एकपदी आधार

गणित में एक बहुपद वलय का एकपदी आधार इसका आधार होता है (क्षेत्र या गुणांक के वलय पर एक सदिश स्थान या मुक्त मॉड्यूल के रूप में) जिसमें सभी एकपदी सम्मिलित होते हैं। एकपदी एक आधार बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक बहुपद को विशिष्ट रूप से एकपदी के एक परिमित रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (यह एक बहुपद की परिभाषा का तत्काल परिणाम है)।

एक अनिश्चित

एक क्षेत्र K पर एकविभिन्न बहुपदों का बहुपद वलय K[x] एक K-सदिश स्थान है, जिसमें है

$$1,x,x^{2},x^{3},\ldots$$

एक (अनंत) आधार के रूप में अधिक सामान्यतः, यदि K एक वलय है तो K[x] एक मुक्त मॉड्यूल है जिसका आधार समान है।

अधिकतम d पर घात के बहुपद एक सदिश समष्टि (या गुणांकों के वलय के स्थिति में एक मुक्त मापांक) भी बनाते हैं, जिसमें

$$1,x,x^{2},\ldots$$

आधार रूप से

किसी बहुपद का विहित रूप इस आधार पर उसकी अभिव्यक्ति है:

$$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},$$

या, छोटे सिग्मा संकेतन का उपयोग करके:

$$\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.$$

एकपदी आधार स्वाभाविक रूप से कुल क्रम है, या तो डिग्री बढ़ाकर

$$1<x<x^{2}<\cdots ,$$

या घटती डिग्री से

$$1>x>x^{2}>\cdots .$$

कई अनिश्चित

कई अनिश्चितताओं के स्थिति में $x_{1},\ldots ,x_{n},$ एकपदी एक उत्पाद है

$$x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},$$

जहां $d_{i}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। जैसा कि $x_{i}^{0}=1,$ शून्य के समान घातांक का अर्थ है कि संबंधित अनिश्चित एकपदी में प्रकट नहीं होता है; विशेष रूप से $1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}$ एकपदी है।

अविभाज्य बहुपद के स्थिति के समान, $x_{1},\ldots ,x_{n}$ में बहुपद एक सदिश समष्टि बनाते हैं (यदि गुणांक किसी क्षेत्र से संबंधित हैं) या एक मुक्त मॉड्यूल (यदि गुणांक एक वलय से संबंधित हैं), जिसमें आधार के रूप में सभी एकपदी का समुच्चय होता है, जिसे एकपदी आधार कहा जाता है।

घात $d$ के सजातीय बहुपद एक उपसमष्टि बनाते हैं जिसका आधार घात $d=d_{1}+\cdots +d_{n}$के एकपदी होते हैं। इस उपसमष्टि का आयाम डिग्री $d$ के एकपदी की संख्या है, जो है

$${\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},$$

जहाँ ${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$ एक द्विपद गुणांक है.

अधिकतम d पर घात वाले बहुपद भी एक उपसमष्टि बनाते हैं, जिसका आधार अधिकतम d पर घात वाले एकपदी होते हैं। इन एकपदों की संख्या इस उपसमष्टि के आयाम के समान है

$${\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.$$

अविभाज्य स्थिति के विपरीत, बहुभिन्नरूपी स्थिति में एकपदी आधार का कोई प्राकृतिक कुल क्रम नहीं है। उन समस्याओं के लिए जिनके लिए कुल क्रम चुनने की आवश्यकता होती है, जैसे कि ग्रोब्नर आधार गणना, व्यक्ति सामान्यतः एक स्वीकार्य एकपदी क्रम चुनता है - अर्थात, एकपदी के समुच्चय पर कुल क्रम जैसे कि

$$m<n\iff mq<nq$$

और

$$1\leq m$$

प्रत्येक एकपदी के लिए $m,n,q.$

यह भी देखें

• हॉर्नर विधि
• बहुपद अनुक्रम
• न्यूटन बहुपद
• लैग्रेंज बहुपद
• लीजेंडर बहुपद
• बर्नस्टीन फॉर्म
• चेबीशेव रूप

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