युग्मन फलन: Difference between revisions

Revision as of 11:50, 20 July 2023

गणित में, युग्मन फलन दो प्राकृतिक संख्याओं को विशिष्ट रूप से एक प्राकृतिक संख्या में कूटबद्ध करने की एक प्रक्रिया है।^[1]

किसी भी युग्मन फलन का उपयोग सेट सिद्धांत में यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि पूर्णांक और तर्कसंगत संख्याओं में प्राकृतिक संख्याओं के समान ही प्रमुखता होती है।^[1]

परिभाषा

युग्मन फलन एक आक्षेप है

\pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} .

^[1]

अधिक सामान्यतः, सेट A पर एक युग्मन फलन एक ऐसा फलन होता है जो A से तत्वों की प्रत्येक जोड़ी को A के तत्व में मैप करता है, जैसे कि A के तत्वों के किसी भी दो जोड़े A के विभिन्न तत्वों या $A^{2}$ से A तक एक आक्षेप से जुड़े होते हैं।^[2]

हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन युग्मन फलन

हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन (1979) निम्नलिखित युग्मन फलन को परिभाषित करते हैं: $\langle i,j\rangle :={\frac {1}{2}}(i+j-2)(i+j-1)+i$ , जहां $i,j\in \{1,2,3,\dots \}$ ^[1] यह नीचे दिए गए कैंटर पेयरिंग फलन के समान है, जिसे 0 (अथार्त , $i=k_{2}+1$ , $j=k_{1}+1$ ,, और $\langle i,j\rangle -1=\pi (k_{2},k_{1})$ को बाहर करने के लिए स्थानांतरित कर दिया गया है।

कैंटर युग्मन फलन

कैंटर युग्मन फलन प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को एक प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट करता है

कैंटर युग्मन फलन का ग्राफ़

कैंटर पेयरिंग फलन एक आदिम पुनरावर्ती फलन पेयरिंग फलन है

\pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}

द्वारा परिभाषित

\pi (k_{1},k_{2}):={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})(k_{1}+k_{2}+1)+k_{2}

^[1]

जहाँ $k_{1},k_{2}\in \{0,1,2,3,\dots \}$ .^[1]

इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है $Pair[x,y]:={\frac {x^{2}+x+2xy+3y+y^{2}}{2}}$ .^[3]

यह पूरी तरह से मोनोटोनिक w.r.t. भी है। प्रत्येक तर्क, अर्थात् सभी के लिए $k_{1},k_{1}',k_{2},k_{2}'\in \mathbb {N}$ , यदि $k_{1}<k_{1}'$ , तब $\pi (k_{1},k_{2})<\pi (k_{1}',k_{2})$ ; इसी प्रकार, यदि $k_{2}<k_{2}'$ , तब $\pi (k_{1},k_{2})<\pi (k_{1},k_{2}')$ है

यह कथन कि यह एकमात्र द्विघात युग्मन फलन है, फ़ुएटर-पोलिया प्रमेय के रूप में जाना जाता है।^[1] क्या यह एकमात्र बहुपद युग्मन फलन है, यह अभी भी एक विवर्त प्रश्न है। जब हम युग्मन फलन को $k 1$ और $k 2$ पर प्रयुक्त करते हैं तो हम अधिकांशतः परिणामी संख्या को $⟨ k 1, k 2 ⟩$ के रूप में दर्शाते हैं।

इस परिभाषा को आगमनात्मक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है

\pi ^{(n)}:\mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N}

जैसा $n>2$ के लिए

\pi ^{(n)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1},k_{n}):=\pi (\pi ^{(n-1)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1}),k_{n})

एक जोड़ी के लिए ऊपर परिभाषित आधार स्थिति के साथ: $\pi ^{(2)}(k_{1},k_{2}):=\pi (k_{1},k_{2}).$ ^[1]

कैंटर युग्मन फलन को व्युत्क्रम

होने देना $z\in \mathbb {N}$ एक इच्छित प्राकृतिक संख्या हो. हम दिखाएंगे कि अद्वितीय मान उपस्थित हैं $x,y\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि

z=\pi (x,y)={\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}+y

और इसलिए यह कार्य है $π(x, y)$ विपरीत है. गणना में कुछ मध्यवर्ती मानों को परिभाषित करना सहायक होता है और इसलिए फलन $π(x, y)$ विपरीत है। गणना में कुछ मध्यवर्ती मानों को परिभाषित करना सहायक होता है:

w=x+y\!

t={\frac {1}{2}}w(w+1)={\frac {w^{2}+w}{2}}

z=t+y\!

जहाँ t, w की त्रिभुज संख्या है। यदि हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं

w^{2}+w-2t=0\!

t के फलन के रूप में w के लिए, हमें मिलता है

w={\frac {{\sqrt {8t+1}}-1}{2}}

जो एक सख्ती से बढ़ने वाला और निरंतर कार्य है जब $t$ गैर-नकारात्मक वास्तविक है। तब से

t\leq z=t+y<t+(w+1)={\frac {(w+1)^{2}+(w+1)}{2}}

हमें वह मिल गया

w\leq {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}<w+1

और इस तरह

w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor .

जहां $⌊ ⌋$ फ़्लोर फलन है। तो z से x और y की गणना करने के लिए, हम यह करते हैं:

w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor

t={\frac {w^{2}+w}{2}}

y=z-t\!

x=w-y.\!

चूंकि कैंटर युग्मन इंजेक्शन फलन विपरीत है, इसलिए इसे विशेषण फलन या एक-से-एक और विशेषण फलन होना चाहिए।^[3]

उदाहरण

की गणना करना $π (47, 32)$ :

47 + 32 = 79

,

79 + 1 = 80

,

79 \times 80 = 6320

,

6320 \div 2 = 3160

,

3160 + 32 = 3192

,

इसलिए $π (47, 32) = 3192$ .

