तर्कवाद: Difference between revisions
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और पीएम (1927) के दूसरे संस्करण में रसेल का मानना है कि कार्य केवल उनके मूल्यों के माध्यम से होते हैं। . . कार्यों के सभी कार्य विस्तारित हैं, . . . [और] परिणामस्वरूप कार्यों और वर्गों के बीच अंतर करने का कोई कारण नहीं है। . . इस प्रकार, वर्ग, कार्यों से भिन्न, उस छायादार अस्तित्व को भी खो देते हैं जिसे वे *20 (पृष्ठ xxxix) में बनाए रखते हैं। दूसरे शब्दों में, अलग धारणा के रूप में वर्ग पूरी प्रकार से गायब हो गए हैं। | और पीएम (1927) के दूसरे संस्करण में रसेल का मानना है कि कार्य केवल उनके मूल्यों के माध्यम से होते हैं। . . कार्यों के सभी कार्य विस्तारित हैं, . . . [और] परिणामस्वरूप कार्यों और वर्गों के बीच अंतर करने का कोई कारण नहीं है। . . इस प्रकार, वर्ग, कार्यों से भिन्न, उस छायादार अस्तित्व को भी खो देते हैं जिसे वे *20 (पृष्ठ xxxix) में बनाए रखते हैं। दूसरे शब्दों में, अलग धारणा के रूप में वर्ग पूरी प्रकार से गायब हो गए हैं। | ||
''''चरण 2: समान वर्गों को 'बंडलों' में एकत्रित करें'''<nowiki/>': इन उपरोक्त संग्रहों को समरूपता द्वारा द्विआधारी संबंध ( | ''''चरण 2: समान वर्गों को 'बंडलों' में एकत्रित करें'''<nowiki/>': इन उपरोक्त संग्रहों को समरूपता द्वारा द्विआधारी संबंध (समानता) में रखा जा सकता है, जिसे यहां '≈' द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात तत्वों का एक- पत्राचार,<ref>"If the predicates are partitioned into classes with respect to equinumerosity in such a way that all predicates of a class are equinumerous to one another and predicates of different classes are not equinumerous, then each such class represents the ''Number'', which applies to the predicates that belong to it" (Bernays 1930-1 in Mancosu 1998:240.</ref> और इस प्रकार रसेलियन वर्गों की कक्षाएं या जिसे रसेल बंडल कहते हैं, बनाते हैं। हम मान सकते हैं कि सभी जोड़े बंडल में, सभी तिकड़ी दूसरे में, इत्यादि। इस प्रकार हम संग्रहों के विभिन्न बंडल प्राप्त करते हैं, प्रत्येक बंडल में सभी संग्रह सम्मलित होते हैं जिनमें निश्चित संख्या में शब्द होते हैं। प्रत्येक बंडल वर्ग है जिसके सदस्य संग्रह हैं, अर्थात वर्ग; इस प्रकार प्रत्येक वर्ग वर्गों का वर्ग है (रसेल 1919:14)। | ||
'''चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें''': ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, अर्थात कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके प्रमाण ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है। | '''चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें''': ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, अर्थात कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके प्रमाण ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है। | ||
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परिणामी इकाई को शून्य वर्ग या रिक्त वर्ग कहा जा सकता है। रसेल ने शून्य/खाली वर्ग को Λ से दर्शाया। तो वास्तव में रसेलियन शून्य वर्ग क्या है? ''पीएम'' में रसेल कहते हैं कि ए वर्ग को ''अस्तित्व'' तब कहा जाता है जब उसमें कम से कम सदस्य हो। . . वह वर्ग जिसमें कोई सदस्य नहीं है, शून्य वर्ग कहलाता है। . . α शून्य-वर्ग है जो α के समतुल्य है, उपस्थित नहीं है। प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है कि क्या शून्य वर्ग स्वयं 'अस्तित्व में' है? इस प्रश्न से संबंधित कठिनाइयाँ रसेल के 1903 के कार्य में आती हैं।<ref name=:0>Cf. sections 487ff (pages 513ff in the Appendix A).</ref> फ़्रीज के ग्रुंडगेसेट्ज़ में विरोधाभास की अविष्कार के बाद उन्होंने अपने 1903 में परिशिष्ट ए जोड़ा जहां शून्य और इकाई वर्गों की प्रकृति के विश्लेषण के माध्यम से, उन्होंने प्रकारों के सिद्धांत की आवश्यकता की अविष्कार की; इकाई वर्ग, असंबद्धता की समस्या और रसेल के दुष्चक्र सिद्धांत के बारे में नीचे और अधिक देखें।