K3 सतह

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति

मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम कुमेर, काहलर, कोडैरा और कश्मीर के सुन्दर पर्वत K2 के सम्मान में रखा गया है।

आंद्रे Weil (1958, p. 546), "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0$

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है। ( समान तर्क L-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल $K_{X}=\Omega _{X}^{2}$ तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम $h^{1}(X,O_{X})$ सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का $H^{1}(X,O_{X})$) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,

$h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.$

परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता) है:

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.$

दूसरी ओर, सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय (नोएदर का सूत्र) कहता है:

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),$

जहाँ $c_{i}(X)$ स्पर्शरेखा बंडल का i-वाँ चेर्न वर्ग है। तब से $K_{X}$ तुच्छ है, इसकी प्रथम चेर्न क्लास $c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)$ शून्य है, इत्यादि $c_{2}(X)=24$.

निकटतम, घातीय अनुक्रम $0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0$ कोहोमोलोजी समूहों का त्रुटिहीन क्रम देता है, $0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})$, इसलिए $H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0$. इस प्रकार बेट्टी संख्या $b_{1}(X)$ शून्य है, और पोंकारे द्वंद्व द्वारा, $b_{3}(X)$ शून्य भी है, $c_2($