एक बहुपद की घात

गणित में, एक बहुपद की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है। शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है (घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।

एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$, कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की डिग्री 1 है, हालांकि प्रत्येक शिखर की डिग्री 2 है। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:

• विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
• डिग्री 0 - गैर-शून्य निरंतर
• डिग्री 1 - रैखिक
• डिग्री 2 - द्विघात
• डिग्री 3 - घन
• डिग्री 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी डिग्री, द्विद्विघात है)
• डिग्री 5 - क्विंटिक
• डिग्री 6 - सेक्स्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेक्सिक)
• डिग्री 7 - सेप्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेप्टिक)

उच्च डिग्री के लिए, कभी-कभी नाम प्रस्तावित किए गए हैं, लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं:

• डिग्री 8 - ऑक्टिक
• डिग्री 9 - नॉनिक
• डिग्री 10 - decic

तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रमिक अंकों पर आधारित होते हैं, और अंत में -ic होते हैं। इसे चरों की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग किया जाना चाहिए, एरिटी , जो लैटिन वितरण संख्या ओं पर आधारित हैं, और अंत में -री। उदाहरण के लिए, दो चरों में एक घात दो बहुपद, जैसे $x^{2}+xy+y^{2}$, को द्विघात द्विघात कहते हैं: दो चरों के कारण द्विघात, द्वितीय अंश के कारण द्विघात। शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो लैटिन वितरण संख्याओं पर भी आधारित हैं, जो -नॉमियल में समाप्त होते हैं; आम हैं एकपदी, द्विपद (बहुपद) , और (कम सामान्यतः) त्रिपद; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक द्विघात द्विपद द्विपद है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद है: एक ही डिग्री के पदों को गुणा करने और एकत्रित करने के बाद, यह बन जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$, उच्चतम घातांक के साथ 3.

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$, उच्चतम घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों की संरचना इनपुट बहुपद की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी डिग्री से कम या उसके बराबर होती है; वह है,

$\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$ तथा $\mathrm{deg}<!--\; \; -->(P-<!--\; -\; -->Q)\le <!--\; \le \; -->max\{\mathrm{deg}<!--\; \; -->(P),\mathrm{deg}<!--\; \; -->$