खोजने के लिए $x$ और $y$ ऐसा है कि $π (x, y) = 1432$ :

8 \times 1432 = 11456

,

11456 + 1 = 11457

,

\sqrt 11457 = 107.037

,

107.037 - 1 = 106.037

,

106.037 \div 2 = 53.019

,

⌊53.019⌋ = 53

,

इसलिए $w = 53$ ;

53 + 1 = 54

,

53 \times 54 = 2862

,

2862 \div 2 = 1431

,

इसलिए $t = 1431$ ;

1432 - 1431 = 1

,

इसलिए $y = 1$ ;

53 - 1 = 52

,

इसलिए $x = 52$ ; इस प्रकार $π (52, 1) = 1432$ .

व्युत्पत्ति

कैंटर के युग्मन फलन के समान सिद्धांतों से एक विकर्ण रूप से वृद्धिशील स्नैकिंग फलन का उपयोग अधिकांशतः तर्कसंगत संख्याओं की गणना को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।

कैंटर के युग्मन फलन का ग्राफिकल आकार एक विकर्ण प्रगति अनंत अनुक्रमों और गणनीयता के साथ काम करने में एक मानक चाल है।^{[lower-alpha 1]} इस विकर्ण-आकार वाले फलन के बीजगणितीय नियम बहुपदों की एक श्रृंखला के लिए इसकी वैधता को सत्यापित कर सकते हैं, जिनमें से प्रेरण की विधि का उपयोग करके एक द्विघात सबसे सरल हो जाएगा। वास्तव में, इसी तकनीक का पालन विमान की गणना के लिए किसी भी प्रकार की योजनाओं के लिए किसी भी अन्य फलन को प्रयास करने और प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।

एक युग्म फलन को सामान्यतः आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है - अर्थात, $n$ वाँ युग्म दिया गया है, $(n +1)$ वाँ युग्म क्या है? कैंटर का कार्य जिस तरह से विमान में विकर्ण रूप से आगे बढ़ता है उसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\pi (x,y)+1=\pi (x-1,y+1)

.

फलन को यह भी परिभाषित करना होगा कि जब यह पहले चतुर्थांश की सीमाओं से टकराता है तो क्या करना है - कैंटर का युग्मन फलन अपनी विकर्ण प्रगति को एक कदम आगे या बीजगणितीय रूप से फिर से प्रारंभ करने के लिए x-अक्ष पर वापस रीसेट हो जाता है:

\pi (0,k)+1=\pi (k+1,0)

.

इसके अतिरिक्त हमें प्रारंभिक बिंदु को परिभाषित करने की आवश्यकता है हमारी प्रेरण विधि में प्रारंभिक चरण क्या होगा: $π (0, 0) = 0$ .

मान लें कि एक द्विघात 2-आयामी बहुपद है जो इन स्थितियों में फिट हो सकता है (यदि ऐसा नहीं होता, तो कोई उच्च-डिग्री बहुपद को प्रयाश करके दोहरा सकता है)। सामान्य रूप तो यह है

\pi (x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f

.

$f = 0$ और: प्राप्त करने के लिए हमारी प्रारंभिक और सीमा नियमो को अंकित करें:

bk^{2}+ek+1=a(k+1)^{2}+d(k+1)

,

इसलिए हम प्राप्त करने के लिए अपने $k$ शब्दों का मिलान कर सकते हैं

b = a

d = 1- a

e = 1+ a

.

इसलिए c को छोड़कर प्रत्येक पैरामीटर को a के संदर्भ में लिखा जा सकता है, और हमारे पास एक अंतिम समीकरण है, हमारा विकर्ण चरण, जो उन्हें संबंधित करेगा:

{\begin{aligned}\pi (x,y)+1&=a(x^{2}+y^{2})+cxy+(1-a)x+(1+a)y+1\\&=a((x-1)^{2}+(y+1)^{2})+c(x-1)(y+1)+(1-a)(x-1)+(1+a)(y+1).\end{aligned}}

$a$ और $c$ , के लिए निश्चित मान प्राप्त करने के लिए शब्दों का फिर से विस्तार करें और मिलान करें और इस प्रकार सभी पैरामीटर:

a = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2 = b = d

c = 1

e = 3 / 2

f = 0

.

इसलिए

{\begin{aligned}\pi (x,y)&={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+xy+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}y\\&={\frac {1}{2}}(x+y)(x+y+1)+y,\end{aligned}}

कैंटर युग्मन फलन है, और हमने व्युत्पत्ति के माध्यम से यह भी प्रदर्शित किया कि यह प्रेरण की सभी नियमो को पूरा करता है।

अन्य युग्मन कार्य

कार्यक्रम $P_{2}(x,y):=2^{x}(2y+1)-1$ एक युग्मन फलन है.

1990 में, रेगन ने पहला ज्ञात युग्मन फलन प्रस्तावित किया जो रैखिक समय में और स्थिर स्थान के साथ गणना योग्य है (जैसा कि पहले से ज्ञात उदाहरण केवल रैखिक समय में गणना की जा सकती है यदि गुणन बहुत अधिक हो सकता है, जो संदिग्ध है)।^[4] वास्तव में, इस युग्मन फलन और इसके व्युत्क्रम दोनों की गणना वास्तविक समय में चलने वाले परिमित-अवस्था ट्रांसड्यूसर के साथ की जा सकती है।^[4] उसी पेपर में, लेखक ने दो और मोनोटोन युग्मन फलन प्रस्तावित किए जो रैखिक समय में और लॉगरिदमिक स्थान के साथ ऑनलाइन एल्गोरिदम हो सकते हैं; पहले की गणना शून्य स्थान के साथ ऑफ़लाइन भी की जा सकती है।^[4]

2001 में, पिजन ने बिट-इंटरलीविंग पर आधारित एक पेयरिंग फलन का प्रस्ताव रखा था जिसे पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\langle i,j\rangle _{P}={\begin{cases}T&{\text{if}}\ i=j=0;\\\langle \lfloor i/2\rfloor ,\lfloor j/2\rfloor \rangle _{P}:i_{0}:j_{0}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}

