एक बहुपद की घात: Difference between revisions
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==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद | बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही डिग्री के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक 3 के साथ। | ||
बहुपद <math>(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)</math> एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर <math>z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6</math>, | बहुपद <math>(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)</math> एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर <math>z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6</math>, सर्वोच्च घातांक 5 के साथ। | ||
==बहुपद संचालन के तहत व्यवहार== | ==बहुपद संचालन के तहत व्यवहार== | ||
योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों | योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref> | ||
===जोड़=== | ===जोड़=== | ||
दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी | दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्, | ||
:<math>\deg(P + Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math> तथा <math>\deg(P - Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math>. | :<math>\deg(P + Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math> तथा <math>\deg(P - Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math>. | ||
उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है। | उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है। | ||
समानता | बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है। | ||
===गुणन=== | ===गुणन=== | ||
एक गैर | एक गैर शून्य [[ अदिश (गणित) |अदिश (गणित)]] द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की डिग्री बहुपद की डिग्री के बराबर है;अर्थात्, | ||
:<math>\deg(cP)=\deg(P)</math> | :<math>\deg(cP)=\deg(P)</math> | ||
उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की डिग्री के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>. | उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की डिग्री के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>. | ||
इस प्रकार, बहुपदों का | इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी डिग्री दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की डिग्री एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी डिग्री का योग होता है: | ||
:<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>. | :<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>. | ||
उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है। | उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है। | ||
एक | बहुपदों के लिए एक मनमाने अंगूठी पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, रिंग में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक modulo 4, एक है कि <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की डिग्री के योग के बराबर नहीं है। | ||
===रचना=== | ===रचना=== | ||
दो गैर | दो गैर निरंतर बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की डिग्री उनकी डिग्री का उत्पाद है: | ||
:<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)</math>. | :<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)</math>. | ||
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* यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी डिग्री 6 है। | * यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी डिग्री 6 है। | ||
यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>. | |||
==शून्य बहुपद की डिग्री== | ==शून्य बहुपद की डिग्री== | ||
शून्य बहुपद की | शून्य बहुपद की डिग्री या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>)<ref> | ||
Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)<br /> | Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)<br /> | ||
Childs (1995) uses −1. (p. 233)<br /> | Childs (1995) uses −1. (p. 233)<br /> | ||
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Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ <math>\mathbb{Z}</math> or as <math>-\infty</math>, as long as deg 0 < deg ''A'' for all ''A'' ≠ 0." (''A'' is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121) | Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ <math>\mathbb{Z}</math> or as <math>-\infty</math>, as long as deg 0 < deg ''A'' for all ''A'' ≠ 0." (''A'' is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121) | ||
</ref> | </ref> | ||
किसी भी | |||
किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई डिग्री भी नहीं है। जैसे, इसकी डिग्री आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref> | |||
तथापि, यह शून्य बहुपद की डिग्री को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref> | |||
:<math>\max(a,-\infty) = a,</math> | :<math>\max(a,-\infty) = a,</math> | ||
तथा | तथा | ||
:<math>a + (-\infty) = -\infty.</math> | :<math>a + (-\infty) = -\infty.</math> | ||
इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है: | |||
*योग की डिग्री <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3 | *योग की डिग्री <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>. | ||
*अंतर की डिग्री <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि <math>-\infty \le \max(1,1)</math>. | *अंतर की डिग्री <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty \le \max(1,1)</math>. | ||
*उत्पाद की डिग्री <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि <math>-\infty = -\infty + 2</math>. | *उत्पाद की डिग्री <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty = -\infty + 2</math>. | ||
==फ़ंक्शन | ==फ़ंक्शन मान से गणना== | ||
कई सूत्र मौजूद हैं जो बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन | कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन करेगा। जो एक[[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण | स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] पर आधारित है | ||
:<math>\deg f = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}</math>; | :<math>\deg f = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}</math>; | ||
यह लॉग-लॉग प्लॉट | यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है। | ||
यह सूत्र डिग्री की अवधारणा को | यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में डिग्री की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए: | ||
उदाहरण के लिए: | |||
*[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]] की डिग्री, <math>\ 1/x</math>, -1 है। | *[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]] की डिग्री, <math>\ 1/x</math>, -1 है। | ||
*[[ वर्गमूल | वर्गमूल]] की डिग्री, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है। | *[[ वर्गमूल | वर्गमूल]] की डिग्री, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है। | ||
*लघुगणक की डिग्री, <math>\ \log x</math>, 0 है। | *लघुगणक की डिग्री, <math>\ \log x</math>, 0 है। | ||
*घातीय फ़ंक्शन की डिग्री, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math> | *घातीय फ़ंक्शन की डिग्री, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math> | ||
सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, | सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की डिग्री <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>. | ||
f के उसके मूल्यों से डिग्री की गणना करने के लिए एक और सूत्र है। | |||
:<math>\deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}</math>; | :<math>\deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}</math>; | ||
यह दूसरा सूत्र L' | यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि डिग्री D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>. | ||
एक फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, | एक फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही डिग्री होने के रूप में बाहर आ जाएगा। | ||
==दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार == | ==दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार == | ||
Revision as of 22:52, 3 November 2022
गणित में, एक बहुपद की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।[1][2] शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
उदाहरण के लिए, बहुपद जो भी लिखा जा सकता है तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है (घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।
एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि , कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, की डिग्री 1 है, हालांकि प्रत्येक शिखर की डिग्री 2 है। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।
घात के अनुसार बहुपदों के नाम
Look up Appendix:English polynomial degrees in Wiktionary, the free dictionary.
बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:[3][4][5][2]
- विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
- डिग्री 0 - गैर-शून्य निरंतर [6]
- डिग्री 1 - रैखिक
- डिग्री 2 - द्विघात
- डिग्री 3 - घन
- डिग्री 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी डिग्री, द्विद्विघात है)
- डिग्री 5 - क्विंटिक
- डिग्री 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
- डिग्री 7 - सेप्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)
उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,[7] लेकिन वे शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है:
- डिग्री 8 - ओक्टिक
- डिग्री 9 - नॉनिक
- डिग्री 10 - डेसिक
तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, एरिटी, जो लैटिन में वितरण संख्या पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद ,को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात डिग्री दो के कारण होता है।[lower-alpha 1] शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, द्विपद और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।
उदाहरण
बहुपद