तर्कवाद: Difference between revisions
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{{short description|Programme in the philosophy of mathematics}} | {{short description|Programme in the philosophy of mathematics}} | ||
गणित के दर्शन में, '''[[तर्क]]वाद''' फलन है | गणित के दर्शन में, '''[[तर्क]]वाद''' फलन है जिसमे या से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में [[मॉडल सिद्धांत]] हो सकता है।<ref>[http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php Logicism]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080220075703/http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php|date=2008-02-20}}.</ref> [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] ने इस फलन को समर्थित किया, जो [[भगवान का शुक्र है फ्रीज|गोटलोब फ्रीज]] ने प्रारंभ किया और फिर [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था। | ||
== सिंहावलोकन == | == सिंहावलोकन == | ||
इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित | इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित तर्कसंगत संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके [[वास्तविक संख्या]]ओं की विशेषता बताने वाले [[स्वयंसिद्ध]] को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को नेचुरल संख्याएं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि नेचुरल संख्याएं स्वंय भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे। | ||
[[अंकगणित की नींव|ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से | [[अंकगणित की नींव|ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से नेचुरल संख्याएं के तत्कालीन प्रचलित खातों की [[ज्ञानमीमांसा]] और [[आंटलजी]] प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में नेचुरल संख्याएं के बारे में सत्य का उपयोग किया था। | ||
यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] भी इस समस्या का सामना करता है। | यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] भी इस समस्या का सामना करता है। | ||
वहीं, 1903 में रसेल ने "[[गणित के सिद्धांत]]" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में [[आदिम धारणा|प्रारंभिक धारणा]]ओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में | वहीं, 1903 में रसेल ने "[[गणित के सिद्धांत]]" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में [[आदिम धारणा|प्रारंभिक धारणा]]ओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत|"गणितीय सिद्धांत"]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref> | ||
आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन]] के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है। | आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन]] के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है। | ||
इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे | इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे नेचुरल संख्याएं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है। | ||
इस प्रकार तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की प्रकार ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। चूंकि , ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क [[प्रथम-क्रम तर्क]] के प्रमेयों और [[उच्च-क्रम तर्क]] के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्यतः - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, किन्तु अर्थ संबंधी प्रमाणो को नहीं। इसलिए, यह प्रमाणित कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि | इस प्रकार तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की प्रकार ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। चूंकि , ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क [[प्रथम-क्रम तर्क]] के प्रमेयों और [[उच्च-क्रम तर्क]] के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्यतः - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, किन्तु अर्थ संबंधी प्रमाणो को नहीं। इसलिए, यह प्रमाणित कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि नेचुरल संख्याएं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की समानता में कम विश्वसनीय है।<ref>{{cite book |last1=Gabbay |first1=Dov M. |title=तर्क और गणित की नींव में अध्ययन|date=2009 |publisher=Elsevier, inc. |location=Amsterdam |isbn=978-0-444-52012-8 |pages=59–90 |edition=Volume 153 |url=https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/153/suppl/C |access-date=1 September 2019}}</ref> | ||
तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से<ref>{{Citation|last=Reck|first=Erich|year=1997|title=''Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle''|s2cid=31255155 |url=https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20180824183548/https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|url-status=dead|archive-date=2018-08-24}}</ref> और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के समय [[विश्लेषणात्मक दर्शन]] के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था। | तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से<ref>{{Citation|last=Reck|first=Erich|year=1997|title=''Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle''|s2cid=31255155 |url=https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20180824183548/https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|url-status=dead|archive-date=2018-08-24}}</ref> और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के समय [[विश्लेषणात्मक दर्शन]] के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था। | ||
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[[आइवर ग्राटन-गिनीज]] का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में [[लुई कॉटुरेट]] और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)। | [[आइवर ग्राटन-गिनीज]] का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में [[लुई कॉटुरेट]] और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)। | ||
सामान्यतः रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे | सामान्यतः रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे विशिष्ट के रूप में प्रस्तुत किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलतबअर्थात के अतिरिक्त (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, किन्तु उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया। , जिससे 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)।<ref>The exact quote from Russell 1919 is the following: "It is time now to turn to the considerations which make it necessary to advance beyond the standpoint of Peano, who represents the last perfection of the "arithmetisation" of mathematics, to that of Frege, who first succeeded in "logicising" mathematics, i.e. in reducing to logic the arithmetical notions which his predecessors had shown to be sufficient for mathematics." (Russell 1919/2005:17).</ref> | ||
[[रुडोल्फ कार्नाप]] (1929) के लगभग उसी समय, किन्तु स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का उपयोग किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का उपयोग किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का उपयोग किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, किन्तु वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)। | [[रुडोल्फ कार्नाप]] (1929) के लगभग उसी समय, किन्तु स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का उपयोग किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का उपयोग किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का उपयोग किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, किन्तु वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)। | ||
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इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] (अर्थात [1] a से भौतिक रूप से b और [का तात्पर्य है) 2] a, कोई b प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं है। | इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] (अर्थात [1] a से भौतिक रूप से b और [का तात्पर्य है) 2] a, कोई b प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं है। | ||
