न्यूनतम तर्क

न्यूनतम तर्क, या न्यूनतम कलन, एक गणितीय तर्क सिस्टम है । जिसे मूल रूप से इंजीब्रिट जोहानसन द्वारा विकसित किया गया था। यह एक अंतर्ज्ञानवादी तर्क और परासंगत तर्क है । जो बहिष्कृत मध्य के नियम के साथ-साथ विस्फोट के सिद्धांत (पूर्व मिथ्या क्वाडलिबेट) दोनों को अस्वीकार करता है, और इसलिए निम्नलिखित दो व्युत्पत्तियों में से कोई भी मान्य नहीं है ।

$\vdash (B\lor \neg B)$

$(A\land \neg A)\vdash$

जहाँ $A$ और $B$ कोई प्रस्ताव हैं। अधिकांश रचनात्मक तर्क केवल पूर्व को अस्वीकार करते हैं । अपवर्जित मध्य का नियम मौलिक तर्कशास्त्र में, भूतपूर्व नियम भी गलत होते हैं ।

$(A\land \neg A)\to B,$

$\neg (A\lor \neg A)\to B,$

$\neg A\to (A\to B),$

साथ ही साथ उनके वेरिएंट $A$ और $\neg A$ स्विच्ड, एक दूसरे के समतुल्य और मान्य हैं। मिनिमल लॉजिक भी उन सिद्धांतों को खारिज करता है।

अक्षीयकरण

मिनिमल लॉजिक को अंतर्ज्ञानवादी तर्क के हिल्बर्ट प्रणालियों की सूची सकारात्मक प्रस्तावपरक कलन पर अक्षीयकरण किया गया है। इन दोनों लॉजिक्स को समान अक्षीयकरण उपयोग करके भाषा में तैयार किया जा सकता है ।

तार्किक निहितार्थ $\to$ तार्किक संयोजन $\land$ और तार्किक विच्छेदन $\lor$ मूलभूत तार्किक संयोजक के रूप में, किन्तु न्यूनतम तर्क जोड़ता है ।

असत्य $\bot$भाषा के भाग के रूप में वैकल्पिक रूप से, निषेध के प्रत्यक्ष अभिगृहीतों की चर्चा नीचे की गई है।

प्रमेय

यहां केवल ऐसे प्रमेय सम्मिलित हैं । जो धनात्मक कलन में पहले से ही सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं।

निषेध परिचय

निहितार्थ और निषेध नियमो का एक त्वरित विश्लेषण इस बात का एक अच्छा संकेत देता है कि यह तर्क, जिसमें पूर्ण विस्फोट की कमी है । क्या सिद्ध कर सकता है ।

निषेध के साथ एक भाषा में एक प्राकृतिक कथन, जैसे कि न्यूनतम तर्क, उदाहरण के लिए, निषेध परिचय का सिद्धांत है । जिससे किसी कथन का निषेध इसे मानकर और एक विरोधाभास प्राप्त करके सिद्ध होता है। औपचारिक रूप से, इसे किन्हीं दो प्रस्तावों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।

$(B\to (A\land \neg A))\to \neg B$.

$B$ कों विरोधाभास $A\land \neg A$ के रूप में लिया स्वयं, यह गैर-विरोधाभास के नियम को स्थापित करता है ।

$\neg (A\land \neg A)$.

किसी भी $C$ को मानते हुए, मटेरियल कंडिशनल का परिचय नियम $B\to C$ देता है, वह भी तब जब $B$ और $C$ प्रासंगिकता तर्क रूप से संबंधित नहीं हैं। इसके साथ और निहितार्थ उन्मूलन, उपरोक्त परिचय सिद्धांत का तात्पर्य है ।

$(A\land \neg A)\to \neg B$,

अर्थात किसी भी विरोधाभास को मानते हुए, प्रत्येक प्रस्ताव को नकारा जा सकता है। न्यूनतम तर्क में निषेध का परिचय संभव है । इसलिए यहाँ एक विरोधाभास भी प्रत्येक दोहरे निषेध को सिद्ध करता है । विस्फोट बाद $\neg \neg B$ के दोहरे निषेध को दूर करने की अनुमति देगा, किन्तु यह सिद्धांत नहीं अपनाया गया है।

इसके अलावा, उपरोक्त का उपयोग करना

${\big (}(A\lor B)\land \neg A{\big )}\to {\big (}(B\lor \neg B)\land \neg \neg B){\big )}$.

इसकी तुलना पूर्ण वियोजन न्यायवाक्य से की जानी है।

असावधानी के माध्यम से स्वयंसिद्धीकरण

सकारात्मक कलन को न्यूनतम तर्क तक विस्तारित करने की एक संभावित योजना उपचार करना है । $\neg B$ एक निहितार्थ के रूप में, जिस स्थिति में एक तर्क के इम्प्लीकेशनल प्रोपोज़िशनल कैलकुलस से प्रमेय निषेधात्मक कथनों तक ले जाते हैं। इस कोने तक, $\bot$ एक प्रस्ताव के रूप में प्रस्तुत किया जाता है । जब तक कि सिस्टम असंगत और नकारा न हो, तब तक सिद्ध नहीं किया जा सकता है । इसके बाद एक संक्षिप्त नाम $\neg B$ के रूप में $B\to \bot$ माना जाता है ।

रचनात्मक रूप से, $\bot$ एक प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता है । जिसके लिए विश्वास करने का कोई कारण नहीं हो सकता है।

पहले से ही चर्चा किए गए सिद्धांत सकारात्मक खंड पर प्रमेय से हो सकते हैं।

निषेध परिचय, पिछले अनुभाग में लिखा गया है । केवल एक विशेष स्थिति के रूप में निहित है ।

$(B\to (A\land (A\to C)))\to (B\to C)$

कब $C=\bot$. इस तरह, न्यूनतम तर्क को नकारात्मक उन्मूलन (उर्फ विस्फोट) के बिना एक रचनात्मक तर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

उपरोक्त कैन को निष्कर्ष के नियम के रूप के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है । जिसे एक प्रस्ताव के रूप में पढ़ा जाता है ।

$(A\land (A\to C))\to C$

और वास्तव में उपरोक्त का एक विशेष स्थिति है । जब $B$ क्या सच है। जिसके माध्यम से निषेध की परिभाषा के साथ $\bot$, मोडस पोनेन्स कथन स्वयं उसी तरह से फिर से विशिष्ट हो सकता है, और फिर गैर-विरोधाभास सिद्धांत स्थापित करता है । जो पहले से ही ऊपर वर्णित है। कढ़ी तुल्यता सहित सभी सामान्य अंतर्ज्ञानात्मक तर्क ऑपरेटरों की गैर-अंतर-परिभाषा योग्यता प्राप्त की जा सकती है। एक उदाहरण के लिए, यह महत्वपूर्ण तुल्यता पर बल देने योग्य है ।

$((A\vee <!--\; \vee \; -->B)\to <!--\; \to \; -->C)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->((A\to <!--\; \to \; -->C)\wedge <!--\; \wedge \; -->(B\to <!--\; \to \; -->C))$