तर्कवाद: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(→आलोचना) |
No edit summary |
||
| Line 11: | Line 11: | ||
वहीं, 1903 में रसेल ने "[[गणित के सिद्धांत]]" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में [[आदिम धारणा|प्रारंभिक धारणा]]ओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत|"गणितीय सिद्धांत"]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref> | वहीं, 1903 में रसेल ने "[[गणित के सिद्धांत]]" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में [[आदिम धारणा|प्रारंभिक धारणा]]ओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत|"गणितीय सिद्धांत"]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref> | ||
आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, | आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन]] के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है। | ||
इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है। | इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है। | ||
| Line 27: | Line 27: | ||
==तर्कवाद का निर्णय , या लक्ष्य== | ==तर्कवाद का निर्णय , या लक्ष्य== | ||
इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] (अर्थात [1] | इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] (अर्थात [1] a से भौतिक रूप से b और [का तात्पर्य है) 2] a, कोई b प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं है। | ||
प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से प्रारंभ करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की समानता में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के [[रचनावाद (गणित का दर्शन)]] के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944) रहा है। | प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से प्रारंभ करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की समानता में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के [[रचनावाद (गणित का दर्शन)]] के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944) रहा है। | ||
| Line 53: | Line 53: | ||
इस प्रकार [[डेडेकाइंड]] और [[पूछा]] की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये कानून अपने आप में पर्याप्त होंगे। | इस प्रकार [[डेडेकाइंड]] और [[पूछा]] की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये कानून अपने आप में पर्याप्त होंगे। | ||
डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) | डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) a, b, c की समग्रता है; उनका प्रमाणित है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि: | ||
: क्रोनकर ने कुछ समय पहले (क्रेल्स जर्नल, खंड 99, पृ. 334-336) ने गणित में अवधारणाओं के मुक्त निर्माण पर कुछ सीमाएं लगाने का प्रयास किया है, जिन्हें मैं उचित नहीं मानता हूं (पृष्ठ 45)। | : क्रोनकर ने कुछ समय पहले (क्रेल्स जर्नल, खंड 99, पृ. 334-336) ने गणित में अवधारणाओं के मुक्त निर्माण पर कुछ सीमाएं लगाने का प्रयास किया है, जिन्हें मैं उचित नहीं मानता हूं (पृष्ठ 45)। | ||
वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)। | वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)। | ||
इस प्रकार [[लियोपोल्ड क्रोनकर]], अपने प्रमाण के लिए प्रसिद्ध हैं कि भगवान ने पूर्णांक बनाए, बाकी सब मनुष्य का काम है<ref>For example, von Neumann 1925 would cite Kronecker as follows: "The denumerable infinite . . . is nothing more the general notion of the positive integer, on which mathematics rests and of which even Kronecker and Brouwer admit that it was "created by God"" (von Neumann 1925 ''An axiomatization of set theory'' in van Heijenoort 1967:413).</ref> उसके शत्रु थे, उनमें हिल्बर्ट भी सम्मलित था। हिल्बर्ट ने क्रोनकर को हठधर्मी कहा, इस | इस प्रकार [[लियोपोल्ड क्रोनकर]], अपने प्रमाण के लिए प्रसिद्ध हैं कि भगवान ने पूर्णांक बनाए, बाकी सब मनुष्य का काम है<ref>For example, von Neumann 1925 would cite Kronecker as follows: "The denumerable infinite . . . is nothing more the general notion of the positive integer, on which mathematics rests and of which even Kronecker and Brouwer admit that it was "created by God"" (von Neumann 1925 ''An axiomatization of set theory'' in van Heijenoort 1967:413).</ref> उसके शत्रु थे, उनमें हिल्बर्ट भी सम्मलित था। हिल्बर्ट ने क्रोनकर को हठधर्मी कहा, इस सीमा तक कि वह पूर्णांक को उसके आवश्यक गुणों के साथ हठधर्मिता के रूप में स्वीकार करता है और पीछे मुड़कर नहीं देखता।<ref>Hilbert 1904 ''On the foundations of logic and arithmetic'' in van Heijenoort 1967:130.</ref> और अपने चरम रचनावादी रुख को ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद के साथ जोड़ा, दोनों पर व्यक्तिवाद का आरोप लगाया: यह विज्ञान के कार्य का भाग है कि वह हमें इच्छानुसार, भावना और आदत से मुक्त करे और हमें उस व्यक्तिवाद से बचाए जो पहले से ही क्रोनकर के विचारों में खुद को महसूस कर चुका है और मुझे ऐसा लगता है कि इसकी परिणति अंतर्ज्ञानवाद में होती है।<ref>Pages 474–5 in Hilbert 1927, ''The Foundations of Mathematics'' in: van Heijenoort 1967:475.</ref> हिल्बर्ट फिर कहते हैं कि गणित पूर्वधारणा रहित विज्ञान है। इसे पाने के लिए मुझे ईश्वर की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि क्रोनकर को है। . . (पृ. 479). | ||
इस प्रकार रसेल के [[दार्शनिक यथार्थवाद]] ने उन्हें ब्रिटिश [[आदर्शवाद]] के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,<ref>Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)</ref> यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश [[अनुभववाद]] से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।।<ref>Cf. Russell 1912:74.</ref> आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,<ref>"It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).</ref> जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।<ref>"Nothing can be known to ''exist'' except by the help of experience" (Russell 1912:74).</ref> रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)<ref>He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1<sub>o</sub>" [base number of the number-series ''N''], this "1" is not contained in any successor, for any ''n'' in the collection there exists a transformation φ(''n'') to a ''unique'' (distinguishable) ''n'' (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)</ref> | इस प्रकार रसेल के [[दार्शनिक यथार्थवाद]] ने उन्हें ब्रिटिश [[आदर्शवाद]] के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,<ref>Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)</ref> यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश [[अनुभववाद]] से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।।<ref>Cf. Russell 1912:74.</ref> आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,<ref>"It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).</ref> जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।<ref>"Nothing can be known to ''exist'' except by the help of experience" (Russell 1912:74).</ref> रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)<ref>He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1<sub>o</sub>" [base number of the number-series ''N''], this "1" is not contained in any successor, for any ''n'' in the collection there exists a transformation φ(''n'') to a ''unique'' (distinguishable) ''n'' (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)</ref> | ||
| Line 66: | Line 66: | ||
: दर्शन के मूलभूत प्रश्नों पर, मेरी स्थिति, इसकी सभी मुख्य विशेषताओं में, श्री जी. ई. मूर से ली गई है। मैंने उनसे प्रस्तावों की अन्य -अस्तित्ववादी प्रकृति (अस्तित्व पर जोर देने वाली घटनाओं को छोड़कर) और किसी भी जानने वाले दिमाग की उनकी स्वतंत्रता को स्वीकार कर लिया है; बहुलवाद भी, जो संसार को, अस्तित्वों और संस्थाओं दोनों को, परस्पर स्वतंत्र संस्थाओं की अनंत संख्या से बना मानता है, जिनके संबंध अंतिम हैं, और उनकी शर्तों या उनके द्वारा बनाए गए संपूर्ण के विशेषणों से कम नहीं किए जा सकते। . . . मेरी राय में, जिन सिद्धांतों का अभी उल्लेख किया गया है, वे गणित के किसी भी सहनीय रूप से संतोषजनक दर्शन के लिए काफी अपरिहार्य हैं, जैसा कि मुझे आशा है कि निम्नलिखित पृष्ठ दिखाएंगे। . . . औपचारिक रूप से, मेरा परिसर केवल मान लिया गया है; किन्तु तथ्य यह है कि वे गणित को सत्य होने की अनुमति देते हैं, जो कि अधिकांश वर्तमान दर्शन नहीं करते हैं, निश्चित रूप से उनके पक्ष में शक्तिशाली तर्क है। (प्रस्तावना 1903:viii) | : दर्शन के मूलभूत प्रश्नों पर, मेरी स्थिति, इसकी सभी मुख्य विशेषताओं में, श्री जी. ई. मूर से ली गई है। मैंने उनसे प्रस्तावों की अन्य -अस्तित्ववादी प्रकृति (अस्तित्व पर जोर देने वाली घटनाओं को छोड़कर) और किसी भी जानने वाले दिमाग की उनकी स्वतंत्रता को स्वीकार कर लिया है; बहुलवाद भी, जो संसार को, अस्तित्वों और संस्थाओं दोनों को, परस्पर स्वतंत्र संस्थाओं की अनंत संख्या से बना मानता है, जिनके संबंध अंतिम हैं, और उनकी शर्तों या उनके द्वारा बनाए गए संपूर्ण के विशेषणों से कम नहीं किए जा सकते। . . . मेरी राय में, जिन सिद्धांतों का अभी उल्लेख किया गया है, वे गणित के किसी भी सहनीय रूप से संतोषजनक दर्शन के लिए काफी अपरिहार्य हैं, जैसा कि मुझे आशा है कि निम्नलिखित पृष्ठ दिखाएंगे। . . . औपचारिक रूप से, मेरा परिसर केवल मान लिया गया है; किन्तु तथ्य यह है कि वे गणित को सत्य होने की अनुमति देते हैं, जो कि अधिकांश वर्तमान दर्शन नहीं करते हैं, निश्चित रूप से उनके पक्ष में शक्तिशाली तर्क है। (प्रस्तावना 1903:viii) | ||
1902 में रसेल ने फ़्रीज के | 1902 में रसेल ने फ़्रीज के ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ डेर अरिथमेटिक में दुष्चक्र (रसेल का विरोधाभास) की अविष्कार की, जो फ़्रीज के बेसिक लॉ V से लिया गया था और उन्होंने अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों में इसे नहीं दोहराने का दृढ़ संकल्प किया था। अंतिम समय में जोड़े गए दो परिशिष्टों में उन्होंने अपने स्वयं के विपरीत फ्रेगे के सिद्धांत के विस्तृत विश्लेषण और विरोधाभास के समाधान दोनों के लिए 28 पृष्ठ समर्पित किए। किन्तु वह परिणाम को लेकर आशावादी नहीं थे: | ||
: वर्गों के स्थितियों में, मुझे स्वीकार करना होगा, मैं वर्ग की धारणा के लिए अपेक्षित शर्तों को पूरा करने वाली किसी भी अवधारणा को समझने में विफल रहा हूं। और विरोधाभास की चर्चा अध्याय x में की गई है। यह सिद्ध करता है कि कुछ गड़बड़ है, किन्तु यह क्या है, मैं अब तक इसका पता लगाने में असफल रहा हूं। (रसेल 1903 की प्रस्तावना:vi) | : वर्गों के स्थितियों में, मुझे स्वीकार करना होगा, मैं वर्ग की धारणा के लिए अपेक्षित शर्तों को पूरा करने वाली किसी भी अवधारणा को समझने में विफल रहा हूं। और विरोधाभास की चर्चा अध्याय x में की गई है। यह सिद्ध करता है कि कुछ गड़बड़ है, किन्तु यह क्या है, मैं अब तक इसका पता लगाने में असफल रहा हूं। (रसेल 1903 की प्रस्तावना:vi) | ||
| Line 82: | Line 82: | ||
==प्राकृतिक संख्याओं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण== | ==प्राकृतिक संख्याओं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण== | ||
इस प्रकार फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, किन्तु विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध उपस्थित नहीं है। . ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी स्थितियों में समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (किन्तु ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक | इस प्रकार फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, किन्तु विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध उपस्थित नहीं है। . ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी स्थितियों में समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (किन्तु ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक ग्रंडगेसमुच्चय्ज़ में उनकी व्युत्पत्ति के अनुरूप विधि से प्राप्त किए जा सकते हैं। | ||
प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत | प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ की प्रकार , संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से प्रारंभ करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)।<ref>In his 1903 and in ''PM'' Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or ''modus ponens''), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.</ref> तार्किक व्युत्पत्ति इस प्रकार से निर्मित [[कार्डिनल संख्या]]ओं को प्राकृतिक संख्याओं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ समुच्चय सैद्धांतिक निर्माणों में - उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन और ज़र्मेलो अंक - प्रत्येक संख्या उपसमुच्चय के रूप में इसका पूर्ववर्ती है। क्लेन निम्नलिखित का अवलोकन करता है। (क्लीन की धारणाएं (1) और (2) बताती हैं कि 0 के पास संपत्ति P है और N+1 के पास संपत्ति पी है जब भी N के पास संपत्ति पी है।) | ||
: यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | : यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का प्रमाणित है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) किसी भी प्रकार से उस व्यक्ति के दिमाग को सम्मलित नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है। | मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का प्रमाणित है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) किसी भी प्रकार से उस व्यक्ति के दिमाग को सम्मलित नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है। | ||
वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या निर्णय से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात प्रस्ताव फ़ंक्शन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। किन्तु यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को सामान्यतः अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस | वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या निर्णय से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात प्रस्ताव फ़ंक्शन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। किन्तु यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को सामान्यतः अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस सीमा तक निर्णय का दृष्टिकोण आवश्यक है। (1909 पृष्ठ 66) | ||
वर्ग अवधारणा की विशेषता, जैसा कि सामान्य रूप से शब्दों से अलग है, यह है कि x प्रस्तावात्मक कार्य है जब, और केवल तभी, जब u वर्ग-अवधारणा है। (1903:56) | वर्ग अवधारणा की विशेषता, जैसा कि सामान्य रूप से शब्दों से अलग है, यह है कि x प्रस्तावात्मक कार्य है जब, और केवल तभी, जब u वर्ग-अवधारणा है। (1903:56) | ||
| Line 134: | Line 134: | ||
'''चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें''': ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, अर्थात कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके प्रमाण ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है। | '''चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें''': ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, अर्थात कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके प्रमाण ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है। | ||
परिणामी इकाई को शून्य वर्ग या रिक्त वर्ग कहा जा सकता है। रसेल ने शून्य/खाली वर्ग को Λ से दर्शाया। तो वास्तव में रसेलियन शून्य वर्ग क्या है? ''पीएम'' में रसेल कहते हैं कि | परिणामी इकाई को शून्य वर्ग या रिक्त वर्ग कहा जा सकता है। रसेल ने शून्य/खाली वर्ग को Λ से दर्शाया। तो वास्तव में रसेलियन शून्य वर्ग क्या है? ''पीएम'' में रसेल कहते हैं कि a वर्ग को ''अस्तित्व'' तब कहा जाता है जब उसमें कम से कम सदस्य हो। . . वह वर्ग जिसमें कोई सदस्य नहीं है, शून्य वर्ग कहलाता है। . . α शून्य-वर्ग है जो α के समतुल्य है, उपस्थित नहीं है। प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है कि क्या शून्य वर्ग स्वयं 'अस्तित्व में' है? इस प्रश्न से संबंधित कठिनाइयाँ रसेल के 1903 के कार्य में आती हैं।<ref name=:0>Cf. sections 487ff (pages 513ff in the Appendix A).</ref> फ़्रीज के ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ में विरोधाभास की अविष्कार के बाद उन्होंने अपने 1903 में परिशिष्ट a जोड़ा जहां शून्य और इकाई वर्गों की प्रकृति के विश्लेषण के माध्यम से, उन्होंने प्रकारों के सिद्धांत की आवश्यकता की अविष्कार की; इकाई वर्ग, असंबद्धता की समस्या और रसेल के दुष्चक्र सिद्धांत के बारे में नीचे और अधिक देखें।<ref name=:0/> | ||
'''चरण 4: प्रत्येक बंडल को अंक निर्दिष्ट करें''': संक्षिप्तीकरण और पहचान के प्रयोजनों के लिए, प्रत्येक बंडल को अद्वितीय प्रतीक (जिसे अंक भी कहा जाता है) निर्दिष्ट करें। ये प्रतीक इच्छानुसार हैं. | '''चरण 4: प्रत्येक बंडल को अंक निर्दिष्ट करें''': संक्षिप्तीकरण और पहचान के प्रयोजनों के लिए, प्रत्येक बंडल को अद्वितीय प्रतीक (जिसे अंक भी कहा जाता है) निर्दिष्ट करें। ये प्रतीक इच्छानुसार हैं. | ||
| Line 220: | Line 220: | ||
जब रसेल ने घोषणा की कि सभी वर्ग उपयोगी कल्पनाएँ हैं तो उन्होंने इकाई वर्ग की समस्या का समाधान किया, किन्तु समग्र समस्या दूर नहीं हुई; बल्कि, यह नए रूप में आया: अब (1) शब्दों, (2) वर्गों, (3) वर्गों के वर्गों, और इसी प्रकार अनंत काल तक अंतर करना आवश्यक होगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय का कोई भी सदस्य किसी अन्य समुच्चय का सदस्य नहीं है, और x ε u के लिए आवश्यक है कि x उस समुच्चय से डिग्री कम का समुच्चय होना चाहिए जिससे u संबंधित है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्ताव बन जाएगा; और इस प्रकार विरोधाभास से बचा जा सकता है (1903:517)। | जब रसेल ने घोषणा की कि सभी वर्ग उपयोगी कल्पनाएँ हैं तो उन्होंने इकाई वर्ग की समस्या का समाधान किया, किन्तु समग्र समस्या दूर नहीं हुई; बल्कि, यह नए रूप में आया: अब (1) शब्दों, (2) वर्गों, (3) वर्गों के वर्गों, और इसी प्रकार अनंत काल तक अंतर करना आवश्यक होगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय का कोई भी सदस्य किसी अन्य समुच्चय का सदस्य नहीं है, और x ε u के लिए आवश्यक है कि x उस समुच्चय से डिग्री कम का समुच्चय होना चाहिए जिससे u संबंधित है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्ताव बन जाएगा; और इस प्रकार विरोधाभास से बचा जा सकता है (1903:517)। | ||
यह रसेल का प्रकार का सिद्धांत है। यह गारंटी देने के लिए कि x ε x जैसी अव्यावहारिक अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में माना जा सकता है, रसेल ने प्रकार की कार्यशील परिकल्पना के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाओं में विधेयात्मक परिभाषाएँ होती हैं। इस अनुमान के लिए फ़ंक्शन-ऑर्डर और तर्क-प्रकार की धारणाओं की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, फ़ंक्शंस (और उनके क्लास-एज़-एक्सटेंशन, अर्थात | यह रसेल का प्रकार का सिद्धांत है। यह गारंटी देने के लिए कि x ε x जैसी अव्यावहारिक अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में माना जा सकता है, रसेल ने प्रकार की कार्यशील परिकल्पना के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाओं में विधेयात्मक परिभाषाएँ होती हैं। इस अनुमान के लिए फ़ंक्शन-ऑर्डर और तर्क-प्रकार की धारणाओं की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, फ़ंक्शंस (और उनके क्लास-एज़-एक्सटेंशन, अर्थात आव्यूह) को उनके क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फ़ंक्शंस क्रम 1 के होते हैं, फ़ंक्शंस के फ़ंक्शंस (वर्गों के वर्ग) क्रम 2 के होते हैं, और आगे भी। इसके बाद, वह फ़ंक्शन के तर्कों के प्रकार (फ़ंक्शन के इनपुट) को उनके महत्व की सीमा के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात वे इनपुट α (व्यक्ति? वर्ग? वर्ग-वर्ग? आदि) क्या हैं, जिन्हें f(x) में प्लग किया जाता है। ), सार्थक आउटपुट उत्पन्न करें ω। ध्यान दें कि इसका तात्पर्य यह है कि प्रकार मिश्रित क्रम का हो सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है: | ||
: जो डिमैगियो और यांकीज़ ने 1947 विश्व सीरीज़ जीती। | : जो डिमैगियो और यांकीज़ ने 1947 विश्व सीरीज़ जीती। | ||
इस वाक्य को दो खंडों में विघटित किया जा सकता है: x ने 1947 विश्व सीरीज जीती + y ने 1947 विश्व सीरीज जीती। पहला वाक्य x के लिए व्यक्तिगत जो डिमैगियो को अपने इनपुट के रूप में लेता है, दूसरा y के लिए समग्र यांकीज़ को अपने इनपुट के रूप में लेता है। इस प्रकार संयुक्त-वाक्य में 2 का (मिश्रित) प्रकार होता है, जो क्रम (1 और 2) के अनुसार मिश्रित होता है। | इस वाक्य को दो खंडों में विघटित किया जा सकता है: x ने 1947 विश्व सीरीज जीती + y ने 1947 विश्व सीरीज जीती। पहला वाक्य x के लिए व्यक्तिगत जो डिमैगियो को अपने इनपुट के रूप में लेता है, दूसरा y के लिए समग्र यांकीज़ को अपने इनपुट के रूप में लेता है। इस प्रकार सं | ||