दृढ़ता मॉड्यूल

एक दृढ़ता मॉड्यूल लगातार सजातीय और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण में एक गणितीय संरचना है जो औपचारिक रूप से स्केल मापदंडों की एक श्रृंखला में किसी वस्तु की सांस्थितिक विशेषताओं की दृढ़ता को पकड़ती है। एक दृढ़ता मॉड्यूल में अक्सर सांस्थितिक रिक्त स्थान के निस्पंदन (गणित) के अनुरूप सजातीय (गणित) (या कार्यक्षेत्र गुणांक का उपयोग करने पर वेक्टर रिक्त स्थान) का संग्रह होता है, और निस्पंदन के समावेशन से प्रेरित रैखिक मानचित्रों का संग्रह होता है। दृढ़ता मॉड्यूल की अवधारणा को पहली बार 2005 में बहुपद रिंगों पर वर्गीकृत मॉड्यूल के अनुप्रयोग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, इस प्रकार शास्त्रीय विनिमेय बीजगणित सिद्धांत से लगातार सजातीय की स्थापना के लिए अच्छी तरह से विकसित बीजगणितीय विचारों को आयात किया गया था। तब से, दृढ़ता मॉड्यूल लागू टोपोलॉजी के क्षेत्र में अध्ययन किए गए प्राथमिक बीजगणितीय संरचनाओं में से एक रहा है।

परिभाषा

एकल पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल

होने देना $P$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया श्रेणी (पोसेट) हो और चलो $K$ एक क्षेत्र हो। पोसेट $P$ को कभी-कभी अनुक्रमण श्रेणी भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ एक पदाधिकारी है $M:P\to \mathbf {Vec} _{K}$ पोसेट श्रेणी (गणित) से $P$ सदिश स्थानों की श्रेणी में $K$ और रैखिक मानचित्र। पूर्णांक जैसे असतत पॉसेट द्वारा अनुक्रमित एक दृढ़ता मॉड्यूल को रिक्त स्थान के आरेख के रूप में सहज रूप से दर्शाया जा सकता है:

$$\cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots$$

उपयोग किए जा रहे अनुक्रमण श्रेणी पर जोर देने के लिए, एक दृढ़ता मॉड्यूल द्वारा अनुक्रमित किया गया $P$ को कभी-कभी a कहा जाता है $P$-दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक $P$-मॉड्यूल। कोई वैकल्पिक रूप से एक दृढ़ता मॉड्यूल की श्रेणी सैद्धांतिक परिभाषा का उपयोग कर सकता है जो श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण के बराबर है: एक दृढ़ता मॉड्यूल एक जोड़ी है $(V,\pi )$ कहाँ $V$ एक संग्रह है $\{V_{z}\}_{z\in P}$ का $K$-वेक्टर रिक्त स्थान और $\pi$ एक संग्रह है $\{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in P}$ रैखिक मानचित्रों का जहाँ $\pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}$ प्रत्येक के लिए $y\leq z\in P$, ऐसा कि $\pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}$ किसी के लिए भी$x\leq y\leq z\in P$ (अर्थात, सभी मानचित्र चलते हैं)।

मल्टीपैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल

ए के मामले में $P$-मापांक $M$ कहाँ $P$ एक एकल आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया श्रेणी है (उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N}$, आदि), हम कहते हैं $M$ एक एकल या 1-पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल है। हालांकि, यदि इसके अतिरिक्त $P$ का एक उत्पाद है $n$ पूरी तरह से ऑर्डर,किए गए सेट, यानी, $P=T_{1}\times \dots \times T_{n}$ कुछ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के लिए $T_{i}$, फिर दान देकर $P$ द्वारा उत्पाद का आंशिक ऑर्डर दिया गया $(s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})$ केवल यदि $s_{i}\leq t_{i}$ सभी के लिए $i=1,\dots ,n$, हम अनुक्रमित एक मल्टीपैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $P$.

इस मामले में, ए $P$-दृढ़ता मॉड्यूल को एक के रूप में जाना जाता है $n$-आयामी या $n$-पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक मल्टीपैरामीटर या बहुआयामी मॉड्यूल यदि पैरामीटर की संख्या संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट ह