एर्गोडिसिटी: Difference between revisions
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उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक उपायों का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस उपाय को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है। | उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक उपायों का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस उपाय को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है। | ||
कॉइन-फ्लिप प्रक्रिया के लिए, टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर <math>T</math> [[शिफ्ट ऑपरेटर]] है जो कहता है कि "पहले कॉइन-फ्लिप फेंक दो, और बाकी को रखो"। औपचारिक रूप से, यदि <math>(x_1, x_2, \cdots)</math> कॉइन-फ्लिप का एक क्रम है, फिर <math>T(x_1, x_2, \cdots) = (x_2, x_3, \cdots)</math>. माप स्पष्ट रूप से शिफ्ट-इनवेरिएंट है: जब तक हम किसी सेट के बारे में बात कर रहे हैं <math>A\in\mathcal{A}</math> जहां पहला कॉइन-फ्लिप <math>x_1 = *</math> ध्यान न दें मान है, फिर वॉल्यूम है <math>\mu(A)</math> नहीं बदलता है: <math>\mu(A) = \mu(T(A))</math> पहले कॉइन-फ्लिप के बारे में बात करने से बचने के लिए, इसे परिभाषित करना आसान है <math>T^{-1}</math> पहली स्थिति में "परवाह न करें" मान डालने के रूप में: <math>T^{-1}(x_1, x_2, \cdots) = (*, x_1, x_2, \cdots)</math>. इस परिभाषा के साथ, स्पष्ट रूप से वह है <math>\mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right) = \mu(A)</math> बिना किसी बाध्यता के <math>A</math>। यह फिर से क्यों का उदाहरण है <math>T^{-1}</math> औपचारिक परिभाषाओं में प्रयोग किया जाता है। | |||
उपरोक्त विकास | उपरोक्त विकास यादृच्छिक प्रक्रिया, बर्नौली प्रक्रिया लेता है, और इसे माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली में परिवर्तित करता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math> वही रूपांतरण (तुल्यता, समरूपता) किसी भी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर लागू किया जा सकता है। इस प्रकार, एर्गोडिसिटी की अनौपचारिक परिभाषा यह है कि अनुक्रम एर्गोडिक है अगर यह सभी का दौरा करता है <math>X</math>; इस तरह के क्रम प्रक्रिया के लिए विशिष्ट हैं। दूसरा यह है कि इसके सांख्यिकीय गुणों को प्रक्रिया के एकल, पर्याप्त रूप से लंबे, यादृच्छिक नमूने से घटाया जा सकता है (इस प्रकार समान रूप से सभी का नमूना लेना)। <math>X</math>), या यह कि किसी प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का कोई भी संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, समान रूप से नमूने लिए गए नमूने) <math>X</math> के प्रतिनिधि हैं <math>X</math> एक पूरे के रूप में।) वर्तमान उदाहरण में, कॉइन-फ्लिप का एक क्रम, जहाँ आधे हेड्स हैं, और आधे टेल्स हैं, विशिष्ट क्रम है। | ||
बरनौली प्रक्रिया के बारे में कई महत्वपूर्ण बातें बताई जानी हैं। यदि कोई टेल्स के लिए 0 और हेड्स के लिए 1 लिखता है, तो उसे बाइनरी अंकों के सभी अनंत | बरनौली प्रक्रिया के बारे में कई महत्वपूर्ण बातें बताई जानी हैं। यदि कोई टेल्स के लिए 0 और हेड्स के लिए 1 लिखता है, तो उसे बाइनरी अंकों के सभी अनंत स्ट्रिग का सेट मिलता है। ये [[वास्तविक संख्या]]ओं के आधार-दो विस्तार के अनुरूप हैं। स्पष्ट रूप से, एक क्रम दिया <math>(x_1, x_2, \cdots)</math>, संगत वास्तविक संख्या है | ||
:<math>y=\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{2^n}</math> | :<math>y=\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{2^n}</math> | ||
वर्णन है कि बर्नौली प्रक्रिया एर्गोडिक है, वर्णन के बराबर है कि वास्तविक संख्याएं समान रूप से वितरित की जाती हैं। ऐसे सभी स्ट्रिंग्स के सेट को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है: <math>\{h, t\}^\infty = \{h, t\}^\omega = \{0, 1\}^\omega = 2^\omega = 2^\mathbb{N}.</math> यह सेट [[कैंटर सेट]] है, जिसे कभी-कभी कैंटर फलन के साथ भ्रम से बचने के लिए [[कैंटर स्पेस]] कहा जाता है | |||
:<math>C(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{3^n}</math> | :<math>C(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{3^n}</math> | ||
अंत में ये सब एक ही बात हैं। | अंत में ये सब एक ही बात हैं। | ||
कैंटर सेट गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मनोरंजक गणित में, यह | कैंटर सेट गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मनोरंजक गणित में, यह पीरियड-डबलिंग फ्रैक्टल्स को रेखांकित करता है; [[गणितीय विश्लेषण]] में, यह विभिन्न प्रकार के प्रमेयों में प्रकट होता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए महत्वपूर्ण [[वॉल्ड अपघटन]] है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी [[स्थिर प्रक्रिया]] को असंबद्ध प्रक्रियाओं की जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, निर्धारक और दूसरा [[चलती औसत प्रक्रिया]] है। | ||
[[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] में कहा गया है कि प्रत्येक स्थिर स्टोकास्टिक प्रक्रिया | [[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] में कहा गया है कि प्रत्येक स्थिर स्टोकास्टिक प्रक्रिया बर्नौली योजना (एक एन-पक्षीय (और संभवतः अनुचित) [[पासा]] के साथ एक बर्नौली प्रक्रिया) के बराबर है। अन्य परिणामों में शामिल है कि प्रत्येक गैर-विघटनकारी एर्गोडिक प्रणाली [[मार्कोव ओडोमीटर]] के बराबर है, जिसे कभी-कभी "एडिंग मशीन" कहा जाता है क्योंकि यह प्राथमिक-विद्यालय जोड़ की तरह दिखता है, यानी आधार-N अंक अनुक्रम लेना, जोड़ना और कैरी बिट्स का प्रचार करना है तुल्यता का प्रमाण बहुत सारगर्भित है; परिणाम को समझना नहीं है: प्रत्येक समय कदम पर जोड़कर, ओडोमीटर की हर संभव स्थिति का दौरा किया जाता है, जब तक कि यह रोल्स नहीं है, और फिर से शुरू होता है। इसी तरह, एर्गोडिक प्रणाली प्रत्येक स्थिति का दौरा करते हैं, समान रूप से, अगले पर चलते हुए, जब तक कि वे सभी का दौरा नहीं किया जाता हैं। | ||
प्रणाली जो | प्रणाली जो ''N'' अक्षरों के अनुक्रम (अनंत) उत्पन्न करते हैं, प्रतीकात्मक गतिकी के माध्यम से अध्ययन किए जाते हैं। महत्वपूर्ण विशेष मामलों में परिमित प्रकार और [[सोफिक प्रणाली]] के सबशिफ्ट शामिल हैं। | ||
== इतिहास और व्युत्पत्ति == | == इतिहास और व्युत्पत्ति == | ||
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एर्गोडिसिटी का विचार [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के क्षेत्र में पैदा हुआ था, जहां गैस के अणुओं की अलग-अलग अवस्थाओं को एक गैस के तापमान और उसके समय के विकास के रूप में संबंधित करना आवश्यक था। ऐसा करने के लिए, यह बताना आवश्यक था कि गैसों के एक साथ अच्छी तरह से मिश्रण करने का वास्तव में क्या मतलब है, ताकि [[गणितीय कठोरता]] के साथ [[थर्मोडायनामिक संतुलन]] को परिभाषित किया जा सके। एक बार सिद्धांत भौतिकी में अच्छी तरह से विकसित हो जाने के बाद, इसे तेजी से औपचारिक रूप दिया गया और विस्तारित किया गया, जिससे कि एर्गोडिक सिद्धांत लंबे समय तक अपने आप में गणित का एक स्वतंत्र क्षेत्र रहा। उस प्रगति के हिस्से के रूप में, विभिन्न क्षेत्रों में अवधारणा की एक से अधिक अलग-अलग परिभाषाएँ और अवधारणा की व्याख्याओं की बहुलता सह-अस्तित्व में हैं।{{citation needed|date=October 2021}} | एर्गोडिसिटी का विचार [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के क्षेत्र में पैदा हुआ था, जहां गैस के अणुओं की अलग-अलग अवस्थाओं को एक गैस के तापमान और उसके समय के विकास के रूप में संबंधित करना आवश्यक था। ऐसा करने के लिए, यह बताना आवश्यक था कि गैसों के एक साथ अच्छी तरह से मिश्रण करने का वास्तव में क्या मतलब है, ताकि [[गणितीय कठोरता]] के साथ [[थर्मोडायनामिक संतुलन]] को परिभाषित किया जा सके। एक बार सिद्धांत भौतिकी में अच्छी तरह से विकसित हो जाने के बाद, इसे तेजी से औपचारिक रूप दिया गया और विस्तारित किया गया, जिससे कि एर्गोडिक सिद्धांत लंबे समय तक अपने आप में गणित का एक स्वतंत्र क्षेत्र रहा। उस प्रगति के हिस्से के रूप में, विभिन्न क्षेत्रों में अवधारणा की एक से अधिक अलग-अलग परिभाषाएँ और अवधारणा की व्याख्याओं की बहुलता सह-अस्तित्व में हैं।{{citation needed|date=October 2021}} | ||
उदाहरण के लिए, [[शास्त्रीय भौतिकी]] में इस शब्द का तात्पर्य है कि एक प्रणाली ऊष्मप्रवैगिकी की एर्गोडिक परिकल्पना को संतुष्ट करती है,<ref name="Feller2008">{{cite book |first=William |last=Feller |title=प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय|edition=2nd |url={{google books |plainurl=y |id=OXkg-LvRgjUC |page=271}} |date=1 August 2008 |publisher=Wiley India Pvt. Limited |isbn=978-81-265-1806-7 |page=271}}</ref> प्रासंगिक | उदाहरण के लिए, [[शास्त्रीय भौतिकी]] में इस शब्द का तात्पर्य है कि एक प्रणाली ऊष्मप्रवैगिकी की एर्गोडिक परिकल्पना को संतुष्ट करती है,<ref name="Feller2008">{{cite book |first=William |last=Feller |title=प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय|edition=2nd |url={{google books |plainurl=y |id=OXkg-LvRgjUC |page=271}} |date=1 August 2008 |publisher=Wiley India Pvt. Limited |isbn=978-81-265-1806-7 |page=271}}</ref> प्रासंगिक स्थिति स्थान [[स्थिति और गति स्थान]] है। | ||
गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में | गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में स्थिति स्थान को आमतौर पर अधिक सामान्य [[चरण स्थान]] माना जाता है। दूसरी ओर [[कोडिंग सिद्धांत]] में स्थिति स्थान अक्सर कम सहवर्ती संरचना के साथ, समय और स्थिति दोनों में असतत होता है। उन सभी क्षेत्रों में [[समय औसत]] और [[पहनावा औसत]] के विचार अतिरिक्त सामान भी ले सकते हैं - जैसा कि कई संभावित थर्मोडायनामिक रूप से प्रासंगिक विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के मामले में भौतिकी में पहनावा औसत को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार अवधारणा के माप सिद्धांत औपचारिकता भी एक एकीकृत अनुशासन के रूप में कार्य करता है। 1913 में [[मिशेल प्लांचरेल]] ने पूरी तरह से यांत्रिक प्रणाली के लिए एर्गोडिसिटी के लिए सख्त असंभवता साबित कर दी।{{citation needed|date=October 2021}} | ||
== भौतिकी और ज्यामिति में क्षरण == | == भौतिकी और ज्यामिति में क्षरण == | ||
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एक परिवर्तन <math>T</math> संभाव्यता माप स्थान का <math>(X, \mu)</math> उपाय के लिए मिश्रण कहा जाता है <math>\mu</math> अगर किसी मापने योग्य सेट के लिए <math>A, B \subset X</math> निम्नलिखित धारण करता है: | एक परिवर्तन <math>T</math> संभाव्यता माप स्थान का <math>(X, \mu)</math> उपाय के लिए मिश्रण कहा जाता है <math>\mu</math> अगर किसी मापने योग्य सेट के लिए <math>A, B \subset X</math> निम्नलिखित धारण करता है: | ||
<math display="block>\lim_{n \to +\infty} \mu\left(T^{-n}A \cap B\right) = \mu(A)\mu(B)</math> | <math display="block>\lim_{n \to +\infty} \mu\left(T^{-n}A \cap B\right) = \mu(A)\mu(B)</math> | ||
यह तत्काल है कि एक मिश्रण परिवर्तन भी | यह तत्काल है कि एक मिश्रण परिवर्तन भी एर्गोडिक (ले रहा है <math>A</math> बनने के लिए <math>T</math>-स्थिर उपसमुच्चय और <math>B</math> इसका पूरक)। इसका विलोम सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए वृत्त पर अपरिमेय कोण वाला एक घूर्णन (जो ऊपर दिए गए उदाहरणों के अनुसार एर्गोडिक है) मिश्रण नहीं कर रहा है (पर्याप्त रूप से छोटे अंतराल के लिए इसकी क्रमिक छवियां अधिकांश समय स्वयं को नहीं काटती हैं)। Bernoulli बदलाव मिश्रण कर रहे हैं, और अर्नोल्ड की बिल्ली का मैप भी है। | ||
मिश्रण की इस धारणा को कभी-कभी कमजोर मिश्रण के विपरीत मजबूत मिश्रण कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि | मिश्रण की इस धारणा को कभी-कभी कमजोर मिश्रण के विपरीत मजबूत मिश्रण कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि | ||
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====उचित | ====उचित एर्गोडिसिटी==== | ||
रूपान्तरण <math>T</math> यदि इसमें पूर्ण माप की कक्षा नहीं है, तो इसे उचित रूप से एर्गोडिक कहा जाता है। असतत मामले में इसका मतलब है कि माप <math>\mu</math> की परिमित कक्षा पर समर्थित नहीं है <math>T</math>. | रूपान्तरण <math>T</math> यदि इसमें पूर्ण माप की कक्षा नहीं है, तो इसे उचित रूप से एर्गोडिक कहा जाता है। असतत मामले में इसका मतलब है कि माप <math>\mu</math> की परिमित कक्षा पर समर्थित नहीं है <math>T</math>. | ||
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=== कार्यात्मक विश्लेषण व्याख्या === | === कार्यात्मक विश्लेषण व्याख्या === | ||
[[ बनच स्थान ]] के सिद्धांत का उपयोग करके एर्गोडिक उपायों की एक बहुत ही शक्तिशाली वैकल्पिक परिभाषा दी जा सकती है। रैडॉन पर उपाय करता है <math>X</math> एक बनच स्थान बनाते हैं जिसमें सेट होता है <math>\mathcal P(X)</math> संभाव्यता उपायों पर <math>X</math> एक उत्तल समुच्चय है। निरंतर परिवर्तन को देखते हुए <math>T</math> का <math>X</math> उपसमुच्चय <math>\mathcal P(X)^T</math> का <math>T</math>-अपरिवर्तनीय उपाय एक बंद उत्तल उपसमुच्चय है, और एक उपाय के लिए | [[ बनच स्थान ]] के सिद्धांत का उपयोग करके एर्गोडिक उपायों की एक बहुत ही शक्तिशाली वैकल्पिक परिभाषा दी जा सकती है। रैडॉन पर उपाय करता है <math>X</math> एक बनच स्थान बनाते हैं जिसमें सेट होता है <math>\mathcal P(X)</math> संभाव्यता उपायों पर <math>X</math> एक उत्तल समुच्चय है। निरंतर परिवर्तन को देखते हुए <math>T</math> का <math>X</math> उपसमुच्चय <math>\mathcal P(X)^T</math> का <math>T</math>-अपरिवर्तनीय उपाय एक बंद उत्तल उपसमुच्चय है, और एक उपाय के लिए एर्गोडिक है <math>T</math> अगर और केवल अगर यह इस उत्तल का [[चरम बिंदु]] है।{{sfn|Walters|1982|p=152}} | ||
==== एर्गोडिक उपायों का अस्तित्व ==== | ==== एर्गोडिक उपायों का अस्तित्व ==== | ||
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इस खंड में सब कुछ के निरंतर कार्यों के लिए शब्दशः स्थानांतरित करता है <math>\mathbb R</math> या <math>\mathbb R_+</math> कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान पर। | इस खंड में सब कुछ के निरंतर कार्यों के लिए शब्दशः स्थानांतरित करता है <math>\mathbb R</math> या <math>\mathbb R_+</math> कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान पर। | ||
=== अद्वितीय | === अद्वितीय एर्गोडिसिटी === | ||
रूपान्तरण <math>T</math> यदि विशिष्ट बोरेल संभाव्यता माप हो तो विशिष्ट रूप से एर्गोडिक कहा जाता है <math>\mu</math> पर <math>X</math> जिसके लिए एर्गोडिक है <math>T</math>. | रूपान्तरण <math>T</math> यदि विशिष्ट बोरेल संभाव्यता माप हो तो विशिष्ट रूप से एर्गोडिक कहा जाता है <math>\mu</math> पर <math>X</math> जिसके लिए एर्गोडिक है <math>T</math>. | ||
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की स्थिरता <math>\nu</math> तो इसका मतलब है कि माप <math>\mu_\nu</math> शिफ्ट मैप के तहत अपरिवर्तनीय है <math>T\left(\left(s_k\right)_{k \in \mathbb Z})\right) = \left(s_{k+1}\right)_{k \in \mathbb Z}</math>. | की स्थिरता <math>\nu</math> तो इसका मतलब है कि माप <math>\mu_\nu</math> शिफ्ट मैप के तहत अपरिवर्तनीय है <math>T\left(\left(s_k\right)_{k \in \mathbb Z})\right) = \left(s_{k+1}\right)_{k \in \mathbb Z}</math>. | ||
=== | === एर्गोडिसिटी के लिए मानदंड === | ||
पैमाना <math>\mu_\nu</math> शिफ्ट मैप के लिए हमेशा एर्गोडिक होता है यदि संबंधित मार्कोव श्रृंखला मार्कोव श्रृंखला#Reducibility है (किसी भी | पैमाना <math>\mu_\nu</math> शिफ्ट मैप के लिए हमेशा एर्गोडिक होता है यदि संबंधित मार्कोव श्रृंखला मार्कोव श्रृंखला#Reducibility है (किसी भी स्थिति को किसी भी अन्य स्थिति से सकारात्मक संभावना के साथ सीमित चरणों में पहुँचा जा सकता है)।{{sfn|Walters|1982|p=42}} | ||
उपरोक्त परिकल्पनाओं का अर्थ है कि मार्कोव श्रृंखला के लिए एक अद्वितीय स्थिर माप है। मैट्रिक्स के संदर्भ में <math>P</math> इसके लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि 1 मैट्रिक्स का एक साधारण eigenvalue हो <math>P</math> और के अन्य सभी eigenvalues <math>P</math> (में <math>\mathbb C</math>) मापांक <1 के हैं। | उपरोक्त परिकल्पनाओं का अर्थ है कि मार्कोव श्रृंखला के लिए एक अद्वितीय स्थिर माप है। मैट्रिक्स के संदर्भ में <math>P</math> इसके लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि 1 मैट्रिक्स का एक साधारण eigenvalue हो <math>P</math> और के अन्य सभी eigenvalues <math>P</math> (में <math>\mathbb C</math>) मापांक <1 के हैं। | ||
ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में मार्कोव श्रृंखला को मार्कोव श्रृंखला # एर्गोडिसिटी कहा जाता है यदि इसके अलावा प्रत्येक | ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में मार्कोव श्रृंखला को मार्कोव श्रृंखला # एर्गोडिसिटी कहा जाता है यदि इसके अलावा प्रत्येक स्थिति मार्कोव श्रृंखला # आवधिकता है (वह समय जहां वापसी की संभावना सकारात्मक है, एक पूर्णांक> 1 के गुणक नहीं हैं)। अपरिवर्तनीय उपाय के लिए यह आवश्यक नहीं है कि वह एर्गोडिक हो; इसलिए एक मार्कोव श्रृंखला और संबंधित शिफ्ट-इनवेरिएंट माप के लिए क्षरण की धारणाएं अलग हैं (श्रृंखला के लिए एक सख्ती से मजबूत है)।<ref>{{cite web |url=https://mathoverflow.net/questions/74503/different-uses-of-the-word-ergodic/74503 |title="एर्गोडिक" शब्द के विभिन्न उपयोग|date=September 4, 2011 |website=MathOverflow |access-date=May 16, 2020}}</ref> | ||
इसके अलावा मानदंड एक अगर और केवल अगर श्रृंखला में सभी संचार वर्ग मार्कोव श्रृंखला # ट्रांज़िएंस और पुनरावृत्ति हैं और हम सभी स्थिर उपायों पर विचार करते हैं। | इसके अलावा मानदंड एक अगर और केवल अगर श्रृंखला में सभी संचार वर्ग मार्कोव श्रृंखला # ट्रांज़िएंस और पुनरावृत्ति हैं और हम सभी स्थिर उपायों पर विचार करते हैं। | ||
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==== गैर-एर्गोडिक मार्कोव चेन ==== | ==== गैर-एर्गोडिक मार्कोव चेन ==== | ||
पुनरावर्ती संचार वर्गों के साथ मार्कोव चेन इरेड्यूसिबल नहीं हैं, एर्गोडिक नहीं हैं, और इसे तुरंत निम्नानुसार देखा जा सकता है। अगर <math>S_1 \subsetneq S</math> दो अलग-अलग आवर्तक संचार वर्ग हैं, गैर-स्थिर स्थिर उपाय हैं <math>\nu_1, \nu_2</math> पर समर्थन किया <math>S_1, S_2</math> क्रमशः और उपसमुच्चय <math>S_1^\mathbb{Z}</math> और <math>S_2^\mathbb{Z}</math> अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप के लिए शिफ्ट-इनवेरिएंट और माप 1.2 दोनों हैं <math display="inline">\frac{1}{2}(\nu_1 + \nu_2)</math>. इसका एक बहुत ही सरल उदाहरण है चेन ऑन <math>S = \{1, 2\}</math> मैट्रिक्स द्वारा दिया गया <math display="inline">\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)</math> (दोनों | पुनरावर्ती संचार वर्गों के साथ मार्कोव चेन इरेड्यूसिबल नहीं हैं, एर्गोडिक नहीं हैं, और इसे तुरंत निम्नानुसार देखा जा सकता है। अगर <math>S_1 \subsetneq S</math> दो अलग-अलग आवर्तक संचार वर्ग हैं, गैर-स्थिर स्थिर उपाय हैं <math>\nu_1, \nu_2</math> पर समर्थन किया <math>S_1, S_2</math> क्रमशः और उपसमुच्चय <math>S_1^\mathbb{Z}</math> और <math>S_2^\mathbb{Z}</math> अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप के लिए शिफ्ट-इनवेरिएंट और माप 1.2 दोनों हैं <math display="inline">\frac{1}{2}(\nu_1 + \nu_2)</math>. इसका एक बहुत ही सरल उदाहरण है चेन ऑन <math>S = \{1, 2\}</math> मैट्रिक्स द्वारा दिया गया <math display="inline">\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)</math> (दोनों स्थिति स्थिर हैं)। | ||
==== एक आवधिक श्रृंखला ==== | ==== एक आवधिक श्रृंखला ==== | ||
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{{wiktionary|ergodic}} | {{wiktionary|ergodic}} | ||
* [[Karma Dajani]] and Sjoerd Dirksin, [http://www.staff.science.uu.nl/~kraai101/lecturenotes2009.pdf "A Simple Introduction to | * [[Karma Dajani]] and Sjoerd Dirksin, [http://www.staff.science.uu.nl/~kraai101/lecturenotes2009.pdf "A Simple Introduction to एर्गोडिक Theory"] | ||
[[Category: एर्गोडिक सिद्धांत]] | [[Category: एर्गोडिक सिद्धांत]] | ||
Revision as of 12:30, 31 May 2023
गणित में, एर्गोडिसिटी इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तोगतिशील प्रणाली या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत आचरण को "विशिष्ट" बिंदु की प्रक्षेपवक्र(गतिकी) से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। एर्गोडिक सिद्धांत एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है।
एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और ज्यामिति में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स अलग-अलग होते हैं; जब वह कई गुना कॉम्पैक्ट होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्थान को भर देती है।
एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा मिश्रण (गणित) की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है।
एर्गोडिसिटी का उचित गणितीय सूत्रीकरण माप सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों की औपचारिक परिभाषाओं पर और विशेष रूप से माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की धारणा पर स्थापित किया गया है। एर्गोडिसिटी की उत्पत्ति सांख्यिकीय भौतिकी में है, जहां लुडविग बोल्ट्जमैन ने एर्गोडिक परिकल्पना तैयार की थी।
अनौपचारिक व्याख्या
एर्गोडिसिटी भौतिकी और गणित में व्यापक सेटिंग्स में होती है। इन सभी सेटिंग्स को एक सामान्य गणितीय विवरण द्वारा एकीकृत किया जाता है, जो कि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का है। समतुल्य रूप से, प्रसम्भाव्य प्रक्रम के संदर्भ में एर्गोडिसिटी को समझा जा सकता है। प्रभावशाली रूप से भिन्न संकेतन और भाषा का उपयोग करने के बावजूद वे एक ही हैं।
माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली
एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी जगह भरते हैं, जैसे विसरण और ब्राउनियन गति, साथ ही मिश्रण की सामान्य ज्ञान धारणाएं, जैसे मिश्रण पेंट, पेय, खाना पकाने की सामग्री, औद्योगिक प्रक्रिया मिश्रण, धुएँ से भरे कमरे में धुँआ, शनि वलय में धूल इत्यादि। ठोस गणितीय आधार प्रदान करने के लिए, एर्गोडिक प्रणाली का विवरण माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की परिभाषा से शुरू होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है