जहाँ $i_{0}$ और $j_{0}$ क्रमशः i और j के न्यूनतम महत्वपूर्ण बिट हैं।^[1]

2006 में, सुडज़िक ने अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित एक अधिक सुंदर युग्मन फलन का प्रस्ताव रखा जाता है:

\operatorname {ElegantPair} [x,y]:={\begin{cases}y^{2}+x&{\text{if}}\ x\neq \max\{x,y\},\\x^{2}+x+y&{\text{if}}\ x=\max\{x,y\}.\\\end{cases}}

जिसे अभिव्यक्ति का उपयोग करके अयुग्मित किया जा सकता है:

\operatorname {ElegantUnpair} [z]:={\begin{cases}\left\{z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2},\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \right\}&{\text{if }}z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}<\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,\\\left\{\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \right\}&{\text{if }}z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}\geq \lfloor {\sqrt {z}}\rfloor .\end{cases}}

(गुणात्मक रूप से, यह वर्गों के किनारों के साथ जोड़े को निरंतर संख्याएं प्रदान करता है।) यह युग्मन फलन गहराई के आधार पर एसके कॉम्बिनेटर कैलकुलस अभिव्यक्ति का आदेश देता है।^[3] यह विधि विचार के $\mathbb {N}$ के लिए मात्र अनुप्रयोग है, जो सेट थ्योरी पर अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में पाया जाता है,^[5] जेडएफसी में किसी भी अनंत कार्डिनल $\kappa$ के लिए $\kappa ^{2}=\kappa$ स्थापित करने के लिए उपयोग किया जाता है। $\kappa \times \kappa$ पर द्विआधारी संबंध परिभाषित करें

(\alpha ,\beta )\preccurlyeq (\gamma ,\delta ){\text{ if either }}{\begin{cases}(\alpha ,\beta )=(\gamma ,\delta ),\\[4pt]\max(\alpha ,\beta )<\max(\gamma ,\delta ),\\[4pt]\max(\alpha ,\beta )=\max(\gamma ,\delta )\ {\text{and}}\ \alpha <\gamma ,{\text{ or}}\\[4pt]\max(\alpha ,\beta )=\max(\gamma ,\delta )\ {\text{and}}\ \alpha =\gamma \ {\text{and}}\ \beta <\delta .\end{cases}}

फिर $\preccurlyeq$ को एक सुव्यवस्थित रूप में दिखाया जाता है जैसे कि प्रत्येक तत्व में ${}<\kappa$ पूर्ववर्ती होते हैं, जिसका अर्थ है कि $\kappa ^{2}=\kappa$ इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $(\mathbb {N} \times \mathbb {N} ,\preccurlyeq )$ , $(\mathbb {N} ,\leqslant )$ का समरूपी है और उपरोक्त युग्म फलन बढ़ते क्रम में पूर्णांक युग्मों की गणना से अधिक कुछ नहीं है। (टॉक भी देखें: पसंद के बारे में टार्स्की का प्रमेय या विपरीत का प्रमाण है।)

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Steven Pigeon. "Pairing function". MathWorld. Retrieved 16 August 2021.
↑ Szudzik, Matthew P. (2017-06-01). "रोसेनबर्ग-स्ट्रॉन्ग पेयरिंग फंक्शन". arXiv:1706.04129 [cs.DM].
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Szudzik, Matthew (2006). "एक सुंदर जोड़ी बनाने का कार्य" (PDF). szudzik.com. Archived (PDF) from the original on 25 November 2011. Retrieved 16 August 2021.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Regan, Kenneth W. (1992-12-01). "न्यूनतम-जटिलता युग्मन कार्य". Journal of Computer and System Sciences (in English). 45 (3): 285–295. doi:10.1016/0022-0000(92)90027-G. ISSN 0022-0000.
↑ See for instance Thomas, Jech (2006). Set theory: the third millennium edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. p. 30. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 3-540-44085-2.

[4] The term "diagonal argument" is sometimes used to refer to this type of enumeration, but it is not directly related to Cantor's diagonal argument.^{[citation needed]}

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Steven Pigeon. "Pairing function". MathWorld. Retrieved 16 August 2021.

[2] Szudzik, Matthew P. (2017-06-01). "रोसेनबर्ग-स्ट्रॉन्ग पेयरिंग फंक्शन". arXiv:1706.04129 [cs.DM].

[:2-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Szudzik, Matthew (2006). "एक सुंदर जोड़ी बनाने का कार्य" (PDF). szudzik.com. Archived (PDF) from the original on 25 November 2011. Retrieved 16 August 2021.

[:3-5] 4.0 ^4.1 ^4.2 Regan, Kenneth W. (1992-12-01). "न्यूनतम-जटिलता युग्मन कार्य". Journal of Computer and System Sciences (in English). 45 (3): 285–295. doi:10.1016/0022-0000(92)90027-G. ISSN 0022-0000.

[6] See for instance Thomas, Jech (2006). Set theory: the third millennium edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. p. 30. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 3-540-44085-2.

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 गणित में, युग्मन फलन दो [[प्राकृतिक संख्या]]ओं को विशिष्ट रूप से एक प्राकृतिक संख्या में कूटबद्ध करने की एक प्रक्रिया है।<ref name=":0">{{mathworld|urlname=PairingFunction|author=Steven Pigeon|title=Pairing function|access-date=16 August 2021}}</ref>
-किसी भी युग्मन फ़ंक्शन का उपयोग सेट सिद्धांत में यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि [[पूर्णांक]] और [[तर्कसंगत संख्या]]ओं में प्राकृतिक संख्याओं के समान ही [[ प्रमुखता |प्रमुखता]] होती है।<ref name=":0" />
+किसी भी '''युग्मन फलन''' का उपयोग सेट सिद्धांत में यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि [[पूर्णांक]] और [[तर्कसंगत संख्या]]ओं में प्राकृतिक संख्याओं के समान ही [[ प्रमुखता |प्रमुखता]] होती है।<ref name=":0" />
 ==परिभाषा==
 युग्मन फलन एक आक्षेप है
-:<math>\pi:\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}.</math><ref name=":0" />अधिक आम तौर पर, सेट ए पर एक युग्मन फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जो ए से तत्वों की प्रत्येक जोड़ी को ए के तत्व में मैप करता है, जैसे कि ए के तत्वों के दो जोड़े ए के विभिन्न तत्वों से जुड़े होते हैं,<ref name=":2">{{Cite web|last=Szudzik|first=Matthew|year=2006|title=एक सुंदर जोड़ी बनाने का कार्य|url=http://szudzik.com/ElegantPairing.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20111125104326/http://szudzik.com/ElegantPairing.pdf|archive-date=25 November 2011|access-date=16 August 2021|website=szudzik.com}}</ref> या से आपत्ति <math>A^2</math> ए को.<ref>{{cite arXiv|last=Szudzik|first=Matthew P.|date=2017-06-01|title=रोसेनबर्ग-स्ट्रॉन्ग पेयरिंग फंक्शन|class=cs.DM|eprint=1706.04129}}</ref>
+:<math>\pi:\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}.
+                                                                                                                                              </math><ref name=":0" />
+अधिक सामान्यतः, सेट A पर एक युग्मन फलन एक ऐसा फलन होता है जो A से तत्वों की प्रत्येक जोड़ी को A के तत्व में मैप करता है, जैसे कि A के तत्वों के किसी भी दो जोड़े A के विभिन्न तत्वों या <math>A^2</math> से A तक एक आक्षेप से जुड़े होते हैं।<ref>{{cite arXiv|last=Szudzik|first=Matthew P.|date=2017-06-01|title=रोसेनबर्ग-स्ट्रॉन्ग पेयरिंग फंक्शन|class=cs.DM|eprint=1706.04129}}</ref>
-== हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन युग्मन फ़ंक्शन ==
+== हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन युग्मन फलन ==
-हॉपक्रॉफ्ट और उल्मैन (1979) निम्नलिखित युग्मन फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं: <math>\langle i, j\rangle := \frac{1}{2}(i+j-2)(i+j-1) + i</math>, कहाँ <math>i, j\in\{1, 2, 3, \dots \}</math>.<ref name=":0" />यह नीचे दिए गए कैंटर पेयरिंग फ़ंक्शन के समान है, जिसे 0 को बाहर करने के लिए स्थानांतरित कर दिया गया है (यानी, <math>i=k_2+1</math>, <math>j=k_1+1</math>, और <math>\langle i, j\rangle - 1 = \pi(k_2,k_1)</math>).
+हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन (1979) निम्नलिखित युग्मन फलन  को परिभाषित करते हैं: <math>\langle i, j\rangle := \frac{1}{2}(i+j-2)(i+j-1) + i</math>, जहां <math>i, j\in\{1, 2, 3, \dots \}</math><ref name=":0" /> यह नीचे दिए गए कैंटर पेयरिंग फलन  के समान है, जिसे 0 (अथार्त , <math>i=k_2+1</math>, <math>j=k_1+1</math>,, और <math>\langle i, j\rangle - 1 = \pi(k_2,k_1)</math> को बाहर करने के लिए स्थानांतरित कर दिया गया है।
-== कैंटर युग्मन फ़ंक्शन ==
+== कैंटर युग्मन फलन ==
-[[File:Cantor's Pairing Function.svg|alt=A plot of the Cantor pairing function|thumb|कैंटर युग्मन फ़ंक्शन प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को एक प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट करता है]]
+[[File:Cantor's Pairing Function.svg|alt=A plot of the Cantor pairing function|thumb|कैंटर युग्मन फलन प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को एक प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट करता है]]
-[[File:Cantor's Pairing Function Plot.svg|alt=A graph of the Cantor pairing function|thumb|कैंटर युग्मन फ़ंक्शन का ग्राफ़]]कैंटर पेयरिंग फ़ंक्शन एक आदिम पुनरावर्ती फ़ंक्शन पेयरिंग फ़ंक्शन है
+[[File:Cantor's Pairing Function Plot.svg|alt=A graph of the Cantor pairing function|thumb|कैंटर युग्मन फलन का ग्राफ़]]कैंटर पेयरिंग फलन एक आदिम पुनरावर्ती फलन पेयरिंग फलन है
