तर्कवाद: Difference between revisions

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===असंदेह्यता का समाधान: प्रकारों का पदानुक्रम===
===असंदेह्यता का समाधान: प्रकारों का पदानुक्रम===
गोडल ने 1944:131 में देखा कि "रसेल ने कक्षाओं के विस्तारीकरण दृष्टिकोण के खिलाफ दो कारण पेश किए हैं, जिसमें (1) शून्य कक्ष, जो बहुत अच्छी प्रकार से संग्रह नहीं हो सकता है, और (2) इकाई कक्ष, जो अपने एकल तत्वों से एकसार होना चाहिए।" उन्होंने सुझाव दिया कि रसेल को इन्हें कल्पित, लेकिन यह और निकलना चाहिए था कि सभी कक्षाएं (जैसे कि कक्षा-के-कक्षा जो नंबर 2, 3, आदि की परिभाषा करती हैं) कल्पनात्मक हैं।
गोडल ने 1944:131 में देखा कि "रसेल ने कक्षाओं के विस्तारीकरण दृष्टिकोण के खिलाफ दो कारण पेश किए हैं, जिसमें (1) शून्य कक्ष, जो बहुत अच्छी प्रकार से संग्रह नहीं हो सकता है, और (2) इकाई कक्ष, जो अपने एकल तत्वों से एकसार होना चाहिए।" उन्होंने सुझाव दिया कि रसेल को इन्हें कल्पित, किन्तु यह और निकलना चाहिए था कि सभी कक्षाएं (जैसे कि कक्षा-के-कक्षा जो नंबर 2, 3, आदि की परिभाषा करती हैं) कल्पनात्मक हैं।


किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया, अपने 1903 में परिशिष्ट A: फ्रेग के तार्किक और अंखगणितीय धरोहर में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला:
किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया, अपने 1903 में परिशिष्ट A: फ्रेग के तार्किक और अंखगणितीय धरोहर में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला:
: "जो तार्किक धरोहर इस प्रकार हमारे ऊपर थोपा जा रहा है, वह यह है: प्रस्तावना का विषय एकल शब्द नहीं हो सकता, बल्कि मूल रूप से कई शब्द हो सकते हैं; यह वह स्थिति है जिसमें 0 और 1 के अतिरिक्त कोई अन्य नंबर जो संख्याएं घोषित करते हैं।" (1903:516)
: "जो तार्किक धरोहर इस प्रकार हमारे ऊपर थोपा जा रहा है, वह यह है: प्रस्तावना का विषय एकल शब्द नहीं हो सकता, बल्कि मूल रूप से कई शब्द हो सकते हैं; यह वह स्थिति है जिसमें 0 और 1 के अतिरिक्त कोई अन्य नंबर जो संख्याएं घोषित करते हैं।" (1903:516)


निम्नलिखित सूचना में "कक्षा जैसे कई" के शब्दों का उपयोग हुआ है - कक्षा वह श्रेणी है जिसमें वे शब्द (चीजें) सम्मिलित होते हैं जो प्रस्तावनात्मक क्रिया को पूरा करते हैं, लेकिन यह वस्तु खुद में चीज नहीं है।
निम्नलिखित सूचना में "कक्षा जैसे कई" के शब्दों का उपयोग हुआ है - कक्षा वह श्रेणी है जिसमें वे शब्द (चीजें) सम्मिलित होते हैं जो प्रस्तावनात्मक क्रिया को पूरा करते हैं, किन्तु यह वस्तु खुद में चीज नहीं है।
: "इस प्रकार अंतिम निष्कर्ष है, कि कक्षाओं के सही सिद्धांत विषयों के तार्किक धरोहर चैप्टर VI की तुलना में भी विस्तारशील है; कक्षा जैसे कई वह विषय है जो सदैव किसी प्रस्तावनात्मक क्रिया द्वारा परिभाषित होता है, और यह आधुनिक गणित के लिए पर्याप्त है" (1903:518)।
: "इस प्रकार अंतिम निष्कर्ष है, कि कक्षाओं के सही सिद्धांत विषयों के तार्किक धरोहर चैप्टर VI की तुलना में भी विस्तारशील है; कक्षा जैसे कई वह विषय है जो सदैव किसी प्रस्तावनात्मक क्रिया द्वारा परिभाषित होता है, और यह आधुनिक गणित के लिए पर्याप्त है" (1903:518)।


