श्रेणीबद्ध वलय: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[अमूर्त बीजगणित]] में, | गणित में, विशेष रूप से [[अमूर्त बीजगणित]] में, श्रेणीबद्ध वलय एक ऐसा वलय होता है जिसमें अंतर्निहित [[योगात्मक समूह]] [[एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग|एबेलियन समूहों]] <math>R_i</math> ऐसा कि <math>R_i R_j \subseteq R_{i+j}</math>का प्रत्यक्ष योग होता है। सूचकांक समूह सामान्यतः अतिरक्त-नकारात्मक [[पूर्णांक]] का समूह या पूर्णांकों का समूह होता है, लेकिन कोई भी [[मोनोइड]] हो सकता है। प्रत्यक्ष योग अपघटन को सामान्यतः श्रेणीकरण या श्रेणीबद्ध के रूप में जाना जाता है। | ||
एक श्रेणीबद्ध | एक श्रेणीबद्ध मापांक को इसी तरह परिभाषित किया गया है (सटीक परिभाषा के लिए नीचे देखें)। यह श्रेणीबद्ध दिष्ट रिक्त स्थान का सामान्यीकरण करता है। एक श्रेणीबद्ध मापांक जो एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, श्रेणीबद्ध बीजगणित कहलाता है। एक श्रेणीबद्ध वलय को <math>\Z</math>-बीजगणित श्रेणीबद्ध के रूप में भी देखा जा सकता है। | ||
श्रेणीबद्ध वलय की परिभाषा में साहचर्यता महत्वपूर्ण नहीं है (वास्तव में इसका उपयोग बिल्कुल नहीं किया गया है); इसलिए, यह धारणा [[गैर-सहयोगी बीजगणित|अतिरक्त-सहयोगी बीजगणित]] पर भी लागू होती है; उदाहरण के लिए, कोई श्रेणीबद्ध अवस्थित बीजगणित पर विचार कर सकता है। | |||
== प्रथम गुण == | == प्रथम गुण == | ||
सामान्यतः, श्रेणीबद्ध वलय के सूचकांक समूह को अतिरक्त-नकारात्मक पूर्णांकों का समूह माना जाता है, जब तक कि स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट न किया गया हो। इस लेख में यही स्थिति है। | |||
एक श्रेणीबद्ध वलय एक वलय | एक श्रेणीबद्ध वलय एक ऐसा वलय है जो [[प्रत्यक्ष योग]] में विघटित होता है | ||
:<math>R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots</math> का | :<math>R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots</math> का | ||
योगात्मक समूह, जैसे कि | योगात्मक समूह, जैसे कि | ||
:<math>R_mR_n \subseteq R_{m+n}</math> | :<math>R_mR_n \subseteq R_{m+n}</math> | ||
सभी | सभी अतिरक्त-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए <math>m</math> और <math>n</math>. | ||
का एक अशून्य तत्व <math>R_n</math> डिग्री | का एक अशून्य तत्व <math>R_n</math> को डिग्री <math>n</math> का सजातीय कहा जाता है। प्रत्यक्ष योग की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक अतिरक्त-शून्य तत्व <math>a</math> का <math>R</math> को विशिष्ट रूप से <math>a=a_0+a_1+\cdots +a_n</math> योग के रूप में लिखा जा सकता है। जहां प्रत्येक <math>a_i</math> या तो 0 है या डिग्री <math>i</math> का सजातीय है, शून्येतर <math>a_i</math> के सजातीय घटक <math>a</math> हैं। | ||
कुछ | कुछ आधार भूत गुण हैं जैसे की | ||
*<math>R_0</math> का एक | *<math>R_0</math> का एक <math>R</math> उपवलय है ; विशेष रूप से, गुणात्मक पहचान <math>1</math> डिग्री शून्य का एक सजातीय तत्व है। | ||
*किसी के लिए <math>n</math>, <math>R_n</math> दोतरफा | *किसी के लिए <math>n</math>, <math>R_n</math> दोतरफा <math>R_0</math>-[[मॉड्यूल (गणित)|मापांक]] है, और प्रत्यक्ष योग अपघटन का प्रत्यक्ष योग <math>R_0</math>-मॉड्यूल है। | ||