नेचुरल संख्याएं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से प्रारंभ करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की समानता में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के [[रचनावाद (गणित का दर्शन)]] के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944) रहा है। | |||
=== इतिहास === | === इतिहास === | ||
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डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है। उनका मानना था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए: | डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है। उनका मानना था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए: | ||
:अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को | :अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को समिष्ट और समय की अंतर्ज्ञान की धारणाओं से पूरी प्रकार स्वतंत्र मानता हूं, कि मैं इसे विचार के नियमों का तत्काल परिणाम मानता हूं . . . संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं। . . [और] केवल संख्याओं के विज्ञान के निर्माण की विशुद्ध तार्किक प्रक्रिया के माध्यम से। . . क्या हम अंतरिक्ष और समय के बारे में अपनी धारणाओं को अपने दिमाग में बनाए गए इस संख्या-डोमेन के साथ संबंध में लाकर जांच करने के लिए सटीक रूप से तैयार हैं (डेडेकाइंड 1887 डोवर रिपब्लिकेशन 1963:31)। | ||
पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना निर्णय बताया है: | पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना निर्णय बताया है: | ||
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==ज्ञानमीमांसा, सत्तामीमांसा और तर्कवाद== | ==ज्ञानमीमांसा, सत्तामीमांसा और तर्कवाद== | ||
इस प्रकार [[डेडेकाइंड]] और [[पूछा]] की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये | इस प्रकार [[डेडेकाइंड]] और [[पूछा]] की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये विधि अपने आप में पर्याप्त होंगे। | ||
डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) a, b, c की समग्रता है; उनका प्रमाणित है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि: | डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) a, b, c की समग्रता है; उनका प्रमाणित है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि: | ||
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इस प्रकार रसेल के [[दार्शनिक यथार्थवाद]] ने उन्हें ब्रिटिश [[आदर्शवाद]] के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,<ref>Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)</ref> यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश [[अनुभववाद]] से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।।<ref>Cf. Russell 1912:74.</ref> आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,<ref>"It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).</ref> जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।<ref>"Nothing can be known to ''exist'' except by the help of experience" (Russell 1912:74).</ref> रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)<ref>He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1<sub>o</sub>" [base number of the number-series ''N''], this "1" is not contained in any successor, for any ''n'' in the collection there exists a transformation φ(''n'') to a ''unique'' (distinguishable) ''n'' (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)</ref> | इस प्रकार रसेल के [[दार्शनिक यथार्थवाद]] ने उन्हें ब्रिटिश [[आदर्शवाद]] के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,<ref>Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)</ref> यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश [[अनुभववाद]] से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।।<ref>Cf. Russell 1912:74.</ref> आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,<ref>"It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).</ref> जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।<ref>"Nothing can be known to ''exist'' except by the help of experience" (Russell 1912:74).</ref> रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)<ref>He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1<sub>o</sub>" [base number of the number-series ''N''], this "1" is not contained in any successor, for any ''n'' in the collection there exists a transformation φ(''n'') to a ''unique'' (distinguishable) ''n'' (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)</ref> | ||
किन्तु जन्मजात के बारे में उनकी ज्ञानमीमांसा (तार्किक सिद्धांतों पर लागू होने पर वह प्राथमिकता शब्द को प्राथमिकता देते हैं, cf. 1912:74) जटिल है। वह [[आदर्शवाद]] सार्वभौमिकों के लिए दृढ़तापूर्वक, स्पष्ट रूप से समर्थन व्यक्त करेंगे (सीएफ. 1912:91-118) और वह निष्कर्ष निकालेंगे कि सच्चाई और झूठ सामने हैं; मन विश्वास पैदा करता है और जो विश्वास को सच बनाता है वह तथ्य है, और इस तथ्य में (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) उस | किन्तु जन्मजात के बारे में उनकी ज्ञानमीमांसा (तार्किक सिद्धांतों पर लागू होने पर वह प्राथमिकता शब्द को प्राथमिकता देते हैं, cf. 1912:74) जटिल है। वह [[आदर्शवाद]] सार्वभौमिकों के लिए दृढ़तापूर्वक, स्पष्ट रूप से समर्थन व्यक्त करेंगे (सीएफ. 1912:91-118) और वह निष्कर्ष निकालेंगे कि सच्चाई और झूठ सामने हैं; मन विश्वास पैदा करता है और जो विश्वास को सच बनाता है वह तथ्य है, और इस तथ्य में (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) उस विशिष्ट का दिमाग सम्मलित नहीं होता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। | ||
इस प्रकार रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका प्रमाणित है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य उपस्थित है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है: | इस प्रकार रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका प्रमाणित है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य उपस्थित है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है: | ||
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== | ==नेचुरल संख्याएं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण== | ||
इस प्रकार फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, किन्तु विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, | इस प्रकार फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, किन्तु विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, नेचुरल संख्याएं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - नेचुरल संख्याएं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध उपस्थित नहीं है। . ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी स्थितियों में समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (किन्तु ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक ग्रंडगेसमुच्चय्ज़ में उनकी व्युत्पत्ति के अनुरूप विधि से प्राप्त किए जा सकते हैं। | ||
प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ की प्रकार , संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से प्रारंभ करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)।<ref>In his 1903 and in ''PM'' Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or ''modus ponens''), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.</ref> तार्किक व्युत्पत्ति इस प्रकार से निर्मित [[कार्डिनल संख्या]]ओं को | प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ की प्रकार , संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से प्रारंभ करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)।<ref>In his 1903 and in ''PM'' Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or ''modus ponens''), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.</ref> तार्किक व्युत्पत्ति इस प्रकार से निर्मित [[कार्डिनल संख्या]]ओं को नेचुरल संख्याएं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ समुच्चय सैद्धांतिक निर्माणों में - उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन और ज़र्मेलो अंक - प्रत्येक संख्या उपसमुच्चय के रूप में इसका पूर्ववर्ती है। क्लेन निम्नलिखित का अवलोकन करता है। (क्लीन की धारणाएं (1) और (2) बताती हैं कि 0 के पास संपत्ति P है और N+1 के पास संपत्ति पी है जब भी N के पास संपत्ति पी है।) | ||
: यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी | : यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी नेचुरल संख्याएं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | ||