एक बहुपद की घात: Difference between revisions

Revision as of 23:13, 4 November 2022

गणित में, एक बहुपद की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।^[1]^[2] शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है (घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।

एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ , कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की डिग्री 1 है, हालांकि प्रत्येक शिखर की डिग्री 2 है। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:^[3]^[4]^[5]^[2]

विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
डिग्री 0 - गैर-शून्य निरंतर ^[6]
डिग्री 1 - रैखिक
डिग्री 2 - द्विघात
डिग्री 3 - घन
डिग्री 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी डिग्री, द्विद्विघात है)
डिग्री 5 - क्विंटिक
डिग्री 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
डिग्री 7 - सेप्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)

उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,^[7] लेकिन वे शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है:

डिग्री 8 - ओक्टिक
डिग्री 9 - नॉनिक
डिग्री 10 - डेसिक

तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, एरिटी, जो लैटिन में वितरण संख्या पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद $x^{2}+xy+y^{2}$ ,को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात डिग्री दो के कारण होता है।^{[lower-alpha 1]} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, द्विपद और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही डिग्री के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ , उच्चतम घातांक 3 के साथ।

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5} +$

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[lower-alpha 1]

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 == घात के अनुसार बहुपदों के नाम==
-{{wiktionary|Appendix:English polynomial degrees}}
+{{wiktionary|परिशिष्ट: अंग्रेजी बहुपद डिग्री}}
 बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />
 *विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद |शून्य बहुपद]](नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
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 ==दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार ==
-दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों के लिए, पद की घात पद में चरों के घातांकों का योग होता है; बहुपद की घात (जिसे कभी-कभी 'कुल घात' भी कहा जाता है) बहुपद में सभी पदों की घातों का अधिकतम होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद x<sup>2</sup>और<sup>2</sup> + 3x<sup>3</sup> + 4y में डिग्री 4 है, वही डिग्री x<sup>2</sup>और<sup>2</सुप>.
+दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की डिग्री इस पद में चर के घातांकों का योग है; डिग्री जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल डिग्री कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम डिग्री होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद  ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y डिग्री 4, शब्द के रूप में एक ही डिग्री है  x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> .''
-हालांकि, चर x और y में एक बहुपद, x में एक बहुपद है जिसमें गुणांक y में बहुपद हैं, और y में एक बहुपद भी गुणांक के साथ है जो x में बहुपद हैं। बहुपद
-:<math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math>
-डिग्री 3 x में और डिग्री 2 y में है।
+हालांकि, चर में एक बहुपद  x और y,  x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math> की डिग्री 3 में एक्स और डिग्री 2 में y है।
 ==अमूर्त बीजगणित में डिग्री फ़ंक्शन==
-एक वलय (गणित) R को देखते हुए, [[ बहुपद वलय | बहुपद वलय]] R[x] x में सभी बहुपदों का समुच्चय है, जिसके गुणांक R में हैं। विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र (गणित) है, बहुपद वलय R[x] एक [[ प्रमुख आदर्श डोमेन | प्रमुख आदर्श डोमेन]] है और, यहां हमारी चर्चा के लिए अधिक महत्वपूर्ण, एक [[ यूक्लिडियन डोमेन | यूक्लिडियन डोमेन]] ।
+एक वलय (गणित) R, [[ बहुपद वलय |बहुपद वलय]] R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक [[ प्रमुख आदर्श डोमेन | प्रमुख आदर्श डोमेन]] है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ [[ यूक्लिडियन डोमेन |यूक्लिडियन डोमेन]] हमारी चर्चा के लिए है।
-यह दिखाया जा सकता है कि एक क्षेत्र पर बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक फ़ंक्शन की सभी आवश्यकताओं को पूरा करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) दिए जाने पर, गुणनफल f(x)g(x) की घात व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों की घातों से बड़ी होनी चाहिए। वास्तव में, कुछ मजबूत धारण करता है:
+यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की डिग्री f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों डिग्री से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:
 :<math>\deg(f(x)g(x)) = \deg(f(x)) + \deg(g(x))</math>
-एक उदाहरण के लिए डिग्री फ़ंक्शन एक रिंग पर विफल क्यों हो सकता है जो एक फ़ील्ड नहीं है, निम्न उदाहरण लें। चलो आर = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>, पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4. यह वलय एक क्षेत्र नहीं है (और एक अभिन्न डोमेन भी नहीं है) क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, माना f(x) = g(x) = 2x + 1। फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।
+एक उदाहरण के लिए कि क्यों डिग्री फ़ंक्शन एक वलय  पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>  पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, माना f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार  deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।
-चूँकि वलय के शून्य तत्व के लिए मानक फलन परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की घात को भी अपरिभाषित मानते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में एक मानदंड के नियमों का पालन करे।
+चूंकि मानक फ़ंक्शन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की डिग्री को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।
 ==यह भी देखें==

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