<ref name=:0/> | परिणामी इकाई को शून्य वर्ग या रिक्त वर्ग कहा जा सकता है। रसेल ने शून्य/खाली वर्ग को Λ से दर्शाया। तो वास्तव में रसेलियन शून्य वर्ग क्या है? ''पीएम'' में रसेल कहते हैं कि ए वर्ग को ''अस्तित्व'' तब कहा जाता है जब उसमें कम से कम सदस्य हो। . . वह वर्ग जिसमें कोई सदस्य नहीं है, शून्य वर्ग कहलाता है। . . α शून्य-वर्ग है जो α के समतुल्य है, उपस्थित नहीं है। प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है कि क्या शून्य वर्ग स्वयं 'अस्तित्व में' है? इस प्रश्न से संबंधित कठिनाइयाँ रसेल के 1903 के कार्य में आती हैं।<ref name=:0>Cf. sections 487ff (pages 513ff in the Appendix A).</ref> फ़्रीज के ग्रुंडगेसेट्ज़ में विरोधाभास की अविष्कार के बाद उन्होंने अपने 1903 में परिशिष्ट ए जोड़ा जहां शून्य और इकाई वर्गों की प्रकृति के विश्लेषण के माध्यम से, उन्होंने प्रकारों के सिद्धांत की आवश्यकता की अविष्कार की; इकाई वर्ग, असंबद्धता की समस्या और रसेल के दुष्चक्र सिद्धांत के बारे में नीचे और अधिक देखें।<ref name=:0/> | ||
'''चरण 4: प्रत्येक बंडल को अंक निर्दिष्ट करें''': संक्षिप्तीकरण और पहचान के प्रयोजनों के लिए, प्रत्येक बंडल को अद्वितीय प्रतीक (जिसे अंक भी कहा जाता है) निर्दिष्ट करें। ये प्रतीक | '''चरण 4: प्रत्येक बंडल को अंक निर्दिष्ट करें''': संक्षिप्तीकरण और पहचान के प्रयोजनों के लिए, प्रत्येक बंडल को अद्वितीय प्रतीक (जिसे अंक भी कहा जाता है) निर्दिष्ट करें। ये प्रतीक इच्छानुसार हैं. | ||
'''चरण 5: 0 को परिभाषित करें''' फ़्रीज के बाद, रसेल ने इस भूमिका को भरने के लिए उपयुक्त वर्ग के रूप में वर्गों के खाली या ''शून्य'' वर्ग को चुना, यह उन वर्गों का वर्ग है जिनमें कोई सदस्य नहीं है। कक्षाओं के इस शून्य वर्ग को 0 लेबल किया जा सकता है | '''चरण 5: 0 को परिभाषित करें''' फ़्रीज के बाद, रसेल ने इस भूमिका को भरने के लिए उपयुक्त वर्ग के रूप में वर्गों के खाली या ''शून्य'' वर्ग को चुना, यह उन वर्गों का वर्ग है जिनमें कोई सदस्य नहीं है। कक्षाओं के इस शून्य वर्ग को 0 लेबल किया जा सकता है | ||
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'''चरण 6: उत्तराधिकारी की धारणा को परिभाषित करें''': रसेल ने नई विशेषता वंशानुगत (सीएफ फ्रेज के 'पैतृक') को परिभाषित किया, जो कुछ वर्गों की संपत्ति है जिसमें किसी अन्य वर्ग (जो वर्गों का वर्ग हो सकता है) से विशेषता प्राप्त करने की क्षमता होती है अर्थात संपत्ति इसे प्राकृतिक-संख्या श्रृंखला में वंशानुगत कहा जाता है यदि, जब भी यह किसी संख्या ''n'' से संबंधित होता है, तो यह ''n''+1, ''n'' के उत्तराधिकारी से भी संबंधित होता है। (1903:21). उनका प्रमाणित है कि प्राकृतिक संख्याएँ ''संतान'' हैं - बच्चे, उत्तराधिकारी के उत्तराधिकारी - 0 के तत्काल पूर्ववर्ती (जो उत्तराधिकारी का विपरीत है) के संबंध में 0 (1919:23)। | '''चरण 6: उत्तराधिकारी की धारणा को परिभाषित करें''': रसेल ने नई विशेषता वंशानुगत (सीएफ फ्रेज के 'पैतृक') को परिभाषित किया, जो कुछ वर्गों की संपत्ति है जिसमें किसी अन्य वर्ग (जो वर्गों का वर्ग हो सकता है) से विशेषता प्राप्त करने की क्षमता होती है अर्थात संपत्ति इसे प्राकृतिक-संख्या श्रृंखला में वंशानुगत कहा जाता है यदि, जब भी यह किसी संख्या ''n'' से संबंधित होता है, तो यह ''n''+1, ''n'' के उत्तराधिकारी से भी संबंधित होता है। (1903:21). उनका प्रमाणित है कि प्राकृतिक संख्याएँ ''संतान'' हैं - बच्चे, उत्तराधिकारी के उत्तराधिकारी - 0 के तत्काल पूर्ववर्ती (जो उत्तराधिकारी का विपरीत है) के संबंध में 0 (1919:23)। | ||
नोट रसेल ने यहां बिना परिभाषा के कुछ शब्दों का उपयोग किया है, विशेष रूप से संख्या श्रृंखला, संख्या एन, और उत्तराधिकारी। वह उचित समय पर इन्हें परिभाषित करेंगे। | नोट रसेल ने यहां बिना परिभाषा के कुछ शब्दों का उपयोग किया है, विशेष रूप से संख्या श्रृंखला, संख्या एन, और उत्तराधिकारी। वह उचित समय पर इन्हें परिभाषित करेंगे। विशेष रूप से ध्यान दें कि रसेल उत्तराधिकारी के निर्माण के लिए कक्षा 1 की इकाई वर्ग का उपयोग नहीं करता है। इसका कारण यह है कि, रसेल के विस्तृत विश्लेषण में,<ref>1909 Appendix A</ref> यदि इकाई वर्ग अपने आप में इकाई बन जाता है, तो वह भी अपने स्वयं के प्रस्ताव में तत्व हो सकता है; इससे प्रस्ताव अव्यावहारिक हो जाता है और परिणामस्वरूप दुष्चक्र बन जाता है। बल्कि, वह कहते हैं: हमने अध्याय II में देखा कि कार्डिनल संख्या को वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाना है, और अध्याय III में संख्या 1 को सभी इकाई वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाना है, जिनमें से केवल है सदस्य, जैसा कि हमें कहना चाहिए किन्तु दुष्चक्र के लिए। बेशक, जब संख्या 1 को सभी इकाई वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इकाई वर्गों को परिभाषित किया जाना चाहिए जिससे यह न मान लिया जाए कि हम जानते हैं कि का क्या तात्पर्य है (1919:181)। | ||
उत्तराधिकारी की अपनी परिभाषा के लिए, रसेल अपनी इकाई के लिए इकाई या शब्द का उपयोग इस प्रकार करेगा: | उत्तराधिकारी की अपनी परिभाषा के लिए, रसेल अपनी इकाई के लिए इकाई या शब्द का उपयोग इस प्रकार करेगा: | ||
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रसेल की परिभाषा के लिए नए शब्द की आवश्यकता होती है जिसे बंडलों के अंदर संग्रह में जोड़ा जाता है। | रसेल की परिभाषा के लिए नए शब्द की आवश्यकता होती है जिसे बंडलों के अंदर संग्रह में जोड़ा जाता है। | ||
'चरण 7: शून्य वर्ग के उत्तराधिकारी का निर्माण करें'। | '''<nowiki/>'चरण 7: शून्य वर्ग के उत्तराधिकारी का निर्माण करें'।''' | ||
'चरण 8: समतुल्य वर्गों के प्रत्येक वर्ग के लिए, उसका उत्तराधिकारी बनाएं।' | '''<nowiki/>'चरण 8: समतुल्य वर्गों के प्रत्येक वर्ग के लिए, उसका उत्तराधिकारी बनाएं।'''' | ||
'चरण 9: संख्याओं को क्रमित करें': उत्तराधिकारी बनाने की प्रक्रिया के लिए संबंध की आवश्यकता होती है। . . का उत्तराधिकारी है. . . , जिसे विभिन्न अंकों के बीच S से दर्शाया जा सकता है . अब हमें 0, 1, 2, 3, क्रम में प्राकृतिक संख्याओं के क्रमबद्ध चरित्र पर विचार करना चाहिए। . . हम सामान्यतः संख्याओं के बारे में इसी क्रम में सोचते हैं, और यह तार्किक शब्दों में क्रम या श्रृंखला की परिभाषा खोजने के लिए हमारे डेटा का विश्लेषण करने के काम का अनिवार्य भाग है। . . . यह क्रम पदों के वर्ग में नहीं, बल्कि वर्ग के सदस्यों के बीच के संबंध में निहित है, जिसके संबंध में कुछ पहले और कुछ बाद में दिखाई देते हैं। (1919:31) | '''<nowiki/>'चरण 9: संख्याओं को क्रमित करें':''' उत्तराधिकारी बनाने की प्रक्रिया के लिए संबंध की आवश्यकता होती है। . . का उत्तराधिकारी है. . . , जिसे विभिन्न अंकों के बीच S से दर्शाया जा सकता है . अब हमें 0, 1, 2, 3, क्रम में प्राकृतिक संख्याओं के क्रमबद्ध चरित्र पर विचार करना चाहिए। . . हम सामान्यतः संख्याओं के बारे में इसी क्रम में सोचते हैं, और यह तार्किक शब्दों में क्रम या श्रृंखला की परिभाषा खोजने के लिए हमारे डेटा का विश्लेषण करने के काम का अनिवार्य भाग है। . . . यह क्रम पदों के वर्ग में नहीं, बल्कि वर्ग के सदस्यों के बीच के संबंध में निहित है, जिसके संबंध में कुछ पहले और कुछ बाद में दिखाई देते हैं। (1919:31) | ||
रसेल क्रमबद्ध संबंध की धारणा पर तीन मानदंड लागू करता है: सबसे पहले, वह विषमता की धारणा को परिभाषित करता है अर्थात दो पदों x, और y के बीच S (... का उत्तराधिकारी है...) जैसे संबंध को देखते हुए: x S y ≠ | इस प्रकार रसेल क्रमबद्ध संबंध की धारणा पर तीन मानदंड लागू करता है: सबसे पहले, वह विषमता की धारणा को परिभाषित करता है अर्थात दो पदों x, और y के बीच S (... का उत्तराधिकारी है...) जैसे संबंध को देखते हुए: y: x S y ≠ y S x. दूसरा, वह तीन अंकों x, y और z के लिए परिवर्तनशीलता की धारणा को परिभाषित करता है: यदि x S y और y S z तो x S z। तीसरा, वह जुड़े हुए की धारणा को परिभाषित करता है: वर्ग के किन्हीं दो शब्दों को देखते हुए जिन्हें क्रमबद्ध किया जाना है, ऐसा होना चाहिए जो पहले हो और दूसरा जो बाद में हो। . . . संबंध तब जुड़ा होता है, जब उसके क्षेत्र के किन्हीं दो अलग-अलग पदों को दिया जाता है [किसी संबंध के डोमेन और विपरीत डोमेन दोनों जैसे। पति बनाम पत्नी के संबंध में विवाहित] संबंध पहले और दूसरे के बीच या दूसरे और पहले के बीच होता है (इस संभावना को छोड़कर नहीं कि दोनों हो सकते हैं, चूंकि संबंध विषम होने पर दोनों नहीं हो सकते)।(1919:32) ) | ||
उन्होंने निष्कर्ष निकाला: . . . [प्राकृतिक] संख्या m को दूसरी संख्या n से कम कहा जाता है जब n के पास m के उत्तराधिकारी के पास उपस्थित प्रत्येक वंशानुगत संपत्ति होती है। यह देखना आसान है, और सिद्ध करना मुश्किल नहीं है, कि इस प्रकार परिभाषित से कम संबंध, असममित, संक्रमणीय और जुड़ा हुआ है, और इसके क्षेत्र के लिए [प्राकृतिक] संख्याएं हैं [यानी। डोमेन और कॉनवर्स डोमेन दोनों संख्याएँ हैं]। (1919:35) | उन्होंने निष्कर्ष निकाला: . . . [प्राकृतिक] संख्या m को दूसरी संख्या n से कम कहा जाता है जब n के पास m के उत्तराधिकारी के पास उपस्थित प्रत्येक वंशानुगत संपत्ति होती है। यह देखना आसान है, और सिद्ध करना मुश्किल नहीं है, कि इस प्रकार परिभाषित से कम संबंध, असममित, संक्रमणीय और जुड़ा हुआ है, और इसके क्षेत्र के लिए [प्राकृतिक] संख्याएं हैं [यानी। डोमेन और कॉनवर्स डोमेन दोनों संख्याएँ हैं]। (1919:35) | ||
===आलोचना=== | ===आलोचना=== | ||
पुनरावृत्ति की 'बहिर्वाहिक' धारणा की धारणा: क्लेन का कहना है कि तर्कवादी थीसिस पर अंततः इस आधार पर सवाल उठाया जा सकता है कि तर्क पहले से ही अपने निर्माण में गणितीय विचारों को मानता है। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण में, पुनरावृत्ति के विचार में आवश्यक गणितीय कर्नेल निहित है (क्लीन 1952:46) | '''पुनरावृत्ति की 'बहिर्वाहिक' धारणा की धारणा:''' क्लेन का कहना है कि तर्कवादी थीसिस पर अंततः इस आधार पर सवाल उठाया जा सकता है कि तर्क पहले से ही अपने निर्माण में गणितीय विचारों को मानता है। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण में, पुनरावृत्ति के विचार में आवश्यक गणितीय कर्नेल निहित है (क्लीन 1952:46) | ||
बर्नेज़ 1930-1931 का मानना है कि यह धारणा दो चीजें पहले से ही कुछ मानती है, यहां तक कि दो चीजों के अस्तित्व के प्रमाण के बिना भी, और विधेय के संदर्भ के बिना भी, जो दो चीजों पर लागू होता है; इसका सीधा सा तात्पर्य है, चीज़ और और चीज़। . . . इस सरल परिभाषा के संबंध में, संख्या अवधारणा प्रारंभिक ''संरचनात्मक अवधारणा'' बन जाती है। . . तर्कशास्त्रियों का यह प्रमाणित कि गणित पूरी प्रकार से तार्किक ज्ञान है, सैद्धांतिक तर्क का बारीकी से अवलोकन करने पर धुंधला और भ्रामक सिद्ध होता है। . . . [कोई तार्किक की परिभाषा का विस्तार कर सकता है] चूंकि , इस परिभाषा के माध्यम से जो ज्ञानमीमांसीय रूप से आवश्यक है उसे छुपाया जाता है, और जो गणित के लिए विशिष्ट है उसे अनदेखा कर दिया जाता है (मैनकोसु 1998:243 में)। | बर्नेज़ 1930-1931 का मानना है कि यह धारणा दो चीजें पहले से ही कुछ मानती है, यहां तक कि दो चीजों के अस्तित्व के प्रमाण के बिना भी, और विधेय के संदर्भ के बिना भी, जो दो चीजों पर लागू होता है; इसका सीधा सा तात्पर्य है, चीज़ और और चीज़। . . . इस सरल परिभाषा के संबंध में, संख्या अवधारणा प्रारंभिक ''संरचनात्मक अवधारणा'' बन जाती है। . . तर्कशास्त्रियों का यह प्रमाणित कि गणित पूरी प्रकार से तार्किक ज्ञान है, सैद्धांतिक तर्क का बारीकी से अवलोकन करने पर धुंधला और भ्रामक सिद्ध होता है। . . . [कोई तार्किक की परिभाषा का विस्तार कर सकता है] चूंकि , इस परिभाषा के माध्यम से जो ज्ञानमीमांसीय रूप से आवश्यक है उसे छुपाया जाता है, और जो गणित के लिए विशिष्ट है उसे अनदेखा कर दिया जाता है (मैनकोसु 1998:243 में)। | ||
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: यह खेदजनक है कि गणितीय तर्क और उससे गणित की व्युत्पत्ति की इस पहली व्यापक और संपूर्ण प्रस्तुति में नींव में औपचारिक परिशुद्धता की इतनी कमी है ('' के *1-*21 में निहित) प्रिंसिपिया'') कि यह इस संबंध में फ़्रीज की समानता में महत्वपूर्ण कदम पीछे प्रस्तुत करता है। सबसे पहले, जो चीज़ गायब है, वह है औपचारिकता के वाक्य-विन्यास का सटीक विवरण(गोडेल 1944 ''कलेक्टेड वर्क्स'' 1990:120 में सीएफ फुटनोट 1)। | : यह खेदजनक है कि गणितीय तर्क और उससे गणित की व्युत्पत्ति की इस पहली व्यापक और संपूर्ण प्रस्तुति में नींव में औपचारिक परिशुद्धता की इतनी कमी है ('' के *1-*21 में निहित) प्रिंसिपिया'') कि यह इस संबंध में फ़्रीज की समानता में महत्वपूर्ण कदम पीछे प्रस्तुत करता है। सबसे पहले, जो चीज़ गायब है, वह है औपचारिकता के वाक्य-विन्यास का सटीक विवरण(गोडेल 1944 ''कलेक्टेड वर्क्स'' 1990:120 में सीएफ फुटनोट 1)। | ||
विशेष रूप से उन्होंने बताया कि यह | विशेष रूप से उन्होंने बताया कि यह स्थिति प्रतिस्थापन के नियम और परिभाषित प्रतीकों को उनकी परिभाषाओं द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए विशेष रूप से संदिग्ध है (रसेल 1944:120) | ||
उस दर्शन के संबंध में जो इन नींवों को रेखांकित कर सकता है, गोडेल ने रसेल के नो-क्लास सिद्धांत को नाममात्र प्रकार के रचनावाद का प्रतीक माना। . . जिसे बेहतर ढंग से काल्पनिकता कहा जा सकता है (गोडेल 1944:119 में सीएफ फुटनोट 1) - दोषपूर्ण होना। नीचे गोडेल की आलोचना और सुझावों में और अधिक देखें। | उस दर्शन के संबंध में जो इन नींवों को रेखांकित कर सकता है, गोडेल ने रसेल के नो-क्लास सिद्धांत को नाममात्र प्रकार के रचनावाद का प्रतीक माना। . . जिसे बेहतर ढंग से काल्पनिकता कहा जा सकता है (गोडेल 1944:119 में सीएफ फुटनोट 1) - दोषपूर्ण होना। नीचे गोडेल की आलोचना और सुझावों में और अधिक देखें। | ||
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== इकाई वर्ग, अव्यावहारिकता, और दुष्चक्र सिद्धांत == | == इकाई वर्ग, अव्यावहारिकता, और दुष्चक्र सिद्धांत == | ||
मान लीजिए कि लाइब्रेरियन अपने संग्रह को ही पुस्तक में अनुक्रमित करना चाहता है (इसे सूचकांक के लिए | मान लीजिए कि लाइब्रेरियन अपने संग्रह को ही पुस्तक में अनुक्रमित करना चाहता है (इसे सूचकांक के लिए कहें)। उसका सूचकांक पुस्तकालय में सभी पुस्तकों और उनके स्थानों को सूचीबद्ध करेगा। जैसा कि पता चला, केवल तीन पुस्तकें हैं, और इनके शीर्षक Ά, β, और Γ हैं। अपना सूचकांक I बनाने के लिए, वह बाहर जाती है और 200 खाली पन्नों की किताब खरीदती है और उस पर I का लेबल लगाती है। अब उसके पास चार किताबें हैं: I, Ά, β, और Γ। उसका काम कठिन नहीं है. पूरा होने पर, उसकी अनुक्रमणिका I की सामग्री 4 पृष्ठों की होती है, प्रत्येक का अद्वितीय शीर्षक और अद्वितीय स्थान होता है (प्रत्येक प्रविष्टि को शीर्षक के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। स्थान)<sub>T</sub>): | ||
: मैं = { आई.एल<sub>I</sub>, ए.एल<sub>Ά</sub>, बी.एल<sub>β</sub>, जी.एल<sub>Γ</sub>}. | : मैं = { आई.एल<sub>I</sub>, ए.एल<sub>Ά</sub>, बी.एल<sub>β</sub>, जी.एल<sub>Γ</sub>}. | ||
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किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया. अपने 1903 में परिशिष्ट ए: द लॉजिकल एंड अरिथमेटिकल डॉक्ट्रिन्स ऑफ फ्रीज में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला: | किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया. अपने 1903 में परिशिष्ट ए: द लॉजिकल एंड अरिथमेटिकल डॉक्ट्रिन्स ऑफ फ्रीज में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला: | ||
: तार्किक सिद्धांत जो इस प्रकार हम पर थोपा गया है वह यह है: किसी प्रस्ताव का विषय शब्द नहीं, बल्कि अनिवार्य रूप से कई शब्द हो सकते हैं; 0 और 1 (1903:516) के अतिरिक्त अन्य संख्याओं का प्रमाणित करने वाले सभी प्रस्तावों का यही | : तार्किक सिद्धांत जो इस प्रकार हम पर थोपा गया है वह यह है: किसी प्रस्ताव का विषय शब्द नहीं, बल्कि अनिवार्य रूप से कई शब्द हो सकते हैं; 0 और 1 (1903:516) के अतिरिक्त अन्य संख्याओं का प्रमाणित करने वाले सभी प्रस्तावों का यही स्थिति है। | ||
निम्नलिखित में वर्ग के शब्दों पर ध्यान दें - वर्ग उन शब्दों (चीजों) का समुच्चय है जो प्रस्तावात्मक कार्य को संतुष्ट करते हैं, किन्तु वर्ग अपने आप में चीज नहीं है: | निम्नलिखित में वर्ग के शब्दों पर ध्यान दें - वर्ग उन शब्दों (चीजों) का समुच्चय है जो प्रस्तावात्मक कार्य को संतुष्ट करते हैं, किन्तु वर्ग अपने आप में चीज नहीं है: | ||
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गोडेल, अपने 1944 के काम में, उस स्थान की पहचान करते हैं जहां वह रसेल के तर्कवाद को विफल मानते हैं और समस्याओं को सुधारने के लिए सुझाव देते हैं। वह दुष्चक्र सिद्धांत को पुन: परीक्षण के लिए प्रस्तुत करता है, इसे केवल तीन भागों में विभाजित करता है, जिसे केवल सम्मलित करना, सम्मलित करना और अनुमान लगाना के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह पहला भाग है जो अव्यावहारिक परिभाषाओं को असंभव बनाता है और इस प्रकार डेडेकाइंड और फ़्रीज द्वारा प्रभावित तर्क से गणित की व्युत्पत्ति और स्वयं गणित का बड़ा भाग नष्ट हो जाता है। चूंकि, उनका तर्क है, गणित अपनी अंतर्निहित अव्यवस्थितताओं पर भरोसा करता है (उदाहरण के लिए सभी वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित वास्तविक संख्याएं), उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि उन्होंने जो प्रस्तुत किया है वह इस बात का प्रमाण है कि शास्त्रीय गणित की समानता में दुष्चक्र सिद्धांत गलत है [बल्कि] ग़लत है (सभी उद्धरण गोडेल 1944:127)। | गोडेल, अपने 1944 के काम में, उस स्थान की पहचान करते हैं जहां वह रसेल के तर्कवाद को विफल मानते हैं और समस्याओं को सुधारने के लिए सुझाव देते हैं। वह दुष्चक्र सिद्धांत को पुन: परीक्षण के लिए प्रस्तुत करता है, इसे केवल तीन भागों में विभाजित करता है, जिसे केवल सम्मलित करना, सम्मलित करना और अनुमान लगाना के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह पहला भाग है जो अव्यावहारिक परिभाषाओं को असंभव बनाता है और इस प्रकार डेडेकाइंड और फ़्रीज द्वारा प्रभावित तर्क से गणित की व्युत्पत्ति और स्वयं गणित का बड़ा भाग नष्ट हो जाता है। चूंकि, उनका तर्क है, गणित अपनी अंतर्निहित अव्यवस्थितताओं पर भरोसा करता है (उदाहरण के लिए सभी वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित वास्तविक संख्याएं), उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि उन्होंने जो प्रस्तुत किया है वह इस बात का प्रमाण है कि शास्त्रीय गणित की समानता में दुष्चक्र सिद्धांत गलत है [बल्कि] ग़लत है (सभी उद्धरण गोडेल 1944:127)। | ||
रसेल का नो-क्लास सिद्धांत समस्या की जड़ है: गोडेल का मानना है कि असंबद्धता बेतुका नहीं है, जैसा कि पूरे गणित में दिखाई देता है। रसेल की समस्या उसकी रचनावादी (या नाममात्रवादी) से उत्पन्न होती है<ref>Perry observes that Plato and Russell are "enthusiastic" about "universals", then in the next sentence writes: " 'Nominalists' think that all that particulars really have in common are the words we apply to them" (Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:xi). Perry adds that while your sweatshirt and mine are different objects generalized by the word "sweatshirt", you have a relation to yours and I have a relation to mine. And Russell "treated relations on par with other universals" (p. xii). But Gödel is saying that Russell's "no-class" theory denies the numbers the status of "universals".</ref>) तर्क और गणित की वस्तुओं के प्रति दृष्टिकोण, विशेष रूप से प्रस्तावों, वर्गों और धारणाओं के | रसेल का नो-क्लास सिद्धांत समस्या की जड़ है: गोडेल का मानना है कि असंबद्धता बेतुका नहीं है, जैसा कि पूरे गणित में दिखाई देता है। रसेल की समस्या उसकी रचनावादी (या नाममात्रवादी) से उत्पन्न होती है<ref>Perry observes that Plato and Russell are "enthusiastic" about "universals", then in the next sentence writes: " 'Nominalists' think that all that particulars really have in common are the words we apply to them" (Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:xi). Perry adds that while your sweatshirt and mine are different objects generalized by the word "sweatshirt", you have a relation to yours and I have a relation to mine. And Russell "treated relations on par with other universals" (p. xii). But Gödel is saying that Russell's "no-class" theory denies the numbers the status of "universals".</ref>) तर्क और गणित की वस्तुओं के प्रति दृष्टिकोण, विशेष रूप से प्रस्तावों, वर्गों और धारणाओं के प्रति . . धारणा प्रतीक है. . . जिससे प्रतीक द्वारा दर्शाई गई अलग वस्तु महज कल्पना के रूप में दिखाई दे (पृ. 128)। | ||
दरअसल, रसेल का नो क्लास सिद्धांत, गोडेल ने निष्कर्ष निकाला: | दरअसल, रसेल का नो क्लास सिद्धांत, गोडेल ने निष्कर्ष निकाला: | ||
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== नव-तर्कवाद == | == नव-तर्कवाद == | ||
नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।<ref>Bernard Linsky and [[Edward N. Zalta]], [http://mally.stanford.edu/Papers/neologicism2.pdf "What is Neologicism?"], ''The Bulletin of Symbolic Logic'', '''12'''(1) (2006): 60–99.</ref> अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है | नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।<ref>Bernard Linsky and [[Edward N. Zalta]], [http://mally.stanford.edu/Papers/neologicism2.pdf "What is Neologicism?"], ''The Bulletin of Symbolic Logic'', '''12'''(1) (2006): 60–99.</ref> अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें ग्रंडगेसेट्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का फलन (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का के रूप में देखा जा सकता है। | ||
उदाहरण के लिए, कोई [[बुनियादी कानून वी]] (भोले समुच्चय सिद्धांत में [[अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा]] के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है जिससे ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल यदि F और G के बीच कोई आपत्ति है।'<ref>[http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717200246/http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm|date=2011-07-17}}.</ref> इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अधिकांशतः नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है.<ref name=SEP>{{cite SEP |url-id=logicism |title=Logicism and Neologicism}}</ref> नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में [[क्रिस्पिन राइट]] और [[बॉब हेल (दार्शनिक)]] सम्मलित हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल भी कहा जाता है। या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म,<ref>Bob Hale and Crispin Wright (2002), "Benacerraf's dilemma revisited", ''European Journal of Philosophy'' '''10'''(1):101–129, esp. "6. Objections and Qualifications".</ref> जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name="st-andrews">[http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf st-andrews.ac.uk]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061224165534/http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf|date=2006-12-24}}.</ref> | उदाहरण के लिए, कोई [[बुनियादी कानून वी]] (भोले समुच्चय सिद्धांत में [[अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा]] के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है जिससे ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल यदि F और G के बीच कोई आपत्ति है।'<ref>[http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717200246/http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm|date=2011-07-17}}.</ref> इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अधिकांशतः नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है.<ref name=SEP>{{cite SEP |url-id=logicism |title=Logicism and Neologicism}}</ref> नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में [[क्रिस्पिन राइट]] और [[बॉब हेल (दार्शनिक)]] सम्मलित हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल भी कहा जाता है। या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म,<ref>Bob Hale and Crispin Wright (2002), "Benacerraf's dilemma revisited", ''European Journal of Philosophy'' '''10'''(1):101–129, esp. "6. Objections and Qualifications".</ref> जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name="st-andrews">[http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf st-andrews.ac.uk]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061224165534/http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf|date=2006-12-24}}.</ref> | ||
नव-तर्कवाद के अन्य प्रमुख समर्थकों में [[बर्नार्ड लिंस्की]] और एडवर्ड एन. ज़ाल्टा सम्मलित हैं, जिन्हें कभी-कभी स्टैनफोर्ड-एडमॉन्टन स्कूल भी कहा जाता है, [[अमूर्त संरचनावाद]] या मॉडल नव-तर्कवाद, जो [[स्वयंसिद्ध तत्वमीमांसा]] के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name=st-andrews/><ref name=SEP/>मोडल नव-तर्कवाद द्वितीय-क्रम तर्क|द्वितीय-क्रम [[मॉडल तर्क]] सार वस्तु सिद्धांत के भीतर पीनो स्वयंसिद्धों को प्राप्त करता है।<ref>[[Edward N. Zalta]], "Natural Numbers and Natural Cardinals as Abstract Objects: A Partial Reconstruction of Frege's ''Grundgesetze'' in Object Theory", ''Journal of Philosophical Logic'', '''28'''(6) (1999): 619–660.</ref><ref>[[Edward N. Zalta]], "Neo-Logicism? An Ontological Reduction of Mathematics to Metaphysics", ''Erkenntnis'', '''53'''(1–2) (2000), 219–265.</ref> | |||
नव-तर्कवाद के अन्य प्रमुख समर्थकों में [[बर्नार्ड लिंस्की]] और एडवर्ड एन. ज़ाल्टा सम्मलित हैं, जिन्हें कभी-कभी स्टैनफोर्ड-एडमॉन्टन स्कूल भी कहा जाता है, [[अमूर्त संरचनावाद]] या मॉडल नव-तर्कवाद, जो [[स्वयंसिद्ध तत्वमीमांसा]] के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name="st-andrews" /><ref name="SEP" />मोडल नव-तर्कवाद द्वितीय-क्रम तर्क|द्वितीय-क्रम [[मॉडल तर्क]] सार वस्तु सिद्धांत के भीतर पीनो स्वयंसिद्धों को प्राप्त करता है।<ref>[[Edward N. Zalta]], "Natural Numbers and Natural Cardinals as Abstract Objects: A Partial Reconstruction of Frege's ''Grundgesetze'' in Object Theory", ''Journal of Philosophical Logic'', '''28'''(6) (1999): 619–660.</ref><ref>[[Edward N. Zalta]], "Neo-Logicism? An Ontological Reduction of Mathematics to Metaphysics", ''Erkenntnis'', '''53'''(1–2) (2000), 219–265.</ref> | |||
अन्य अर्ध-नव-तर्कशास्त्री दृष्टिकोण एम. रान्डेल होम्स द्वारा सुझाया गया है। ग्रुंडगेसेट्ज़ में इस प्रकार के संशोधन में, बीएलवी बरकरार रहता है, क्वीन की [[नई नींव]] और संबंधित प्रणालियों के विधि में स्तरीकृत सूत्रों पर प्रतिबंध को छोड़कर। मूलतः सभी ग्रुंडगेसेट्ज़ तब 'गुजरते हैं'। परिणामी प्रणाली में [[रोनाल्ड जेन्सेन]] के एनएफयू + जे. बार्कले रोसेर के एक्सिओम ऑफ काउंटिंग के समान स्थिरता शक्ति है।<ref>M. Randall Holmes, [https://randall-holmes.github.io/Gottlob/fregenote.pdf "Repairing Frege’s Logic"], August 5, 2018.</ref> | अन्य अर्ध-नव-तर्कशास्त्री दृष्टिकोण एम. रान्डेल होम्स द्वारा सुझाया गया है। ग्रुंडगेसेट्ज़ में इस प्रकार के संशोधन में, बीएलवी बरकरार रहता है, क्वीन की [[नई नींव]] और संबंधित प्रणालियों के विधि में स्तरीकृत सूत्रों पर प्रतिबंध को छोड़कर। मूलतः सभी ग्रुंडगेसेट्ज़ तब 'गुजरते हैं'। परिणामी प्रणाली में [[रोनाल्ड जेन्सेन]] के एनएफयू + जे. बार्कले रोसेर के एक्सिओम ऑफ काउंटिंग के समान स्थिरता शक्ति है।<ref>M. Randall Holmes, [https://randall-holmes.github.io/Gottlob/fregenote.pdf "Repairing Frege’s Logic"], August 5, 2018.</ref> | ||
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Revision as of 00:44, 23 July 2023
गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है।[1] बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन को समर्थित किया, जो गोटलोब फ्रीज ने प्रारंभ किया और फिर रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।
सिंहावलोकन
इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित राष्ट्रीय संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इस और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि प्राकृतिक संख्याएं स्वंय भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे।
ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।
यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर स