तर्कवाद: Difference between revisions

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== सिंहावलोकन ==

[[अंकगणित की नींव|ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की [[ज्ञानमीमांसा]] और [[आंटलजी]] प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।  

गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. लेकिन यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े हिस्से को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अलावा, युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।

फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से शुरुआत की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?

वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)।

रसेल के [[दार्शनिक यथार्थवाद]] ने उन्हें ब्रिटिश [[आदर्शवाद]] के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,<ref>Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)</ref> यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश [[अनुभववाद]] से उधार लिए गए अंशों के साथ।<ref>Cf. Russell 1912:74.</ref> आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,<ref>"It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).</ref> जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।<ref>"Nothing can be known to ''exist'' except by the help of experience" (Russell 1912:74).</ref> रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, लेकिन वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई मतलब नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)<ref>He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1_o" [base number of the number-series ''N''], this "1" is not contained in any successor, for any ''n'' in the collection there exists a transformation φ(''n'') to a ''unique'' (distinguishable) ''n'' (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)</ref>

रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका दावा है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य मौजूद है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है:

प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के तर्कवादी फलन का महत्व रसेल के इस तर्क से मिलता है कि सभी पारंपरिक शुद्ध गणित प्राकृतिक संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है, यह हालिया खोज है, हालांकि इस पर लंबे समय से संदेह था (1919:4)। वास्तविक संख्याओं की व्युत्पत्ति [[डेडेकाइंड कट]] सिद्धांत से प्राप्त होती है, जो तर्कसंगत संख्याओं में कटौती करती है, तर्कसंगत संख्याएँ स्वाभाविक रूप से प्राप्त होती हैं। हालाँकि यह कैसे किया जाता है इसका उदाहरण उपयोगी है, यह पहले प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति पर निर्भर करता है। इसलिए, यदि प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्ति में दार्शनिक कठिनाइयाँ दिखाई देती हैं, तो ये समस्याएँ हल होने तक फलन को रोकने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए (नीचे आलोचनाएँ देखें)।

===प्रारंभिक===

  मैं किसी प्रस्ताव की शर्तों के बारे में उन शब्दों के रूप में बात करूंगा, चाहे वे कितने ही असंख्य क्यों न हों, जो प्रस्ताव में होते हैं और उन विषयों के रूप में माने जा सकते हैं जिनके बारे में प्रस्ताव है। यह किसी प्रस्ताव की शर्तों की विशेषता है कि उनमें से किसी को भी किसी अन्य इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बिना हमारे प्रस्ताव को समाप्त किए। इस प्रकार हम कहेंगे कि सुकरात मानव है, यह केवल पद वाला प्रस्ताव है; प्रस्ताव के शेष घटक में से क्रिया है, दूसरा विधेय है... . विधेय, क्रिया के अलावा अन्य अवधारणाएँ हैं, जो केवल पद या विषय वाले प्रस्तावों में होती हैं। (1903:45)

  वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या इरादे से निर्दिष्ट किया जा सकता है, यानी प्रस्ताव फ़ंक्शन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। लेकिन यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को आम तौर पर अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस हद तक इरादे का दृष्टिकोण आवश्यक है। (1909 पृष्ठ 66)

और पीएम (1927) के दूसरे संस्करण में रसेल का मानना ​​है कि कार्य केवल उनके मूल्यों के माध्यम से होते हैं। . . कार्यों के सभी कार्य विस्तारित हैं, . . . [और] परिणामस्वरूप कार्यों और वर्गों के बीच अंतर करने का कोई कारण नहीं है। . . इस प्रकार, वर्ग, कार्यों से भिन्न, उस छायादार अस्तित्व को भी खो देते हैं जिसे वे *20 (पृष्ठ xxxix) में बनाए रखते हैं। दूसरे शब्दों में, अलग धारणा के रूप में वर्ग पूरी तरह से गायब हो गए हैं।

चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें: ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, यानी कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके दावे ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है।

पोंकारे ने I की इस प्रकार की परिभाषा को [[अव्यावहारिक]] माना था। ऐसा प्रतीत होता है कि उन्होंने माना है कि गणित में केवल विधेयात्मक परिभाषाओं की ही अनुमति दी जा सकती है:

पोंकारे की परिभाषा के अनुसार, लाइब्रेरियन की सूचकांक पुस्तक अपरिहार्य है क्योंकि I की परिभाषा समग्रता I, Ά, β, और Γ की परिभाषा पर निर्भर है। जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है, कुछ टिप्पणीकार इस बात पर जोर देते हैं कि सामान्य ज्ञान संस्करणों में असंवेदनशीलता हानिरहित है, लेकिन जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि ऐसे संस्करण भी हैं जो हानिरहित नहीं हैं। इन कठिनाइयों के जवाब में, रसेल ने मजबूत निषेध की वकालत की, उसका दुष्चक्र सिद्धांत:

यह स्पष्ट करने के लिए कि असंवेदनशीलता का खतरनाक उदाहरण क्या हो सकता है, आउटपुट ω = 1 - α के साथ [[फ़ंक्शन (गणित)]] एफ में तर्क α इनपुट करने के परिणाम पर विचार करें। इसे 'प्रतीकात्मक-तर्क' अभिव्यक्ति ω = NOT-α के समतुल्य बूलियन तर्क | 'बीजगणितीय-तर्क' अभिव्यक्ति के रूप में देखा जा सकता है, सत्य मान 1 और 0 के साथ। जब इनपुट α = 0, आउटपुट ω = 1; जब इनपुट α = 1, आउटपुट ω = 0.

जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ़्रीज और रसेल दोनों की प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण समतुल्य वर्गों (बंडलों) के गठन से शुरू होता है, इसके बाद प्रत्येक बंडल के लिए अद्वितीय अंक निर्दिष्ट किया जाता है, और फिर बंडलों को क्रम में रखा जाता है। संबंध S जो असममित है: x S y ≠ y S x। लेकिन फ्रेगे ने, रसेल के विपरीत, इकाई वर्गों के वर्ग को इकाई के रूप में पहचानने की अनुमति दी:

रसेल ने वर्ग को अधिक या काल्पनिक घोषित करके इस समस्या से बचा लिया। इससे उनका तात्पर्य यह था कि वर्ग केवल उन्हीं तत्वों को नामित कर सकता है जो उसके प्रस्तावात्मक कार्य को संतुष्ट करते हैं और कुछ नहीं। कल्पना के रूप में किसी वर्ग को वस्तु नहीं माना जा सकता: इकाई, शब्द, विलक्षणता, इकाई। यह संयोजन है लेकिन रसेल के विचार में यह वस्तु-रूप के योग्य नहीं है:

===गोडेल की आलोचना और सुझाव===

रसेल का नो-क्लास सिद्धांत समस्या की जड़ है: गोडेल का मानना ​​है कि असंबद्धता बेतुका नहीं है, जैसा कि पूरे गणित में दिखाई देता है। रसेल की समस्या उसकी रचनावादी (या नाममात्रवादी) से उत्पन्न होती है<ref>Perry observes that Plato and Russell are "enthusiastic" about "universals", then in the next sentence writes: " 'Nominalists' think that all that particulars really have in common are the words we apply to them" (Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:xi). Perry adds that while your sweatshirt and mine are different objects generalized by the word "sweatshirt", you have a relation to yours and I have a relation to mine. And Russell "treated relations on par with other universals" (p. xii). But Gödel is saying that Russell's "no-class" theory denies the numbers the status of "universals".</ref>) तर्क और गणित की वस्तुओं के प्रति दृष्टिकोण, विशेष रूप से प्रस्तावों, वर्गों और धारणाओं के प्रति। . . धारणा प्रतीक है. . . ताकि प्रतीक द्वारा दर्शाई गई अलग वस्तु महज कल्पना के रूप में दिखाई दे (पृ. 128)।

नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।<ref>Bernard Linsky and [[Edward N. Zalta]], [http://mally.stanford.edu/Papers/neologicism2.pdf "What is Neologicism?"], ''The Bulletin of Symbolic Logic'', '''12'''(1) (2006): 60–99.</ref> अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है# तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें|ग्रंडगेसेट्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का फलन (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का)।