* <math>R</math> एक | * <math>R</math> एक <math>R_0</math>-बीजगणित सहयोगी है। | ||
एक [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] <math>I\subseteq R</math> सजातीय है, यदि प्रत्येक के लिए <math>a \in I</math>, के सजातीय घटक <math>a</math> का भी | एक [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|आदर्श (वलय सिद्धांत)]] <math>I\subseteq R</math> सजातीय है, यदि प्रत्येक के लिए <math>a \in I</math>, के सजातीय घटक <math>a</math> का भी संबंध <math>I</math> है। (समकक्ष रूप से, यदि <math>R</math> एक श्रेणीबद्ध सब मापांकहै ; देखें {{section link||श्रेणीबद्ध मापांक}}।) एक सजातीय आदर्श का [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)|प्रतिच्छेदन]] <math>I</math> साथ में <math>R_n</math> एक <math>R_0</math>-[[सबमॉड्यूल|सब]] मापांक का <math>R_n</math> डिग्री का <math>n</math> का <math>I</math> सजातीय भाग कहलाता है . एक सजातीय आदर्श उसके सजातीय भागों का प्रत्यक्ष योग है। | ||
अगर <math>I</math> में एक दोतरफा सजातीय आदर्श | अगर <math>I</math> में एक दोतरफा सजातीय आदर्श <math>R</math> है , तब <math>R/I</math> एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, जो विघटित होता है | ||
: <math>R/I = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n/I_n,</math> | : <math>R/I = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n/I_n,</math> | ||
जहाँ <math>I_n</math> डिग्री का सजातीय भाग <math>n</math> का <math>I</math> है। | |||
== | ==आधार भूत उदाहरण== | ||
*किसी भी ( | *किसी भी (अतिरक्त-वर्गीकृत) वलय R को i ≠ 0 के लिए <math>R_0=R</math>, और <math>R_i=0</math> का श्रेणीकरण दिया जा सकता है। इसे R पर क्षुद्र श्रेणीकरण' कहा जाता है। | ||
*[[बहुपद वलय]] <math>R = k[t_1, \ldots, t_n]</math> एक बहुपद की घात द्वारा वर्गीकृत किया | *[[बहुपद वलय]] <math>R = k[t_1, \ldots, t_n]</math> एक बहुपद की घात द्वारा वर्गीकृत किया गया है,इसका प्रत्यक्ष योग <math>R_i</math> है यह घात I के [[सजातीय बहुपद]] से मिलकर बना है। | ||
*मान लीजिए कि S | *मान लीजिए कि S श्रेणीबद्ध [[ अभिन्न डोमेन |अभिन्न डोमेन]] R में सभी अतिरक्त-शून्य सजातीय तत्वों का समूह है। फिर S के संबंध में R की वलय का स्थानीयकरण <math>\Z</math>-श्रेणीबद्ध वलय है। | ||
*यदि I क्रमविनिमेय वलय R में एक आदर्श है, तो <math>\bigoplus_{i = 0}^\infty H^i(X; R)</math>एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसे I के साथ R की संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय कहा जाता है; ज्यामितीय रूप से, यह I द्वारा परिभाषित उपविविधता के साथ सामान्य शंकु की समन्वय वलय है | |||
*यदि I [[क्रमविनिमेय वलय]] R में एक आदर्श है, तो <math>\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n/I^{n+1}</math> एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसे I के साथ R का संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय कहा जाता है; ज्यामितीय रूप से, यह I द्वारा परिभाषित उपविविधता के साथ [[सामान्य शंकु]] की समन्वय अंगूठी है। | *यदि I [[क्रमविनिमेय वलय]] R में एक आदर्श है, तो <math>\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n/I^{n+1}</math> एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसे I के साथ R का संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय कहा जाता है; ज्यामितीय रूप से, यह I द्वारा परिभाषित उपविविधता के साथ [[सामान्य शंकु]] की समन्वय अंगूठी है। | ||
* मान लीजिए कि X एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, | * मान लीजिए कि X एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, H i(X; R) एक रिंग R में गुणांक के साथ ith [[कोहोमोलोजी समूह]] है। फिर H *(X; R), R में गुणांक के साथ X की कोहोमोलॉजी रिंग, एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसका अंतर्निहित [[एबेलियन समूह]] <math>\bigoplus_{i = 0}^\infty H^i(X; R)</math> [[कप उत्पाद]] द्वारा दी गई गुणात्मक संरचना के साथ है । | ||
==ग्रेडेड मॉड्यूल== | ==ग्रेडेड मॉड्यूल== | ||
[[मॉड्यूल सिद्धांत]] में संबंधित विचार एक श्रेणीबद्ध | [[मॉड्यूल सिद्धांत|मापांकसिद्धांत]] में संबंधित विचार एक श्रेणीबद्ध मापांकका है, अर्थात् एक बायां मापांक(गणित) ''एम'' एक श्रेणीबद्ध वलय ''आर'' के ऊपर भी है | ||
:<math>M = \bigoplus_{i\in \mathbb{N}}M_i ,</math> | :<math>M = \bigoplus_{i\in \mathbb{N}}M_i ,</math> | ||
और | और | ||
:<math>R_iM_j \subseteq M_{i+j}.</math> | :<math>R_iM_j \subseteq M_{i+j}.</math> | ||
उदाहरण: एक ग्रेडेड | उदाहरण: एक ग्रेडेड दिष्ट स्पेस एक [[फ़ील्ड (गणित)]] पर ग्रेडेड मापांकका एक उदाहरण है (फ़ील्ड में तुच्छ श्रेणीबद्ध होती है)। | ||
उदाहरण: एक | उदाहरण: एक श्रेणीबद्ध वलय अपने आप में एक ग्रेडेड मापांकहै। एक श्रेणीबद्ध वलय में एक आदर्श सजातीय होता है यदि और केवल तभी जब यह एक श्रेणीबद्ध सबमापांकहो। श्रेणीबद्ध मापांकका [[संहारक (रिंग सिद्धांत)|संहारक (वलय सिद्धांत)]] एक सजातीय आदर्श है। | ||
उदाहरण: एक क्रमविनिमेय वलय ''R'' और एक ''R''- | उदाहरण: एक क्रमविनिमेय वलय ''R'' और एक ''R''-मापांक''M'' में एक आदर्श ''I'' दिया गया है, प्रत्यक्ष योग <math>\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n M/I^{n+1} M</math> संबंधित श्रेणीबद्ध वलय के ऊपर एक ग्रेडेड मापांकहै <math>\bigoplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}</math>. | ||
एक रूपवाद <math>f: N \to M</math> ग्रेडेड | एक रूपवाद <math>f: N \to M</math> ग्रेडेड मापांकके बीच, जिसे ग्रेडेड मॉर्फिज्म कहा जाता है, अंतर्निहित मापांकका एक मॉर्फिज्म है जो श्रेणीबद्ध का सम्मान करता है; अर्थात।, <math>f(N_i) \subseteq M_i</math>. एक ग्रेडेड सबमापांकएक सबमापांकहै जो अपने आप में एक ग्रेडेड मापांकहै और ऐसा है कि समूह-सैद्धांतिक [[समावेशन मानचित्र]] ग्रेडेड मापांकका एक रूप है। स्पष्ट रूप से, एक श्रेणीबद्ध मापांक''एन'' ''एम'' का एक श्रेणीबद्ध सबमापांकहै यदि और केवल यदि यह ''एम'' का एक सबमापांकहै और संतुष्ट करता है <math>N_i = N \cap M_i</math>. श्रेणीबद्ध मापांकके रूपवाद के [[कर्नेल (बीजगणित)]] और [[छवि (गणित)]] श्रेणीबद्ध उपमापांकहैं। | ||
टिप्पणी: एक श्रेणीबद्ध | टिप्पणी: एक श्रेणीबद्ध वलय से दूसरी श्रेणीबद्ध वलय को केंद्र में पड़ी छवि के साथ एक श्रेणीबद्ध आकारिकी देना (वलय सिद्धांत) बाद वाली वलय को एक श्रेणीबद्ध बीजगणित की संरचना देने के समान है। | ||
एक श्रेणीबद्ध | एक श्रेणीबद्ध मापांकदिया गया <math>M</math>, द <math>\ell</math>-का मोड़ <math>M</math> द्वारा परिभाषित एक श्रेणीबद्ध मापांकहै <math>M(\ell)_n = M_{n+\ell}</math>. (सीएफ. [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में सेरे का घुमाव वाला शीफ।) | ||
मान लीजिए कि एम और एन ग्रेडेड | मान लीजिए कि एम और एन ग्रेडेड मापांकहैं। अगर <math>f\colon M \to N</math> मापांकका एक रूपवाद है, तो एफ को डिग्री डी कहा जाता है यदि <math>f(M_n) \subseteq N_{n+d}</math>. [[विभेदक ज्यामिति]] में [[विभेदक रूप]]ों का एक [[बाहरी व्युत्पन्न]] डिग्री 1 वाले ऐसे रूपवाद का एक उदाहरण है। | ||
== श्रेणीबद्ध | == श्रेणीबद्ध मापांकके अपरिवर्तनीय == | ||
एक क्रमविनिमेय श्रेणीबद्ध | एक क्रमविनिमेय श्रेणीबद्ध वलय आर पर एक श्रेणीबद्ध मापांकएम को देखते हुए, कोई [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] को जोड़ सकता है <math>P(M, t) \in \Z[\![t]\!]</math>: | ||
:<math>P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n</math> | :<math>P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n</math> | ||
(मानते हुए <math>\ell(M_n)</math> परिमित हैं।) इसे एम की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला कहा जाता है। | (मानते हुए <math>\ell(M_n)</math> परिमित हैं।) इसे एम की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला कहा जाता है। | ||
एक श्रेणीबद्ध | एक श्रेणीबद्ध मापांकको परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है यदि अंतर्निहित मापांकपरिमित रूप से उत्पन्न मापांकहै। जनरेटरों को सजातीय माना जा सकता है (जनरेटरों को उनके सजातीय भागों से प्रतिस्थापित करके।) | ||
मान लीजिए R एक बहुपद वलय है <math>k[x_0, \dots, x_n]</math>, k एक फ़ील्ड, और M इसके ऊपर एक बारीक रूप से उत्पन्न ग्रेडेड | मान लीजिए R एक बहुपद वलय है <math>k[x_0, \dots, x_n]</math>, k एक फ़ील्ड, और M इसके ऊपर एक बारीक रूप से उत्पन्न ग्रेडेड मापांकहै। फिर फ़ंक्शन <math>n \mapsto \dim_k M_n</math> इसे M का हिल्बर्ट फलन कहा जाता है। यह फलन बड़े n के लिए पूर्णांक-मान वाले बहुपद से मेल खाता है जिसे M का [[हिल्बर्ट बहुपद]] कहा जाता है। | ||
==श्रेणीबद्ध बीजगणित == | ==श्रेणीबद्ध बीजगणित == | ||
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एक वलय A के ऊपर एक बीजगणित, एक वलय R के ऊपर एक बीजगणित एक 'श्रेणीबद्ध बीजगणित' है यदि इसे एक वलय के रूप में वर्गीकृत किया गया है। | एक वलय A के ऊपर एक बीजगणित, एक वलय R के ऊपर एक बीजगणित एक 'श्रेणीबद्ध बीजगणित' है यदि इसे एक वलय के रूप में वर्गीकृत किया गया है। | ||
सामान्य मामले में जहां | सामान्य मामले में जहां वलय आर को वर्गीकृत नहीं किया जाता है (विशेष रूप से यदि आर एक क्षेत्र है), तो इसे तुच्छ श्रेणीबद्ध दी जाती है (आर का प्रत्येक तत्व डिग्री 0 का है)। इस प्रकार, <math>R\subseteq A_0</math> और वर्गीकृत टुकड़े <math>A_i</math> आर-मापांकहैं. | ||
ऐसे मामले में जहां | ऐसे मामले में जहां वलय आर भी एक वर्गीकृत वलय है, तो किसी को इसकी आवश्यकता होती है | ||
:<math>R_iA_j \subseteq A_{i+j}</math> | :<math>R_iA_j \subseteq A_{i+j}</math> | ||
दूसरे शब्दों में, हमें आवश्यकता है कि A, R के ऊपर एक श्रेणीबद्ध बायां | दूसरे शब्दों में, हमें आवश्यकता है कि A, R के ऊपर एक श्रेणीबद्ध बायां मापांकहो। | ||
गणित में श्रेणीबद्ध बीजगणित के उदाहरण आम हैं: | गणित में श्रेणीबद्ध बीजगणित के उदाहरण आम हैं: | ||
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* [[टेंसर बीजगणित]] <math>T^{\bullet} V</math> एक सदिश समष्टि V के। डिग्री n के सजातीय तत्व क्रम n के [[ टेन्सर ]] हैं, <math>T^{n} V</math>. | * [[टेंसर बीजगणित]] <math>T^{\bullet} V</math> एक सदिश समष्टि V के। डिग्री n के सजातीय तत्व क्रम n के [[ टेन्सर ]] हैं, <math>T^{n} V</math>. | ||
* [[बाहरी बीजगणित]] <math>\textstyle\bigwedge\nolimits^{\bullet} V</math> और [[सममित बीजगणित]] <math>S^{\bullet} V</math> श्रेणीबद्ध बीजगणित भी हैं। | * [[बाहरी बीजगणित]] <math>\textstyle\bigwedge\nolimits^{\bullet} V</math> और [[सममित बीजगणित]] <math>S^{\bullet} V</math> श्रेणीबद्ध बीजगणित भी हैं। | ||
* कोहोमोलोजी | * कोहोमोलोजी वलय <math>H^{\bullet} </math> किसी भी कोहोमोलॉजी सिद्धांत को भी वर्गीकृत किया जाता है, जो कि कोहोमोलॉजी समूहों का प्रत्यक्ष योग है <math>H^n</math>. | ||
श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] और बीजगणितीय ज्यामिति, [[समजात बीजगणित]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में बहुत अधिक किया जाता है। एक उदाहरण सजातीय बहुपदों और प्रक्षेप्य किस्मों (cf. [[सजातीय समन्वय वलय]]) के बीच घनिष्ठ संबंध है। | श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] और बीजगणितीय ज्यामिति, [[समजात बीजगणित]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में बहुत अधिक किया जाता है। एक उदाहरण सजातीय बहुपदों और प्रक्षेप्य किस्मों (cf. [[सजातीय समन्वय वलय]]) के बीच घनिष्ठ संबंध है। | ||
== जी- | == जी-श्रेणीबद्ध वलय और बीजगणित == | ||
उपरोक्त परिभाषाओं को इंडेक्स | उपरोक्त परिभाषाओं को इंडेक्स समूह के रूप में किसी भी मोनॉइड जी का उपयोग करके वर्गीकृत वलयों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। 'जी-श्रेणीबद्ध वलय' आर एक सीधा योग अपघटन वाला वलय है | ||
:<math>R = \bigoplus_{i\in G}R_i </math> | :<math>R = \bigoplus_{i\in G}R_i </math> | ||
ऐसा है कि | ऐसा है कि | ||
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आर के तत्व जो अंदर स्थित हैं <math>R_i</math> कुछ के लिए <math>i \in G</math> ग्रेड ''आई'' के सजातीय कहा जाता है। | आर के तत्व जो अंदर स्थित हैं <math>R_i</math> कुछ के लिए <math>i \in G</math> ग्रेड ''आई'' के सजातीय कहा जाता है। | ||
श्रेणीबद्ध वलय की पहले से परिभाषित धारणा अब एक जैसी ही हो गई है <math>\N</math>-श्रेणीबद्ध अंगूठी, कहाँ <math>\N</math> जोड़ के अंतर्गत [[प्राकृतिक संख्या]]ओं का मोनोइड है। अनुक्रमणिका समूह को प्रतिस्थापित करके श्रेणीबद्ध मापांकऔर बीजगणित की परिभाषाओं को भी इस तरह बढ़ाया जा सकता है <math>\N</math> किसी भी मोनोइड जी के साथ। | |||
टिप्पणियां: | टिप्पणियां: | ||
*यदि हमें यह आवश्यक नहीं है कि | *यदि हमें यह आवश्यक नहीं है कि वलय में एक पहचान तत्व हो, तो [[अर्धसमूह]] मोनोइड्स का स्थान ले सकते हैं। | ||
उदाहरण: | उदाहरण: | ||
*एक [[समूह (गणित)]] स्वाभाविक रूप से संबंधित समूह | *एक [[समूह (गणित)]] स्वाभाविक रूप से संबंधित समूह वलय को ग्रेड करता है; इसी तरह, [[मोनोइड रिंग|मोनोइड वलय]] को संबंधित मोनॉइड द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। | ||
*एक (साहचर्य) [[सुपरबीजगणित]] एक चक्रीय समूह के लिए एक और शब्द है|<math>\Z_2</math>-वर्गीकृत बीजगणित. उदाहरणों में क्लिफ़ोर्ड बीजगणित शामिल हैं। यहां सजातीय तत्व या तो घात 0 (सम) या 1 (विषम) के हैं। | *एक (साहचर्य) [[सुपरबीजगणित]] एक चक्रीय समूह के लिए एक और शब्द है|<math>\Z_2</math>-वर्गीकृत बीजगणित. उदाहरणों में क्लिफ़ोर्ड बीजगणित शामिल हैं। यहां सजातीय तत्व या तो घात 0 (सम) या 1 (विषम) के हैं। | ||
===[[ प्रतिसंक्रामक ]]िटी=== | ===[[ प्रतिसंक्रामक ]]िटी=== | ||
कुछ श्रेणीबद्ध वलय (या बीजगणित) एक एंटीकम्यूटेटिव संरचना से संपन्न होते हैं। इस धारणा के लिए मोनॉइड के मोनॉइड # मोनॉइड समरूपता की आवश्यकता होती है, जो कि योगात्मक मोनॉइड में क्रमबद्ध होता है। <math>\Z/2\Z</math>, दो तत्वों वाला क्षेत्र। विशेष रूप से, एक हस्ताक्षरित मोनॉइड में एक जोड़ी होती है <math>(\Gamma, \varepsilon)</math> कहाँ <math>\Gamma</math> एक मोनोइड है और <math>\varepsilon \colon \Gamma \to\Z/2\Z</math> योगात्मक मोनोइड्स का एक समरूपता है। एक प्रतिसंक्रामक <math>\Gamma</math>- | कुछ श्रेणीबद्ध वलय (या बीजगणित) एक एंटीकम्यूटेटिव संरचना से संपन्न होते हैं। इस धारणा के लिए मोनॉइड के मोनॉइड # मोनॉइड समरूपता की आवश्यकता होती है, जो कि योगात्मक मोनॉइड में क्रमबद्ध होता है। <math>\Z/2\Z</math>, दो तत्वों वाला क्षेत्र। विशेष रूप से, एक हस्ताक्षरित मोनॉइड में एक जोड़ी होती है <math>(\Gamma, \varepsilon)</math> कहाँ <math>\Gamma</math> एक मोनोइड है और <math>\varepsilon \colon \Gamma \to\Z/2\Z</math> योगात्मक मोनोइड्स का एक समरूपता है। एक प्रतिसंक्रामक <math>\Gamma</math>-श्रेणीबद्ध वलय एक वलय ''ए'' है जिसे Γ के संबंध में इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है: | ||
:<math>xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x) \varepsilon (\deg y)}yx ,</math> | :<math>xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x) \varepsilon (\deg y)}yx ,</math> | ||
सभी सजातीय तत्वों x और y के लिए। | सभी सजातीय तत्वों x और y के लिए। | ||
| Line 106: | Line 107: | ||
===उदाहरण=== | ===उदाहरण=== | ||
*एक बाहरी बीजगणित एक एंटीकम्यूटेटिव बीजगणित का एक उदाहरण है, जिसे संरचना के संबंध में वर्गीकृत किया गया है <math>(\Z, \varepsilon)</math> कहाँ <math>\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z</math> भागफल मानचित्र है. | *एक बाहरी बीजगणित एक एंटीकम्यूटेटिव बीजगणित का एक उदाहरण है, जिसे संरचना के संबंध में वर्गीकृत किया गया है <math>(\Z, \varepsilon)</math> कहाँ <math>\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z</math> भागफल मानचित्र है. | ||
*एक [[सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित]] (जिसे कभी-कभी स्क्यू-कम्यूटेटिव एसोसिएटिव | *एक [[सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित]] (जिसे कभी-कभी स्क्यू-कम्यूटेटिव एसोसिएटिव वलय भी कहा जाता है) एक एंटीकम्यूटेटिव के समान ही है <math>(\Z, \varepsilon)</math>-श्रेणीबद्ध बीजगणित, कहाँ <math>\varepsilon</math> की योगात्मक संरचना का [[पहचान मानचित्र]] है <math>\Z/2\Z</math>. | ||
== ग्रेडेड मोनॉइड == | == ग्रेडेड मोनॉइड == | ||
सहज रूप से, एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड एक श्रेणीबद्ध | सहज रूप से, एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड एक श्रेणीबद्ध वलय का सबसमूह है, <math>\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n</math>, द्वारा उत्पन्न <math>R_n</math>', योज्य भाग का उपयोग किए बिना। अर्थात् श्रेणीबद्ध मोनॉइड के तत्वों का समुच्चय है <math>\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n</math>. | ||
औपचारिक रूप से, एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड<ref>{{cite book | last=Sakarovitch | first=Jacques | title=ऑटोमेटा सिद्धांत के तत्व| translator-first=Reuben|translator-last=Thomas | publisher=Cambridge University Press | year=2009 | isbn=978-0-521-84425-3 | zbl=1188.68177 | chapter = Part II: The power of algebra | page=384 }}</ref> एक मोनोइड है <math>(M,\cdot)</math>, | औपचारिक रूप से, एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड<ref>{{cite book | last=Sakarovitch | first=Jacques | title=ऑटोमेटा सिद्धांत के तत्व| translator-first=Reuben|translator-last=Thomas | publisher=Cambridge University Press | year=2009 | isbn=978-0-521-84425-3 | zbl=1188.68177 | chapter = Part II: The power of algebra | page=384 }}</ref> एक मोनोइड है <math>(M,\cdot)</math>, एकश्रेणीकरण फ़ंक्शन के साथ <math>\phi:M\to\mathbb N_0</math> ऐसा है कि <math>\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')</math>. ध्यान दें कि काश्रेणीकरण <math>1_M</math> आवश्यक रूप से 0 है। कुछ लेखक इसके अलावा यह भी अनुरोध करते हैं <math>\phi(m)\ne 0</math> | ||
जब m पहचान नहीं है. | जब m पहचान नहीं है. | ||
यह मानते हुए कि | यह मानते हुए कि अतिरक्त-पहचान तत्वों केश्रेणीकरण अतिरक्त-शून्य हैं,श्रेणीकरण n के तत्वों की संख्या अधिकतम है <math>g^n</math> जहां जी मोनॉयड के [[जनरेटर (मोनॉइड)]] जी की कार्डिनैलिटी है। इसलिएश्रेणीकरण n या उससे कम के तत्वों की संख्या अधिकतम है <math>n+1</math> (के लिए <math>g=1</math>) या <math>\frac{g^{n+1}-1}{g-1}</math> अन्यथा। वास्तव में, ऐसा प्रत्येक तत्व G के अधिकतम n तत्वों का ही उत्पाद है <math>\frac{g^{n+1}-1}{g-1}</math> ऐसे उत्पाद मौजूद हैं. इसी प्रकार, पहचान तत्व को दो अतिरक्त-पहचान तत्वों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अर्थात्, ऐसे श्रेणीबद्ध मोनॉयड में कोई इकाई विभाज्यता_(वलय_सिद्धांत)#परिभाषा नहीं है। | ||
===श्रेणीबद्ध मोनॉइड द्वारा अनुक्रमित | |||