्कसंगत, और $(i,{\sqrt {2}})$ का एक बिन्दु है V जो कि नहीं R-तर्कसंगत। इस किस्म को एक वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका सेट R-रेशनल पॉइंट्स यूनिट सर्कल है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक हैं Q-तर्कसंगत बिंदु जो बिंदु हैं

$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

कहाँ t एक परिमेय संख्या है।

वृत्त $V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ डिग्री दो के बीजगणितीय वक्र का एक उदाहरण है जिसमें कोई नहीं है Q-तर्कसंगत बिंदु। इसका अंदाजा इस बात से लगाया जा सकता है कि, मॉड्यूलर अंकगणित 4, दो वर्गों का योग नहीं हो सकता 3.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि a के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र Q-रेशनल पॉइंट के अपरिमित रूप से कई अन्य होते हैं Q-तर्कसंगत अंक; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है।

जटिल किस्म $V(x^2+y^2+1$