ऐसा लगता है जैसे कि गोपालक खेती के सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़े) को तीन कल्पनात्मक चारों में एकत्र करे (भेड़ों के लिए, गायों के लिए दूसरा और घोड़ों के लिए तीसरा) जो कि उसके कल्पनात्मक गोदामों में स्थित हैं। वास्तव में जो उपस्तिथ है, वे हैं भेड़, गाय और घोड़े (विस्तार), लेकिन कल्पनात्मक "धारणाएँ" गोदाम और खेती नहीं हैं।{{or|date=May 2019}}
ऐसा लगता है जैसे कि गोपालक खेती के सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़े) को तीन कल्पनात्मक चारों में एकत्र करे (भेड़ों के लिए, गायों के लिए दूसरा और घोड़ों के लिए तीसरा) जो कि उसके कल्पनात्मक गोदामों में स्थित हैं। वास्तव में जो उपस्तिथ है, वे हैं भेड़, गाय और घोड़े (विस्तार), किन्तु कल्पनात्मक "धारणाएँ" गोदाम और खेती नहीं हैं।{{or|date=May 2019}}


जब रसेल ने घोषित किया कि सभी कक्षाएं उपयुक्त कल्पनात्मक भ्रामक हैं, तो उन्होंने "इकाई" कक्ष की समस्या को हल कर दिया था, लेकिन समग्र समस्या ठीक नहीं हुई थी; वरना यह नए रूप में आ गई थी: "अब तो यह जरूरी हो जाएगा कि (1) शब्दें, (2) कक्षाएं, (3) कक्षाओं के कक्षाएं, और इसी प्रकार से अनंतता तक का अंतर करना पड़ेगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय के किसी भी सदस्य का किसी भी अन्य समुच्चय के सदस्य के रूप में आना संभव नहीं है, और x ε u इसका मतलब है कि x को उस समुच्चय का सदस्य होना चाहिए जो u से डिग्री कम है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्तावना हो जाएगी; और इस प्रकार से विरोध से बचा जाएगा"(1903:517)।
जब रसेल ने घोषित किया कि सभी कक्षाएं उपयुक्त कल्पनात्मक भ्रामक हैं, तो उन्होंने "इकाई" कक्ष की समस्या को हल कर दिया था, किन्तु समग्र समस्या ठीक नहीं हुई थी; वरना यह नए रूप में आ गई थी: "अब तो यह जरूरी हो जाएगा कि (1) शब्दें, (2) कक्षाएं, (3) कक्षाओं के कक्षाएं, और इसी प्रकार से अनंतता तक का अंतर करना पड़ेगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय के किसी भी सदस्य का किसी भी अन्य समुच्चय के सदस्य के रूप में आना संभव नहीं है, और x ε u इसका मतलब है कि x को उस समुच्चय का सदस्य होना चाहिए जो u से डिग्री कम है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्तावना हो जाएगी; और इस प्रकार से विरोध से बचा जाएगा"(1903:517)।


यह रसेल की "प्रकार का सिद्धांत" है। इसे यह सुनिश्चित करने के लिए कि x ε x जैसे अप्रेडिकटिव अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में उपयोग किया जा सके, रसेल ने इस प्रकार की कार्यकारी अनुमान के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाएं विधेय परिभाषाओं हैं। इस अनुमान के लिए, उन्होंने "फलन-आदेश" और विवाद- "प्रकार" के धारणाएं ज़रूरी किए। पहले, फलन (और उनके विस्तार-के-रूप में-कक्षाएं, अर्थात् "आव्यूह") को उनके "आदेश" द्वारा वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फलन आदेश 1 के होते हैं, फलन के फलन (कक्षाओं के कक्षाएं) के आदेश 2 के होते हैं, और इसी प्रकार। आगे, उन्होंने फलन के तर्कों (फलन के "इनपुट") के "प्रकार" को तय किया, अर्थात् उनके "प्रासंगिक अर्थ के विस्तार", अर्थात् वे प्रविष्टियों अल्फा (व्यक्तियों? कक्षाओं? कक्षाओं-के-कक्षाओं? आदि) क्या हैं, जो f(x) में डाले जाएं, वे कौन से ऐसे प्रविष्टियां हैं जो मानवीय परिणाम ω को मानवीय बनाते हैं। ध्यान दें कि इसका मतलब है कि "प्रकार" अर्थात् मिश्रित आदेश का हो सकता है, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है:
यह रसेल की "प्रकार का सिद्धांत" है। इसे यह सुनिश्चित करने के लिए कि x ε x जैसे अप्रेडिकटिव अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में उपयोग किया जा सके, रसेल ने इस प्रकार की कार्यकारी अनुमान के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाएं विधेय परिभाषाओं हैं। इस अनुमान के लिए, उन्होंने "फलन-आदेश" और विवाद- "प्रकार" के धारणाएं ज़रूरी किए। पहले, फलन (और उनके विस्तार-के-रूप में-कक्षाएं, अर्थात् "आव्यूह") को उनके "आदेश" द्वारा वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फलन आदेश 1 के होते हैं, फलन के फलन (कक्षाओं के कक्षाएं) के आदेश 2 के होते हैं, और इसी प्रकार। आगे, उन्होंने फलन के तर्कों (फलन के "इनपुट") के "प्रकार" को तय किया, अर्थात् उनके "प्रासंगिक अर्थ के विस्तार", अर्थात् वे प्रविष्टियों अल्फा (व्यक्तियों? कक्षाओं? कक्षाओं-के-कक्षाओं? आदि) क्या हैं, जो f(x) में डाले जाएं, वे कौन से ऐसे प्रविष्टियां हैं जो मानवीय परिणाम ω को मानवीय बनाते हैं। ध्यान दें कि इसका मतलब है कि "प्रकार" अर्थात् मिश्रित आदेश का हो सकता है, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है:
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"विधेय",के माध्यम से, रसेल का अर्थ है कि फलन को अपने चरण (चरणों) के "प्रकार" से अधिक आदेश होना चाहिए। इसलिए, फलन (क्रम 2 का) जो वर्गों का वर्ग बनाता है, केवल अपने चरण (चरणों) के वे प्रस्तावनात्मक अर्गुमेंट्स स्वीकार कर सकता है जो वर्ग (प्रकार 1) और विशिष्ट (प्रकार 0) होते हैं, क्योंकिये निम्नतर अभिव्यक्तियां होती हैं। प्रकार 3 केवल प्रकार 2, 1 या 0 इत्यादि को स्वीकार कर सकता है। किन्तु इन प्रकारों को मिश्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, इस वाक्य के सत्य होने के लिए: "z ने 1947 विश्व सीरीज जीती", वह विशिष्ट (प्रकार 0) "जो डिमैगियो और/या अपने अन्य साथियों के नाम स्वीकार कर सकता है", और यह हो सकता है व्यक्तिगत खिलाड़ियों द यांकीज़ के वर्ग (प्रकार 1) को स्वीकार करें।
"विधेय",के माध्यम से, रसेल का अर्थ है कि फलन को अपने चरण (चरणों) के "प्रकार" से अधिक आदेश होना चाहिए। इसलिए, फलन (क्रम 2 का) जो वर्गों का वर्ग बनाता है, केवल अपने चरण (चरणों) के वे प्रस्तावनात्मक अर्गुमेंट्स स्वीकार कर सकता है जो वर्ग (प्रकार 1) और विशिष्ट (प्रकार 0) होते हैं, क्योंकिये निम्नतर अभिव्यक्तियां होती हैं। प्रकार 3 केवल प्रकार 2, 1 या 0 इत्यादि को स्वीकार कर सकता है। किन्तु इन प्रकारों को मिश्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, इस वाक्य के सत्य होने के लिए: "z ने 1947 विश्व सीरीज जीती", वह विशिष्ट (प्रकार 0) "जो डिमैगियो और/या अपने अन्य साथियों के नाम स्वीकार कर सकता है", और यह हो सकता है व्यक्तिगत खिलाड़ियों द यांकीज़ के वर्ग (प्रकार 1) को स्वीकार करें।


द्विघात सिद्धांत (न्यूनीकरण का अभिगृहीत) होता है कि किसी भी आदेश के किसी भी फलन को उसके उपयुक्त आदेश के प्रामाणिक फलन में घटाया जा सकता है।<ref>"The axiom of reducibility is the assumption that, given any function φẑ, there is a formally equivalent, ''predicative'' function, i.e. there is a predicative function which is true when φz is true and false when φz is false. In symbols, the axiom is: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡<sub>z</sub> .ψ!z." (''PM'' 1913/1962 edition:56, the original uses x with a circumflex). Here φẑ indicates the function with variable ẑ, i.e. φ(x) where x is argument "z"; φz indicates the value of the function given argument "z"; ≡<sub>z</sub> indicates "equivalence for all z"; ψ!z indicates a predicative function, i.e. one with no variables except individuals.</ref> पहले संस्करण को सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि एनथ आदेश प्रामाणिक फलन को "सब से नीचे तक" बड़े "आव्यूह" या व्यक्तिगत परमाणु वाक्यों का समूह के रूप में व्यक्त करने की जरूरत नहीं होती। "क्योंकि व्यवहार में केवल परस्पर आधारित चरों के प्रकार प्रासंगिक होते हैं; इस प्रकार, किसी दिए गए संदर्भ में पाए जाने वाले सबसे निम्नतम प्रकार को व्यक्तियों का प्रकार कहा जा सकता है" (पृष्ठ 161)। लेकिन द्विघात सिद्धांत प्रस्तावित करता है कि सिद्धांत में विद्यमानता "सब से नीचे तक" अवश्य संभव है।
द्विघात सिद्धांत (न्यूनीकरण का अभिगृहीत) होता है कि किसी भी आदेश के किसी भी फलन को उसके उपयुक्त आदेश के प्रामाणिक फलन में घटाया जा सकता है।<ref>"The axiom of reducibility is the assumption that, given any function φẑ, there is a formally equivalent, ''predicative'' function, i.e. there is a predicative function which is true when φz is true and false when φz is false. In symbols, the axiom is: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡<sub>z</sub> .ψ!z." (''PM'' 1913/1962 edition:56, the original uses x with a circumflex). Here φẑ indicates the function with variable ẑ, i.e. φ(x) where x is argument "z"; φz indicates the value of the function given argument "z"; ≡<sub>z</sub> indicates "equivalence for all z"; ψ!z indicates a predicative function, i.e. one with no variables except individuals.</ref> पहले संस्करण को सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि एनथ आदेश प्रामाणिक फलन को "सब से नीचे तक" बड़े "आव्यूह" या व्यक्तिगत परमाणु वाक्यों का समूह के रूप में व्यक्त करने की जरूरत नहीं होती। "क्योंकि व्यवहार में केवल परस्पर आधारित चरों के प्रकार प्रासंगिक होते हैं; इस प्रकार, किसी दिए गए संदर्भ में पाए जाने वाले सबसे निम्नतम प्रकार को व्यक्तियों का प्रकार कहा जा सकता है" (पृष्ठ 161)। किन्तु द्विघात सिद्धांत प्रस्तावित करता है कि सिद्धांत में विद्यमानता "सब से नीचे तक" अवश्य संभव है।


चूंकि, 1927 के दूसरे संस्करण तक, रसेल ने द्विघात सिद्धांत पर आत्मसमर्पण कर दिया था और उन्होंने निर्धारित किया था कि उन्हें वास्तव में विभाजित प्रमाणिक फलन को "सब से नीचे तक" उसके आधारभूत प्रस्तावनात्मक वाक्यों तक पहुंचाना होगा, जिसे तार्किक ऑपरेटरों के साथ जोड़ा जाता है:
चूंकि, 1927 के दूसरे संस्करण तक, रसेल ने द्विघात सिद्धांत पर आत्मसमर्पण कर दिया था और उन्होंने निर्धारित किया था कि उन्हें वास्तव में विभाजित प्रमाणिक फलन को "सब से नीचे तक" उसके आधारभूत प्रस्तावनात्मक वाक्यों तक पहुंचाना होगा, जिसे तार्किक ऑपरेटरों के साथ जोड़ा जाता है:
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यह "स्ट्रोक" शेफर का स्ट्रोक है - जिसे PM के 2वें संस्करण में अपनाया गया था - एकल द्वितार्किक तार्किक फलन है जिससे सभी अन्य तार्किक फलन को परिभाषित किया जा सकता है।
यह "स्ट्रोक" शेफर का स्ट्रोक है - जिसे PM के 2वें संस्करण में अपनाया गया था - एकल द्वितार्किक तार्किक फलन है जिससे सभी अन्य तार्किक फलन को परिभाषित किया जा सकता है।


इसके परिणाम में, रसेल के सिद्धांत का अस्थिर हो जाना था। रसेल इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे: कि "आदेशिकता और कार्डिनलों का सिद्धांत बच जाता है... लेकिन अप्रशासनिक और वास्तविक संख्याएँ सामान्य रूप से ठीक से नहीं निपटा जा सकता है।... शायद कुछ और सिद्धांत, आदेशिकता की तुलना में कम विरोधनीय हो, ऐसा परिणाम दे सकता है, लेकिन हमें ऐसा सिद्धांत खोज में सफलता नहीं मिली है" (पीएम 1927:xiv)
इसके परिणाम में, रसेल के सिद्धांत का अस्थिर हो जाना था। रसेल इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे: कि "आदेशिकता और कार्डिनलों का सिद्धांत बच जाता है... किन्तु अप्रशासनिक और वास्तविक संख्याएँ सामान्य रूप से ठीक से नहीं निपटा जा सकता है।... शायद कुछ और सिद्धांत, आदेशिकता की तुलना में कम विरोधनीय हो, ऐसा परिणाम दे सकता है, किन्तु हमें ऐसा सिद्धांत खोज में सफलता नहीं मिली है" (पीएम 1927:xiv)


गोडल 1944 सहमत है कि रसेल के लॉजिसिस्ट परियोजना को रोक दिया गया था; उन्हें ऐसा लगता है कि अंकित संख्याएँ भी बच नहीं गईं:
गोडल 1944 सहमत है कि रसेल के लॉजिसिस्ट परियोजना को रोक दिया गया था; उन्हें ऐसा लगता है कि अंकित संख्याएँ भी बच नहीं गईं:

Revision as of 10:17, 24 July 2023

गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जिसमे या से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है।[1] बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन को समर्थित किया, जो गोटलोब फ्रीज ने प्रारंभ किया और फिर रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।

सिंहावलोकन

इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित तर्कसंगत संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को नेचुरल संख्याएं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि नेचुरल संख्याएं स्वंय भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे।

ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से नेचुरल संख्याएं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में नेचुरल संख्याएं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।

यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत भी इस समस्या का सामना करता है।

वहीं, 1903 में रसेल ने "गणित के सिद्धांत" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में प्रारंभिक धारणाओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने "गणितीय सिद्धांत" में एकत्र किया था।[2]

आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार ZFC) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। विलार्ड वान ऑरमैन क्विन के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है।

इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे नेचुरल संख्याएं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।[3] इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए डेविड हिल्बर्ट के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।

इस प्रकार तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की प्रकार ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। चूंकि , ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क प्रथम-क्रम तर्क के प्रमेयों और उच्च-क्रम तर्क के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्यतः - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, किन्तु अर्थ संबंधी प्रमाणो को नहीं। इसलिए, यह प्रमाणित कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि नेचुरल संख्याएं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की समानता में कम विश्वसनीय है।[4]

तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से[5] और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के समय विश्लेषणात्मक दर्शन के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।

'तर्कवाद' नाम की उत्पत्ति

आइवर ग्राटन-गिनीज का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में लुई कॉटुरेट और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।

सामान्यतः रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे विशिष्ट के रूप में प्रस्तुत किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलतबअर्थात के अतिरिक्त (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, किन्तु उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया। , जिससे 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)।[6]

रुडोल्फ कार्नाप (1929) के लगभग उसी समय, किन्तु स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का उपयोग किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का उपयोग किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का उपयोग किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, किन्तु वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।

तर्कवाद का निर्णय , या लक्ष्य

इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को प्रतीकात्मक तर्क (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। बीजगणितीय तर्क (बूलियन तर्क) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और मूड समुच्चय करना (अर्थात [1] a से भौतिक रूप से b और [का तात्पर्य है) 2] a, कोई b प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं है।

नेचुरल संख्याएं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से प्रारंभ करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की समानता में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के रचनावाद (गणित का दर्शन) के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944) रहा है।

इतिहास

गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. किन्तु यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े भाग को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अतिरिक्त , युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।

क्लेन 1952 इसे इस प्रकार बताता है: लीबनिज़ (1666) ने सबसे पहले तर्क को ऐसे विज्ञान के रूप में देखा जिसमें अन्य सभी विज्ञानों के अंतर्निहित विचार और सिद्धांत सम्मलित थे। डेडेकाइंड (1888) और फ़्रीज (1884, 1893, 1903) तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में गणितीय धारणाओं को परिभाषित करने में लगे हुए थे, और पीनो (1889, 1894-1908) गणितीय प्रमेयों को तार्किक प्रतीकवाद में व्यक्त करने में लगे हुए थे (पृष्ठ 43); पिछले पैराग्राफ में उन्होंने रसेल और व्हाइटहेड को तर्कवादी स्कूल के उदाहरण के रूप में सम्मलित किया है, अन्य दो मूलभूत स्कूल अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक या स्वयंसिद्ध स्कूल हैं। (पृष्ठ 43)

फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से प्रारंभ की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?