 :<math>\pi:\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math>
 द्वारा परिभाषित
 :<math>\pi(k_1,k_2) := \frac{1}{2}(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1)+k_2</math><ref name=":0" />
-कहाँ <math>k_1, k_2\in\{0, 1, 2, 3, \dots\}</math>.<ref name=":0" />
+जहाँ <math>k_1, k_2\in\{0, 1, 2, 3, \dots\}</math>.<ref name=":0" />
-इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है <math>Pair[x, y] := \frac{x^2 + x + 2xy + 3y + y^2}{2}</math>.<ref name=":2" />
+इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है <math>Pair[x, y] := \frac{x^2 + x + 2xy + 3y + y^2}{2}</math>.<ref name=":2">{{Cite web|last=Szudzik|first=Matthew|year=2006|title=एक सुंदर जोड़ी बनाने का कार्य|url=http://szudzik.com/ElegantPairing.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20111125104326/http://szudzik.com/ElegantPairing.pdf|archive-date=25 November 2011|access-date=16 August 2021|website=szudzik.com}}</ref>
-यह पूरी तरह से मोनोटोनिक w.r.t. भी है। प्रत्येक तर्क, अर्थात् सभी के लिए <math>k_1, k_1', k_2, k_2' \in \mathbb{N}</math>, अगर <math>k_1 < k_{1}'</math>, तब <math>\pi(k_1, k_2) < \pi(k_1', k_2)</math>; इसी प्रकार, यदि <math>k_2 < k_{2}'</math>, तब <math>\pi(k_1, k_2) < \pi(k_1, k_2')</math>.
+यह पूरी तरह से मोनोटोनिक w.r.t. भी है। प्रत्येक तर्क, अर्थात् सभी के लिए <math>k_1, k_1', k_2, k_2' \in \mathbb{N}</math>, यदि <math>k_1 < k_{1}'</math>, तब <math>\pi(k_1, k_2) < \pi(k_1', k_2)</math>; इसी प्रकार, यदि <math>k_2 < k_{2}'</math>, तब <math>\pi(k_1, k_2) < \pi(k_1, k_2')</math> है
-यह कथन कि यह एकमात्र द्विघात युग्मन फलन है, फ़ुएटर-पोल्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref name=":0" /> क्या यह एकमात्र बहुपद युग्म फलन है यह अभी भी एक खुला प्रश्न है। जब हम युग्मन फ़ंक्शन को लागू करते हैं {{math|''k''<sub>1</sub>}} और {{math|''k''<sub>2</sub>}} हम अक्सर परिणामी संख्या को इस रूप में निरूपित करते हैं {{math|⟨''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>⟩}}.
+यह कथन कि यह एकमात्र द्विघात युग्मन फलन है, फ़ुएटर-पोलिया प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref name=":0" /> क्या यह एकमात्र बहुपद युग्मन फलन है, यह अभी भी एक विवर्त प्रश्न है। जब हम युग्मन फलन को  {{math|''k''<sub>1</sub>}} और {{math|''k''<sub>2</sub>}} पर प्रयुक्त करते हैं तो हम  अधिकांशतः परिणामी संख्या को {{math|⟨''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>⟩}} के रूप में दर्शाते हैं।
 इस परिभाषा को आगमनात्मक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है
 :<math>\pi^{(n)}:\mathbb{N}^n \to \mathbb{N}</math>
-के लिए <math>n > 2</math> जैसा
+जैसा <math>n > 2</math> के लिए
 :<math>\pi^{(n)}(k_1, \ldots, k_{n-1}, k_n) := \pi ( \pi^{(n-1)}(k_1, \ldots, k_{n-1}) , k_n)</math>
-एक जोड़ी के लिए ऊपर परिभाषित आधार मामले के साथ: <math>\pi^{(2)}(k_1,k_2) := \pi(k_1,k_2).</math><ref name=":0" />
+एक जोड़ी के लिए ऊपर परिभाषित आधार स्थिति के साथ: <math>\pi^{(2)}(k_1,k_2) := \pi(k_1,k_2).</math><ref name=":0" />
-=== कैंटर युग्मन फ़ंक्शन को उलटना ===
+=== कैंटर युग्मन फलन को व्युत्क्रम ===
-होने देना <math>z \in \mathbb{N}</math> एक मनमाना प्राकृतिक संख्या हो. हम दिखाएंगे कि अद्वितीय मूल्य मौजूद हैं <math>x, y \in \mathbb{N}</math> ऐसा है कि
+होने देना <math>z \in \mathbb{N}</math> एक इच्छित प्राकृतिक संख्या हो. हम दिखाएंगे कि अद्वितीय मान उपस्थित हैं <math>x, y \in \mathbb{N}</math> ऐसा है कि
 :<math> z = \pi(x, y) = \frac{(x + y + 1)(x + y)}{2} + y </math>
-और इसलिए यह कार्य है {{math|''π(x, y)''}} उलटा है. गणना में कुछ मध्यवर्ती मानों को परिभाषित करना सहायक होता है:
+और इसलिए यह कार्य है {{math|''π(x, y)''}} विपरीत है. गणना में कुछ मध्यवर्ती मानों को परिभाषित करना सहायक होता है और इसलिए फलन {{math|''π(x, y)''}} विपरीत है। गणना में कुछ मध्यवर्ती मानों को परिभाषित करना सहायक होता है:
 :<math> w = x + y \!</math>
 :<math> t = \frac{1}{2}w(w + 1) = \frac{w^2 + w}{2} </math>
 :<math> z = t + y \!</math>
-कहाँ {{math|''t''}} की [[त्रिकोणीय संख्या]] है {{math|''w''}}. यदि हम [[द्विघात समीकरण]] को हल करते हैं
+जहाँ t, w की त्रिभुज संख्या है। यदि हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं
 :<math> w^2 + w - 2t = 0 \!</math>
-के लिए {{math|''w''}} के एक कार्य के रूप में {{math|''t''}}, हम पाते हैं
+t के फलन के रूप में w के लिए, हमें मिलता है
 :<math> w = \frac{\sqrt{8t + 1} - 1}{2} </math>
 जो एक सख्ती से बढ़ने वाला और निरंतर कार्य है जब {{math|''t''}} गैर-नकारात्मक वास्तविक है। तब से
 :<math> t \leq z = t + y < t + (w + 1) =  \frac{(w + 1)^2 + (w + 1)}{2} </math>
 हमें वह मिल गया
@@ Line 51: / Line 59: @@
 और इस तरह
 :<math> w = \left\lfloor \frac{\sqrt{8z + 1} - 1}{2} \right\rfloor. </math>
-कहाँ {{math|⌊ ⌋}} [[फर्श समारोह]] है।
+जहां {{math|⌊ ⌋}} फ़्लोर फलन है। तो z से x और y की गणना करने के लिए, हम यह करते हैं:
-तो गणना करने के लिए {{math|''x''}} और {{math|''y''}} से {{math|''z''}}, क र ते हैं:
 :<math> w = \left\lfloor \frac{\sqrt{8z + 1} - 1}{2} \right\rfloor </math>
 :<math> t = \frac{w^2 + w}{2} </math>
 :<math> y = z - t \!</math>
 :<math> x = w - y. \!</math>
-चूंकि कैंटर युग्मन [[इंजेक्शन समारोह]]उलटा है, इसलिए इसे [[विशेषण फलन]] | एक-से-एक और विशेषण फ़ंक्शन होना चाहिए।<ref name=":2" />
+चूंकि कैंटर युग्मन [[इंजेक्शन समारोह|इंजेक्शन फलन]]  विपरीत है, इसलिए इसे [[विशेषण फलन]]  या  एक-से-एक और विशेषण फलन होना चाहिए।<ref name=":2" />
 === उदाहरण ===
@@ Line 69: / Line 76: @@
 इसलिए {{math|''π''(47, 32) {{=}} 3192}}.
-ढूँढ़ने के लिए {{math|''x''}} और {{math|''y''}} ऐसा है कि {{math|''π''(''x'', ''y'') {{=}} 1432}}:
+खोजने के लिए {{math|''x''}} और {{math|''y''}} ऐसा है कि {{math|''π''(''x'', ''y'') {{=}} 1432}}:
 :{{math|8 × 1432 {{=}} 11456}},
 :{{math|11456 + 1 {{=}} 11457}},
@@ Line 87: / Line 94: @@
 === व्युत्पत्ति ===
-[[File:Diagonal argument.svg|thumb|right|170px|कैंटर के युग्मन फ़ंक्शन के समान सिद्धांतों से एक विकर्ण रूप से वृद्धिशील स्नैकिंग फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर तर्कसंगत संख्याओं की गणना को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।]]कैंटर के युग्मन फ़ंक्शन का ग्राफिकल आकार, एक विकर्ण प्रगति, अनंत अनुक्रमों और [[गणनीयता]] के साथ काम करने में एक मानक चाल है।{{efn|The term "diagonal argument" is sometimes used to refer to this type of enumeration, but it is ''not'' directly related to [[Cantor's diagonal argument]].{{citation needed|date=August 2021}}}} इस विकर्ण-आकार वाले फ़ंक्शन के बीजगणितीय नियम बहुपदों की एक श्रृंखला के लिए इसकी वैधता को सत्यापित कर सकते हैं, जिनमें से [[प्रेरण की विधि]] का उपयोग करके एक द्विघात सबसे सरल हो जाएगा। वास्तव में, इसी तकनीक का पालन विमान की गणना के लिए किसी भी प्रकार की योजनाओं के लिए किसी भी अन्य फ़ंक्शन को आज़माने और प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।
+[[File:Diagonal argument.svg|thumb|right|170px|कैंटर के युग्मन फलन के समान सिद्धांतों से एक विकर्ण रूप से वृद्धिशील स्नैकिंग फलन का उपयोग  अधिकांशतः तर्कसंगत संख्याओं की गणना को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।]]कैंटर के युग्मन फलन का ग्राफिकल आकार एक विकर्ण प्रगति अनंत अनुक्रमों और [[गणनीयता]] के साथ काम करने में एक मानक चाल है।{{efn|The term "diagonal argument" is sometimes used to refer to this type of enumeration, but it is ''not'' directly related to [[Cantor's diagonal argument]].{{citation needed|date=August 2021}}}} इस विकर्ण-आकार वाले फलन के बीजगणितीय नियम बहुपदों की एक श्रृंखला के लिए इसकी वैधता को सत्यापित कर सकते हैं, जिनमें से [[प्रेरण की विधि]] का उपयोग करके एक द्विघात सबसे सरल हो जाएगा। वास्तव में, इसी तकनीक का पालन विमान की गणना के लिए किसी भी प्रकार की योजनाओं के लिए किसी भी अन्य फलन को प्रयास करने  और प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।
-एक युग्मन फ़ंक्शन को आम तौर पर आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है - यानी, दिया गया {{math|''n''}}वाँ जोड़ा, क्या है {{math|(''n''+1)}}वाँ जोड़ा? कैंटर का कार्य जिस तरह से विमान में विकर्ण रूप से आगे बढ़ता है उसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
+एक युग्म फलन को सामान्यतः आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है - अर्थात, {{math|''n''}}वाँ युग्म दिया गया है, {{math|(''n''+1)}}वाँ युग्म क्या है? कैंटर का कार्य जिस तरह से विमान में विकर्ण रूप से आगे बढ़ता है उसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>\pi(x,y)+1 = \pi(x-1,y+1)</math>.
-फ़ंक्शन को यह भी परिभाषित करना होगा कि जब यह पहले चतुर्थांश की सीमाओं से टकराता है तो क्या करना है - कैंटर का युग्मन फ़ंक्शन अपनी विकर्ण प्रगति को एक कदम आगे या बीजगणितीय रूप से फिर से शुरू करने के लिए एक्स-अक्ष पर वापस रीसेट हो जाता है:
+फलन को यह भी परिभाषित करना होगा कि जब यह पहले चतुर्थांश की सीमाओं से टकराता है तो क्या करना है - कैंटर का युग्मन फलन अपनी विकर्ण प्रगति को एक कदम आगे या बीजगणितीय रूप से फिर से प्रारंभ करने के लिए x-अक्ष पर वापस रीसेट हो जाता है:
 :<math>\pi(0,k)+1 = \pi(k+1,0)</math>.
-इसके अलावा हमें शुरुआती बिंदु को परिभाषित करने की आवश्यकता है, हमारी प्रेरण विधि में प्रारंभिक चरण क्या होगा: {{math|''π''(0, 0) {{=}} 0}}.
+इसके अतिरिक्त हमें प्रारंभिक बिंदु को परिभाषित करने की आवश्यकता है हमारी प्रेरण विधि में प्रारंभिक चरण क्या होगा: {{math|''π''(0, 0) {{=}} 0}}.
-मान लें कि एक द्विघात 2-आयामी बहुपद है जो इन स्थितियों में फिट हो सकता है (यदि ऐसा नहीं होता, तो कोई उच्च-डिग्री बहुपद को आज़माकर दोहरा सकता है)। सामान्य रूप तो यह है
+मान लें कि एक द्विघात 2-आयामी बहुपद है जो इन स्थितियों में फिट हो सकता है (यदि ऐसा नहीं होता, तो कोई उच्च-डिग्री बहुपद को प्रयाश करके दोहरा सकता है)। सामान्य रूप तो यह है
 :<math>\pi(x,y) = ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f</math>.
-प्राप्त करने के लिए हमारी प्रारंभिक और सीमा शर्तों को प्लग इन करें {{math|''f'' {{=}} 0}} और:
+{{math|''f'' {{=}} 0}} और: प्राप्त करने के लिए हमारी प्रारंभिक और सीमा नियमो को अंकित करें:
 :<math>bk^2+ek+1 = a(k+1)^2+d(k+1)</math>,
-ताकि हम अपना मिलान कर सकें {{math|''k''}} प्राप्त करने की शर्तें
+इसलिए हम प्राप्त करने के लिए अपने {{math|''k''}} शब्दों का मिलान कर सकते हैं
 :{{math|''b'' {{=}} ''a''}}
 :{{math|''d'' {{=}} 1-''a''}}
 :{{math|''e'' {{=}} 1+''a''}}.
-इसलिए प्रत्येक पैरामीटर को के संदर्भ में लिखा जा सकता है {{math|''a''}} के अलावा {{math|''c''}}, और हमारे पास एक अंतिम समीकरण है, हमारा विकर्ण चरण, जो उन्हें संबंधित करेगा:
+इसलिए c को छोड़कर प्रत्येक पैरामीटर को a के संदर्भ में लिखा जा सकता है, और हमारे पास एक अंतिम समीकरण है, हमारा विकर्ण चरण, जो उन्हें संबंधित करेगा:
 :<math>\begin{align}
    \pi(x,y)+1 &= a(x^2+y^2) + cxy + (1-a)x + (1+a)y + 1 \\
      &= a((x-1)^2+(y+1)^2) + c(x-1)(y+1) + (1-a)(x-1) + (1+a)(y+1).
    \end{align}</math>
-निश्चित मान प्राप्त करने के लिए शब्दों को फिर से विस्तृत करें और मिलान करें {{math|''a''}} और {{math|''c''}}, और इस प्रकार सभी पैरामीटर:
+{{math|''a''}} और {{math|''c''}}, के लिए निश्चित मान प्राप्त करने के लिए शब्दों का फिर से विस्तार करें और मिलान करें और इस प्रकार सभी पैरामीटर:
 :{{math|''a'' {{=}} {{sfrac|1|2}} {{=}} ''b'' {{=}} ''d''}}
 :{{math|''c'' {{=}} 1}}
@@ Line 124: / Line 131: @@
      &= \frac{1}{2}(x+y)(x+y+1) + y,
    \end{align}</math>
-कैंटर युग्मन फ़ंक्शन है, और हमने व्युत्पत्ति के माध्यम से यह भी प्रदर्शित किया कि यह प्रेरण की सभी शर्तों को पूरा करता है।
+कैंटर युग्मन फलन है, और हमने व्युत्पत्ति के माध्यम से यह भी प्रदर्शित किया कि यह प्रेरण की सभी नियमो को पूरा करता है।
 == अन्य युग्मन कार्य ==
-कार्यक्रम <math>P_2(x, y):= 2^x(2y + 1) - 1</math> एक युग्मन फ़ंक्शन है.
+कार्यक्रम <math>P_2(x, y):= 2^x(2y + 1) - 1</math> एक युग्मन फलन है.
-में, रेगन ने पहला ज्ञात युग्मन फ़ंक्शन प्रस्तावित किया जो [[रैखिक समय]] में और स्थिर स्थान के साथ गणना योग्य है (जैसा कि पहले से ज्ञात उदाहरण केवल रैखिक समय में [[तेजी से गुणा]] होने पर गणना की जा सकती है, जो संदिग्ध है)।<ref name=":3">{{Cite journal|date=1992-12-01|title=न्यूनतम-जटिलता युग्मन कार्य|journal=Journal of Computer and System Sciences|language=en|volume=45|issue=3|pages=285–295|doi=10.1016/0022-0000(92)90027-G|issn=0022-0000|doi-access=free|last1=Regan|first1=Kenneth W.}}</ref> वास्तव में, इस युग्मन फ़ंक्शन और इसके व्युत्क्रम दोनों की गणना वास्तविक समय में चलने वाले परिमित-अवस्था ट्रांसड्यूसर के साथ की जा सकती है।<ref name=":3" /> उसी पेपर में, लेखक ने दो और मोनोटोन युग्मन फ़ंक्शन प्रस्तावित किए जो रैखिक समय में और लॉगरिदमिक स्थान के साथ [[ऑनलाइन एल्गोरिदम]] हो सकते हैं; पहले की गणना शून्य स्थान के साथ ऑफ़लाइन भी की जा सकती है।<ref name=":3" />
+में, रेगन ने पहला ज्ञात युग्मन फलन प्रस्तावित किया जो [[रैखिक समय]] में और स्थिर स्थान के साथ गणना योग्य है (जैसा कि पहले से ज्ञात उदाहरण केवल रैखिक समय में गणना की जा सकती है यदि गुणन बहुत अधिक हो सकता है, जो संदिग्ध है)।<ref name=":3">{{Cite journal|date=1992-12-01|title=न्यूनतम-जटिलता युग्मन कार्य|journal=Journal of Computer and System Sciences|language=en|volume=45|issue=3|pages=285–295|doi=10.1016/0022-0000(92)90027-G|issn=0022-0000|doi-access=free|last1=Regan|first1=Kenneth W.}}</ref> वास्तव में, इस युग्मन फलन और इसके व्युत्क्रम दोनों की गणना वास्तविक समय में चलने वाले परिमित-अवस्था ट्रांसड्यूसर के साथ की जा सकती है।<ref name=":3" /> उसी पेपर में, लेखक ने दो और मोनोटोन युग्मन फलन प्रस्तावित किए जो रैखिक समय में और लॉगरिदमिक स्थान के साथ [[ऑनलाइन एल्गोरिदम]] हो सकते हैं; पहले की गणना शून्य स्थान के साथ ऑफ़लाइन भी की जा सकती है।<ref name=":3" />
-में, पिजन ने [[बिट-इंटरलीविंग]] पर आधारित एक पेयरिंग फ़ंक्शन का प्रस्ताव रखा, जिसे पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+में, पिजन ने [[बिट-इंटरलीविंग]] पर आधारित एक पेयरिंग फलन का प्रस्ताव रखा था जिसे पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 :<math>\langle i,j\rangle_{P}=\begin{cases}
@@ Line 137: / Line 144: @@
 \langle\lfloor i/2\rfloor,\lfloor j/2\rfloor\rangle_{P}:i_0:j_0&\text{otherwise,}
 \end{cases}</math>
-कहाँ <math>i_0</math> और <math>j_0</math> क्रमशः i और j के न्यूनतम महत्वपूर्ण बिट हैं।<ref name=":0" />
+जहाँ <math>i_0</math> और <math>j_0</math> क्रमशः i और j के न्यूनतम महत्वपूर्ण बिट हैं।<ref name=":0" />
-में, सुडज़िक ने अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित एक अधिक सुंदर युग्मन फ़ंक्शन का प्रस्ताव रखा:
+में, सुडज़िक ने अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित एक अधिक सुंदर युग्मन फलन का प्रस्ताव रखा जाता है:
 :<math>\operatorname{ElegantPair}[x, y] := \begin{cases}
 y^2 + x&\text{if}\ x\neq\max\{x, y\},\\
@@ Line 152: / Line 159: @@
 & \text{if }z - \lfloor\sqrt{z}\rfloor^2\geq\lfloor\sqrt{z}\rfloor.
 \end{cases}</math>
-(गुणात्मक रूप से, यह वर्गों के किनारों के साथ जोड़े को लगातार संख्याएं प्रदान करता है।) यह युग्मन फ़ंक्शन गहराई के आधार पर [[एसके कॉम्बिनेटर कैलकुलस]] अभिव्यक्तियों को क्रमबद्ध करता है।<ref name=":2" />
+(गुणात्मक रूप से, यह वर्गों के किनारों के साथ जोड़े को निरंतर संख्याएं प्रदान करता है।) यह युग्मन फलन गहराई के आधार पर एसके कॉम्बिनेटर कैलकुलस अभिव्यक्ति का आदेश देता है।<ref name=":2" /> यह विधि विचार के <math>\N</math> के लिए मात्र अनुप्रयोग है, जो सेट थ्योरी पर अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में पाया जाता है,<ref>See for instance {{cite book
-यह विधि मात्र अनुप्रयोग है <math>\N</math> यह विचार, सेट थ्योरी पर अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में पाया गया,<ref>See for instance {{cite book
 |last=Thomas
 |first=Jech
@@ Line 162: / Line 168: @@
 |publisher=Springer-Verlag
 |page=30
-|isbn=3-540-44085-2}}</ref>
+|isbn=3-540-44085-2}}</ref> जेडएफसी में किसी भी अनंत कार्डिनल <math>\kappa</math> के लिए <math>\kappa^2=\kappa</math> स्थापित करने के लिए उपयोग किया जाता है। <math>\kappa\times\kappa</math> पर द्विआधारी संबंध परिभाषित करें
-स्थापित करने के लिए उपयोग किया जाता है <math>\kappa^2=\kappa</math> किसी भी अनंत कार्डिनल के लिए <math>\kappa</math> ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में।
-पर परिभाषित करें <math>\kappa\times\kappa</math> द्विआधारी संबंध
 :<math>(\alpha,\beta)\preccurlyeq(\gamma,\delta) \text{ if either } \begin{cases}
 (\alpha,\beta) = (\gamma,\delta),\\[4pt]
@@ Line 171: / Line 175: @@
 \max(\alpha,\beta) = \max(\gamma,\delta)\ \text{and}\ \alpha=\gamma\ \text{and}\ \beta<\delta.
 \end{cases}</math>
-<math>\preccurlyeq</math> फिर इसे एक सुव्यवस्थित रूप में दिखाया जाता है जैसे कि प्रत्येक तत्व में होता है <math>{}<\kappa</math> पूर्ववर्ती, जिसका तात्पर्य यह है <math>\kappa^2=\kappa</math>.
+फिर <math>\preccurlyeq</math> को एक सुव्यवस्थित रूप में दिखाया जाता है जैसे कि प्रत्येक तत्व में <math>{}<\kappa</math> पूर्ववर्ती होते हैं, जिसका अर्थ है कि <math>\kappa^2=\kappa</math> इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि <math>(\N\times\N,\preccurlyeq)</math>, <math>(\N,\leqslant)</math> का समरूपी है और उपरोक्त युग्म फलन बढ़ते क्रम में पूर्णांक युग्मों की गणना से अधिक कुछ नहीं है। (टॉक भी देखें: पसंद के बारे में टार्स्की का प्रमेय या विपरीत का प्रमाण है।)
-यह इस प्रकार है कि <math>(\N\times\N,\preccurlyeq)</math> के लिए समरूपी है <math>(\N,\leqslant)</math> और उपरोक्त युग्म फ़ंक्शन बढ़ते क्रम में पूर्णांक युग्मों की गणना से अधिक कुछ नहीं है। (टॉक भी देखें: पसंद के बारे में टार्स्की का प्रमेय#विपरीत का प्रमाण।)
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हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन युग्मन फलन