मुझे सबसे पहले यह पता लगाना था कि केवल अनुमानों के माध्यम से, विचार के उन नियमों के एकमात्र समर्थन से, जो सभी विवरणों से परे हैं, अंकगणित में कितनी दूर तक आगे बढ़ा जा सकता है। मेरा प्रारंभिक कदम क्रम में क्रमबद्ध करने की अवधारणा को तार्किक परिणाम तक कम करने का प्रयास करना था, जिससे वहां से संख्या की अवधारणा की ओर आगे बढ़ा जा सके। किसी भी सहज ज्ञान युक्त चीज़ को यहां बिना ध्यान दिए प्रवेश करने से रोकने के लिए मुझे अनुमानों की श्रृंखला को अंतराल से मुक्त रखने के लिए हर संभव प्रयास करना पड़ा। . . मुझे भाषा की अपर्याप्तता बाधा लगी; इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कितने बोझिल भावों को स्वीकार करने के लिए तैयार था, जैसे-जैसे रिश्ते अधिक से अधिक जटिल होते गए, मैं उस सटीकता को प्राप्त करने में कम सक्षम होता गया जो मेरे उद्देश्य के लिए आवश्यक थी। यही कमी मुझे वर्तमान विचारधारा के विचार तक ले गयी। इसलिए, इसका पहला उद्देश्य हमें अनुमानों की श्रृंखला की वैधता का सबसे विश्वसनीय परीक्षण प्रदान करना है और हर उस पूर्वधारणा को इंगित करना है जो किसी का ध्यान नहीं जाने देने की कोशिश करती है (वैन हाइजेनोर्ट 1967:5 में फ़्रीज 1879)।

डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है। उनका मानना ​​था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए:

अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को समिष्ट और समय की अंतर्ज्ञान की धारणाओं से पूरी प्रकार स्वतंत्र मानता हूं, कि मैं इसे विचार के नियमों का तत्काल परिणाम मानता हूं . . . संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं। . . [और] केवल संख्याओं के विज्ञान के निर्माण की विशुद्ध तार्किक प्रक्रिया के माध्यम से। . . क्या हम अंतरिक्ष और समय के बारे में अपनी धारणाओं को अपने दिमाग में बनाए गए इस संख्या-डोमेन के साथ संबंध में लाकर जांच करने के लिए सटीक रूप से तैयार हैं (डेडेकाइंड 1887 डोवर रिपब्लिकेशन 1963:31)।

पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना निर्णय बताया है:

गणित की नींव से संबंधित प्रश्न, चूंकि हाल के दिनों में कई लोगों द्वारा हल किए गए हैं, फिर भी संतोषजनक समाधान का अभाव है। कठिनाई का मुख्य स्रोत भाषा की अस्पष्टता है। ¶ इसीलिए हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों की सावधानीपूर्वक जांच करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। मेरा लक्ष्य इस परीक्षा को देना है (पीनो 1889 वैन हाइजेनोर्ट 1967:85 में)।

रसेल 1903 अपने 190 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन करता है गणित के 3 सिद्धांत:

वर्तमान कार्य के दो मुख्य उद्देश्य हैं। इनमें से एक, यह प्रमाण है कि सभी शुद्ध गणित विशेष रूप से बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणाओं से संबंधित हैं, और इसके सभी प्रस्ताव बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक सिद्धांतों से निकाले जा सकते हैं (प्रस्तावना 1903:vi)।
वर्तमान कार्य की उत्पत्ति के बारे में कुछ शब्द चर्चा किए गए प्रश्नों के महत्व को दर्शाने का काम कर सकते हैं। लगभग छह साल पहले, मैंने डायनेमिक्स के दर्शन की जांच प्रारंभ की थी। . . . [दो प्रश्नों से - अंतरिक्ष के संबंधपरक सिद्धांत में त्वरण और पूर्ण गति] मुझे ज्यामिति के सिद्धांतों की फिर से जांच करने के लिए प्रेरित किया गया, वहां से निरंतरता और अनंत के दर्शन तक, और फिर, के अर्थ की अविष्कार करने की दृष्टि से कोई भी शब्द, प्रतीकात्मक तर्क के लिए (प्रस्तावना 1903:vi-vii)।

ज्ञानमीमांसा, सत्तामीमांसा और तर्कवाद

इस प्रकार डेडेकाइंड और पूछा की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये विधि अपने आप में पर्याप्त होंगे।

डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) a, b, c की समग्रता है; उनका प्रमाणित है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि:

क्रोनकर ने कुछ समय पहले (क्रेल्स जर्नल, खंड 99, पृ. 334-336) ने गणित में अवधारणाओं के मुक्त निर्माण पर कुछ सीमाएं लगाने का प्रयास किया है, जिन्हें मैं उचित नहीं मानता हूं (पृष्ठ 45)।

वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)।

इस प्रकार लियोपोल्ड क्रोनकर, अपने प्रमाण के लिए प्रसिद्ध हैं कि भगवान ने पूर्णांक बनाए, बाकी सब मनुष्य का काम है[7] उसके शत्रु थे, उनमें हिल्बर्ट भी सम्मलित था। हिल्बर्ट ने क्रोनकर को हठधर्मी कहा, इस सीमा तक कि वह पूर्णांक को उसके आवश्यक गुणों के साथ हठधर्मिता के रूप में स्वीकार करता है और पीछे मुड़कर नहीं देखता।[8] और अपने चरम रचनावादी रुख को ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद के साथ जोड़ा, दोनों पर व्यक्तिवाद का आरोप लगाया: यह विज्ञान के कार्य का भाग है कि वह हमें इच्छानुसार, भावना और आदत से मुक्त करे और हमें उस व्यक्तिवाद से बचाए जो पहले से ही क्रोनकर के विचारों में खुद को महसूस कर चुका है और मुझे ऐसा लगता है कि इसकी परिणति अंतर्ज्ञानवाद में होती है।[9] हिल्बर्ट फिर कहते हैं कि गणित पूर्वधारणा रहित विज्ञान है। इसे पाने के लिए मुझे ईश्वर की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि क्रोनकर को है। . . (पृ. 479).

इस प्रकार रसेल के दार्शनिक यथार्थवाद ने उन्हें ब्रिटिश आदर्शवाद के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,[10] यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश अनुभववाद से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।।[11] आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,[12] जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।[13] रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)[14]

किन्तु जन्मजात के बारे में उनकी ज्ञानमीमांसा (तार्किक सिद्धांतों पर लागू होने पर वह प्राथमिकता शब्द को प्राथमिकता देते हैं, cf. 1912:74) जटिल है। वह आदर्शवाद सार्वभौमिकों के लिए दृढ़तापूर्वक, स्पष्ट रूप से समर्थन व्यक्त करेंगे (सीएफ. 1912:91-118) और वह निष्कर्ष निकालेंगे कि सच्चाई और झूठ सामने हैं; मन विश्वास पैदा करता है और जो विश्वास को सच बनाता है वह तथ्य है, और इस तथ्य में (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) उस विशिष्ट का दिमाग सम्मलित नहीं होता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)।

इस प्रकार रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका प्रमाणित है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य उपस्थित है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है:

दर्शन के मूलभूत प्रश्नों पर, मेरी स्थिति, इसकी सभी मुख्य विशेषताओं में, श्री जी. ई. मूर से ली गई है। मैंने उनसे प्रस्तावों की अन्य -अस्तित्ववादी प्रकृति (अस्तित्व पर जोर देने वाली घटनाओं को छोड़कर) और किसी भी जानने वाले दिमाग की उनकी स्वतंत्रता को स्वीकार कर लिया है; बहुलवाद भी, जो संसार को, अस्तित्वों और संस्थाओं दोनों को, परस्पर स्वतंत्र संस्थाओं की अनंत संख्या से बना मानता है, जिनके संबंध अंतिम हैं, और उनकी शर्तों या उनके द्वारा बनाए गए संपूर्ण के विशेषणों से कम नहीं किए जा सकते। . . . मेरी राय में, जिन सिद्धांतों का अभी उल्लेख किया गया है, वे गणित के किसी भी सहनीय रूप से संतोषज